Leçon 122 - Anneaux principaux. Applications.
Cadre : A désigne un anneau commutatif unitaure, et K un corps.
1. Notion de principalité. —
1. Idéaux et anneaux principaux. —
– Def : Un idéal I d’un anneau A est principal ssi il est non-trivial et engendré par un élément.
– Ex : Pourn≥1,nZest principal.
– Contre-ex : DansZ[X], (2, X) n’est pas principal.
– Def : Un anneau intègre A est principal ssi tous ses idéaux non-triviaux sont prin- cipaux.
– Ex : Un corps est principal.
– Pro : Zest un anneau principal. Tous ses idéaux sont de la formenZ.
– Def : Un anneau intègre A est dit noethérien si tout idéal non-trivial de A est engendré par un nombre fini d’éléments.
– Pro : Un anneau intègre A est noethérien ssi toute suite croissante d’idéaux de A est stationnaire.
– Pro : Un anneau principal est noethérien.
2. Exemple des anneaux euclidiens. —
– Def : Un anneau intègre A est dit euclidien s’il existe une applicationw:A−{0} →N telle que :
ii) ∀a, b ∈ A− {0}, w(b) ≤ w(ab) i) ∀a, b ∈ A− {0}, il existe q, r ∈ A tels que a=bq+ravecr= 0 ouw(r)< w(b).
– Pro : Pour touta, b∈A−{0}le coupleq, rvérifiant la propriété ci-dessus est unique.
– Pro : Un anneau euclidien est principal.
– Ex : Zest euclidien pourw(a) =|a|. K est euclidien pourw(a) = 0.
– Pro : A[X] est euclidien ssi A est un corps, et son stathme estw(P) =deg(P).
Si A n’est pas un corps, alorsA[X] n’est pas principal.
– Rem : Ainsi,K[X1,˙,Xn] est principal ssin= 1.
– Pro : Les éléments inversibles d’un anneau euclidien sont ceux de stathme minimal.
– Pro : L’anneau des séries formellesK[[X]] :={P
nanXn tq (an)n ∈KN} est eucli- dien pourw(S) =val(S) = min(n≥0 tqan6= 0).
– Pro : Les inversibles deK[[X]] sont les séries formelles aveca06= 0.
Les idéaux non-triviaux deK[[X]] sont de la forme (Xn) pour unn≥1.
– Ex : Z[i] est euclidien pourw(a+ib) =√
a2+b2. – Pro : L’anneauZ[1+i
√ 19
2 ] est principal non euclidien.
2. Arithmétique dans les anneaux principaux. —
1. Arithmétique dansZ. —
– Def : Poura, b∈A, on dit quea|bsib∈(a).
– Rem : (a) = (b) ssi∃u∈A× tqb=a.u. On dit alors que a et b sont associés.
– Def : On dit qu’un élément c est irréductible ssia|c⇒a inversible ou a associé à c.
– Rem : Si c est irréductible, alors l’idéal (c) est maximal parmi les idéaux principaux de A.
– Cor : Les idéaux maximaux d’un anneau principal sont exactement les idéaux de la formeI= (c) pour c un irréductible de A.
– Ex : Les éléments irréductibles deK[[X]] sont lesXn à association près.
– Def : Soit L un corps contenant le corps K. Un élémentx∈Lest algébrique sur K ssi il existeP ∈K[X] tel queP(x) = 0.
– Def+Pro : Pour x algébrique sur K, il existe un unique polynôme unitaire générateur de l’idéal des polynômes annulateurs de x. On le noteµx et on l’appelle polynôme minimal de x surK.
– Pro : Pour toutP ∈K[X] tel queP(x) = 0, on aµx|P. Ainsi,µx est irréductible surK.
De plus, le sous-corps de L engendré par K et x,K(x), est isomorphe àK[X]/(µx) via l’isomorphisme qui à la classe de X moduloµxassoxie x. On appelle alors corps de rupture de x sur K le corpsK[X]/(µx).
– Ex : √p
nest algébrique surQ,expiπkn est algébrique surQ, i est algébrique surR. K∈K(X) est transcendant sur K.
– Ex : On aC'R[X]/(X2+ 1).
– Def : Pour tout n ≥ 1, on définit Φn(X) := Πk∧n=1,k≤n(X −e2iπkn) ∈ C[X], le n-ième polynôme cyclotomique.
– Dev : Pour tout n ≥ 1, Φn est un polynôme unitaire à coefficients entiers, irré- ductible dansZ[X], de degréφ(n) =Card(Z/nZ∗) et tel que Πd|nΦd=Xn−1.
On peut ainsi projeter les polynômes cyclotomiques dansFp[X] et avoir une décom- position deXn−1. en produit de polynômes.
– Pro : Pour toutn=ps.mavecm∧p= 1, Φn(X) = Φm(X)ps−ps−1 dansFp[X].
Si n∧p= 1, alors tous les facteurs irréductibles de Φn dans Fq[X] sont de degré égal à l’ordre de q dans (Z/nZ)×.
– Rem : Comme (Z/nZ)× n’est cyclique que sin=peoun= 2peavecpepremier, une grande partie des polynômes cyclotomiques n’est automatiquement pas irréductible sur lesFq.
2. Héritage de la factorialité. —
– Def : Poura, b∈A− {0}, on appelle pgcd de a et de b un élémentd∈A tel que d|a,d|b, et tel quec|aetc|b⇒c|d.
On appelle ppcm de a et de b un élémentd∈Atel quea|d,b|d, et tel quea|cetb|c
⇒d|c.
– Rem : Le ppcm et le pgcd de deux éléments n’existe pas forcément. DansZ[i√ 5], 3 et 2 +i√
5 n’ont pas de ppcm et 9 et 6 + 3i√
5 n’ont pas de pdcg.
Si le pgcd/ppcm exisent, ils sont uniques à association près.
– Def : Système de représentant des irréductibles.
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– Def : Un anneau A est facoriel ssi pour tout élément x il existe des p1,˙,pn du système de représentant des irréductibles, des indicesa1,˙,an, et un inversible u, tel quex=u.pa11p˙ann, et tel que cette écriture soit unique à permutation près despi. – Ex : Zest factoriel. Z[i√
5] n’est pas factoriel car 3×3 = (2 +i√
5)(2−i√ 5) – Pro : Un anneau principal est factoriel.
– Pro : Conditions pour être factoriel quand il y a existence de la décomposition en produit d’irréductibles.
– Pro : Soit A un anneau principal. Soienta, b∈A− {0}.
Le pgcd de a et b est und∈Atel que (d) = (a) + (b).
Le ppcm de a et b est und∈Atel que (d) = (a)∩(b).
– Théorème de Bézout : Si A est principal, alors pour tousa, b ∈ A− {0} il existe u, v∈Atels queau+bv=pgcd(a, b).
– App : Lemme des noyaux : Soit E un K-ev de dimension finie etu∈End(E). Soit P∈K[X] avecP =P1P˙r où lesPi sont premiers entre eux deux à deux.
AlorsKer(P(u)) =⊕iKer(Pi(u)).
– Thm : Un anneau factoriel qui vérifie le théorème de Bézout est principal.
3. Théorème chinois et polynômes d’endomorphismes. —
– Théorème chinois : Soit A un anneau principal, soita∈A− {0} aveca=r1r˙n où lesri sont premiers entre eux deux à deux. AlorsA/(a)'ΠiA/(ri).
– Application à la résolution d’un système de congruences.
– Def+Pro : Soit E un K-ev de dimension finie. Pouru∈End(E) on définit Φu:P ∈ K[X]7→P(u)∈End(E) le morphisme d’évaluation en u.
Son image, notéeK[u], est une sous-algèbre commutative deEnd(E).
Comme E est de dimension finie, Φu n’est pas injectif. On appelle alors polynôme minimal de u, notéµu, l’unique polynôme unitaire deK[X] générateur deKer(Φu).
– App : Pourµu=P1a1P˙rar la décomposition deµuen produit de facteurs irréductibles dansK[X], on a alorsK[u]'K[X]/(µu)'ΠiK[X]/(Piai).
– App : uest diagonalisable dans E ssiK[u]'Krpour unr≥1, oùKr est muni du produit terme à terme.
– Def : SoitKun corps et E unK−ev. Un endomorphisme f de E est dit semi-simple si pour tout s-ev F de E stable par f, il existe un supplémentaire V de F qui est lui aussi stable par f.
– Dev : Soitf ∈End(E). Alors f est semi-simple ssi son polynôme minimal est sans facteurs carrés.
3. Anneaux d’entiers de corps quadratiques. — On se place ici dansQ(√
d), avecd∈Z− {0,1}sans facteurs carrés.
– Rem : Q(√
d) est un corps.
– Def : Norme d’un élément deQ(√ d).
– Def : Trace d’un élément deQ(√ d).
– Def : Un élément deQ(√
d) est appelé un entier algébrique ssi son polynôme minimal surQest à coefficients dansZ.
On appelleOd l’ensemble des entiers algébriques sur Q(√ d).
– Pro : Od est un anneau intègre.
– Thm : Od=Z[1+
√ d
2 ] si d≡1 mod(4), etOd=Z[√
d] sinon.
– Thm : La norme surOd est un stathme si : d∈ {−11,−7,−3,−2,−1,2,3,5,6,7,11,13}.
– Rem : Les inversibles deAd sont les éléments de norme 1. Sid <0 ce sont±1 et
±i.
– Thm : Caractérisation des inversibles deAd pourd >1.
– Application à la résolution dex2−3y2= 1.
– Rem : On a déjà vu queZ[i] est un anneau euclidien, avec pour stathme sa norme.
Ses inversibles sont±1 et±i.
– Dev: Théorème des deux carrés de Fermat : Les irréductibles de Z[i] sont : les p premiers tqp≡2,3mod(4), et lesa+ibtels quea2+b2 est premier.
De plus, l’équation diophantienne x2+y2=nadmet des solutions si et seulement si pour tout p premier tqp≡3 mod(4), on avp(n) pair.
Références
Combes : Théorème chinois, résolution d’un système de congruences. Entiers quadra- tiques.
Perrin : Idéal principal, polynôme minimal d’un élément algébrique, corps de rupture.
Anneau euclidien, propriétés, exemples. Divisibilité, via les idéaux, él associés, él ir- réductibles. Système de représentants des irréductibles, anneau factoriel, critères de Gauss/Euclide propriétés, exemples. Bézout, pgcd/ppcm dans un anneau principal. Th des deux carrés.(Dev)
Tauvel : Anneau principal, propriétés, exemples. Pgcd et ppcm, exemples.
Duverney : Unités dans les anneaux d’entiers quadratiques.
Gourdon : Polynôme minimal d’un endomorphisme. Lemme des noyaux. Endomor- phismes semi-simples.(Dev)
FGN (Algèbre 1) : Etude des polynômes cyclotomiques.(Dev)
June 7, 2017
Vidal Agniel,École normale supérieure de Rennes
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