Anneaux et corps

Anneaux et corps

Table des mati` eres

1 Anneaux : g´en´eralit´es 1

2 R`egles de calcul dans un anneau 1

3 Sous-anneaux 1

4 Morphismes d’anneaux 2

5 Diviseurs de z´ero 2

6 Corps 2

1 Anneaux : g´ en´ eralit´ es

D´efinition: un anneau est un triplet (A,+,×) o`u : (A,+) est un groupe commutatif ; × est une loi sur A associative, poss´edant un ´el´ement neutre, etdistributivepar rapport `a +, c’est-`a-dire : x×(y+z) = (x×y)+(x×z) et (x+y)×z= (x×z) + (y×z) quels que soient x,y et z.

L’´el´ement neutre de la loi ×est not´e 1A ou1 s’il n’y a aucun risque de confusion. L’anneau est commutatif lorsque la loi×est l’est.

Nous supposons toujours 1A6=0A; les deux lois sont dont distinctes, etAcontient au moins deux ´el´ements.

Exemples — (Z,+,×), (Z[√

d],+,×) o`u Z[√

d] = {a+b√

d, a∈ Z, b ∈ Z} sont des anneaux commutatifs.

Si A est un anneau, etE un ensemble quelconque, alors l’ensemble F(E, A) (not´e aussiA^E) des fonctions de E dans A est muni d’une structure naturelle d’anneau : si f et g sont dans A^E, alors f ⊕g et f ⊗g par (f⊕g)(a) =f(a) +g(a) et (f⊗g)(a) =f(a)×g(a) pour touta∈A. En pratique, nous noteronsf+getf×g.

Exemple —l’ensembleM²(K) des matrices carr´ees d’ordre 2, `a coefficients dansK(o`uKd´esigneQ,RouC) est un anneau non commutatif.

2 R` egles de calcul dans un anneau

Proposition: pour toutx∈A, on a0A×x=x×0A=0A.

Preuve: x=x×1A=x×(1A+0A) = (x×1A) + (x×0A) =x+ (x×0A), d’o`u le r´esultat par r´egularit´e.

Proposition: pour tousxet ydansA, on ax×(−y) = (−x)×y=−(x×y).

Preuve: 0A=x×0A=xס

y+ (−y)¢

=¡ x×y¢

+¡

x×(−y)¢

, d’o`u le r´esultat.

Proposition: si deux ´el´ementsxet y d’un anneauAcommutent, alors on peut leur appliquer la formule du binˆome :

(x+y)ⁿ=

n

X

k=0

µn k

¶ x^ky^n−k

Preuve: par r´ecurrence surn.

3 Sous-anneaux

D´efinition: une partieB d’un anneau Aest unsous-anneau deAsi elle contient 0A et1A et est stable pour les deux lois deA.

Exemples — l’ensemble des fonctionsϕ:R7→Rpaires est un sous-anneau de l’ensemble des fonctions deR dansR, muni de sa structure naturelle d’anneau. L’ensemble des rationnels de la forme _2q+1^p est un sous-anneau deQ, de mˆeme que l’ensemble des rationnels de la forme _q^pk o`u q>2 est fix´e,p∈Zet k∈N^∗.

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Proposition: B est un sous-anneau deA ssiB n’est pas vide et contient x−y et x×y d`es qu’il contientx ety.

Proposition: l’intersection de deux sous-anneaux d’un mˆeme anneauAest un sous-anneau deA.

4 Morphismes d’anneaux

D´efinition: soientAetBdeux anneaux (les lois sont not´ees + et×dans les deux cas). Un (homo)morphisme d’anneaux deAdansB est, soit le morphisme nul (qui, `a toutx∈A, associe0B), soit une fonctionϕ:A7→B v´erifiant :

• ϕ(a+b) =ϕ(a) +ϕ(b) quels que soientaetb appartenant `aA;

• ϕ(a×b) =ϕ(a)×ϕ(b) quels que soientaetb appartenant `aA;

• ϕ(1A) =1B.

Proposition: soientA,B,Ctrois anneaux. Sif :A7→B etg:B 7→Csont des morphismes d’anneaux, alors g◦f est un morphisme d’anneaux.

D´efinition: le noyau d’un morphisme d’anneauxϕ:A7→B est l’ensemble {x∈A:ϕ(x) =0B}; il est not´e ker(ϕ).

Proposition: un morphisme d’anneauxϕest injectif ssi ker(ϕ) ={0A}.

Unisomorphismed’anneaux est un homomorphisme bijectif ; unautomorphismed’un anneauAest un isomor- phisme deAsurA. L’ensembleAut(A) des automorphismes d’un anneauAest un groupe pour la composition des fonctions.

Proposition: soitAun anneau ; il existe un et un seul morphisme d’anneau deZdansA.

Preuve: ce morphismeϕest d´efini parϕ(0) =0A; ϕ(n+ 1) =ϕ(n) +1Apour tout naturel n; etϕ(−n) =

−ϕ(n) pour tout naturelnnon nul.

Proposition: siϕ:A7→B est un morphisme d’anneaux, alorsϕ(A) est un sous-anneau deB, etϕ⁻¹(B) est un sous-anneau deA.

5 Diviseurs de z´ ero

D´efinition: undiviseur de z´erod’un anneauAest un ´el´ementx6= 0 pour lequel il existe au moins un ´el´ement y6= 0 deAtel que xy= 0. Un anneau est ditint`egre s’il ne pos`ede aucun diviseur de z´ero.

Exemple — Z est int`egre. L’ensemble des fonctions de R dans R, muni des lois + et × usuelles, n’est pas int`egre : consid´ererx7→x⁺= max(x,0) etx7→x⁻= max(−x,0).

Proposition: un ´el´ement r´egulier d’un anneauAne peut ˆetre diviseur de z´ero.

Remarque: soient Aet B deux anneaux. L’anneau produit deA etB est (A×B,⊕,⊗), les deux lois ´etant d´efinies par (a, b)⊕(c, d) = (a+c, b+d) et (a, b)⊗(c, d) = (a×c, b×d). Constatons que, mˆeme siAetB sont int`egres, l’anneau produitA×B ne l’est pas car (1A,0B)⊗(0A,1B) = (0A,0B).

6 Corps

D´efinition: uncorps est un anneau (K,+,×) commutatif dans lequel tout ´el´ement autre que 0_Kest inversible.

Exemples — avec les lois usuelles, Q, R et C sont des corps ; Q[√

d] est un corps ssi d n’est pas un carr´e parfait.

D´efinition: un sous-corps d’un corpsKest une partieL non vide deK, qui est stable pour les lois deK, et qui est un corps, pour les lois induites par celles deK.

Exemples — Qest un sous-corps deR, qui est lui-mˆeme un sous-corps deC

FIN

[Anneaux] Version du 7 mars 2009

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