H10104. Z´ ero exclu
Dans son jeu de dominos, Dunabla a ´ecart´e tous ceux qui portent un ou des z´eros, proclamant : “Z´ero ne vaut pas”. Il cherche maintenant `a placer les dominos restants, en suivant la r`egle du jeu, selon un parcours ferm´e le plus grand possible. Combien de dominos peut-il placer au maximum ?
Solution
Si les nombres de points marqu´es sur les (demi-)dominos sont en nombre k (k= 7 pour le jeu de dominos standard, avec 0 `a 6 points,k= 6 dans le jeu expurg´e par Dunabla), les demi-dominos portant j points sont en nombre k+ 1 en tenant compte des doubles, donc pair pour le jeu standard, impair pour le jeu de Dunabla.
D’autre part, dans un parcours ferm´e respectant la r`egle, les demi-dominos portantj points sont en nombre pair.
Quand Dunabla ach`eve son parcours aussi grand que possible, il lui reste en main un nombre impair de demi-dominos portantj points, pourj = 1 `a 6.
Cela fait au moins 3 dominos (3 seulement avec par exemple les dominos 1-2, 3-4, 5-6). Sur les 21 dominos de son jeu, il en placera au maximum 18.
Un th´eor`eme d’Euler (1736, probl`eme des ponts de K¨onigsberg) assure que le maximum 18 peut ˆetre atteint, de mˆeme qu’avec un jeu standard il est possible de placer les 28 dominos en parcours ferm´e.
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