Modules sur les anneaux principaux

Modules sur les anneaux principaux

Avertissement

Dans cette partie du cours, le mot anneau signifiera, sauf mention expresse du contraire, anneau commutatif unitaire.

0. G´en´eralit´es sur les modules (informel)

La notion de module est aux anneaux ce que la notion d’espace vectoriel est aux corps.

Soit Aun anneau. On appellemodulesurA, ouA-module, un groupe ab´elien M, dont la loi est not´ee habituellement + et l’´el´ement neutre 0, muni d’une application de A×M dans M (appel´ee application de structure, ou action de A surM) not´ee (a, x)7→ax (ou a·x) telle que l’on a :

- a(x+y) = ax+ay - (a+b)x=ax+bx - a(bx) = (ab)x - 1x=x

pour tous a, b dans A et x,y dans M.

(On rappelle que dans le contexte des groupes les mots “ab´elien” et “com- mutatif” sont synonymes ; le mot “ab´elien” est plutˆot utilis´e quand la loi est not´ee additivement et le mot “commutatif” quand la loi est not´ee multipli- cativement.)

Exemple 0.1. Les notions de groupe ab´elien et de Z-module co¨ıncident. En effet, soit M un groupe ab´elien dont la loi est not´ee + , on d´efinit une application de Z× M dans M qui v´erifie les axiomes ci-dessus en posant nx =x+x+· · ·+x, n termes, pour n ≥0 et nx=−(−n) xpour n <0.

Soient M et N deux A-modules. On appelle homomorphisme de A-modules une application f deM dans N telle que l’on a :

- f(x+y) =f(x) +f(y) - f(ax) = af(x)

pour tous a dans A et x, y dans M. (Un homomorphisme deA-modules est donc en particulier un homomorphisme de groupes ab´eliens.) On dit aussi qu’une telle application est A-lin´eaire.

SoitM unA-module. On appellesous-module(ou sous-A-module) une partie M⁰ de M qui v´erifie les propri´et´es suivantes :

- M⁰ est un sous-groupe du groupe ab´elien M;

- si x appartient `aM<sup>0</sup> alors ax appartient `aM⁰ pour tout a dans A.

Un sous-A-module muni des “lois” induites par celles duA-module est encore un A-module d’o`u le nom.

Exemples

- Un anneauA est de fa¸con ´evidente un module sur lui-mˆeme. Un id´eal n’est rien d’autre qu’un sous-A-module de A.

- Le noyau et l’image d’un homomorphisme de A-modules f : M →N sont respectivement des sous-modules de M etN.

- Soient A un anneau et M un module sur A. Soit E une partie deM. La partie de M constitu´ee des ´el´ements de la forme a₁x₁ +a₂x₂ +· · ·+a_nx_n, a₁, a₂,· · · , a_n d´esignant des ´el´ements de A et x₁, x₂,· · · , x_n des ´el´ements de E, est un sous-module ; on l’appelle le sous-module engendr´e parE. C’est le plus petit sous-module de M contenant E. S’il co¨ıncide avec M on dit bien sˆur que M est engendr´e par E.

SoientM unA-module etM⁰un sous-module. On consid`ere le groupe ab´elien quotient M/M⁰. On constate que l’action de A sur M induit une action de A surM/M⁰ qui fait de M/M⁰ unA-module ; cetA-module s’appelle encore le quotient de M par M⁰.

Exemple. Soit A un anneau et I un id´eal de A alors l’anneau quotient A/I est naturellememt un A-module.

Suites exactes de modules

Soient f : M⁰ → M et g : M → M⁰⁰ deux homomorphismes de A-modules, on dit que la suite (de A-modules et d’homomorphismes de A-modules) 0 → M⁰→^f M→^g M⁰⁰ → 0 (0 d´esigne ici le A-module trivial) est exacte si les trois propri´et´es suivantes sont v´erifi´ees :

- le noyau de g est ´egal `a l’image de f;

- f est injectif (en d’autres termes le noyau de f est ´egal `a l’image de l’ho- momorphisme trivial 0→M!) ;

- g est surjectif (en d’autres termes le noyau de l’homomorphisme trivial M⁰⁰→0 est ´egal `a l’image de g!).

Dans ces conditions g induit un isomorphisme M/f(M⁰)∼=M⁰⁰.

Exemple. Soientf :Z→Zl’applicationn7→2n etg :Z→Z/2 la surjection canonique ; 0 → Z→^f Z→^g Z/2 → 0 est une suite exacte de Z-modules (et d’homomorphismes de Z-modules).

Modules d’homomorphismes

Soient M et N deux A-modules. On note Hom_A(M, N) l’ensemble des ho- momorphismes de A-modules de M dans N. Soient f et g deux de ces homomorphismes, on note f +g l’homomorphisme M → N, x 7→ f(x) + g(x) ; Hom_A(M, N) muni de la loi (f, g) 7→ f + g est un groupe ab´elien (l’´el´ement neutre est l’homomorphisme nul). Soitaun ´el´ement deA, on note af l’application M → N, x 7→ af(x) ; c’est encore un homomorphisme de A-modules (parce queAest commutatif). L’applicationA×Hom_A(M, N)→ HomA(M, N),(a, f)7→af fait du groupe ab´elien HomA(M, N) unA-module.

Produits et sommes de modules

Soit (M_i)_i∈I une famille de A-modules. (L’ensemble d’indices I sera par la suite pratiquement toujours fini.)

On consid`ere le groupe ab´elien produit<sup>Q</sup><sub>i∈I</sub>M<sub>i</sub>. On constate que l’action de A sur chacun des M<sub>i</sub> induit une action deA sur<sup>Q</sup><sub>i∈I</sub>M<sub>i</sub> qui fait de <sup>Q</sup><sub>i∈I</sub>M<sub>i</sub> unA-module ; cetA-module s’appelle encore leproduit de la famille (M<sub>i</sub>)i∈I. Soit M un A-module, dans le cas particulier o`u l’on a M_i =M pour tout i, le produit ^Q_i∈IM_i est ´evidemment not´e M^I.

Les projections ^Q_i∈IM_i → M_i sont not´ees ci-dessous π_i; ce sont des homo- morphismes de A-modules.

Proposition 0.2. Soit (M_i)i∈I une famille de A-modules. Alors, pour tout A-module N, l’application

Hom_A(N,^Y

i∈I

M_i)→^Y

i∈I

Hom_A(N, M_i) , f 7→(π_i◦f)_i∈I est un isomorphisme de A-modules.

On consid`ere maintenant le groupe ab´elien somme^L_i∈IM_i. On rappelle que

L

i∈IM_i est le sous-groupe de ^Q_i∈IM_i form´e des ´el´ements (x_i)i∈I “`a support fini” (c’est-`a-dire v´erifiant xi = 0 pour i en dehors d’un sous-ensemble fini de I). On constate que^L_i∈IM_i est un sous-A-module de ^Q_i∈IM_i; ^L_i∈IM_i, muni de la structure de A-module induite, s’appelle encore la somme de la famille (M_i)i∈I. (On observera que si l’ensembleIest fini alors on a^L_i∈IM_i =

Q

i∈IM_i.)

Soit M un A-module, dans le cas particulier o`u l’on a M_i = M pour tout i la somme ^L_i∈IMi est not´eM^(I).

Soit i un ´el´ement de I. Soit x un ´el´ement de M_i, on note ci-dessous ι_i(x) l’´el´ement de ^L_i∈IM_i dont la composante d’indice i est x et dont toutes les autres composantes sont nulles ; l’applicationιi :Mi →^L_i∈IMi ainsi d´efinie est un homomorphisme de A-modules.

Proposition 0.3. Soit (M_i)i∈I une famille de A-modules. Alors, pour tout A-module N, l’application

Hom_A(^M

i∈I

M_i, N)→^Y

i∈I

Hom_A(M_i, N) , f 7→(f◦ι_i)i∈I

est isomorphisme de A-modules.

Modules libres

Tout espace vectoriel sur un corps K est isomorphe `a K^(I) pour un certain ensemble I. L’analogue est faux pour les A-modules.

Proposition-D´efinition 0.4.SoitM unA-module. Les conditions suivantes sont ´equivalentes :

(i) Il existe une famille (ei)i∈I d’´el´ements de M telle que tout ´el´ement x de M s’´ecrive de fa¸con unique^P_i∈Ix_ie_i, x_i d´esignant des ´el´ements de A avec x_i = 0 pour i en dehors d’un sous-ensemble fini de I.

(ii) Il existe un ensembleI et un isomorphisme deA-modules deA^(I) surM. Si ces conditions sont v´erifi´ees, on dit que le A-module M est libre et que la famille (e_i)i∈I ou le sous-ensemble {e_i;i∈I} est une base de M.

(La condition d’unicit´e qui apparaˆıt dans (i) implique en particulier que l’application I →M , i7→ e_i est injective et induit donc une bijection de I sur {e_i;i∈I}.)

Exemples. LesZ-modules Z/n (n≥1) et Q ne sont pas libres.

Modules de type fini

On dit qu’un A-module M est de type fini s’il est engendr´e par une partie finie.

Exemples. LeZ-module Z/n est de type fini le Z-module Q ne l’est pas.

Proposition 0.5. Soit M un A-module. Les conditions suivantes sont ´equi- valentes :

(i) M est de type fini ;

(ii) il existe un ensemble fini I et un homomorphisme de A-modules surjectif de A^I sur M.

Proposition 0.6. SoitA un anneau non nul. SoitI un ensemble. Les condi- tions suivantes sont ´equivalentes :

(i) le A-module A^(I) est de type fini ; (ii) l’ensemble I est fini.

La proposition suivante est un peu moins ´evidente que les pr´ec´edentes : Proposition 0.7. Soit A un anneau non nul ; soient I et J deux ensembles finis. Si les A-modules A^I et A^J sont isomorphes alors les ensembles I et J ont mˆeme cardinal.

Premi`ere d´emonstration (avec axiome du choix). Soit m un id´eal maximal de A (un tel id´eal existe parce que A est non nul, c’est l`a qu’intervient l’axiome du choix). Soit M un A-module, on note mM le sous-module de M constitu´e des ´el´ements de la forme ax avec a dans m et x dans M; l’application de structure A ×M/mM → M/mM induit une application A/m× M/mM qui fait de M/mM un A/m-espace vectoriel. On constate qu’un isomorphisme de A-modulesM ∼=N induit un isomorphisme de A/m- espaces vectoriels M/mM ∼= N/mN. On constate ´egalement que l’on a des isomorphismes canoniques de A/m-espaces vectoriels A^I/(mA^I) ∼= (A/m)^I et A^J/(mA^J) ∼= (A/m)^J. On conclut `a l’aide de la th´eorie de la dimension pour les espaces vectoriels : si les A-modulesA^I etA^J sont isomorphes alors il en est de mˆeme pour les A/m-espaces vectoriels (A/m)^I et (A/m)^I et les

ensembles I etJ ont mˆeme cardinal.

Seconde d´emonstration (sans axiome du choix). Elle r´esulte des deux obser- vations suivantes :

– Soitn≥1 un entier, alors il existe sur leA-moduleAⁿ une formen-lin´eaire altern´ee qui prend la valeur 1 (et qui est donc non nulle si l’anneau A est non nul), `a savoir l’application

((a11, a2,1, . . . , an,1),(a12, a2,2, . . . , an,2), . . . ,(a1n, a2,n, . . . , an,n))7→d´et [aij] , la notation d´et [a_ij] d´esignant le d´eterminant de la matrice [a_ij] dont la d´efinition est rappel´ee dans la d´emonstration de la proposition 0.10.

– Soient m et n deux entiers naturels avec m < n, alors toute application n-lin´eaire altern´ee sur A^m est nulle.

Les deux propositions pr´ec´edentes permettent de d´efinir la dimension d’un module libre de type fini sur un anneau non nul :

Proposition-D´efinition 0.8. Soit A un anneau non nul. Soit M un A-module libre de type fini. Alors toutes les bases de M sont finies et ont mˆeme cardinal. Ce cardinal s’appelle la dimension de M.

Proposition 0.9. Soit A un anneau non nul. Soient n ≥0 un entier et M un A-module. Les conditions suivantes sont ´equivalentes :

(i) M est libre de dimension n; (ii) M est isomorphe `a Aⁿ.

Proposition-D´efinition 0.10. Soit A un anneau non nul. Soit L un A-module libre de dimension n. Soient (e₁, e₂, . . . , e_n) une base de L et (e⁰₁, e⁰₂, . . . , e⁰_n) un n-uple d’´el´ements de L; soit P la matrice carr´ee d’ordre n `a coefficients dans A dont la j-i`eme colonne, 1 ≤ j ≤ n, est form´ee des coordonn´ees dee⁰_j dans la base (e₁, e₂, . . . , e_n). Les conditions suivantes sont

´

equivalentes :

(i) le n-uple (e⁰₁, e⁰₂, . . . , e⁰_n) est une base de L;

(ii) la matrice P est inversible (c’est-`a-dire, il existe une matrice Q carr´ee d’ordre n `a coefficients dans A avec QP = In et P Q= In, In d´esignant la matrice “identit´e” d’ordre n) ;

(iii) le d´eterminant de P est un ´el´ement inversible de A.

Si ces conditions sont v´erifi´ees on dit que P est la matrice de passage de la base (e₁, e₂, . . . , e_n) `a la base (e⁰₁, e⁰₂, . . . , e⁰_n).

D´emonstration de l’´equivalence (i) ⇐⇒ (ii). On commence par faire les observations suivantes :

- Soient L un A-module et n un entier. Alors un ´el´ement (e1, e2, . . . , en) de Lⁿ s’identifie `a un homomorphisme du A-module A<sup>n</sup> dans L, `a savoir l’homomorphisme

(x₁, x₂, . . . , x_n)7→

n

X

i=1

x_ie_i

(c’est une illustration de la proposition 0.3). De plus L est un A-module libre de base (e₁, e₂, . . . , e_n) si et seulement si cet homomorphisme est un isomorphisme (c’est une variante de la proposition 0.4).

- En particulier une matrice [aij] (i est l’indice de la ligne et j celui de la colonne) carr´ee d’ordre n `a coefficients dans A (que l’on peut voir comme un ´el´ement de (A<sup>n</sup>)<sup>n</sup>) s’identifie `a un homomorphisme du A-moduleAⁿ dans lui-mˆeme, `a savoir l’homomorphisme

(x1, x2, . . . , xn)7→(

n

X

j=1

a1jxj ,

n

X

j=1

a2jxj , . . . ,

n

X

j=1

aijxj , . . . ,

n

X

j=1

anjxj ) .

Soit M_n(A) l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre n `a coefficients dans A, la bijection de M_n(A) dans Hom_A(Aⁿ, Aⁿ) ainsi d´efinie, disons ι, v´erifie les propri´et´es suivantes :

- ι(P +Q) = ι(P) +ι(Q) pour tous P etQ dans M_n(A) ; - ι(aP) =a ι(P) pour tout a dans A et toutP dans M_n(A) ; - ι(P Q) =ι(P)◦ι(Q) pour tous P et Q dans Mn(A) ; - ι(I_n) = Id_Aⁿ, Id_Aⁿ d´esignant l’identit´e de Aⁿ.

En d’autres termes, M_n(A) s’identifie `a Hom<sub>A</sub>(A<sup>n</sup>, A<sup>n</sup>) comme A-alg`ebre.

Avec les identifications ci-dessus l’´equivalence des conditions (i) et (ii) devient un avatar de l’´equivalence des deux conditions suivantes :

(i-bis) (e⁰₁, e⁰₂, . . . , e⁰_n) est un isomorphisme ;

(ii-bis) (e⁰₁, e⁰₂, . . . , e⁰_n)◦(e1, e2, . . . , en)⁻¹ est un isomorphisme.

D´emonstration de l’´equivalence (ii) ⇐⇒ (iii). On note d´et : M_n(A) → A l’application qui associe `a une matrice carr´ee d’ordren `a coefficients dans A son d´eterminant. Comme dans le cas o`uA est un corps, on a

d´et [a_ij] = ^X

σ∈Sn

(σ)

n

Y

j=1

a_σ(j),j ,

S_nd´esignant l’ensemble des permutations de{1,2, . . . , n}et(σ) la signature d’une permutation σ.

Comme dans le cas o`u A est un corps, l’application d´et v´erifie d´et(P Q) = d´etP d´etQ

pour tousP etQdans M_n(A). Cette formule montre que siP est un ´el´ement inversible de M_n(A) alors d´etP est un ´el´ement inversible de A.

Comme dans le cas o`uAest un corps on peut introduire la comatrice, disons comP, d’une matrice P carr´ee d’ordre n `a coefficients dans A (la comatrice est la transpos´ee de la matrice des “cofacteurs”). On a encore :

(comP)P = (d´etP) I_n ; P (comP) = (d´etP) I_n .

Ces formules montrent que si d´etP est un ´el´ement inversible de A alors P

est un ´el´ement inversible de M_n(A).

Sous-modules suppl´ementaires

Soit M un A-module. Soient M⁰ et M⁰⁰ deux sous-modules. On dit que M⁰ et M⁰⁰ sont en somme directe, ou que M⁰ et M⁰⁰ sont suppl´ementaires, ou encore que M⁰ est un suppl´ementaire deM⁰⁰ si l’homomorphisme canonique de A-modules, M⁰⊕M⁰⁰ → M , (x⁰, x⁰⁰) 7→ x⁰ +x⁰⁰, est un isomorphisme ; on ´ecrit alorsM =M⁰⊕M⁰⁰. L’image de cet homomorphisme, c’est-`a-dire le sous-module de M des ´el´ements de la forme x⁰ +x⁰⁰ avec x⁰ dans M⁰ et x⁰⁰ dansM⁰⁰, est not´eeM⁰+M⁰⁰; son noyau (qui est un sous-module deM⁰⊕M⁰⁰) est isomorphe (comme A-module) au sous-module M^0TM⁰⁰ deM. On peut synth´etiser la discussion pr´ec´edente de la fa¸con suivante :

Soient M un A-module et M⁰ et M⁰⁰ deux sous-modules, alors la suite de A-modules et d’homomorphismes de A-modules

0→M^0\M⁰⁰→M →M⁰+M⁰⁰→0 ,

dans laquelle la deuxi`eme et la troisi`eme fl`eche sont respectivement les ho- momorphismes x7→(−x, x) et (x⁰, x⁰⁰)7→x⁰+x⁰⁰, est exacte.

En conclusion, comme dans le cas des espaces vectoriels, M⁰ et M⁰⁰ sont en somme directe si et seulement si l’on a M⁰ +M⁰⁰ =M et M^0TM⁰⁰ ={0}.

Cependant, contrairement `a ce qui se passe dans le cas des espaces vectoriels, il est faux que tout sous-module admette un suppl´ementaire.

Proposition 0.11. Soient M un A-module et M⁰ un sous-module ; soient respectivement ι : M⁰ → M et π : M → M/M⁰ l’injection et la surjection canoniques. Les conditions suivantes sont ´equivalentes :

(i) Le sous-module M⁰ admet un suppl´ementaire.

(ii) Il existe un homomorphisme de A-modules σ : M/M⁰ → M tel que le compos´e π◦σ est l’identit´e de M/M⁰.

(iii) Il existe un homomorphisme de A-modules ρ : M → M⁰ tel que le compos´e ρ◦ι est l’identit´e de M⁰.

Exemples

On prend A=Z.

On prend M = Z/6. On consid`ere les deux sous-modules M⁰ et M⁰⁰ form´es respectivement des ´el´ements x v´erifiant 2x = 0 et 3x = 0 ; ces deux sous- modules sont en somme directe. (On observe que l’on a M⁰ ∼=Z/2 et M⁰⁰ ∼= Z/3 si bien que l’on obtient Z/6∼=Z/2⊕Z/3.)

On prend M =Zet M⁰ = 2Z(le sous-module de Z form´e des entiers pairs) ; M⁰ = 2Z n’admet pas de suppl´ementaire.

On prend M =Z/4. On consid`ere le sous-module M<sup>0</sup> form´e des ´el´ements x v´erifiant 2x= 0 (M<sup>0</sup> est donc isomorphe `a Z/2) ; `a nouveau ce sous-module n’admet pas de suppl´ementaire.

Modules de torsion

Soit E un espace vectoriel sur un corps K, alors “λx= 0”, avec λdans K et xdansE, implique “λ= 0 oux= 0”. Ceci n’est plus vrai quand on consid`ere des modules sur un anneau qui n’est pas un corps.

Proposition-D´efinition 0.12. Soit M un A-module. Un ´el´ement x de M est dit de torsion s’il existe a 6= 0 dans A tel que l’on a ax = 0. On dit que M est de torsion si tous ses ´el´ements sont de torsion ; on dit que M est sans torsion si son seul ´el´ement de torsion est0. SiAest int`egre, le sous-ensemble de M form´e des ´el´ements de torsion est un sous-module, appel´e sous-module de torsion de M (ou mˆeme torsion de M).

Exemple. Les Z-modules Z/n (n≥1) et Q/Zsont de torsion.

Lemme 0.13.SoitM un module sur un anneau int`egre ; soitT(M)son sous- module de torsion. Alors le A-module quotient M/T(M) est sans torsion.

Lemme 0.14. Soit M un module de type fini de torsion sur un anneau int`egre A, alors il existe a6= 0 dans Atel que l’on a ax= 0 pour toutx dans M.

Exercice 0.15. Montrer que le Z-module Q/Z n’est pas de type fini.

La proposition suivante prolonge l’exemple 0.1.

Proposition 0.16. Soit M un groupe ab´elien. Les conditions suivantes sont

´

equivalentes : (i) M est fini ;

(ii) M est de type fini et de torsion comme Z-module.

A-modules munis d’un endomorphisme et A[X]-modules On se convainc ci-dessous de ce que les notions suivantes co¨ıncident :

- la notion de A-module muni d’un endomorphisme ; - la notion de A[X]-module.

1) Soient M un A-module et u un endomorphisme de M, c’est-`a-dire un homomorphisme de A-modulesM →M.

Soit P =a₀ +a₁X+· · ·+a_nXⁿ un polynˆome de A[X], on note P(u) l’en- domomorphisme a₀Id +a₁u+· · ·+a_nuⁿ deM, Id d´esignant l’identit´e de M (qui est bien sˆur un endomorphisme de A-modules).

L’application A[X]×M → M,(P, m) 7→ P(u)(m) fait de M (plus pr´eci- s´ement, du groupe ab´elien sous-jacent auA-moduleM) unA[X]-module. En d’autres termes, on munit M d’une structure deA[X]-module en posant :

P.m=P(u)(m).

On observera que si l’on consid`ere A comme un sous-anneau de A[X] alors cette structure de A[X]-module prolonge celle de A-module.

2) Soit M unA[X]-module.

CommeAest un sous-anneau deA[X],M est aussi unA-module et l’applica- tion

u:M →M , m7→X.m est un endomorphisme du A-moduleM.

3.1) Soient M un A-module et u un endomorphisme de M. On consate que l’endomorphisme (de A-modules) de M associ´e, par le proc´ed´e du 2), `a la structure de A[X]-module d´efinie en 1), est u.

3.2) Soit M unA[X]-module. On constate que la structure de A[X]-module associ´ee, par le proc´ed´e du 1), `a l’endomorphisme (deA-modules) deM d´efini en 2), est la structure initiale.

Dictionnaire

Soient M etN deuxA-modules ; soient u un endomorphisme de M etv un endomorphisme de N. Une application A-lin´eaire f : M → N est A[X]- lin´eaire (pour les structures de A[X]-modules d´efinies pr´ec´edemment) si et

seulement si le diagramme suivant est commutatif : M −−−→^f N





 y

u





 y

v

M −−−→^f N .

Soient (M, u) comme ci-dessus. Un sous-A-module M⁰ de M est un sous- A[X]-module si et seulement si M⁰ est stable par u, c’est-`a-dire si l’on a u(M⁰) ⊂ M⁰; M⁰ a un suppl´ementaire en tant que sous-A[X]-module si et seulement si il a un suppl´ementaire M⁰⁰ en tant que sous-A-module qui est aussi stable par u.

Nous utiliserons ce point de vue dans la suite quand A est un corps.

Proposition 0.17 Soient E un espace vectoriel sur un corps K et u un endomorphisme de E. Les conditions suivantes sont ´equivalentes :

(i) E est de dimension finie comme K-espace vectoriel ;

(ii) E est de type fini et de torsion comme K[X]-module (pour la structure d´efinie par u).

Cette proposition montre que les deux notions suivantes co¨ıncident :

- la notion de K-espace vectoriel de dimension finie muni d’un endomor- phisme ;

- la notion de K[X]-module de type fini et de torsion.

Pr´esentation canonique d’un A[X]-module

Cet intertitre renvoie `a la suite exacte de la proposition 0.18 ci-apr`es.

Soit M unA-module. On commence par introduire leA[X]-module, qui sera not´e M[X], dont les ´el´ements sont les “polynˆomes `a coefficients dans M” ; pour cela on copie simplement la d´efinition “formelle” des polynˆomes `a co- efficients dans un anneau.

On consid`ere le A-module M^(N).

On munit cet A-module de la structure A[X]-module d´efinie par l’endomor- phisme

(m₀, m₁, . . . , m_n,0,0, . . .)7→(0, m₀, m₁, . . . , m_n,0,0, . . .) , endomorphisme que l’on note v.

On identifie ensuite leA-moduleM `a un sous-module duA-moduleM^(N) via l’homomorphisme (injectif) de A-modulesm 7→(m,0,0, . . .) que l’on noteι.

Avec ces deux conventions, l’´egalit´e

(m₀, m₁, . . . , m_n,0,0, . . .) =

n

X

k=0

v^k(ι(m_k)) s’´ecrit aussi

(m₀, m₁, . . . , m_n,0,0, . . .) =

n

X

k=0

X^km_k .

Il est donc raisonnable de noterM[X] leA[X]-module (M^(N), v). On constate que l’action de A[X] sur M[X] est simplement donn´ee par la formule

(^X

i

a_iXⁱ)·(^X

j

X^jm_j) = ^X

k

X^k( ^X

i+j=k

a_im_j) .

On suppose `a pr´esent que le A-moduleM est muni d’un endomorphisme u.

On note encore u l’endomorphisme (de A[X]-module)

n

X

k=0

X^km_k 7→

n

X

k=0

X^ku(m_k) du A[X]-moduleM[X].

On introduit ´egalement l’application, de M[X] dansM,

n

X

k=0

X^km_k 7→

n

X

k=0

u^k(m_k),

u^k d´esignant le k-i`eme it´er´e de u, application que l’on note ε. Il est clair qu’elle estA-lin´eaire. On v´erifie qu’elle est en faitA[X]-lin´eaire, si l’on munit le A-module M de la structure de A[X]-module d´efinie par u. (Ceci revient

`

a v´erifier que le diagramme

M^(N) −−−→^ε M





 y

v





 y

u

M^(N) −−−→^ε M est commutatif.)

Nous voici enfin arriv´es `a l’´enonc´e que nous avions en vue :

Proposition 0.18.SoitM un A-module muni d’un endomorphismeu; ou ce qui revient au mˆeme, soitM un A[X]-module. Alors la suite deA[X]-modules et d’homomorphismes de A[X]-modules

0 −−−→ M[X] −−−−→^XId−u M[X] −−−→^ε M −−−→ 0 est exacte.

(La notation Id d´esigne ci-dessus l’identit´e du A[X]-module M[X].)

D´emonstration.L’homomorphismeεest bien surjectif ; en effet, l’application compos´eeε◦ιest l’identit´e deM. On montre que l’homomorphismeXId−u est injectif par un argument de “degr´e” : un ´el´ement non nul deM[X] est de la forme ^Pn_k=0X^km_k avec m_n 6= 0 et l’on a

(XId−u)(

n

X

k=0

X^km_k) =Xⁿ⁺¹m_n +

n

X

k=0

X^k(m_k−1−u(m_k))

(avec la convention m−1 = 0). Il reste `a montrer que l’image de XId−u est

´

egale au noyau deε: Im(XId−u) = Ker(ε). L’inclusion Im(XId−u)⊂Ker(ε) est cons´equence de l’´egalit´e ε◦(XId−u) = 0 (que le lecteur v´erifiera). On se convainc de l’inclusion Ker(ε)⊂Im(XId−u) en observant que l’on a

n

X

k=0

X^kmk =

n

X

k=1

(X^kId−u^k)(mk)

si^Pn_k=0X^km_k appartient au noyau deεet que le second membre est toujours dans l’image de Im(XId−u) puisque l’on a

X^kId−u^k = (XId−u)◦ ^X

i+j=k−1

Xⁱu^j .

A-modules annul´es par I et A/I-modules

Soit I un id´eal de A. Soit M unA-module ; on dit que M est annul´e par I, si l’on a ax= 0 pour toutadansI et toutxdansM. Dans ce cas l’action de A sur M induit une action de A/I sur M qui fait de M (plus pr´ecis´ement, du groupe ab´elien sous-jacent au A-moduleM) un A/I-module.

R´eciproquement, soit M un A/I-module ; M peut ˆetre consid´er´e comme un A-module via l’homomorphisme d’anneaux canonique A → A/I et cet A- module est annul´e par I.

Le lecteur se convaincra que ce qui pr´ec`ede montre que les deux notions suivantes co¨ıncident :

- la notion de A-module annul´es par I; - la notion de A/I-module.

Exemples

- La notion de groupe ab´elien annul´e par pco¨ıncide avec celle de Z/p-espace vectoriel.

- La notion de C-espace vectoriel co¨ıncide avec celle de R-espace vectoriel muni d’un endormorphisme u v´erifiant u² = −Id (Id d´esignant l’identit´e du R-espace vectoriel en question).

1. D´ecomposition canonique d’un module de torsion sur un anneau principal

Soient A un anneau et I, J deux id´eaux de A; si I est contenu dans J on dispose d’un homomorphisme d’anneaux canonique A/I → A/J. En parti- culier, soient a₁, a₂, . . . , a_ndes ´el´ements de Aet a=^Qn_i=1a_i leur produit ; on dispose alors d’homomorphismes d’anneaux A/a → A/a_i et de l’homomor- phisme d’anneaux produit A/a → ^Qn_i=1A/a_i (attention, le mot produit n’a pas ici le mˆeme sens que deux lignes plus haut !).

Th´eor`eme 1.1 (Th´eor`eme des restes chinois). Soit A un anneau principal.

Soient a₁, a₂, . . . , a_n des ´el´ements de A premiers entre eux deux `a deux ; soit a=^Qn_i=1a_i leur produit. Alors l’homomorphisme d’anneaux naturel :

A/a→

n

Y

i=1

A/ai

est un isomorphisme.

D´emonstration. On proc`ede par r´ecurrence sur n. On est ramen´e ainsi `a d´emontrer le th´eor`eme pour n = 2. Dans ce cas on consid`ere une “identit´e de Bezout” u₁a₁+u₂a₂ = 1. On pose e₁ =u₂a₂, e₂ =u₁a₁. On a :

- a₁e₁ ≡0 (mod a) et a₂e₂ ≡0 (mod a) ;

-e²₁ ≡e₁ (mod a),e²₂ ≡e₂ (mod a),e₁e₂ ≡0 (mod a),e₁+e₂ ≡1 (mod a) ; (On a en fait e1 +e2 = 1, la troisi`eme congruence est ´evidente, et les deux premi`eres congruences sont cons´equence des deux derni`eres.)

- e₁ ≡1 (mod a₁),e₁ ≡0 (mod a₂),e₂ ≡0 (mod a₁), e₂ ≡1 (mod a₂).

Les congruences ci-dessus montrent que l’application A×A→A, (x₁, x₂)7→

x₁e₁ +x₂e₂, induit un homomorphisme d’anneaux A/a₁ ×A/a₂ → A/a qui est inverse, `a droite et `a gauche, de l’homomorphisme canonique A/a →

A/a₁ ×A/a₂.

Corollaire 1.2. Il existe des ´el´ements e_i de A, 1≤i≤n, bien d´etermin´es mod a, tels que l’on a :

n

X

i=1

ei ≡1 (mod a) , ei ≡δij (mod aj) , aiei ≡0 (mod a) .

(La notation δ_ij ci-dessus d´esigne le symbole de Kronecker, valant 1 pour i=j et 0 pour i6=j.)

D´emonstration.Consid´erer les images r´eciproques par l’isomorphismeA/a∼=

Qn

i=1A/a_i des ´el´ements de ^Qn_i=1A/a_i dont l’une des composantes est un et

les autres z´ero.

Variante de la d´emonstration du th´eor`eme 1.1 et du corollaire 1.2

On pose b_i = ^Q_j6=ia_j; les b_j sont premiers entre eux dans leur ensemble.

D’apr`es Bezout il existe des u<sub>i</sub> tel que l’on a <sup>Pn</sup><sub>i=1</sub>u<sub>i</sub>b<sub>i</sub> = 1. On prend alors e<sub>i</sub> =u<sub>i</sub>b<sub>i</sub> ce qui permet de d´emontrer le th´eor`eme 1.1 et le corollaire 1.2 sans r´ecurrence.

Soient a un ´el´ement d’un anneau A et M un A-module ; on note M(a) le sous-module de M form´e des ´el´ements x v´erifiant ax= 0.

Proposition 1.3. Soit A un anneau principal. Soient a₁, a₂, . . . , a_n des ´el´e- ments de A premiers entre eux deux `a deux ; soit a = ^Qn_i=1a_i leur produit.

Alors, pour tout A-module M, le sous-module M(a) est somme directe des sous-modules M(a_i) :

M(a) =

n

M

i=1

M(a_i) .

D´emonstration.On consid`ere les ´el´ementse_i deAfournis par le corollaire 1.2.

On note ε_i l’endomorphismex7→e_ixdeM(a) ; par d´efinition mˆeme deM(a) cet endomorphisme est ind´ependant du choix de e_i mod a. La proposition r´esulte des points suivants :

- L’endomorphisme ^Pn_i=1ε_i est l’identit´e deM(a) (ceci est cons´equence de la congruence ^Pn_i=1e_i ≡1 (mod a)).

- L’image deεiest contenue dansM(ai) (ceci est cons´equence de la congruence a_ie_i ≡0 (mod a)).

- On a ε_i(x) = δ_ijx si x appartient `a M(a_j) (ceci est cons´equence de la

congruence ei ≡δij (mod aj)).

Exercice 1.4 (Condition n´ecessaire et suffisante pour qu’un endomorphisme soit diagonalisable).

Soit E un espace vectoriel K muni d’un endomorphismeu. Montrer (`a l’aide de la proposition 1.3) que les deux conditions suivantes sont ´equivalentes : (i) L’endomorphisme u est diagonalisable.

(ii) Il existe un polynˆome P de K[X] qui se factorise en (X−λ₁)(X −λ₂) . . .(X−λ_r),λ₁, λ₂, . . . , λ_r d´esignant des ´el´ements deux `a deux distincts de K, tel que l’on a P(u) = 0.

Soit M un module de torsion sur un anneau principalA. Soit π un ´el´ement irr´eductible de A; on note M_(π) le sous-module de M form´e des ´el´ements annul´es par une puissance de π (on prendra garde de ne pas confondre les notations M_(π) etM(π) !).

Proposition 1.5. Un module M de torsion sur un anneau principal A est somme directe de ses sous-modulesM_(π),πd´ecrivant un syst`eme repr´esentatif P d’´el´ements irr´eductibles de A :

M = ^M

π∈P

M_(π) .

On dit que M_(π) est lacomposante π-primaire de M ou la π-composante du module de torsion M. Si l’on a M =M_(π) on dit queM est un π-module.

D´emonstration de la proposition 1.5. Soit x un ´el´ement de M. Puisque M est de torsion il existe un ´el´ement non nul a de A tel que l’on a ax = 0.

On consid`ere la d´ecomposition en facteurs irr´eductibles de a dans A, a = u π₁^v1π₂^v2. . . π_r^vr, u d´esignant un ´el´ement inversible et π₁, π₂, . . . , π_r des

´

el´ements irr´eductibles deux `a deux distincts. D’apr`es 1.3 x s’´ecrit ^Pr_i=1x_i avec π_i^vix_i = 0. Ceci montre que M est la somme des M_(π), π d´ecrivant un syst`eme repr´esentatif d’´el´ements irr´eductibles de A. La proposition 1.3 montre ´egalement que cette somme est directe. En effet, celle-ci entraˆıne que si l’on a<sup>Pr</sup><sub>i=1</sub>x<sub>i</sub> = 0 avec π<sup>v</sup><sub>i</sub><sup>i</sup>x<sub>i</sub> = 0,π<sub>1</sub>, π<sub>2</sub>, . . . , π<sub>r</sub> d´esignant des ´el´ements irr´eductibles deux `a deux distincts etv_i des entiers naturels, alors on ax_i = 0

pour tout i.

2. Structure des modules de type fini sur un anneau principal 2.1. Sous-modules des modules libres de dimension finie

Th´eor`eme 2.1.1 (Th´eor`eme de la base adapt´ee).Soit A un anneau princi- pal. Soient L un A-module libre de dimension finie n et L⁰ un sous-module de L. Alors :

(a) Le sous-module L⁰ est un A-module libre de dimension ≤n.

(b) Il existe une base {e₁, e₂, . . . , e_n} de L, un entier r≤n, et des ´el´ements non nuls a₁, a₂, . . . , a_r de A tels que {a₁e₁, a₂e₂, . . . , a_re_r} est une base de L⁰ et que ak divise ak+1 pour 1≤k ≤r−1.

(Le nom “Th´eor`eme de la base adapt´ee” sous lequel est connu le r´esultat ci-dessus fait bien sˆur r´ef´erence au point (b).)

Comme on va le voir, la d´emonstration du point (b) est plus subtile que celle du point (a). . . ce qui est logique puisque le point (b) pr´ecise substantielle- ment le point (a).

On utilise dans les deux cas le lemme tr`es ´el´ementaire suivant dont la v´erifi- cation est laiss´ee au lecteur :

Lemme 2.1.2. SoientA un anneau etM unA-module. Soienteun ´el´ement de M et u : M → A une application A-lin´eaire, tels que l’on a u(e) = 1.

Alors :

- Le sous-module Ae de M est libre de dimension 1, de base {e}.

- Les sous-modules Ae et Keru de M sont en somme directe : M =Ae⊕Keru .

D´emonstration du point (a) du th´eor`eme 2.1.1

On proc`ede par r´ecurrence sur la dimensionndeL. On en vient tout de suite

`

a la description du pas de r´ecurrence puisqu’il n’y a rien `a d´emontrer pour n = 0 (le lecteur mal `a l’aise devant l’ensemble vide pourra commencer la r´ecurrence `a n=1 !).

On suppose n ≥ 1. Soit {ε1, ε2, . . . , εn} une base de L. On note L0 le sous- module deLengendr´e par{ε₁, ε₂, . . . , εn−1};L₀ est unA-module libre de di- mensionn−1 (de base{ε₁, ε₂, . . . , εn−1}). On peut voir ´egalementL₀ comme

le noyau de la n-i`eme forme cordonn´ee, c’est-`a-dire l’application A-lin´eaire ε^∗_n :L→A d´efinie par ε^∗_n(ε_i) = δ_ni.

SiL⁰ est contenu dans L₀ c’est termin´e. En effet par hypoth`ese de r´ecurrence L⁰ est libre de dimension ≤n−1.

Si L⁰ n’est pas contenu dans L₀ on consid`ere l’intersection L<sup>0</sup><sub>0</sub> = L<sub>0</sub><sup>T</sup>L<sup>0</sup>. A nouveau, on peut voirL<sup>0</sup><sub>0</sub>comme le noyau de la restriction deε<sup>∗</sup><sub>n</sub>`aL⁰. L’image ε^∗_n(L⁰) de cette restriction est un sous-module de A, en d’autres termes un id´eal. Comme A est principal ε^∗_n(L⁰) s’´ecrit Aa_n,a_n d´esignant un ´el´ement de A; a_n est non nul puisque L⁰ n’est pas contenu dansL₀. On conclut `a l’aide du lemme 2.1.2. On prend pour M le sous-module L<sup>0</sup>, pour u : L<sup>0</sup> → A la forme lin´eaire d´efinie par ε<sup>∗</sup><sub>n</sub>(x) =a<sub>n</sub>u(x) et pour e un ´el´ement ε<sup>0</sup><sub>n</sub> de L<sup>0</sup> avec ε<sup>∗</sup><sub>n</sub>(ε<sup>0</sup><sub>n</sub>) = a<sub>n</sub> (il existe un tel ´el´ement puisque par d´efinition a<sub>n</sub> appartient `a ε^∗_n(L⁰)). Le lemme 2.1.2 nous dit que l’on a L⁰ = L⁰₀ ⊕Aε⁰_n et que le sous- module Aε⁰_n est libre de dimension 1 ; comme, par hypoth`ese de r´ecurrence, L⁰₀ est libre de dimension ≤n−1, L⁰ est bien libre de dimension ≤n.

D´emonstration du point (b) du th´eor`eme 2.1.1

Nous allons bˆatir notre d´emonstration sur le lemme 2.1.3 ci-dessous. Nous donnons trois versions de ce lemme ´etiquet´ees (a), (b) et (c) ; il est tr`es facile de v´erifier que ces versions se d´eduisent l’une de l’autre...ce que le lecteur ne manquera pas de faire.

Lemme 2.1.3.Soit A un anneau principal. Soient M et N deuxA-modules et ϕ:M ×N →A une application A-bilin´eaire.

(a) Alors l’image de ϕ est un id´eal de A.

(b)Alors il existe un ´el´ement(x₀, y₀)deM×N tel queϕ(x₀, y₀)diviseϕ(x, y) pour tout (x, y) dans M ×N.

(c) Soient I l’id´eal de A engendr´e par l’image de ϕ et d un ´el´ement de A tel que l’on a I = Ad, alors il existe un ´el´ement (x₀, y₀) de M ×N avec d=ϕ(x₀, y₀).

La d´emonstration du lemme 2.1.3 est renvoy´ee au paragraphe 4. On explique en attendant comment la version (b) du lemme 2.1.3 permet de construire une “base adapt´ee”.

On proc`ede encore par r´ecurrence sur la dimensionndeL. Il suffit `a nouveau d’expliquer le pas de r´ecurrence puisqu’il n’y a toujours rien `a d´emontrer pour n = 0.

On consid`ere donc la version (b) du lemme 2.1.3. On prend pourM le dual de L, c’est-`a-dire le A-module L^∗ = Hom_A(L, A) form´e des applications A- lin´eaires deLdansA, pourN le sous-moduleL⁰ deLet pour ϕl’application L^∗ ×L⁰ → A, (λ, x⁰) 7→ λ(x⁰). La version (b) du lemme 2.1.3 nous dit qu’il existe u₁ dans L^∗ ete⁰₁ dans L⁰ tels que :

(D) L’´el´ement a1 =u1(e⁰₁) de A divise λ(x⁰) pour tout λ dans L^∗ et tout x⁰ dans L⁰.

Ceci implique que tout ´el´ement x⁰ de L⁰ s’´ecrit a₁x avecx dans L. En effet, soient{ε1, ε2, . . . , εn}une base deL, alorsx⁰s’´ecrit^Pn_i=1ε^∗_i(x⁰)εi,ε^∗₁, ε^∗₂, . . . , ε^∗_n d´esignant les formes coordonn´ees associ´ees `a cette base et d’apr`es (D) les ε^∗_i(x⁰) sont tous divisibles para₁.

Comme le cas L⁰ = 0 est trivial, on suppose ci-dessous L⁰ 6= 0. Dans ce cas a₁ est non nul et l’´ecriturex⁰ =a₁x ´evoqu´ee ci-dessus est unique.

On a en particulier e⁰₁ =a₁e₁ avec e₁ dans L. L’´egalit´e u₁(e⁰₁) = a₁ entraˆıne u₁(e₁) = 1. Le lemme 2.1.2 nous dit que les sous-modules Ae₁ et Keru₁ deL sont en somme directe :

L=Ae₁ ⊕Keru₁

(et queAe₁ est libre de dimension 1, de base{e₁}). De mˆeme, soitu⁰₁ :L⁰ →A l’application A-lin´eaire d´efinie par u₁(x⁰) =a₁u⁰₁(x⁰) (pour justifier une telle

´

ecriture on peut `a nouveau invoquer (D)), on a encore u⁰₁(e⁰₁) = 1. Les sous- modules Ae⁰₁ et Keru⁰₁ de L⁰ sont donc en somme directe :

L⁰ =Ae⁰₁⊕Keru⁰₁ (et Ae⁰₁ est libre de dimension 1, de base {e⁰₁}).

On observe que Keru₁ est un A-module libre de dimension n−1. En effet, on sait d´ej`a d’apr`es le point (a) du th´eor`eme 2.1.1 que c’est un A-module libre de dimension finie et l’on se convainc facilement de l’´egalit´e

dim(Ae₁⊕Keru₁) = 1 + dim(Keru₁) ,

dim( ) d´esignant la dimension d’un A-module libre de dimension finie. On observe ´egalement que l’on a Keru⁰₁ ⊂Keru₁. On peut donc appliquer l’hy- poth`ese de r´ecurrence : Il existe une base {e₂, . . . , e_n} de Keru₁, un entier

r ≤n, et des ´el´ements non nulsa₂, . . . , a_r de A tels que {a₂e₂, . . . , a_re_r} est une base de Keru⁰₁et quea_idivisea_i+1pour 2≤i≤r−1. Il r´esulte alors de ce qui pr´ec`ede que {e1, e2, . . . , en} et {a1e1, a2e2, . . . , arer} sont respectivement des bases de L et L<sup>0</sup>. Pour achever la d´emonstration il suffit de v´erifier que a<sub>1</sub> divise a<sub>2</sub>. Ceci r´esulte toujours de (D) : On a a<sub>2</sub> = e<sup>∗</sup><sub>2</sub>(a<sub>2</sub>e<sub>2</sub>), e<sup>∗</sup><sub>2</sub> : L → A d´esignant la deuxi`eme forme coordonn´ee associ´ee `a la base{e1, e2, . . . , en}de

L, et a₂e₂ appartient `a L⁰.

Corollaire 2.1.4.Pour qu’un sous-moduleL⁰ d’un module libreL de dimen- sion finie sur un anneau principal A admette un suppl´ementaire, il faut et il suffit que le A-module quotient L/L⁰ soit sans torsion. En particulier, pour que le sous-module Ax, engendr´e par un ´el´ement non nul x de L, admette un suppl´ementaire, il faut et il suffit que x soit “primitif”, c’est-`a-dire que

“x=ay avec a∈A et y∈L” implique “a∈A^×”.

Corollaire 2.1.5. Tout sous-module d’un module de type fini sur un anneau principal est aussi de type fini.

D´emonstration.SoientAun anneau,M unA-module etM⁰ un sous-module.

Si M est de type fini il existe un A-module libre de dimension finie L et un homomorphisme de A-modules surjectif ε : L → M (voir Proposition 0.5).

On pose L⁰ = ε⁻¹(M⁰), on observe que L⁰ est un sous-module de L et que l’homomorphisme induitL⁰ →M⁰est encore surjectif ; siAest principal alors L⁰ est un A-module libre de dimension finie (Th´eor`eme 2.1.1 (a)) et M⁰ est

donc de type fini.

2.2. Th´eor`emes de structure

Th´eor`eme 2.2.1 (Th´eor`eme de structure).Tout module de type fini sur un anneau principal A est isomorphe `a une somme directe de modules de la forme A/Ik, en nombre fini m, o`u les Ik sont des id´eaux de A, tels que l’on a I₁ ⊂I₂ ⊂. . .⊂I_m 6=A.

D´emonstration. Soit M un A-module. Si M est de type fini il existe un A-module libre de dimension finie L et un homomorphisme de A-modules surjectif ε : L → M (voir Proposition 0.5). On pose L⁰ = Kerε; on a donc un isomorphisme M ∼=L/L⁰. En utilisant le th´eor`eme de la base adapt´ee on obtient un isomorphisme de A-modules

M 'A/Aa₁⊕A/Aa₂⊕ · · · ⊕A/Aa_r⊕A^n−r avec a_k 6= 0 pour 1≤k ≤r eta_k|a_k+1 pour 1 ≤k≤r−1.

Si l’on a Aa_k = A pour tout k on prend m = n−r, I₁ = 0, I₂ = 0, . . . , I_m = 0. S’il existe k avec Aa_k 6= A on note s le plus petit entier tel que l’on a Aas 6= A et l’on prend m = n−s+ 1, I1 = 0, I2 = 0, . . . , In−r = 0,

In−r+1 =Aa_r, . . . ,I_m =Aa_s.

Corollaire 2.2.2. Tout module de type fini sur un anneau principal est somme directe de son sous-module de torsion et d’un module libre.

Corollaire 2.2.3. Sur un anneau principal tout module sans torsion et de type fini est un module libre de dimension finie.

Contre-exemple. LeZ-module Q qui est sans torsion n’est pas libre.

Corollaire 2.2.4. Tout module de type fini sur un anneau principal est une somme directe finie de modules isomorphes `a A ou `a un module de la forme A/π^k o`u π est un ´el´ement irr´eductible de A et k un entier ≥1.

Exemples. Consid´erer les cas A = Z et A = K[X], K d´esignant un corps alg´ebriquement clos.

Questions d’unicit´e

Proposition 2.2.5. Soit A un anneau. Soit

I₁ ⊂I₂ ⊂. . .⊂I_k ⊂. . .⊂I_m 6=A

un suite croissante finie d’id´eaux de A, distincts de A. Soit enfin M le A-module somme directe des A-modules A/Ik :

M =

m

M

k=1

A/Ik .

Alors :

- L’id´eal I_k (1 ≤ k ≤ m) est form´e des ´el´ements a de A tels que pour tout A-module N et toute application k-A-lin´eaire altern´ee ϕ : M^k → N, l’application aϕ est nulle.

- Pour k > m, toute application k-A-lin´eaire altern´ee, d´efinie sur M^k, est nulle et m est le plus petit entier ayant cette propri´et´e ; c’est aussi le nombre minimum de g´en´erateurs de M.

D´emonstration. Soit e_k (1≤k ≤m) l’´el´ement de M dont la k-i`eme compo- sante est la classe de 1 dans A/Ik et les autres composantes z´ero ; pour tout (x₁, x₂, . . . , x_k) dansM^k,ϕ(x₁, x₂, . . . , x_k) est combinaison lin´eaire d’´el´ements deN de la formeϕ(e_i1, e_i2, . . . , e_ik) aveci₁ < i₂ < . . . < i_k et par cons´equent ik ≥k, on a doncaei_k = 0 etaϕ= 0 pour tout a dans Ik.

D’autre part, soientpl’application naturelleM →(A/I_k)^k, ∆ : ((A/I_k)^k)^k→ A/I_kl’application d´eterminant, etϕ₀ :M^k →A/I_k l’applicationk-A-lin´eaire altern´ee d´efinie par

ϕ₀(x₁, x₂, . . . , x_k) = ∆(p(x₁), p(x₂), . . . , p(x_k)) .

On a par construction ϕ₀(e₁, e₂, . . . , e_k) = ¯1 (cette notation d´esigne la classe de 1 dans A/Ik), ce qui montre queaϕ0 = 0 implique a∈Ik. La proposition 2.2.5 montre que l’entiermet les id´eauxI_kdu th´eor`eme 2.2.1 sont uniques :

Th´eor`eme 2.2.6(Th´eor`eme de structure avec unicit´e).Tout module de type fini sur un anneau principalAest isomorphe `a une somme directe de modules de la forme A/Ik, en nombre fini m, o`u les Ik sont des id´eaux de A, tels que l’on a I₁ ⊂ I₂ ⊂ . . . ⊂ I_m 6= A. Ces id´eaux et l’entier m sont uniquement d´etermin´es.

D´efinition 2.2.7.SoitM un module de type fini sur un anneau principal A.

Les id´eaux I₁, I₂, . . . , I_m de A, avec I₁ ⊂I₂ ⊂. . .⊂I_m 6=A, tels que l’on a M 'A/I₁⊕A/I₂⊕. . .⊕A/I_m

s’appellent les id´eaux (ou les facteurs) invariants de M. L’id´eal produit I₁I₂. . . I_m s’appelle l’id´eal caract´eristique de M et se note χ(M).

Remarque 2.2.8. On revient sur le th´eor`eme de la base adapt´ee.

Si l’on a Aa_k = A pour tout k la suite des id´eaux invariants du A-module quotient L/L⁰ (qui est libre de dimension n−r) est 0 ⊂0⊂. . .⊂ 0, l’id´eal 0 apparaˆıssantn−rfois dans cette suite. S’il existe k avecAa_k6=A la suite des id´eaux invariants de L/L⁰ est la suivante :

0⊂0⊂. . .⊂0⊂Aa_r ⊂Aa_r−1 ⊂. . .⊂Aa_s ,

0 apparaˆıssantn−rfois au d´ebut de cette suite etsd´esignant, comme dans la d´emonstration du th´eor`eme 2.2.1, le plus petit entier tel que l’on aAas6=A.

Ceci entraˆıne qu’il existe aussi une “version avec unicit´e” du th´eor`eme de la base adapt´ee.

L’´enonc´e suivant r´esulte de la d´efinition mˆeme de l’id´eal caract´eristique d’un module de type fini sur un anneau principal :

Proposition 2.2.9.Soit M un module de type fini sur un anneau principal.

Les deux conditions suivantes sont ´equivalentes : (i) le module M est de torsion ;

(ii) l’id´eal caract´eristique χ(M) est non nul.

Exemple 2.2.10.SoitM un groupe ab´elien fini ;M est donc un Z-module de type fini et de torsion. L’id´eal caract´eristique deM est l’id´eal de Zengendr´e par le cardinal de M.

3. Applications lin´eaires entre modules libres de dimension finie sur un anneau principal

Cas g´en´eral

Th´eor`eme 3.1.SoitA un anneau principal. Soitf :L⁰ →Lune application A-lin´eaire entre deux A-modules libres de dimension finie ; soient n⁰ la di- mension de L⁰ et n celle de L. Alors il existe, une base E⁰ ={e⁰₁, e⁰₂, . . . , e⁰_n0} de L⁰ et une base E ={e₁, e₂, . . . , e_n} de L, un entier r ≥ 0 et des ´el´ements non nuls a₁, a₂, . . . , a_r de A, avec a_k divisant a_k+1 pour 1 ≤ k ≤r−1, tels que l’on a f(e⁰_j) = a_je_j pour 1 ≤ j ≤ r et f(e⁰_j) = 0 pour j > r, autrement dit tels que la matrice de f dans les bases E⁰ et E a la forme suivante :





























a₁ 0 0 · · · 0 0 a₂ 0 · · · 0

... . .. ...

ar

0 . ..

0 0 · · · 0





























.

D´emonstration.On commence par appliquer le th´eor`eme de la base adapt´ee au sous-module Imf (que l’on note aussi f(L<sup>0</sup>)). Ce th´eor`eme nous dit qu’il existe une base E = {e₁, e₂, . . . , e_n} de L, un entier r ≤ n, et des ´el´ements non nulsa₁, a₂, . . . , a_rdeA, aveca_k divisanta_k+1pour 1≤k ≤r−1, tels que {a₁e₁, a₂e₂, . . . , a_re_r} est une base de Imf. On choisit ensuite des ´el´ements e⁰_k, 1≤k ≤r, de L⁰ avecf(e⁰_k) =a_ke_k et on consid`ere le sous-module L⁰⁰ de L⁰ qu’ils engendrent. On v´erifie alors les points suivants :

- Le A-moduleL⁰⁰ est libre de base {e⁰₁, e⁰₂, . . . , e⁰_r}.

- Les sous-modules L⁰⁰ et Kerf sont en somme directe : L⁰ =L⁰⁰⊕Kerf.

(Pour le premier, on peut introduire l’application A-lin´eaire g : Imf → L⁰ d´efinie par g(a_ke_k) = e⁰_k et observer que f et g induisent des applications A-lin´eairesL⁰⁰→Imf et Imf →L⁰⁰inverses l’une de l’autre. Pour le second, on constate d’une part que si un ´el´ement x⁰ deL⁰ s’´ecritx⁰⁰+y avecx⁰⁰ ∈L⁰⁰ ety∈Kerf alors on ax⁰⁰ =g(f(x⁰)) ety=x⁰−g(f(x⁰)) et d’autre part que g(f(x⁰)) et x⁰−g(f(x⁰)) appartiennent bien respectivement `aL⁰⁰ et Kerf.)