St. Joseph/ICAM Toulouse CB9 - 2019-2020 - Correction
CB n
◦9 - COURBES PLANES - Sujet 1
Exercice 1
Etudier et tracer la courbe paramétrée :
x(t) = 1
t + ln(2 +t) y(t) =t+1
t
, t∈]−2; +∞[\ {0}
On donneln 2'0,7etln 3'1,1
On a :
x0(t) = (t−2)(t+ 1) (t+ 2)t2 y0(t) = t2−1
t2
. On en déduit le tableau de variations suivant (les valeurs sont ar- rondies :
La courbe admet une tangente horizontale en 1, une tangente verticale en 2.
Etude du point singulier (t=−1) : x(−1 +h) = −1
1−h + ln(1 +h) =−1−3 2h2−2
3h3+o(h3) y(−1 +h) =h−1− 1
1−h =−2−h2−h3+o(h3).
On en déduit que la courbe admet ent=−1un rebroussement de première espèce.
Etude des branches infinies :
En -2 : La courbe admet une asymptote d’équationy= −5 2 ; En +∞ : y
x ∼
+∞
t
ln(t) −→ +∞ (par croissances comparées) donc la courbe admet une branche parabolique de direction(Oy);
En 0 : y x ∼
0 1 et y(t) −x(t) = t−ln(2 +t) −→
t→0 −ln(2) donc la courbe admet une asymptote d’équationy =x−ln(2).
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Exercice 2
Déterminer une représentation paramétrique de la développée de la courbe d’équation y= (1−x)3. Une représentation paramétrique de la courbe est donnée par :
x(t) =t y(t) = (1−t)3 On a donc :
x0(t) = 1
y0(t) =−3(1−t)2 ,
x00(t) = 0
y00(t) = 6(1−t) ,
puis avec les formules du cours, une représentation paramétrique de la développée, pour t6= 1 :
X(t) = 1 2 +1
2t+9
2(1−t)5 Y(t) = 1
6(1−t) +5
2(1−t)3
Exercice 3
Déterminer, à l’aide de l’inclinaison, le rayon de courbure en tout point de la courbe paramétrée :
x(t) = sin2t+ ln(cost) y(t) = sin(2t)
2
t∈i 0,π
4 h
On a pour toutt∈i 0,π
4 h
:
x0(t) = 2 sintcost− sint
cost = sint(2 cos2t−1)
cost = sint cos(2t) cost y0(t) = cos(2t)
Ainsi, en notantsl’abscisse curviligne, etα l’inclinaison, on a : ds
dt =p
x02+y2 = s
cos2(2t)
sin2t cos2t + 1
= cos(2t)
cost pourt∈i 0,π
4 h
, et tanα= y0
x0 = cost sint = tan
π 2 −t
. Ainsi, dα
dt =−1, puisR= ds dα = ds
dt × dt
dα =−cos(2t) cost .
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CB n
◦9 - COURBES PLANES - Sujet 2
Exercice 1
Etudier et tracer la courbe paramétrée :
x(t) =t+ 1 t y(t) = 1
t + 2 ln(1 +t)
, t∈]−1; +∞[\ {0}
On donneln 2'0,7
On a :
x0(t) = t2−1 t2
y0(t) = (t−1)(2t+ 1) (t+ 1)t2
. On en déduit le tableau de variations suivant (avec des valeurs arrondies :
La courbe admet une tangente horizontale en −1 2. Etude du point singulier (t= 1) :
x(1 +h) = 1 +h+ 1
1 +h = 2 +h2−h3+o(h3) y(1 +h) = 1
1 +h + 2 ln((2 +h) = 1 + 2 ln(2) +3
4h2−11
12h3+o(h3).
On en déduit que la courbe admet ent= 1un rebroussement de première espèce.
Etude des branches infinies :
En -1 : La courbe admet une asymptote d’équationx=−2; En+∞: y
x ∼
+∞
2 ln(t)
t −→0(par croissances comparées) donc la courbe admet une branche para- bolique de direction (Ox);
En 0 : y x ∼
0 1ety(t)−x(t) = 2 ln(1 +t)−t−→
t→0 0donc la courbe admet une asymptote d’équation y =x.
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Exercice 2
Déterminer une représentation paramétrique de la développée de la courbe d’équation y= (2−x)3. Une représentation paramétrique de la courbe est donnée par :
x(t) =t y(t) = (2−t)3 On a donc :
x0(t) = 1
y0(t) =−3(2−t)2 ,
x00(t) = 0
y00(t) = 6(2−t) ,
puis avec les formules du cours, une représentation paramétrique de la développée, pour t6= 2 :
X(t) = 1 +1 2t+9
2(2−t)5 Y(t) = 1
6(2−t) +5
2(2−t)3
Exercice 3
Déterminer, à l’aide de l’inclinaison, le rayon de courbure en tout point de la courbe paramétrée : x(t) = cos(2t) + 2 ln(sint)
y(t) = sin(2t) t∈i
0,π 4 h
On a pour toutt∈i 0,π
4 h
:
x0(t) =−2 sin(2t) +2 cost
sint =−2 sintcost+ 2cost
sint = 2 cost(1−2 sin2t)
sint = 2 cost cos(2t) sint y0(t) = 2 cos(2t)
Ainsi, en notantsl’abscisse curviligne, etα l’inclinaison, on a : ds
dt =p
x02+y2 = s
4 cos2(2t)
cos2t sin2t + 1
= 2 cos(2t)
sint pourt∈i 0,π
4 h
, et tanα= y0
x0 = sint
cost = tant.
Ainsi, dα
dt = 1, puisR= ds dα = ds
dt × dt
dα = 2 cos(2t) sint .
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