St. Joseph/ICAM Toulouse
CB n
◦10 - SURFACES - Sujet 1
Exercice 1 :
Déterminer une équation cartésienne du cylindreΣde direction−→u
1 1 0
et de directriceΓdéfinie par :
t∈R7→
x(t) = cost y(t) = sint z(t) =t
.
On a donc :
M(x, y, z)∈Σ⇔ ∃(λ, t)∈R2/
cost=x+λ sint=y+λ t=z On élimine facilementt, ce qui donne :
cosz=x+λ sinz=y+λ . Tout aussi facilement, on élimineλ, et on obtient enfin :
cosz−sinz=x−y.
Exercice 2
Déterminer une équation cartésienne du côneCde sommetS(1,0,1)et de directriceΓ:
x=t y=t2 z=t−t2
, t∈R.
On obtient tout d’abord une paramétrisation deC en remarquant que : M ∈C ⇔ ∃N ∈Γ, ∃λ∈R/−−→
SM=λ−−→ SN
⇔ ∃(t, λ)∈R2/−−→ 0M =−→
OS+λ−−−−→ SN(t)
⇔ ∃(t, λ)∈R2/
x(t, λ) = 1 +λ(t−1) y(t, λ) =λt2
z(t, λ) = 1 +λ(t−t2−1)
Il suffit ensuite d’éliminer les paramètrest etλet on obtient :
z(t, λ) = 1 +λ(t−1)−λt2⇔z=x−y.
Exercice 3
Soient la courbeC: (x=t, y=t2, z=t3)etS la réunion des droitesTt: tangente àC enM(t).
1. Déterminer un paramétrage deS.
2. Déterminer les points stationnaires deS et, pour les points réguliers, une équation du plan tangent àS.
1. On obtient :
S: (t, u)7→
x(t, u) =t+u y(t, u) =t2+ 2ut z(t, u) =t3+ 3ut2
, (t, u)∈R2.
2. • Pour tout(t, u)∈R2, on a :
∂M
∂t (t, u) =
1 2(t+u) 3t(t+ 2u)
et ∂M
∂u(t,u) =
1 2t 3t2
,
donc la famille ∂M
∂t (t, u),∂M
∂u (t, u)
est de rang 2⇔u6= 0, c’est à dire que les points stationnaires sont les pointsM(t,0)(i.e. les points deC).
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• Soitu6= 0. Le plan tangent àS enM(t, u)admet pour équation :
x−(t+u) 1 1
y−(t2+ 2ut) 2(t+u) 2t z−(t3+ 3ut2) 3t(t+ 2u) 3t2
= 0⇔
x−t 0 1 y−t2 2u 2t z−t3 6tu 3t2
= 0,
et, puisqueu6= 0, on a de manière équivalente :
x−t 0 1 y−t2 1 2t z−t3 3t 3t2
= 0⇔ −3t2x+ 3ty−z+t3= 0.
CB n
◦10 - SURFACES - Sujet 2
Exercice 1 :
Déterminer une équation cartésienne du cylindreΣde direction−→u
1 0
−1
et de directriceΓ définie par :
t∈R7→
x2+y2+z2= 1
x+y= 0 .
On a donc :
M(x, y, z)∈Σ⇔ ∃t∈R/ M+t−→u ∈Γ⇔ ∃t∈R/
(x+t)2+x2+ (x+t)2= 1 x+t+y= 0
On élimine facilementtet on obtient :
2y2+ (x+y+z)2= 1.
Exercice 2
Déterminer une équation cartésienne du côneCde sommetS(1,1,0)et de directrice la courbeΓ :
x2+y2−2x= 0
y=z .
On a :
M ∈C ⇔ ∃N(x0, y0, z0)∈Γ, ∃λ∈R/−−→
SM=λ−−→ SN
⇔ ∃λ∈R/
x−1 =λ(x0−1) y−1 =λ(y0−1) z=λz0
x20+y20−2x0= 0 y0=z0
⇔ ∃λ∈R/
x−1 =λ(x0−1) y−1 =λ(y0−1)
z=λz0=λy0=y−1 +λ (x0−1)2+y02= 1
⇔ ∃λ∈R/
x−1 =λ(x0−1) y−1 =λ(y0−1) z=λy0
λ=z−y+ 1
λ2(x0−1)2+λ2y20=λ2
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En éliminant le paramètre, on obtient :
C: (x−1)2+z2= (z−y+ 1)2
Autre méthode :
Commençons par déterminer une paramétrisation deΓ. On remarque que :
x2+y2−2x= 0⇔(x−1)2+y2= 1,
d’où l’on déduit :
Γ :θ7→
x(θ) = 1 + cosθ y(θ) = sinθ z(θ) = sinθ
, θ∈[0,2π].
On obtient ensuite une paramétrisation deC en remarquant que :
M ∈C ⇔ ∃N ∈Γ, ∃λ∈R/−−→
SM=λ−−→ SN
⇔ ∃(θ, λ)∈[0,2π]×R/−−→ 0M =−→
OS+λ−−−−→
SN(θ)
⇔ ∃(θ, λ)∈[0,2π]×R/
x(θ, λ) = 1 +λcosθ y(θ, λ) = 1 +λ(sinθ−1) z(θ, λ) =λsinθ
Il suffit ensuite d’éliminer les paramètresθ etλet on trouve :
( y= 1 +λ(sinθ−1) = 1 +z−λ (x−1)2+z2=λ2
On obtient ainsi :
C: (y−1−z)2= (x−1)2+z2.
Exercice 3
Montrer que le point A de paramètres (1,1) de la surface S : (x=u+v2, y = u2+v, z = uv) est un point régulier et déterminer une équation cartésienne du plan tangentP à S enA.
• Pour tout(u, v)∈R2, on a :
∂M
∂u (u, v) =
1 2u
v
et ∂M
∂v(u,v) =
2v
1 u
,
ce qui nous donne :
∂M
∂u (1,1) =
1 2 1
et ∂M
∂v(u,v) =
2 1 1
donc la famille ∂M
∂t (1,1),∂M
∂u (1,1)
est de rang 2, doncA est bien un point régulier deS.
• Le plan tangent àS enAadmet pour équation :
P :
x−2 1 2 y−2 2 1 z−1 1 1
= 0⇔
x−1 1 2
y 2 1
z 1 1
= 0⇔x+y−3z−1 = 0.
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