La fonction de répartition

1

Corrigé type de TDN°10 Exercice 01 :

1) X : v.a représente la dose ingérer par l’animale

= 100 , 200 , 300 , 400 , 500 , 600 , 1) La loi de X :

= 100 = ; = 200 = + ; = 300 = +

= 400 = , = 500 = ; = 600 =

Xi 100 200 300 400 500 600 Total

pi 2/21 3/21 6/21 5/21 4/21 1/21 1

2) E(X) et V(X) :

= ∑ ! !"!=300mg

# = $ ²!"!− = 100 . 2

21 + 200². 3 21

! + 300 . 6

21 + 400 . 5

21 + 500 . 4 21 + 600² 1

21 − 300² = 3) La fonction de répartition : (): ℝ → -0,1.

/ → () / = ≤ / = ∑1₂34"!

() / =

56 66 67 66 66

8 0 9: / < 100 2

21 9: 100 ≤ / < 200 21 9: 200 ≤ / < 3005

11

21 9: 300 ≤ / < 400 16

21 9: 400 ≤ / < 500 20

21 9: 500 ≤ / < 600 1 9: / ≥ 600 =6666>

66 66

?

Exercice 02

X : v.a représente le nombre de malades transférés atteints d’un cancer digestif 1) = 1,2,3,4,5,6

7 digestif 5 bronchique

2

Xi 1 2 3 4 5 6 Total

pi @@

A @B

A

C @C A

B @ A

@ @ A

A A

1

2) La fonction de répartition : (): ℝ → -0,1.

/ → (₎ / = ≤ / = ∑₁₂₃₄"_!

() / =

56 66 67 66 66

8 0 9: / < 1 7

924 9: 1 ≤ / < 2 112

924 9: 2 ≤ / < 3 462

924 9: 3 ≤ / < 4 812

924 9: 4 ≤ / < 5 917

924 9: 5 ≤ / < 6 1 9: / ≥ 6 =6666>

66 66

?

4) E(X) et V(X) :

= $ !"! = 1

924 7 + 210 + 1050 + 1400 + 525 + 42 = 3,5

!

3) # = ∑ ²! !"!− = 0,7 Exercice 03:

Ω = 1,1 , 1,2 , … … . , 6,6

I: Ω → 0,1,2,3,4,5, , → | − | 1) La loi de Z :

I = 0 = 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 5,5 , 6,6 = 6 36

I = 1 = 1,2 , 2,1 , 2,3 , 3,2 , 3,4 , 4,3 , 4,5 , 5,4 , 5,6 , 6,5 =10 36 Da la même façon, on calcule le reste des probabilités.

Zi 0 1 2 3 4 5 Total

pi 6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36 1

2) La Fonction de répartition :

3 () / =

56 66 67 66 66

8 0 9: / < 0 6

36 9: 0 ≤ / < 1 16

36 9: 1 ≤ / < 2 24

36 9: 2 ≤ / < 3 30

36 9: 3 ≤ / < 4 34

36 9: 4 ≤ / < 5 1 9: / ≥ =6666>

66 66

?

3) La moyenne et la variance : I = $ K!"!

! =5

3

# I = $ K²!"!− I = 55/18

!

Exercice 04:

M = NO 2 − ∈ -0,2.0 ∉ -0,2.R

1) Calculons a :

f est une fonction de densité⇔ M ≥ 0 T/ U M V = 1 W M V = W M V

X YZ

+ W M V + W M V =

Z X

Z YZ

W M V = W O 2 − V

X X

= -O − O 3 .^{C X}= O [4

3\ = 1 ⇒ O = 3/4.

2) La moyenne est l’écart-type :

= W M V = W M V =

X Z

YZ

W O

X

2 − V = -2O 3 − O^C

B

4 .^X= 1

^ = _# ; # = W ²M V − ² = W ²M V − ²

X Z

YZ

# = W ²O 2 − V − 1 ²

X

=24

20 − 1 =1

5 ⇒ ^ = 1

√5 3) La fonction de répartition : () / = U M V _YZ⁴

4 a: / < 0: (₎ / = 0

a: 0 ≤ / ≤ 2: ∶ () / = W M V

4

YZ

= U M V _YZ^X + U M V = O U 2 − V =_X⁴ _X^{4 C}_B / −⁴_C^c) a: / > 2: ∶ () / = W M V

4 YZ

= W M V

X

= 1

4) −1 < < 1,5 = () 1,5 − () −1 = () 1,5 − 0 = 0,84 Exercice 05:

X\Y 0 1 2 Pi.

-1 a 2a a 4a

0 0 a a 2a

1 2a 0 a 3a

P.j 3a 3a 3a 9a

$ Pf. = $ P.g = 1 ⇒ 9a = 1 ⇒ a = 1/9 2) Les lois marginales :

La loi de X :

Xi -1 0 1 total

Pi 4/9 2/9 3/9 1

La loi de Y :

Yj 0 1 2 total

PJ 3/9 3/9 3/9 1

3) Les moyennes et les variances :

=−1

9 # =62 81 i = 1 # i =6

9 4) La loi de T=X.Y :

j = −2, −1,0,1,2

j = −2 = = −1, i = 2 = 1/9 j = −1 = = −1, i = 1 = 2/9

j = 0 = = −1, i = 0 + = 0, i = 0 + = 1, i = 0

= = 0, i = 1 + = 0, i = 2 = 5/9 j = 1 = = 1, i = 1 = 0

j = 2 = = 1, i = 2 = 1/9

Ti -2 -1 0 1 2 total

Pi 1/9 2/9 5/9 0 1/9 1

La loi de S=X+Y : a = −1,0,1,2,3

a = −1 = = −1, i = 0 =1 9

5

a = 0 = = −1, i = 1 + = 0, i = 0 =2

9 + 0 =2 9

a = 1 = = −1, i = 2 + = 0, i = 1 + = 1, i = 0 =4 9 a = 2 = = 0, i = 2 + = 1, i = 1 =1

9 a = 3 = = 1, i = 2 = 1/9

S -1 0 1 2 3 total

P 1/9 2/9 4/9 1/9 1/9 1

5) L’indépendance entre X et Y :

= −1, i = 0 = 1/9

D’autre part : = −1 i = 0 =^B_k×^C_k≠_k Donc : X et Y ne sont pas indépendantes.