http://alexandre.boisseau.free.fr/Prive/WWW/MathsPCet/td_vad.pdf
TD 20 : Variables aléatoires discrètes
Lois de probabilités discrètes et espérance
Exercice 1(Le problème du collectionneur). Un enfant collectionne des images qu’il trouve dans des tablettes de chocolat. Il en existendifférentes (nÊ1) et on suppose qu’elles sont uniformément présentes dans les différentes tablettes commercialisées. L’objectif de cet exercice est de calculer le nombre moyen de tablettes qu’il faut acheter pour obtenir chacune desnimages. Pour toutk∈ 1,n, on noteXkla variable aléatoire égale au nombre de tablettes qu’il faut acheter pour obtenirkimages différentes.
(a) Reconnaitre les lois deX1,X2−X1,X3−X2,. . .,Xn−Xn−1.
(b) En déduire l’espérance deXnet en donner un équivalent lorsquentend vers l’infini.
Exercice 2(Loi géométrique tronquée). On considère une pièce de monnaie donnant pile avec la probabilitép(0<p<1) et face avec la probabilitéq=1−p. Un joueur lance cette pièce jusqu’à obtenir le côté pile pour la première fois mais sans dépasser un nombre m (m>2) de lancers fixé au départ. On noteXla variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués par le joueur. Déterminer la loi deX puis calculer l’espérance deX.
Calculs d’espérances et probabilités
Exercice 3(Oral CCP, PC, 2015, Exercice secondaire). Soitnappartenant àNetkà0,n.
(1) Montrer que 1 k+1
nk
= 1 n+1
nk+1
+1
.
(2) SoitXune variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètresnetp. CalculerE µ 1
X+1
¶ . Exercice 4(Oral CCP, PC, 2016, Exercice secondaire). SoitX,→G(p) avecp=1−1/α,α>1 fixé et dÊ2. Déterminer la probabilité de l’évènementAd:Xest multiple ded.
Exercice 5(Oral CCP, PC, 2016, Exercice secondaire). Soientp∈]0, 1[ etXune vad telle queX(Ω)=N et, pour toutn∈N,P(X=n)=p(1−p)n. Déterminer la loi de la vadY définie par :
∀ω∈Ω,Y(ω)=
½ X(ω)/2 siX(ω) est pair
0 sinon.
Exercice 6(Oral TPE, PC, 2017). Une urne contientnboules numérotées de 1 àn. On réalise un tirage de l’ensemble des boules, sans remise. On dit qu’il y a coïncidence lors dui-ème si on a tiré la boule numéroi.
(a) On noteXila variable aléatoire qui vaut 1 s’il y a coïncidence lors dui-ème tirage et 0 sinon.
Quelle est la loi deXi?
(b) En déduire l’espérance du nombre de coïncidences obtenues au cours de tirages.
Exercice 7(Oral CCP, PSI, 2016). Une variable aléatoireX suit une loi de Poisson de paramètreλ>0.
Calculer l’espérance deY =X2+1. CalculerP(2X<Y). Calculer la probabilité queXsoit pair ; y a-t-il plus de chances queXsoit impair ?
Exercice 8(Oral CCP, PC, 2018, Exercice secondaire). Une urne contientAboules noires etBboules blanches. On réalise des tirages successifs avec remise et on noteX1 le rang d’apparition de la première boule blanche etX2le rang d’apparition de la deuxième boule blanche. Déterminer la loi et l’espérance deX1, la loi deX2, son espérance et interpréter le résultat.
Séries génératrices et fonction de répartition
Exercice 9.On dispose de 3 dés équilibrés. On lance les 3 dés, on ne garde que ceux qui n’ont pas amené un 6 et on recommence. On s’arrête lorsque tous les dés ont été retirés.
(a) Montrer que les lancers s’arrêtent presque sûrement.
(b) On définit la variable aléatoireXégale au nombre de lancers qui seront effectués. Pourk∈N∗, calculerFX(k) puis en déduire loi deX.
Exercice 10.Soita un réel strictement positif. Exprimer à l’aide des fonctions usuelles la série génératrice d’une vadXà valeurs dansNdont la loi de probabilité est définie par :
∀n∈N,P(X=n)= 1
ch(a)· a2n (2n)!
En déduire l’espérance et la variance deX.
Exercice 11.Soitλ>0. On considère une variable aléatoireXsuivant une loi de Poisson de paramètre λ.
(a) Montrer queP(|X−λ| Êλ)É1/λ. En déduire queP(XÊ2λ)É1/λ. (b) DéterminerGX la série génératrice deX.
(c) Montrer que∀t∈[1,+∞[,∀a>0,taP(XÊa)ÉGX(t).
(d) Déterminer le minimum sur [1,+∞[ de la fonctiong:t7→exp(t−1) t2 . (e) En déduire queP(XÊ2λ)É(e/4)λ.
(f ) Comparer cette inégalité avec celle obtenue enapourλ=10.
Exercice 12.Soientp∈]0, 1[ eta∈]0, 1[. On considère deux variables aléatoiresXetY avecX,→ B(p) etY ,→G(a). On définit une nouvelle variable aléatoireUen posantU=0 siX=0 etU=Y si X=1. Déterminer la série génératrice deUet en déduireE(U) etV(U).
Quelques résultats plus théoriques
Exercice 13.On désire modéliser la loi du temps d’attente d’une panne de machine à l’aide d’une loi sans mémoire : la probabilité que la machine tombe en panne après la datek+nsachant qu’elle fonctionne à l’instantnest indépendante den. Plus précisément, une variable aléatoireXà valeurs dansNest de loi sans mémoire siP(X>k+n|X>n) est indépendant den∈Npour toutk∈N.
(a) Montrer que la loi géométrique de paramètrep∈]0, 1[ est sans mémoire.
(b) Caractériser toutes les lois de variables aléatoiresX à valeurs dansN∗et sans mémoire. On pourra calculerP(X>1+n) en fonction deP(X>1).
Exercice 14.SiXest une vad à valeurs réelles etFX est sa fonction de répartition, déterminer pour x0∈R:
n→+∞lim µ
FX
µ x0+1
n
¶
−FX
µ x0−1
n
¶¶
Que peut-on dire de deux vad à valeurs réelles qui ont la même fonction de répartition ?
TD 20 : Variables aléatoires discrètes
Indications
Ex 1. (a) Reconnaitre des lois géométriques et préciser le paramètre. (b) Linéarité de l’espérance. On peut obtenir un équivalent dePn
k=11/kpar encadrement par intégrales.
Ex 2. Pour calculer
m−1
X
k=1
k(1−p)k−1, expliciterf(x)=
m−1
X
k=1
xkainsi que sa dérivée.
Ex 3. Utiliser le théorème...
Ex 4. Écrire l’évènementAdà l’aide d’évènements portant surX. Ex 5. Écrire l’évènement [Y =0] à l’aide d’évènements portant surX.
Ex 6. NoterNile numéro de la boule tirée lors dui-ème tirage. CalculerP(Xi=1) en faisant intervenir N1, . . . ,Ni.
Ex 7. Utiliser le théorème...
Ex 8. La loi deX1est une loi usuelle. DéterminerX2(Ω) puis la loi deX2(écrire l’évènement [X2=k]
à l’aide d’évènements élémentaires). Utiliser la définition de l’espérance (ou la série génératrice).
Ex 9. Première question classique. NoterX1,X2etX3les nombres de lancers effectués par chaque dé et écrireFX(k) en utilisant lesFXi(k).
Ex 10. Définition et résultats du cours.
Ex 11. (a) Utiliser l’inégalité... (b) Définition du cours.
Ex 12. Déterminer tout d’abord la loi deU; on peut utiliser le système complet d’évènements [X= 1], [X=0].
