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MATHEMATIQUES Interro 6 - durée : 15’
ECE 2 18 janvier 2021
1. La fonction de répartition d’une v.a. à densité est continue surRet de classeC1surR, SNFP (sauf éventuelle- ment en un nombre fini de points).
2. SiX ,→ E(λ), alors sa fonction de répartition est définie surRpar : FX(x) =
( 0 ,six <0 1−e−λx ,six>0
3. Il est clair queY(Ω)⊂R∗+. Donc, déjà,FY(y) = 0, siy >0.
Soit maintenanty >0. On a FY(y) =P(Y 6y) =P(eX 6y) =P(X6ln(y)) = Φ(ln(y)).
Dérivons : FY0 (y) = 1
yΦ0(ln(y)) = 1
yϕ(ln(y)).
Une densité deY est donc fY(y) =
0 ,six60 1
y√
2πe−(ln(y))22 ,six>0 4. On a le programme :
lambda=input(’entrez un réel positif’) x=rand()
y=-1/lambda*log(1-x) disp(y)
5. On aX(Ω) =R+, donc sous réserve de convergence : E(X) =
Z +∞
0
x2e−x
2 2 dx.
ECE 2 1/1 Lycée François Couperin
