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La fonction de répartition d’une v.a

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Academic year: 2022

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NOM : Prénom :

MATHEMATIQUES Interro 6 - durée : 15’

ECE 2 18 janvier 2021

1. La fonction de répartition d’une v.a. à densité est continue surRet de classeC1surR, SNFP (sauf éventuelle- ment en un nombre fini de points).

2. SiX ,→ E(λ), alors sa fonction de répartition est définie surRpar : FX(x) =

( 0 ,six <0 1−e−λx ,six>0

3. Il est clair queY(Ω)⊂R∗+. Donc, déjà,FY(y) = 0, siy >0.

Soit maintenanty >0. On a FY(y) =P(Y 6y) =P(eX 6y) =P(X6ln(y)) = Φ(ln(y)).

Dérivons : FY0 (y) = 1

yΦ0(ln(y)) = 1

yϕ(ln(y)).

Une densité deY est donc fY(y) =





0 ,six60 1

y√

2πe−(ln(y))22 ,six>0 4. On a le programme :

lambda=input(’entrez un réel positif’) x=rand()

y=-1/lambda*log(1-x) disp(y)

5. On aX(Ω) =R+, donc sous réserve de convergence : E(X) =

Z +∞

0

x2e−x

2 2 dx.

ECE 2 1/1 Lycée François Couperin

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