Tables de la fonction de répartition de la loi Weibull

R EVUE DE STATISTIQUE APPLIQUÉE

F. D ^OURGNON J. R EYROLLE

Tables de la fonction de répartition de la loi Weibull

Revue de statistique appliquée, tome 14, n

^o

4 (1966), p. 83-116

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TABLES DE LA FONCTION DE RÉPARTITION

DE LA LOI DE WEIBULL

F DOURGNON

et

J. REYROLLE

Société

Nouvelle de Roulements

La fonction de

répartition

^de la loi de Weibull de forme

générale :

peut, moyennant

^le

changement

d’échelle défini par :

se mettre sous la forme réduite :

Les tables

ci-après

donnent les valeurs de

F(x)

^avec 4 décimales pour :

et pour

UTILISATION DES TABLES DE LA LOI DE WEIBULL pour résoudre par simulation certains

problèmes

^{de fiabilité.}

La loi de Weibull est une loi très

générale

^à

laquelle s’ajustent

un

grand

^{nombre de}

phénomènes d’apparition

^d’avaries.

y ⁼

paramètre d’origine

^des

temps ;

^{il est}

égal

^{à 0 dans la}

tabulation

~ ⁼

paramètre d’échelle ;

^{il est}

égal

^{à 1} dans la tabulation L’allure

générale

des courbes

représentatives dépend

^du

paramètre

de

forme P qui

caractérise la

façon

dont évolue le taux instantané d’avarie

avec le

temps

^{de service.}

Revue de Statistique Appliquée, 1966 - Vol. XIV - ^{N’ 4}

Exemple :

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1/ (3

&#x3E; 1 - Taux instantané d’avarie croissant

Le matériel s’use en service. La densité de

probabilité

^d’avarie

est

représentée

par ^une courbe

unimodale,

fortement

dissymétrique

pour les faibles valeurs de

03B2,

^mais

qui

^{tend vers une courbe}

symétrique,

^d’al-

lure

gaussienne

pour les fortes

valeurs,

^et

pratiquement pour 6

&#x3E; 3.

2/ 0 p

^{1 -} Taux instantané d’avarie décroissant

Au lieu de

s’user,

le matériel se rode et

s’adapte

^{à son service.}

La densité de

probabilité

^{d’avarie est} constamment décroissante.

3/ 03B2 = 1 -

Taux instantané d’avarie constant

Cas limite de la loi

exponentielle

pour la densité de

probabilité

d’avarie.

A un

type

^{donné de matériel}

correspond,

^en

général,

^{une certaine}

valeur de

j3,

^{liée au} fait que le matériel ^a

plus

^{ou moins} tendance à s’user ou au contraire à

s’adapter

^{à son service.} Ainsi, pour ^le roule- ment, dans le cas assez

général

que constituent les conditions habituelles de

fabrication, puis

d’essais accélérés en

laboratoire, 03B2

^{reste voisin de}

1, 4.

L’ajustement

^{à la loi de Weibull et} la valeur

de ayant

^été

acquis

par ^des essais

antérieurs,

^la connaissance du

paramètre

^d’échelle r) déter- mine

complètement

^{la courbe de} survie. Elle donne la vie moyenne, ainsi que ^le

temps Blo

^par

^exemple

^{au bout}

^duquel

¹⁰

^%

^{du matériel}

aura cessé de servir.

Mais, la connaissance de la

caractéristique Bio,

^ou de tout autre

point

^de la courbe de

survie,

suffit pour ^{avoir la} courbe toute entière, autrement

dit,

_pour

juger

^de la valeur d’une fabrication dans des con-

ditions de travail déterminées.

Pour avoir un

point

^tel que

Bio

^avec

précision,

^{il faudrait}

pouvoir

essayer ^un échantillon très

important. Or,

^{on est limité} par le nombre de machines d’essais dont on

dispose

et surtout pour la durée souvent fort

longue

nécessaire à entraîner l’avarie. On choisira donc un estima- teur de cette

caractéristique,

par

exemple

^le temps ^{au bout}

duquel

^sur-

vient la 8ème défaillance dans un échantillon de 80, ^ou bien la moyenne des temps ^des

premières

avaries dans chacun des 10 échantillons de 8 . Tout le

problème

consiste à connaître l’intervalle de confiance pour la

caractéristique

cherchée autour de cet estimateur.

La résolution

mathématique

^{de ce}

problème

^{est très} difficile. Une

simulation, engendrant

^{en nombre}

illimité,

^à

partir

^{de nombres au ha-} sard, ^des échantillons de taille semblable à ceux

qu’on peut

^{mettre à} l’essai et distribués suivant ^une loi de Weibull de

paramètre 03B2 désiré ,

permet d’obtenir la distribution de l’estimateur avec la

précision

que l’on veut. D’où l’on déduit l’intervalle de confiance à ^un

risque

^{donné autour}

de l’estimateur.

C’est ce

procédé qui

^a été utilisé _par la S. N. R . pour définir ^un

plan

^{d’essais de fiabilité.}

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