Dimension, localisation (TD11)
FIMFA Algèbre 2 (Tony Ly), Mai 2012 Exercice 1
SoientX un espace topologique et Y un sous-ensemble de X. a) Montrer l'inégalitédim Y ≤dim X.
b) Supposons que X admet un recouvrement par des ouverts Ui, i ∈ I. Montrer que l'on a dim X = supi∈I dim Ui.
c) Donner l'exemple d'un espaceX et d'un ouvert denseU de X avec dimU <dim X. d) Supposons Y fermé et X de dimension nie, égale à dim Y. Montrer que l'on a X=Y. Exercice 2
SoientAun anneau commutatif unitaire etS une partie multiplicative deA. Montrer que le localisé AS de A en S vérie la propriété universelle suivante : pour tout anneau commutatif unitaire B et tout morphisme d'anneaux f : A → B qui envoie S dans B×, il existe un unique morphisme d'anneauxg:AS →B qui fait commuter le diagramme qui suit.
A f //
A
AA AA AA
A B
AS g}}}}}}>>
}} Exercice 3
SoientA un anneau commutatif unitaire et S une partie multiplicative deA. a) Si Aest noethérien, montrer que le localisé AS est noethérien.
b) Si Aest principal et que S ne contient pas0, montrer que le localiséAS est principal.
c) Si A est factoriel et queS ne contient pas 0, montrer que le localiséAS est factoriel.
Exercice 4
SoientA un anneau commutatif unitaire et Pun idéal premier deA. a) Montrer queAP est local, d'idéal maximalPAP.
Notonsk(P) le corps résiduel AP/PAP.
b) Montrer queA→k(P) induit une injectionϕP:A/P,→k(P) qui fait de k(P) le corps des fractions de A/P.
c) Montrer queϕP est un isomorphisme si et seulement siPest un idéal maximal de A.
d) Soitf ∈ArP. Montrer quek(P) etk(PA[f−1]) sont canoniquement isomorphes.
Exercice 5
SoientAun anneau commutatif unitaire etPun idéal premier deA. SoitιP :A→APle morphisme canonique envoyanta∈ A sur a/1. Pour tout entier n≥1, on note PnAP l'idéal de AP engendré par l'image dePn etP(n) l'image réciproque ι−1P (PnAP) dansA.
a) Montrer l'égalité
P(n)= [
x∈ArP
(Pn:x).
b) Montrer queP(n) est un idéalP-primaire deA. SupposonsA noethérien.
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c) Soitq un idéalP-primaire deA. Montrer qu'il existe n≥1 tel que l'on ait P(n)⊆q. SupposonsA intègre.
d) En admettant le théorème d'intersection de Krull (T
n≥0PnAP = 0), montrer que l'intersec- tion des idéaux P-primaires deA est nulle.
Exercice 6 (Un exemple de Nagata)
Soient k un corps et A = k[X1, . . . , Xn, . . .] l'anneau de polynômes en une innité de variables.
Soit (un) une suite croissante de N tendant vers l'inni, avec u1 = 0. On note Pn l'idéal premier (Xun+1, . . . , Xun+1). SoientS le complémentaire de la réunion des PnetAS le localisé de Aen S.
a) Déterminer les idéaux maximaux deAS.
b) Exhiber une condition susante sur (un) pour que la dimension de Krull deAS soit innie.
On suppose désormais que (un)vérie la condition exhibée à la question (b).
SoitRun anneau dont les localisés en tout idéal maximal sont noethériens et tel que élémentx∈R soit contenu dans un nombre ni d'idéaux maximaux.
c) Montrer queR est noethérien.
d) En déduire queAS est noethérien.
Exercice 7
SoientAun anneau commutatif unitaire et S une partie multiplicative deA. Soit M unA-module.
On note MS et on appelle localisé de M en S le quotient de S×M par la relation d'équivalence suivante : (s1, m1) ∼ (s2, m2) si et seulement si il existe s ∈ S vériant s(s1m2 −s2m1) = 0. On notem/s∈MS la classe d'équivalence de(s, m).
a) Vérier que l'on peut naturellement munir MS d'une structure de RS-module compatible à celle de M en tant que R-module.
On dénit le support deM, notéSupp M, comme l'ensemble des P∈SpecA vériant MP 6= 0. b) Supposons M de type ni sur A. Montrer qu'un idéal premier P est dans SuppM si et
seulement si on a {x∈A |xM = 0} ⊆P.
c) Exhiber un contre-exemple à cette équivalence pour M non de type ni.
SoientN un A-module et f :M →N un morphisme deA-modules.
d) Montrer qu'il existe un unique morphisme deRS-modulesfS :MS→NS vériantfS(m/1) = f(m)/1 pour tout m∈M.
e) Montrer que la localisation préserve les suites exactes.
Exercice 8
SoientA un anneau commutatif unitaire et M unA-module de type ni. SoientX = SpecA et
d: X → N
P 7→ dimk(P)MP/PMP .
SoientP∈Xetn=d(P). Soitα:k(P)n→MP/PMPun isomorphisme dek(P)-espaces vectoriels.
On commence par établir l'existence du diagramme commutatif suivant (pour un certainf ∈ArP).
A[f−1]n //
γ
AnP //
β
k(P)n
α
M[f−1] //MP //MP/PMP
a) Montrer queα se relève en une surjection β:AnP→MP de AP-modules.
b) Montrer qu'il existe f /∈ Ptel que β se relève en une surjection γ : A[f−1]n → M[f−1] de A[f−1]-modules.
c) En déduire quedest semi-continue supérieurement, c'est-à-dire que{P∈X |d(P)≥n}est fermé pour tout n≥0.
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