SRC1 TD11 Logique. Ensembles.
TD11 : Ensembles.
Quelques définitions
• Un ensemble est une collection d’objets (exemple :Rest l’ensemble de tous les réels).
• On note∅ l’ensemble vide, qui ne contient aucun élément.
• On notex∈Ale fait que l’élémentxappartienne à l’ensemble A (ex :−2∈Zmais−2∈/N).
• On dit que A est inclus dans B ou que A est un sous-ensemble de B et on noteA⊂B si tous les éléments de A appartiennent à B (x∈A⇒x∈B).
• Deux ensembles sont égaux s’ils sont inclus l’in dans l’autre : A = B signifie (A ⊂B)∧(B ⊂A) soit encore x∈A⇔x∈B.
• Soit E un ensemble. L’ensemble des sous-ensembles deEest notéP(E). Il contient∅, l’ensemble vide, etE(ex : siE={−1; 1},P(E) ={{1},{−1}, E,∅}contient22eléments).
• on note card(A) et on appelle cardinal de A le nombre d’éléments de A. (ex : dans l’exemple précédent, card(E)=2).
• On note A∪B l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B : x ∈A∪B ⇒ x ∈A∨x ∈ B. C’est l’uniondes ensembles A et B.
• On note A∩B l’ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B : x ∈ A∩B ⇒ x ∈ A∧x ∈B. C’est l’intersection des ensembles A et B.
• card(A∪B) =card(A) +card(B)−card(A∩B).
• On note CE(A) ou encore A¯ le complémentaire deA dans E : c’est l’ensemble des éléments de E qui n’appar- tiennent pas à A :x∈A¯⇔x /∈A.
• On noteE\Al’ensemble des éléments de Emoinsceux de A (E\A=CE(A)).
Exercice 1
1. Soient les ensembles d’entiersA={1,4,7,2,8}etB ={3,8,2,4}. Déterminez les ensembles A∩B,A∪B,A\B, CA∪B(A). Déterminez le cardinal de ces ensemble.
2. Soit A l’ensemble des quadrilatères ayant un angle droit, P l’ensemble des parallélogrammes, L l’ensemble des losanges, T l’ensemble des trapèzes, R l’ensemble des rectangles, C l’ensemble des carrés. Quelles sont les relations d’inclusion existant entre ces ensembles ? DéterminezA∩L,A∩P,L∩R
3. SoitE={a, b, c}. DéterminezP(E).
4. Soient A, B, C et D trois parties d’un ensemble E. Montrez (méthode :pour montrer une égalité d’ensemble on montre que l’un est inclus dans l’autre, puis vice-versa).
(a) A∪B=A⇔B ⊂A.
(b) A∩B=A⇔A⊂B.
(c) (A⊂C)∧(B⊂D)⇒(A∪B ⊂C∪D)∧(A∩B⊂C∩D).
(d)
A∪B=A∪C
⇔ B=C A∩B=A∩C
Exercice 2
On note A={étudiants du groupe A de SRC1}. On note B={étudiants du groupe B de SRC1}. On noteS={A, B}
l’ensemble des groupes de SRC1. On noteM(A)l’ensemble des étudiants du groupe A qui aiment les maths etM(B) l’ensemble des étudiants du groupe B qui aiment les maths. De même, on noteI(A)l’ensemble des étudiants du groupe A qui aiment l’informatique etI(B)l’ensemble des étudiants du groupe B qui aiment l’informatique.
1. Quels sont les éléments de l’ensemble M(B)∪ I(A) (le complémentaire est à prendre dans l’ensemble de tous les étudiants de SRC, à savoirA∪B) ?
2. Ecrire mathématiquement les phrases suivantes :
– ”Tous les étudiants de SRC1 aiment les mathématiques et l’informatique”. Quelle en est la négation ? – ”Tous les étudiants de SRC1 aiment les mathématiques ou l’informatique”. Quelle en est la négation ? – ”Il y a une section où tous les étudiants aiment les mathématiques”
– ”Dans chaque groupe il y a un étudiant qui aime l’informatique mais pas les mathématiques”.
3. on sait quecardM(A) = 9et cardM(B) = 10. Qu’est ce que cela signifie en français ?
4. On note C l’ensemble des étudiants de SRC1 qui aiment les maths et D l’ensemble des étudiants qui aiment l’informatique. On sait que 20 étudiants aiment les maths, que 25 aiment l’informatique, et que 10 aiment à la fois les maths et l’informatique. Combien d’étudiants aiment au moins une de ces deux matières ?
