E336 – Un sondage instructif [* et ** à la main]
Problème proposé par Michel Lafond
Un sondage vient d’être effectué par l’institut Sospi-Pofi auprès des lecteurs de diophante.fr en vue de connaître leur prédilection pour trois matières : arithmétique, géométrie et probabilités.
Pour chacune d’elles deux catégories sont distinguées: « ceux qui aiment » et « ceux qui n’aiment pas ».
Zig présente à Puce les premiers résultats obtenus par Sospi-Pofi.
- un quart des lecteurs qui aiment à la fois la géométrie et les probabilités n’aiment pas l’arithmétique, - parmi les lecteurs qui aiment une seule matière, les quatre cinquièmes aiment l’arithmétique,
- les trois quarts des lecteurs qui n’aiment ni l’arithmétique ni la géométrie, aiment les probabilités, - il y a cinq fois plus de lecteurs qui aiment une seule matière que de lecteurs qui en aiment
exactement deux.
- un tiers des lecteurs qui aiment les probabilités aiment à la fois l’arithmétique et la géométrie, - les lecteurs qui n’aiment pas les probabilités et qui aiment au moins l’une des deux autres matières,
représentent les trois cinquièmes de tous les lecteurs.
Zig pose alors à Puce la question : « Peux-tu calculer la proportion des lecteurs qui aiment la géométrie parmi tous les lecteurs de diophante.fr? »
Puce lui dit immédiatement : « Je ne peux pas répondre ».
Aux lecteurs de diophante.fr : Justifiez la réponse de Puce.[*]
Zig : « J’ai un autre résultat mais je doute qu’il puisse t’être utile car un mot (XXX) a été raturé plusieurs fois : parmi ceux qui n’aiment ni l’arithmétique ni les probabilités, XXX tiers des lecteurs aiment la géométrie.
Je ne sais pas dire s’il faut lire « un tiers » ou « deux tiers ».
Puce (après quelques instants de réflexion) : « Je sais répondre ».
Aux lecteurs de diophante.fr : Donnez la proportion d’amateurs d’arithmétique parmi les lecteurs de diophante.fr [**]
Solution
Si l’on représente avec un diagramme de Venn l’ensemble des lecteurs de diophante.fr selon leurs affinités pour chacune des trois matières, on obtient huit sous-ensembles disjoints et on affecte à chacun d’eux les proportions correspondantes des lecteur :a,b,c,..,g,h.
Ainsi a est la proportion des lecteurs qui aiment à la fois les trois matières, b est la proportion des lecteurs qui aiment l’arithmétique et la géométrie mais n’aiment pas les probabilités, c est la proportion des lecteurs qui aiment l’arithmétique et les probabilités mais n’aiment pas la géométrie etc….
Les six résultats présentés par Zig permettent d’écrire : (R₂) (a + d)/4 = d a = 3d
(R₃) 4(e + f + g)/5 = e e =4(f + g) (R₄) 3(f+h)/4 = f f = 3h
(R₅) e + f + g = 5(b + c + d)
(R₆) (a + c + d + f)/3 = a 2a = c + d + f
D’où les relations suivantes :
Amateurs d’arithmétique : a + b + c + e Amateurs de géométrie : a + b + d + g Amateurs des probabilités : a + c + d + f Amateurs d’un seule matière : e + f + g Amateurs de deux matières : b + c + d Amateurs des trois matières : a
Réfractaires à tout : h
a + b + c + d + e + f +g + h = 100% (R₁)
(R₇) e + b + g =3(a + b + c + d + e + f + g + h)/5 2(e + b + g)= 3(a + c + d + f + h)
A ce stade Puce dispose de sept équations pour huit inconnues, ce qui explique sa réaction immédiate : « je ne peux pas répondre »
Le dernier résultat apporté par Zig s’exprime de deux façons possibles 2(h+g)/3 = g soit g = 2h ou bien (h + g)/3 = g soit 2g = h
Les relations (R₁) à (R₇) donnent les deux relations b = g + 6h – 6d et 13d = 11h + 4g 1er cas : g = 2h 13d = 19h, b = 8h – 114h/13 < 0. Impossible
2ème cas : 2g = h d = h, b = h/2, a = 3h, c = 2h, e = 14h, f = 3h
D’où 3h + h/2 + 2h + h + 14h + 3h + h/2 + h = 100% h = 4%, a = 12%, b = 2%, c = 8% et e = 56%
La proportion d’amateurs d’arithmétique est alors égale à a + b + c + e = 78%
