E336 – Un sondage instructif [* et ** à la main]
Problème proposé par Michel Lafond
Un sondage vient d’être effectué par l’institut Sospi-Pofi auprès des lecteurs de diophante.fr en vue de connaître leur prédilection pour trois matières : arithmétique, géométrie et probabilités.
Pour chacune d’elles deux catégories sont distinguées: « ceux qui aiment » et « ceux qui n’aiment pas ».
Zig présente à Puce les premiers résultats obtenus par Sospi-Pofi.
- un quart des lecteurs qui aiment à la fois la géométrie et les probabilités n’aiment pas l’arithmétique, - parmi les lecteurs qui aiment une seule matière, les quatre cinquièmes aiment l’arithmétique,
- les trois quarts des lecteurs qui n’aiment ni l’arithmétique ni la géométrie, aiment les probabilités, - il y a cinq fois plus de lecteurs qui aiment une seule matière que de lecteurs qui en aiment
exactement deux.
- un tiers des lecteurs qui aiment les probabilités aiment à la fois l’arithmétique et la géométrie, - les lecteurs qui n’aiment pas les probabilités et qui aiment au moins l’une des deux autres matières,
représentent les trois cinquièmes de tous les lecteurs.
Zig pose alors à Puce la question : « Peux-tu calculer la proportion des lecteurs qui aiment la géométrie parmi tous les lecteurs de diophante.fr? »
Puce lui dit immédiatement : « Je ne peux pas répondre ».
Aux lecteurs de diophante.fr : Justifiez la réponse de Puce.[*]
Zig : « J’ai un autre résultat mais je doute qu’il puisse t’être utile car un mot (XXX) a été raturé plusieurs fois : parmi ceux qui n’aiment ni l’arithmétique ni les probabilités, XXX tiers des lecteurs aiment la géométrie.
Je ne sais pas dire s’il faut lire « un tiers » ou « deux tiers ».
Puce (après quelques instants de réflexion) : « Je sais répondre ».
Aux lecteurs de diophante.fr : Donnez la proportion d’amateurs d’arithmétique parmi les lecteurs de diophante.fr [**]
Solution proposée par Daniel Collignon
Notations :
a, g, p désignent le nombre de lecteurs aimant exactement une matière, respectivement l'arithmétique, la géométrie, et les probabilités
ag, gp, ap désignent le nombre de lecteurs aimant exactement deux matières, respectivement a et g, g et p, et a et p.
agp désigne le nombre de lecteurs aimant les trois matières
r désigne le nombre de lecteurs n'aimant aucune matière (on oserait espérer que r = 0, mais on utilisera quand même ce paramètre)
L'énoncé fournit les relations suivantes (1) 4gp = agp + gp
(2) 5a = 4(a + g + p) (3) 4p = 3(p + r)
(4) a + g + p = 5(ag + gp + ap) (5) 3agp = p + ap + gp + agp
(6) 5(a + ag + g) = 3(r + a + g + p + ag + gp + ap + agp)
Nous cherchons alors à évaluer (7) (g + ag + gp + agp) / (r + a + g + p + ag + gp + ap + agp)
Comme il y a 8 inconnues et 6 relations, la réponse de Puce est plausible, au sens où le ratio reste indéterminé à ce stade.
Voyons cela plus en détail.
Exprimons d'abord tout en fonction des 3 paramètres r, g et gp.
(1) => agp = 3gp (3) => p = 3r (2) => a = 4(g + 3r) (5) => ap = 5gp - 3r
(4) => ag = g + 6r - 6gp (6) => 4g + 11r = 13gp
Cette dernière relation permettra de paramétrer le numérateur N et le dénominateur D du ratio en fonction de 2 paramètres
(7) => N = 2g + 6r - 2gp et D = 19r + 6g + 3gp 2N = 9gp + r
2D = 5r + 45gp = 10N D'où N/D = 1/5
Si "DEUX" (8) 3g = 2(g+r), alors g = 2r (6) => gp = 19r/13
(4) => ag = 8r - 6*19r/13 = -10r/13 : impossible Donc "UN" (8) 3g = g+r, et alors r = 2g
Ainsi
(6) => gp = 2g = r (1) => agp = 3r (2) => a = 14r (4) => ag = r/2 (5) => ap = 2r
Et la proportion d'amateurs d'arithmétique vaut (9) (a + ag + ap + agp) / (r + a + g + p + ag + gp + ap + agp)
= 39 / 50
