Théorie de Galois II, extensions d'anneaux (TD11)
FIMFA Algèbre 2 (Tony Ly), Mai 2013
Exercice 1
SoientK un corps et nun entier premier à la caractéristique deK. Soienta∈K×,P =Xn−aet M son corps de décomposition sur K.
a) Montrer queM contient une racine primitive n-ème de l'unitéξ.
On pose L=K(ξ), et on note µn(L)le groupe des racines n-èmes de l'unité dansL.
b) Montrer que les extensions K ⊆ L et L ⊆ M sont galoisiennes et identier leur groupe de Galois à des sous-groupes H de (Z/nZ)× etN deµn(L) respectivement.
c) Montrer que l'isomorphisme (Z/nZ)× −∼→ Autµn(L)
k 7→ (ξm 7→ξmk) se restreint en un morphisme ϕ: H →AutN et prouver queGal(M/K) est isomorphe au produit semi-direct NoϕH. Supposons maintenantK=QetP =X7−2.
d) Montrer que Gal(M/K) est isomorphe au groupe des permutations de Z/7Z de la forme n7→an+b poura∈(Z/7Z)× etb∈Z/7Z.
Exercice 2 (Galois inverse sur Q, cas abélien ni) On utilisera à bon escient les faits suivants :
sur la structure des groupes abéliens nis : tout groupe abélien ni est isomorphe à un Qr
i=1
Z/niZ avec n1 |n2| · · · |nr;
sur la progression arithmétique faible de Dirichlet : pour tout entiern≥2, il existe une innité de nombres premiers congrus à 1 modulon.
En pensant aux corps cyclotomiques, montrer que tout groupe abélien ni est groupe de Galois d'une extension galoisienne sur Q.
Exercice 3 (Eléments d'ordre ni de Gal(Q/Q))
SoientKun corps de caractéristique nulle,pun nombre premier eta∈Kqui n'est pas une puissance p-ème dans K.
a) Montrer queXp−aest irréductible sur K.
Soitr ≥0un entier. Supposons dans un premier temps pimpair.
b) Montrer queXpr −a est irréductible surK. Supposons maintenantp= 2eta /∈K×2∪ −4K×4∪ {0}.
c) En discutant une éventuelle factorisation sur K(i) où i2 = −1, montrer que Xpr −a est irréductible surK.
d) Montrer queX4+ 4b4 est réductible pour toutb∈K.
SoitK ⊆L une extension nie, et supposonsLalgébriquement clos.
e) En considérant une extension intermédiaire d'indice premier dans L, montrer que si −1 est un carré dans K, alors on aL=K.
f) Montrer qu'en général on aL=K(i).
g) Montrer que tout élément non trivial d'ordre ni deGal(Q/Q) est d'ordre2. Exercice 4
SoientR un anneau intégralement clos de corps des fractionsK etK⊆Lune extension algébrique de corps.
1
a) Montrer qu'un élément deLest entier surR si et seulement si son polynôme minimal surK est à coecients dans R.
Soitd6= 1 un entier sans facteur carré.
b) Montrer que l'anneau des entiers du corps Q(√
d) estZ[√
d]sidest congru à2 ou 3modulo 4 etZ
h1 +√ d 2
isidest congru à1 modulo4. Exercice 5
Soient R un anneau intégralement clos et S une partie multiplicative de R ne contenant pas 0. Montrer que le localiséRS est intégralement clos.
Exercice 6
SoientK un sous-corps de R,p >2 un nombre premier et a∈K qui n'est pas une puissancep-ème dansK. Soitx∈Rvériant xp =a.
a) Montrer queK ⊆K(x) n'est pas galoisienne.
Une extension K⊆L est dite radicale réelle s'il existe une tour d'extensions K =K0 ⊆K1 ⊆K2⊆ · · · ⊆Kn⊆R
telle queL ⊆Kn et, pour tout i, Ki+1 =Ki(xi) avec xnii ∈Ki pour un certain entier ni ≥1. Un polynôme est dit résoluble par radicaux réels si son corps de décomposition l'est.
SoitK ⊆L une extension galoisienne radicale réelle.
b) En se ramenant à une tour avec degrés successifs premiers, montrer que [L : K] est une puissance de 2.
c) Donner un exemple de telle extension.
d) Montrer que l'extensionQ⊆Q cos(2π7 )
est radicale mais pas radicale réelle.
SoitP ∈K[X]un polynôme irréductible de degré 3.
e) Montrer que si P a trois racines réelles x, y, z, alors aucune des extensionsK(x)/K,K(y)/K etK(z)/K n'est radicale réelle1.
On rappelle les formules de Tartaglia-Cardan : les zéros du polynômeX3+bX+csont les
ξ 3 s
−c 2+
rc2 4 + b3
27+ξ23 s
−c 2−
rc2 4 + b3
27 pourξ parcourant les racines 3-èmes de l'unité.
f) Montrer que si P n'a qu'une racine réellex, alors K(x)/K est radicale réelle.
1ce résultat est dû à Hölder
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