Université Paris 7 - Denis Diderot Premier semestre 2006/07
UFR de Mathématiques M1 Maths-info - Algèbre
Feuille d’exercices no5
Théorie de Galois / Galois theory
Exercice 1. Les extensions suivantes sont-elles galoisiennes ? Déterminer leur groupe des auto- morphismes et leurs sous-corps intermédiaires : C/R,Q(√3
2)/Q. Exercise 2. Setj= e2iπ3 .
1) Show thatQ(i, j) =Q(i,√
3). We denote byF this subfield ofC. 2) Determine the degree ofF overQ.
3) Show that the extensionF/Qis Galois and find its Galois group.
4) Give all the intermediate extensions betweenQandF.
Exercice 3. Soitn≥1un entier. Un générateur du groupeµn⊂Cdes racinesn-èmes de l’unité est appelée une racine primitive n-ème de l’unité. On note µ∗n le sous-ensemble de ces racines primitives n-èmes de l’unité. On note Φn(X) =Q
ζ∈µ∗n(X −ζ). C’est un polynôme irréductible à coefficients entiers.
SoitQ(ζ)le sous-corps de Cengendré par une racine primitiveζ∈µ∗n fixée.
1) En utilisant le fait queΦn(X)est un polynôme irréductible à coefficients entiers, déterminer le degré de l’extensionQ(ζ)/Q.
2) Montrer que cette extensionQ(ζ)/Qest galoisienne.
3) Montrer que son groupe de Galois est isomorphe au groupe(Z/nZ)× des éléments inversible deZ/nZ.
Exercice 4.
1) Montrer queK=Q(p 5 +√
21)est une extension de degré4 deQ. 2) Montrer que cette extensionK/Qest galoisienne.
3) Montrer que son groupe de Galois est isomorphe à(Z/2Z)2. 4) Déterminer les sous-corps deK.
5) Écrirep 5 +√
21sans racine carrée emboîtée.
6) Peut-on faire la même chose avecp 7 + 2√
5?
Exercise 5.
1) What is the degree of the extensionQ(√4 2)/Q?
2) Show that this extension is not Galois and that the smallest subfield of C which is a finite and Galois extension ofQcontainingQ(√4
2)isQ(√4 2, i).
3) What is the degree of the extensionQ(√4
2, i)/Q? 4) Show that the extensionQ(√4
2, i)/Q(i)is Galois and cyclic (i.e. its Galois group is cyclic).
5) Show that the extensionQ(√4
2, i)/Qis not abelian (i.e. its Galois group is not abelian).
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6) More precisely, show that the Galois group of this extension is generated by two elementsσ andτ, withσof order2 andτ of order4 satisfying the relationστ=τ3σ.
Exercice 6. SoitK un corps etP∈K[X]un polynôme. SoitLun corps de décomposition deL surK et a1, . . . , an les racines distinctes de P dansL(comptées sans leur multiplicité).
1) Rappeler pourquoi l’extensionL/K est galoisienne.
2) On note G =Gal(L/K). Expliquer pourquoi G s’identifie à un sous-groupe du groupe des permutationsSn.
Exercise 7. LetP=X5−4X+ 2and Kthe splitting field ofP overQ. 1) How many real roots doesP have ?
2) Show that the Galois groupGof the extensionK/Q, seen as a group of permutations of the roots ofP, has a transposition.
3) When pis a primer number, show that if τ ∈Sp is a transposition andσ∈Sp is ap-cycle, then the permutation groupSp is generated byσandτ.
4) Show thatGis isomorphic toS5.
5) Is the equationX5−4X+ 2 = 0solvable by radicals ?
Exercice 8. Donner une équation de degré5surQrésoluble par radicaux et de groupe de Galois non trivial.
Exercise 9.
1) Is the extensionQ(e2iπ15)/QGalois ? 2) What is its Galois group ? Is it cyclic ?
3) Determine the subfields ofQ(e2iπ15)of degree4and2overQ.
Exercice 10. Soitkun corps de caractéristique nulle etP =Xn+an−1Xn−1+. . .+a1X+a0∈ k[X]. Si x1, . . ., xn sont les racines de P (comptées avec leurs multiplicités) dans un corps de décomposition K deP, le discriminant deP est défini parD=Q
i<j(xi−xj)2∈K.
1) Montrer queD∈k.
2) Calculer le discriminant d’un polynôme du second degré.
3) SoitG=Gal(K/k)etδ=Q
i<j(xi−xj). Montrer que pour toutσ∈G,σ(δ)∈ {δ,−δ}.
4) Montrer que, vu comme groupe de permutation des racines de P, Gest un sous-groupe du groupe alternéAn si et seulement siD est un carré dansk.
Exercise 11. Letpbe a prime number.
1) Show that Gal(Q(i,√4
p)/Q)is isomorphic to the dihedral groupD4. 2) Is the equationX4−p= 0solvable by radicals ?
3) Determine all the intermediate subfields of the extensionQ(i,√4 p)/Q.
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