Généralités sur les anneaux (TD1)
FIMFA Algèbre 2 (Tony Ly), Février 2012
Exercice 1
SoientA un anneau commutatif unitaire et I un idéal.
a) Montrer que les idéaux de A/I sont en bijection avec les idéaux deA contenantI.
b) Montrer que les idéaux premiers (resp. maximaux) de A/I sont en bijection avec les idéaux premiers (resp. maximaux) deA contenantI.
c) SoitJ ⊇I un idéal deA. Montrer queA/J est canoniquement isomorphe au quotient deA/I parJ/I.
On va considérer les exemples des anneaux suivants :
C[X], R[X]/(X2+X+ 1), R[X]/(X3−6X2+ 11X−6), R[X]/(X4−1).
d) Déterminer les idéaux premiers de ces anneaux.
e) Déterminer les morphismes deR-algèbres de ces anneaux dans R(resp. dansC).
Exercice 2
SoientA etB deux anneaux commutatifs unitaires, et f :A→B un morphisme d'anneaux.
a) Montrer que l'image réciproque par f d'un idéal premier deB est un idéal premier deA. b) Que se passe-t-il pour les idéaux maximaux ?
SoientI etJ deux idéaux deA.
c) Montrer que l'on a IJ⊆I∩J. A-t-on toujours égalité ? Exercice 3
SoitX un sous-ensemble compact de Rn. On note C(X,R) l'anneau des fonctions continues surX à valeurs dansR.
a) Déterminer les idéaux maximaux deC(X,R).
On munitC(X,R)de la topologie de la convergence uniforme.
b) Montrer que tout idéal premier est contenu dans un unique idéal maximal et qu'il y est dense.
On pourra utiliser des partitions de l'unité.
∗) Donner un exemple d'idéal premier non maximal.
Exercice 4
SoitA un anneau commutatif unitaire.
a) On supposeAintègre et queApossède un nombre ni d'idéaux. Montrer queAest un corps.
b) On suppose queApossède un nombre ni d'idéaux. Montrer que tout idéal premier de Aest maximal.
c) On suppose que tout idéal propre de A est premier. Montrer queAest un corps.
Exercice 5
Soitkun corps. On noteAle sous-anneau deM2(k)composé des matrices triangulaires supérieures.
a) Déterminer les éléments nilpotents et les éléments inversibles de A.
b) Déterminer les idéaux bilatères de A, ainsi que les quotients correspondants.
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Exercice 6
Soitkun corps. On notek[[X]] = P
i≥0aiXi
ai∈kpour tout i≥0 l'anneau des séries formelles enX à coecients dansk.
a) Montrer quek[[X]] possède un unique idéal maximal, engendré parX. b) En déduire quek[[X]] est principal, puis qu'il est euclidien.
Exercice 7
SoitA un anneau commutatif unitaire.
a) Montrer que si An'est pas un corps, alors A[X]n'est pas principal.
b) Montrer que Z[X] est factoriel, c'est-à-dire qu'il est intègre et que tout élément t ∈ Z[X]
possède une décomposition nie t= uQ
ipi avec u ∈ Z[X]× et les pi irréductibles, unique à permutations des termes et multiplications par des inversibles près.
Exercice 8 (Théorème des deux carrés)
On considèreZ[i]l'anneau des entiers de Gauss, et on note Σ ={a2+b2 |a, b∈N}. a) En introduisant l'application norme
N : Z[i] → Z
a+ib 7→ (a+ib)(a−ib) , déterminer les éléments inversibles de Z[i].
b) Montrer queΣest stable par multiplication.
c) Montrer queZ[i]est euclidien.
Soitp un nombre premier.
d) Montrer quep est un élément de Σsi et seulement sip n'est pas irréductible dans Z[i]. e) En utilisant l'isomorphisme d'anneaux Z[i]/pZ[i] ' Fp[X]/(X2+ 1), montrer que p est un
élément de Σsi et seulement si on a p= 2 oup≡1 mod 4. Soientn∈N r{0,1} etQ
ppvp(n) sa décomposition en facteurs premiers.
f) Montrer quenest un élément de Σsi et seulement sivp(n) est pair pout tout premierp≡3 mod 4.
Exercice 9
SoitR un anneau euclidien qui n'est pas un corps.
a) Montrer que l'on peut trouver un élément non inversiblexdeRtel que la restriction àR×∪{0}
de la projection canonique de R sur R/(x) soit surjective. On pourra choisir x tel que φ(x) soit minimal parmi les éléments x /∈R×, où φdésigne le stathme d'une division euclidienne de R.
Soientα= 1 +i√ 19
2 etA=Z[α].
b) En s'inspirant de 8.(a), déterminer A×. c) Montrer queA n'est pas euclidien.
d) Sia, b∈Ar{0}, montrer qu'il existeq, r∈A tels quer= 0 ou|r|<|b|et qui vérient, soit a=bq+r, soit2a=bq+r.
e) Montrer que l'idéal engendré par 2 dansAest maximal.
f) Montrer queA est un anneau principal.
Exercice 10 (Résultant de Sylvester)
Soientkun corps etP, Q∈k[X]des polynômes de degré respectifpetq. On appelle résultant deP etQ, que l'on noteR(P, Q) le déterminant de l'application kq−1[X]×kp−1[X] → kp+q−1[X]
(A, B) 7→ AP +BQ .
a) A quelle condition a-t-onR(P, Q) = 0?
b) En déduire que l'ensemble des nombres algébriques surQest un corps.
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