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(d) Montrer que l'idéal<1 +i√ 3>deAn'est pas maximal

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Université Mohammed V-Rabat Année Universitaire 2019-2020 Faculté des Sciences

Département de Mathématiques

Module : Algèbre 6 Série 3

Exercice 1 (Rattrapage 2017). On considère l'anneau A = Z[i√

3] = {a+ib√

3/a, b ∈ Z} et l'application f :A=Z[i√

3]→Z4,a+ib√

37→a+ 3b.

1. Montrer quef est un morphisme d'anneaux surjectif.

2. (a) DéterminerU(A). (b) Montrer que1 +i√

3 est irréductible dansA. (c) Montrer que4∈<1 +i√

3>et en déduire que kerf =<1 +i√ 3>. (d) Montrer que l'idéal<1 +i√

3>deAn'est pas maximal.

(e) L'anneauAest-il principal ?

Exercice 2. On considère l'applicationδ:Z[i]− {0} →N,a+ib7→a2+b2. Soitx∈Z[i] ety∈Z[i]− {0}. 1). a). Vérier que xy−1=u+iv, oùu, v∈Q.

b). Montrer qu'il existem, n∈Ztels que |u−m| ≤ 12 et|v−n| ≤ 12. c). Vérier quex= (m+in)y+ ((u−m) + (v−n)i)y.

d). En posant q=m+in etr= ((u−m) + (v−n)i)y, montrer queZ[i]est euclidien.

e). Le couple(q, r)est-il nécessairement unique ?

2). Dire pourquoi il existe d ∈ Z[i] tel que < 1−3i,3−i >=< d > et donner un générateur de l'idéal

<1−3i,3−i > deZ[i].

3). Montrer que l'idéal<5>deZ[i] est non premier.

4). Vérier que 5 = (2−i)(2 +i) et5 = (1 + 2i)(1−2i) sont des décompositions de5 en produit de nombres premiers dans Z[i]. Expliquer pourquoi l'existence de ces décompositions ne contredit pas le fait que Z[i]

est factoriel.

Exercice 3. Soit Aun anneau commutatif unitaire et I un idéal de A.

1). Montrer que l'idéal de A[X] engendré par I est I[X], où I[X] est l'ensemble des polynômes de A[X] à coecients dansI.

2). Montrer que siI est premier, alors I[X] est premier.I[X] est-il maximal siI est maximal ?

Exercice 4. SoitA un anneau commutatif unitaire et I un idéal de A. Montrer queA[x] est principal si, et seulement si,A est un corps.

Exercice 5. SoitP(X) =a0+a1X+· · ·+anXn ∈Z. On suppose que pq ∈Qest une racine deP(X)avec p, q deux entiers tels quep∧q= 1.

1) Montrer que pdivisea0 etqdivisean.

2) FactoriserP(X) = 3X3−X2−X−4dansQ[X]. Exercice 6.

1. Montrer queX5+ 2X2+ 1 est irréductible dansQ[X].

2. Montrer que le seul polynôme irréductible de degré2 dansZ2[X] estp(X) =X2+X+ 1. 3. Soitpun nombre premier tel quep≡3 (mod 4). Montrer queX2+ 1est irréductible sur Zp. Exercice 7.

1. Montrer queX3+ 4X2+ 6X+ 2 est irréductible dansQ[X]. 2. Montrer que 12X4+X3+X212X+12 est irréductible dansQ[X]. 3. Montrer que 23X5+ 9X3−6X+ 4 est irréductible dansQ[X]. Exercice 8.

(2)

1). Montrer que siP(a+X)est irréductible surK, alors P(X)est irréductible sur K. 2). Montrer queX4+ 4X3+ 4X2+ 4X+ 5 est irréductible sur Q.

3). Montrer que sipest un nombre premier, alors Xp−1+· · ·+X+ 1est irréductible sur Q.

Exercice 9.

1). FactoriserX4+ 3X3+X2+ 3X+ 1 dansQ[X]. 2). Factoriser3X4+ 2 dansZ5[X].

3). FactoriserX3+ 2X2+ 2X+ 1 dansZ7[X].

Exercice 10 (Rattrapage 2017). Soit p(X) =X3+ 9X+ 6∈Q[X]. 1. Montrer quep(X)est irréductible dansQ[X].

2. En déduire queQ[X]/ < p(X)>est un corps.

3. Montrer que1 +X etp(X)sont premiers entre eux dansQ[X]. 4. En déduire que1 +X est inversible dansQ[X]/ < p(X)>. 5. Déterminer l'inverse de1 +X dansQ[X]/ < p(X)>.

Exercices Supplémentaires

Exercice 11. Soit A, B deux anneaux commutatifs unitaires et f : A → B un morphisme d'anneaux. On considère l'applicationϕ:A[X]→B[X],a0+a1X+· · ·+anXn7→f(a0) +f(a1)X+· · ·+f(an)Xn. Montrer que :

1. ϕest un morphisme d'anneaux et que si f est surjectif, ϕl'est aussi.

2. Montrer que sikerf =I, alors ker(ϕ) =I[X], oùI[X]désigne l'ensemble des polynômes à coecients dansI.

3. En déduire que sif est un isomorphisme, alors ϕl'est aussi.

4. Montrer que siI est un idéal deA, alors A[X]/I[X]'(A/I)[X].

5. Soitp(X)∈A[X]. Montrer que siϕ(p(X))n'a pas de racine dansB, alorsp(X)n'a pas de racines dans A.

6. Montrer que siI est un idéal premier deA, alorsI[X]est un idéal premier de A[X]. 7. On suppose queI est un idéal maximal de A.I[X] est-il idéal maximal dans A[X]? Exercice 12 (Contrôle Final 2016). On considère l'anneau A=Z[i√

11] ={a+ib√

11/a, b∈Z}. 1. DéterminerU(A).

2. Montrer que2 et1 +i√

11 sont irréductibles dansA. 3. Montrer queAn'est pas principal.

Exercice 13. SoitAun anneau commutatif unitaire. Montrer que siA[X]est principal, alorsAest un corps.

Exercice 14 (Contrôle Final 2016).

1. Montrer quep(X) =X3+X+ 1 est irréductible dansZ5[X]. 2. On considère l'homomorphisme d'anneauxg:Z[X]→Z5[X], Pn

i=0

aiXi7→

n

P

i=0

aiXi. Montrer quekerg= 5Z[X].

3. SoitI= (p(X))l'idéal deZ5[X]engendré parp(X)et l'homomorphismef =s◦g, oùsest la surjection canoniques:Z5[X]→Z5[X]/I.

(a) Vèrier que l'homomorphismef est surjectif.

(b) Montrer que kerf = J, où J = (q(X),5) = q(X)Z[X] + 5Z[X] est l'idéal de Z[X] engendré par q(X) =X3+X+ 1 et5.

(c) Montrer queZ[X]/J est un corps.

Exercice 15 (Rattrapage 2016).

1. On considère le polynômep(X) =X5+X2+ 1∈Z2[X].

(a) Montrer que si p(X)n'est pas irréductible dansZ2[X], alors il existe un polynômeq(x)∈Z2[X] de degré 1ou2 tel queq(X)divisep(X).

2

(3)

(b) Montrer quep(X)n'a pas de diviseurs de degré1 dansZ2[X].

(c) Montrer queX2+X+ 1ne divise pasp(X)dansZ2[X]. En déduire quep(X)n'a pas de de diviseur de degré2 dansZ2[X]. Conclure.

2. Montrer queQ[X]/(X5+ 8X4+ 6X3+X2+ 10X+ 5)est un corps.

Exercice 16 (Rattrapage 2016). SoitK un corps (commutatif) etA={P(X)∈K[X]/P(X) =a0+a2X2+

· · ·+anXn, avec n∈N}, i.e., A est l'ensemble des polynômes P(X) élémentK[X] dont le coecient de X est nul.

1) Montrer que Aest un sous-anneau de K[X]. 2) DéterminerU(A).

3) Montrer que X2 et X3 sont irréductibles dansA. 4) A est-il principal ?

Exercice 17.

1. Déterminer tous les polynômes irréductibles unitaires de degré2sur Z3. 2. Montrer queP(X) = 21x3−3x2+ 2x+ 9 est irréductible dansQ[X]. 3. Montrer queP(X) =37x427X2+359X+35 est irréductible dansQ[X].

4. Montrer queP(X) = 3X5+ 15X4−20X3+ 10X+ 20 est irréductible dansQ[X].

5. Montrer que pour tout entiern >0, il existe un polynôme irréductible dans Q[X]de degré n. Exercice 18. Factoriser X3+ 6 dansZ7[X].

Exercice 19. SoitK un corps, P(X)∈K[X] eta∈K.

1). Montrer que siP(a+X)est irréductible surK, alors P(X)est irréductible sur K. 2). Montrer que8X3−6X+ 1est irréductible sur Q.

Exercice 20. SoitP(X) =X3+ 1∈Z3[X]. 1). Montrer queP(X) est irréductible dansZ3[X].

2). Montrer que(Z3[X]/(P)est un corps ayant neuf éléments.

Exercice 21. Soit K un corps (commutatif) et A={P(X)∈K[X]/P(X) =a0+a2X2+· · ·+anXn, avec n∈N}, i.e., A est l'ensemble des polynômesP(X)élémentK[X]dont le coecient deX est nul.

1) Montrer que Aest un sous-anneau de K[X]. 2) DéterminerU(A).

3) Montrer que X2 et X3 sont irréductibles dansA. 4) A est-il principal ?

Exercice 22. On considère l'anneau A=Z[i√

5] ={a+ib√

5/a, b∈Z}. 1). Montrer que2 est irréductible dansA.

2). L'idéalI deAengendré par2 et1 +i√

5est-il principal ? Conclure.

3). En utilisant une autre méthode, montrer queA n'est pas principal.

Exercice 23.

1) SoitK un corps. Montrer qu'il existe a, b∈K tels que X2+X+ 1 diviseX17+aX+b dansK[X]. 2) Donner une expression plus simple des idéaux suivants :

a) (2x5+ 2X4+ 1) + (X2+ 1) dansQ[X].

b) (3X4+X3+ 2X2+ 1) + (X2+ 4X+ 2) dansZ5[X]. Exercice 24.

1) Soitpun nombre premier.

a). Montrer que Xp−1−1 = (X−1)(X−2). . .(X−p−1) dansZp[X]. b). En déduire que (p−1)!≡ −1( modp).

Exercice 25. SoitP(X) = 16X5−20X3+ 5X−1∈R[X]. 1). CalculerP∧P0.

3

(4)

2). FactoriserP(X).

Exercice 26. On considère l'anneau A=Z[i√

3] ={a+ib√

3/a, b∈Z}. 1). Déterminer U(A).

2). Montrer que1 +i√

3 est irréductible.

3). 1 +i√

3 est-il premier.

4). Aest-il principal ?

Exercice 27. Factoriser X4−4 dansC[X], dansR[X] et dansQ[X]. Exercice 28.

1). a). Montrer queQ(X) =X3+X+ 1∈Z2[X]est irréductible sur Z2. b). Montrer queP(X) = 15X3+ 12X2+ 9X+ 27 est irréductible surQ.

c). P(X)est-il irréductible surZ?

2). On considère le morphisme ϕ:Z[X]→Z2[X], Pn

i=0

aiXi7→

n

P

i=0

aiXi. a). Montrer quekerϕ= (2).

b). Dire pourquoim= (Q)est un idéal maximal de Z2[X].

c). Montrer queϕ−1(m) = 2Z[X]+PZ[X](ind : pourϕ−1(m)⊂2Z[X]+PZ[X], remarquer queQ=ϕ(P) et queϕest surjectif).

d). En déduire que 2Z[X] +PZ[X] est un idéal maximal deZ[X].

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