signal idéal s1(t)

(1)

Didier CONSTANTIN le 24/06/2018

Analyse harmonique et spectrale du signal s1(t)

--> ce signal est pair en fixant l'origine à t=0, donc Bn=0 ; Saisir les valeurs α et Nmax pour lancer les calculs et les tracés Ce-e feuille de calcul u/lise les formules obtenues par DSF afin de vérifier leur exac/tude ; on aurait pu simplifier la méthode en u/lisant les intégrales bornées sur la période T pour calculer directement An et Bn

signal idéal s1(t)

α 2

3 =0.666667

:= Nmax:= 23 n:= 0 1, ..Nmax u:= 0 0.001, ..Nmax+ 1 rapport cyclique 0 < α ≤ 1 ; impulsion de durée t_ON = αT ; nombre maximum d'harmoniques à tracer

E:= 1 T:= 1 ω 2 π

:= T pas T

:= 1000 amplitude et période du signal (= 1 par défaut) ; pulsa&on du signal ω=2πf ; précision du pas de traçage

t:= -T,

(

-T+ pas

)

..T variable de temps déﬁnie sur intervalle [-T ; +T]

s t

( )

E t -T α T + 2





 



α T

- 2 t α T

 2

  





t T α T

- 2





 





if

0 otherwise

:= déﬁni&on du signal idéal à tracer sur l'intervalle [-T ; +T]

Nota : Les calculs Am / Bm / Sm suivants servent juste à tracer les lobes Sm(u) qui enveloppent les amplitudes maximum des harmoniques de rang n (points rouges) dans le spectre ci-dessous.

A n

( )

if n

(

1

)

2 E sin n

(

π α

)

n π



, , Eα

  

:=



coeﬀ. An du signal calculé par le DSF Am u

( )

2 E sin u

(

π α

)

u π

 :=

B n

( )

:= 0 coeﬀ. Bn du signal calculé par le DSF Bm u

( )

:= 0

S n

( )

:= A n

( )

²+ B n

( )

² h t n

( )

, := A n

( )

cos n

(

ω t

)

+B n

( )

sin n

(

ω tamplitude de l'harmonique "n" ; harmonique instantannée de rang "n"

)

Sm u

( )

:= Am u

( )

²+Bm u

( )

²

f t n

( )

, A 0

( )

1 Nmax

n

h t n

( )

,

( )



= +

:= Sfond S 1

( )

2

0.389848

=

:= somme des harmoniques de 1 à Nmax et valeur eﬃcace du fondamental

Sdc:= S 0

( )

=0.666667 Srms:= E α=0.816497 valeurs moyenne (DC) et valeur efficace vraie (AC+DC) du signal idéal Sac:= Srms²-Sdc²=0.471405 Sh:= Sac²-Sfond²=0.265029 valeur efficace AC et valeur efficace du résidu harmonique du signal idéal

Remarque intéressante : Si α = u/v et si "u" et "v" sont des nombres en/ers, alors on vériﬁe que le spectre de ce signal idéal ne comporte pas d'harmoniques de rangs mul/ples de "v".

Exemple avec α = 2/3 : Absence d'harmonique 3 et des harmoniques mul/ples de 3.

sh t

( )

:= s t

( )

-h t 1

( )

, err t

( )

:= s t

( )

-f t n

( )

, -0.5 E résidu harmonique instantanné ; erreur d'approxima/on décalée de -0,5

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

spectre de s1(t) idéal obtenu par DSF ; n = 1...23

S n

( )

Sm u

( )

2 πu

n u, Les zéros des lobes sont espacés de 1/

α

-1 -0.9-0.8-0.7 -0.6 -0.5-0.4-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1.31.2

-1.1 --0.91 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 - 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

s1(t) idéal + s1(t) par DSF + fondamental + valeur moyenne sur intervalle [-T ; +T] ; n = 23

s t

( )

f t n

( )

, h t 1

( )

, Sdc sh t

( )

err t

( )

t

(2)

Analyse harmonique et spectrale du signal s1'(t)

signal idéal s1'(t)

α 1

3 =0.333333

E:= 1 T:= 1 ω 2 π

:= T pas T

t:= -T,

(

-T+ pas

)

..T variable de temps déﬁnie sur intervalle [-T ; +T]

Remarque générale : Le spectre d'un signal purement alterna/f qui présente une symétrie d'alternance "par glissement" ne comporte pas d'harmoniques paires.

Ce-e symétrie s'exprime par : s(t + T/2) = -s(t) ou encore : |s(t + T/2)| = |s(t)|

s t

( )

E t -T α T + 2





 



α T

- 2 t α T

 2

  





t T α T

- 2





 





if

-E -T-α T

2 t -T+α T

 2

   

T-α T

2 t T+ α T

 2

   





  

if 0 otherwise

coeﬀ. An du signal calculé par le DSF A n

( )

if n

(

1

)

2 E sin n

(

π α

)

n π

 

(

1-cos n

(

π

) )

, , 0

  

:=



Am u

( )

4 E sin u

(

π α

)

u π

 :=

B n

( )

:= 0

S n

( )

:= A n

( )

²+ B n

( )

² h t n

( )

, := A n

( )

cos n

(

ω t

)

+B n

( )

sin n

(

)

Sm u

( )

:= Am u

( )

²+Bm u

( )

²

f t n

( )

, A 0

( )

1 Nmax

n

h t n

( )

,

( )



= +

:= Sfond S 1

( )

2

0.779697

=

Sdc:= S 0

( )

=0 Srms:= E 2 α=0.816497 valeurs moyenne (DC) et valeur efficace vraie (AC+DC) du signal idéal Sac:= Srms²-Sdc²=0.816497 Sh:= Sac²-Sfond²=0.242362 valeur efficace AC et valeur efficace du résidu harmonique du signal idéal

Remarque intéressante : Si α = u/v et si "u" et "v" sont des nombres en/ers, alors on vériﬁe que le spectre de ce signal idéal ne comporte pas d'harmoniques de rangs mul/ples de "v".

Exemple avec α = 2/3 : Absence d'harmonique 3 et des harmoniques mul/ples de 3.

sh t

( )

:= s t

( )

-h t 1

( )

, err t

( )

:= s t

( )

-f t n

( )

, -0.5 E résidu harmonique instantanné ; erreur d'approxima/on décalée de -0,5 :

-1 -0.9-0.8-0.7 -0.6 -0.5-0.4-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1.31.2

-1.1 --0.91 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 - 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

s1'(t) idéal + s1'(t) par DSF + fondamental + valeur moyenne sur intervalle [-T ; +T] ; n = 23

s t

( )

f t n

( )

, h t 1

( )

, Sdc sh t

( )

err t

( )

t

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

spectre de s1'(t) idéal obtenu par DSF ; n = 1...23

S n

( )

Sm u

( )

4 πu

n u, Les zéros des lobes sont espacés de 1/

α

(3)

Analyse harmonique et spectrale du signal s2(t)

--> signal ni pair ni impair, donc calcul de An et Bn ; Saisir les valeurs α et Nmax pour lancer les calculs et les tracés Ce)e feuille de calcul u+lise les formules obtenues par DSF afin de vérifier leur exac+tude ; on aurait pu simplifier la méthode en u+lisant les intégrales bornées sur la période T pour calculer directement An et Bn

signal idéal s2(t)

α 2

3 =0.666667

E:= 1 T:= 1 ω 2 π

:= T pas T

t:= -T,

(

-T+ pas

)

..T θ:= 2 π α variable de temps déﬁnie sur intervalle [-T ; +T]

s t

( )

^{E t}^

α T E

+ α if

(

-Tt-T+α T

)

E t

α T if

(

0 tα T

)

0 otherwise

A n

( )

if n

(

1

)

^E

2 α π²n²

n θsin n

( )

θ +cos n

( )

θ -1

( )



, Eα

, 2

 



 



:= coeﬀ. An du signal calculé par le DSF Am u

( )

^E

2 α π²u²

u θsin u

( )

θ +cos u

( )

θ -1

( )

 :=

B n

( )

if n

(

1

)

^-^E

2 α π²n²

n θcos n

( )

θ -sin n

(

θ

)

( )



, , 0

 



 



:= coeﬀ. Bn du signal calculé par le DSF Bm u

( )

^-^E

2 α π²u²

u θcos u

(

θ

)

-sin u

( )

θ

( )

 :=

S n

( )

:= A n

( )

²+ B n

( )

² h t n

( )

, := A n

( )

cos n

(

ω t

)

+B n

( )

sin n

(

)

Sm u

( )

:= Am u

( )

²+Bm u

( )

²

f t n

( )

, A 0

( )

1 Nmax

n

h t n

( )

,

( )



= +

:= Sfond S 1

( )

2

0.28332

=

Sdc:= S 0

( )

=0.333333 Srms E α

3 =0.471405

:= valeurs moyenne (DC) et valeur eﬃcace vraie (AC+DC) du signal idéal

Sac:= Srms²-Sdc²=0.333333 Sh:= Sac²-Sfond²=0.175615 valeur eﬃcace AC et valeur eﬃcace du résidu harmonique du signal idéal sh t

( )

:= s t

( )

-h t 1

( )

, err t

( )

:= s t

( )

-f t n

( )

, -0.5 E résidu harmonique instantanné ; erreur d'approxima+on décalée de -0,5

-1 -0.9-0.8-0.7 -0.6 -0.5-0.4-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1.31.2

-1.1 --0.91 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 - 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

s t

( )

f t n

( )

, h t 1

( )

, Sdc sh t

( )

err t

( )

t

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

S n

( )

Sm u

( )

n u,

(4)

Analyse harmonique et spectrale du signal s2'(t)

signal idéal s2'(t)

α 1

3 =0.333333

E:= 1 T:= 1 ω 2 π

:= T pas T

t:= -T,

(

-T+ pas

)

Remarque générale : Le spectre d'un signal purement alterna+f qui présente une symétrie d'alternance "par glissement" ne comporte pas d'harmoniques paires.

Ce)e symétrie s'exprime par : s(t + T/2) = -s(t) ou encore : |s(t + T/2)| = |s(t)|

s t

( )

^{E t}^

α T E

+ α if

(

-Tt-T+α T

)

E t α T

- E

2 α

- T

-2 t T -2 +α T





  

if E t

α T if

(

0 tα T

)

E t α T

- E

2 α

+ T

2 t T 2 +α T





 

if



0 otherwise

A n

( )

if n

(

1

)

^-^E

α π²n²

sin n π



2

 





n θ cos n θ n π

+ 2

  





sin n θ n π

+ 2

  

-



sin n π



2

 

+



  





, , 0

 



 



( )

^E

α π²u²

sin u π



2

 





u θ cos u θ u π

+ 2

  





sin u θ u π

+ 2

  

-



sin u π



2

 

+



  





:=

B n

( )

if n

(

1

)

^-^E

α π²n²

sin n π



2

 





n θ sin n θ n π

+ 2

  





cos n θ n π

+ 2

  

+



cos n π



2

 

-



  





, , 0

 



 



( )

^E

α π²u²

sin u π



2

 





u θ sin u θ u π

+ 2

  





cos u θ u π

+ 2

  

+



  



^cos

u π



2

 

-



  





:=

S n

( )

:= A n

( )

²+ B n

( )

² h t n

( )

, := A n

( )

cos n

(

ω t

)

+B n

( )

sin n

(

)

Sm u

( )

:= Am u

( )

²+Bm u

( )

²

f t n

( )

, A 0

( )

1 Nmax

n

h t n

( )

,

( )



= +

:= Sfond S 1

( )

2

0.416712

=

Sdc:= S 0

( )

=0 Srms E 2 α

3 =0.471405

( )

:= s t

( )

-h t 1

( )

, err t

( )

:= s t

( )

-f t n

( )

-1 -0.9-0.8-0.7 -0.6 -0.5-0.4-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1.31.2

-1.1 --0.91 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 - 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

s t

( )

f t n

( )

, h t 1

( )

, Sdc sh t

( )

err t

( )

t

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

S n

( )

Sm u

( )

n u,

(5)

Analyse harmonique et spectrale du signal s3(t)

signal idéal s3(t)

α 2

3 =0.666667

:= Nmax:= 23 n:= 0 1, ..Nmax u:= 0 0.001, ..Nmax+ 1 rapport cyclique 0 < α ≤ 1 ; impulsion de durée t_ON = αT ; nombre maximum d'harmoniques à tracer E:= 1 E2:= 1 E E1:= 0.8 E T:= 1 ω 2 π

:= T pas T

t:= -T,

(

-T+ pas

)

..T θ:= 2 π α variable de temps déﬁnie sur intervalle [-T ; +T] E0 E2+ E1

2 =0.9

:= ∆E E2-E1

2 =0.1

:= k ∆E

E0 =0.111111 :=

s t

( )

² ^{∆E t}^

α T + E2 2 ∆E 1 -α

 α

+ if

(

-Tt-T+ α T

)

2 ∆E t

α T + E1 if

(

0 tα T

)

0 otherwise

A n

( )

if n

(

1

)

¹

2 α π²n²

n θE2sin n

( )

θ + 2 ∆E cos n

( ( )

θ -1

)

 



, , E0α

 



 



( )

¹

2 α π²u²

u θE2sin u

( )

θ +2 ∆E cos u

( ( )

θ -1

)

 

 :=

B n

( )

if n

(

1

)

¹

2 α π²n²

-n θE2cos n

( )

θ + 2 ∆E sin n

( )

θ +n θE1

( )



, , 0

 



 



( )

¹

2 α π²u²

-u θE2cos u

( )

θ +u θE1+2 ∆E sin u

( )

θ

( )

 :=

S n

( )

:= A n

( )

²+ B n

( )

² h t n

( )

, := A n

( )

cos n

(

ω t

)

+B n

( )

sin n

(

)

Sm u

( )

:= Am u

( )

²+Bm u

( )

²

Sfond S 1

( )

2

0.353265

= f t n

( )

, A 0

( )

:=

1 Nmax

n

h t n

( )

,

( )



= +

Sdc:= S 0

( )

=0.6 Srms E0 α 1 k²

+ 3

 



 





=0.736357

( )

:= s t

( )

-h t 1

( )

, err t

( )

:= s t

( )

-f t n

( )

-1 -0.9-0.8-0.7 -0.6 -0.5-0.4-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1.31.2

-1.1 --0.91 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 - 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

s t

( )

f t n

( )

, h t 1

( )

, Sdc sh t

( )

err t

( )

t

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

S n

( )

Sm u

( )

n u,

(6)

Analyse harmonique et spectrale du signal s3'(t)

signal idéal s3'(t)

α 1

3 =0.333333

:= Nmax:= 23 n:= 0 1, ..Nmax u:= 0 0.001, ..Nmax+ 1 rapport cyclique 0 < α ≤ 1 ; impulsion de durée t_ON = αT ; nombre maximum d'harmoniques à tracer E:= 1 E2:= 1 E E1:= 0.8 E T:= 1 ω 2 π

:= T pas T

t:= -T,

(

-T+ pas

)

..T θ:= 2 π α variable de temps déﬁnie sur intervalle [-T ; +T] E0 E2+ E1

2 =0.9

:= ∆E E2-E1

2 =0.1

:= k ∆E

E0 =0.111111 :=

s t

( )

² ^{∆E t}^

α T + E2 2 ∆E 1 -α

 α

+ if

(

-Tt-T+ α T

)

2 ∆E t α T

- -E1 ∆E

- α T

-2 t T -2 + α T





  

if 2 ∆E t

α T + E1 if

(

0 tα T

)

2 ∆E t α T

- -E1 ∆E

+ α T

2 t T 2 + α T





 

if



0 otherwise

A n

( )

if n

(

1

)

¹

α π²n²

sin n π



2

 



² ^{∆E sin n} ^θ

n π + 2

  





n θE2 cos n θ n π

+ 2

  







-

 





-∆E 1

(

-cos n

(

π

) )

n θE1

2 sin n

(

π

)



+

 





, , 0

 



 



:= Am u

( )

¹

α π²u²

sin u π



2

 



² ^{∆E sin u} ^θ

u π + 2

  





u θE2 cos u θ u π

+ 2

  







-

 





-∆E 1

(

-cos u

(

π

) )

u θE1

2 sin



+





:=

B n

( )

if n

(

1

)

^-¹

α π²n²

sin n π



2

 



² ^{∆E cos n} ^θ

n π + 2

  





n θE2 sin n θ n π

+ 2

  







+

 





-∆E sin n

(

π

)

n θE1

2 

(

1-cos n

(

π

) )



-

 





, , 0

 



 



:= Bm u

( )

¹

α π²u²

sin u π



2

 



² ^{∆E cos u} ^θ

u π + 2

  





u θE2 sin u θ u π

+ 2

  







+

 





-∆E sin u

(

π

)

u θE1

2 

(

1-cos



-





:=

S n

( )

:= A n

( )

²+ B n

( )

² h t n

( )

, := A n

( )

cos n

(

ω t

)

+B n

( )

sin n

(

)

Sm u

( )

:= Am u

( )

²+Bm u

( )

²

Sfond S 1

( )

2

0.702344

= f t n

( )

, A 0

( )

:=

1 Nmax

n

h t n

( )

,

( )



= +

Sdc:= S 0

( )

=0 Srms E0 2 α 1 k²

+ 3

 



 





=0.736357

( )

:= s t

( )

-h t 1

( )

, err t

( )

:= s t

( )

-f t n

( )

-1 -0.9-0.8-0.7 -0.6 -0.5-0.4-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1.31.2

-1.1 --0.91 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 - 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

s t

( )

f t n

( )

, h t 1

( )

, Sdc sh t

( )

err t

( )

t

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

S n

( )

Sm u

( )

n u,

(7)

Analyse harmonique et spectrale du signal s4(t)

signal idéal s4(t)

α 1

3 =0.333333

:= Nmax:= 11 n:= 0 1, ..Nmax u:= 0 0.001, ..Nmax+ 1 rapport cyclique 0 < α ≤ 1/2 ; impulsion de durée t_ON = αT ; nombre maximum d'harmoniques à tracer

E:= 1 T:= 1 ω 2 π

:= T pas T

:= 1000 amplitude et période du signal (= 1 par défaut) ; pulsa(on du signal ω=2πf ; précision du pas de traçage

t:= -T,

(

-T+ pas

)

s t

( )

^{2 E t}^

α T

- 3 E

2 α

- 3 T

- 4 α T

- 2 t 3 T

- 4





 

if



2 E t α T

E 2 α

+ T

-4 t T -4 α T

+ 2





  

if 2 E t

α T

- E

2 α

+ T

4 α T - 2 t T

 4

   

if 2 E t

α T 3 E 2 α

- 3 T

4 t 3 T 4

α T + 2





 

if



E -Tt 3 T

- 4 α T

- 2





 



T -4 α T

+ 2 t T 4

α T - 2





 





3 T

4

α T + 2 tT

  





if

0 otherwise

:= déﬁni(on du signal idéal à tracer sur l'intervalle [-T ; +T]

Am u

( )

^{4 E}

α π²u²

sin α u π



2

 





sin u π

2

α u π - 2

  





:=

A n

( )

if n

(

1

)

^{4 E}

α π²n²

sin α n π



2

 





sin n π

2

α n π - 2

  





, E

2

(

1 -α

)



,

 

 



:= B n

( )

:= 0coeﬀ. An et Bn du signal calculé par le DSF Bm u

( )

:= 0

S n

( )

:= A n

( )

²+ B n

( )

² h t n

( )

, := A n

( )

cos n

(

ω t

)

+B n

( )

sin n

(

)

Sm u

( )

:= Am u

( )

²+Bm u

( )

²

Sfond S 1

( )

2

0.372278

= f t n

( )

, A 0

( )

:=

1 Nmax

n

h t n

( )

,

( )



= +

Sdc:= S 0

( )

=0.333333 Srms E 2

1 4 α

- 3 =0.527046

Sac:= Srms²-Sdc²=0.408248 Sh:= Sac²-Sfond²=0.167559 valeur eﬃcace AC et valeur eﬃcace du résidu harmonique du signal idéal

sh t

( )

:= s t

( )

-h t 1

( )

, err t

( )

:= s t

( )

-f t n

( )

-1 -0.9-0.8-0.7 -0.6 -0.5-0.4-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1.31.2

-1.1 --0.91 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 - 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

s t

( )

f t n

( )

, h t 1

( )

, Sdc sh t

( )

err t

( )

t

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

S n

( )

Sm u

( )

n u,

(8)

Analyse harmonique et spectrale du signal s4'(t)

signal idéal s4'(t)

α 1

3 =0.333333

E:= 1 T:= 1 ω 2 π

:= T pas T

t:= -T,

(

-T+ pas

)

s t

( )

^{2 E t}^

α T

- 3 E

2 α

- 3 T

- 4 α T

- 2 t 3 T

- 4 α T

+ 2





 

if



2 E t α T

E 2 α

+ T

-4 α T

- 2 t T

-4 α T + 2





  

if 2 E t

α T

- E

2 α

+ T

4 α T - 2 t T

4 α T + 2





  

if 2 E t

α T 3 E 2 α

- 3 T

4

α T

- 2 t 3 T 4

α T + 2





 

if



E -Tt 3 T

- 4 α T

- 2





 



T -4 α T

+ 2 t T 4

α T - 2





 





3 T

4

α T + 2 tT

  





if

-E 3 T

- 4 α T

+ 2 t T

-4 α T - 2





  

T 4

α T

+ 2 t 3 T 4

α T - 2





  

 if

A n

( )

if n

(

1

)

^{4 E}

α π²n²

sin

(

α n π

)

 sin n π



2

 





, , 0

 



 



:= B n

( )

:= 0 coeﬀ. An et Bn du signal calculé par le DSF Am u

( )

^{4 E}

α π²u²

sin

(

α u π

)

 sin u π



2

 





:= Bm u

( )

:= 0

S n

( )

:= A n

( )

²+ B n

( )

² h t n

( )

, := A n

( )

cos n

(

ω t

)

+B n

( )

sin n

(

)

Sm u

( )

:= Am u

( )

²+Bm u

( )

²

Sfond S 1

( )

2

0.744556

= f t n

( )

, A 0

( )

:=

1 Nmax

n

h t n

( )

,

( )



= +

Sdc:= S 0

( )

=0 Srms E 1 4 α

- 3 =0.745356

( )

:= s t

( )

-h t 1

( )

, err t

( )

:= s t

( )

-f t n

( )

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

S n

( )

Sm u

( )

n u, -1 -0.9-0.8-0.7 -0.6 -0.5-0.4-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-1.31.2 -1.1 --0.91 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 - 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

s t

( )

f t n

( )

, h t 1

( )

, Sdc sh t

( )

err t

( )

t

(9)

Analyse harmonique et spectrale du signal s5(x)

--> ce signal est pair en fixant l'origine à x=0, donc Bn=0 ; Saisir les valeurs α et Nmax pour lancer les calculs et les tracés Ce-e feuille de calcul u/lise les formules obtenues par DSF afin de vérifier leur exac/tude ; on aurait pu simplifier la méthode en u/lisant les intégrales bornées sur la période T pour calculer directement An et Bn

signal idéal s5(x)

α 1

3 =0.333333

E:= 1 pas 2 π

:= 1000 x:= -2 π,

(

-2 π+ pas

)

..2 π amplitude (= 1 par défaut) ; précision du pas de traçage ; variable d'angle déﬁnie sur intervalle [-2π ; +2π]

s x

( )

cos x+ 2 π 2 α

  



if

(

^x ^^-² ^π⁺ ^{α π}

)

cos x 2 α

   

if

(

^-^α ^π^^x^^{α π}

)

cos x-2 π 2 α

   

if

(

^x ^² ^π^-^{α π}

)

0 otherwise

:= déﬁni/on du signal idéal à tracer sur l'intervalle [-2π ; +2π]

1

2 α =1.5

→

traitement de ce cas par/culier par A'(n) A'(n) est calculé spéciﬁquement pour les cas où n = 1/2α

A' n

( )

:= αE

A n

( )

if n

(

1

)

if n 1 2 α





 



4 αE 1 -4 α² n²

( )

^π

cos

(

α n π

)



, , A' n

( )

 



 



, E 2 α

 π



,

 

 



( )

⁴ ^α^^E

1 -4 α² u²

( )

^π

cos

(

α u π

)

 :=

B n

( )

:= 0

S n

( )

:= A n

( )

²+ B n

( )

² h x n

(

,

)

:= A n

( )

cos n x

( )

+ B n

( )

sin n x

( )

amplitude de l'harmonique "n" ; harmonique instantannée de rang "n" Sm u

( )

:= Am u

( )

²+Bm u

( )

²

f x n

(

,

)

A 0

( )

1 Nmax

n

h x n

(

,

)

( )



= +

:= Sfond S 1

( )

2

0.270095

=

Sdc:= S 0

( )

=0.212207 Srms E α

2 =0.408248

Sac:= Srms²-Sdc²=0.348762 Sh:= Sac²-Sfond²=0.220644 valeur eﬃcace AC et valeur eﬃcace du résidu harmonique du signal idéal sh x

( )

:= s x

( )

-h x 1

(

,

)

err x

( )

:= s x

( )

-f x n

(

,

)

-0.5 E résidu harmonique instantanné ; erreur d'approxima/on décalée de -0,5

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

spectre de s5(x) idéal obtenu par DSF ; n = 1...11

S n

( )

Sm u

( )

n u, -6.28-5.76-5.24-4.71-4.19-3.67-3.14-2.62-2.09-1.57-1.05-0.52 0 0.52 1.05 1.57 2.09 2.62 3.14 3.67 4.19 4.71 5.24 5.76 6.28

-1.31.2 -1.1 --0.91 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 - 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

s5(x) idéal + s5(x) par DSF + fondamental + valeur moyenne sur intervalle [-2π ; +2π] ; n = 11

s x

( )

f x n

(

,

)

h x 1

(

,

)

Sdc sh x

( )

err x

( )

x

(10)

Analyse harmonique et spectrale du signal s5'(x)

--> ce signal est pair en fixant l'origine à x=0, donc Bn=0 ; Saisir les valeurs α et Nmax pour lancer les calculs et les tracés Ce-e feuille de calcul u/lise les formules obtenues par DSF afin de vérifier leur exac/tude ; on aurait pu simplifier la méthode en u/lisant les intégrales bornées sur la période T pour calculer directement An et Bn

signal idéal s5'(x)

α 1

6 =0.166667

:= Nmax:= 11 n:= 0 1, ..Nmax u:= 0 0.001, ..Nmax+ 1 rapport cyclique 0 < α ≤ 1/2 ; impulsion de durée t_ON = αT ; nombre maximum d'harmoniques à tracer

E:= 1 pas 2 π

:= 1000 x:= -2 π,

(

-2 π+ pas

)

s x

( )

cos x+ 2 π 2 α

  



if

(

^x ^^-² ^π⁺ ^{α π}

)

cos x+ π 2 α

   

- if

(

-π-α πx -π+ α π

)

cos x 2 α

   

if

(

^-^α ^π^^x^^{α π}

)

cos x-π 2 α

  

-



if

(

π-α πx π+α π

)

cos x-2 π 2 α

  



if

(

^x ^² ^π^-^{α π}

)

0 otherwise

:= déﬁni0on du signal idéal à tracer sur l'intervalle [-2π ; +2π]

1

2 α =3

→

traitement de ce cas par/culier par A'(n)

A'(n) est calculé spéciﬁquement pour les cas où n = 1/2α A' n

( )

:= αE

(

1 -cos n

(

π

) )

Am u

( )

^-⁸ ^α^^E

1 -4 α² u²

( )

^π

sin u π



2

 





sin α u π u π

- 2

  





A n

( )

if n

(

1

)

if n 1 :=

2 α





 



-8 αE 1 -4 α² n²

( )

^π

sin n π



2

 





sin α n π n π

- 2

  





, , A' n

( )

 



 



, , 0

 



 



:= coeﬀ. An du signal calculé par le DSF

coeﬀ. Bn du signal calculé par le DSF Bm u

( )

:= 0

B n

( )

:= 0

S n

( )

:= A n

( )

²+ B n

( )

² h x n

(

,

)

:= A n

( )

cos n x

( )

+ B n

( )

sin n x

( )

:= Am u

( )

²+Bm u

( )

²

f x n

(

,

)

A 0

( )

1 Nmax

n

h x n

(

,

)

( )



= +

:= Sfond S 1

( )

2

0.292386

=

Sdc:= S 0

( )

=0 Srms:= E α=0.408248 valeurs moyenne (DC) et valeur efficace vraie (AC+DC) du signal idéal Sac:= Srms²-Sdc²=0.408248 Sh:= Sac²-Sfond²=0.284916 valeur efficace AC et valeur efficace du résidu harmonique du signal idéal sh x

( )

:= s x

( )

-h x 1

(

,

)

err x

( )

:= s x

( )

-f x n

(

,

)

-0.5 E résidu harmonique instantanné ; erreur d'approxima/on décalée de -0,5

-6.28-5.76-5.24-4.71-4.19-3.67-3.14-2.62-2.09-1.57-1.05-0.52 0 0.52 1.05 1.57 2.09 2.62 3.14 3.67 4.19 4.71 5.24 5.76 6.28 -1.31.2

-1.1 --0.91 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 - 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

s5'(x) idéal + s5'(x) par DSF + fondamental + valeur moyenne sur intervalle [-2π ; +2π] ; n = 11

s x

( )

f x n

(

,

)

h x 1

(

,

)

Sdc sh x

( )

err x

( )

x

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

spectre de s5'(x) idéal obtenu par DSF ; n = 1...11

S n

( )

Sm u

( )

n u,

(11)

Analyse harmonique et spectrale du signal s6(x)

--> signal ni pair ni impair, donc calcul de An et Bn ; Saisir les valeurs θ et Nmax pour lancer les calculs et les tracés Ce)e feuille de calcul u+lise les formules obtenues par DSF afin de vérifier leur exac+tude ; on aurait pu simplifier la méthode en u+lisant les intégrales bornées sur la période 2π pour calculer directement An et Bn

signal idéal s6(x)

θ π

4 =0.785398

:= Nmax:= 23 n:= 0 1, ..Nmax u:= 0 0.001, ..Nmax+ 1 angle d'amorçage 0 < θ < π ; nombre maximum d'harmoniques à tracer

E:= 1 pas 2 π

:= 1000 x:= -2 π,

(

-2 π+ pas

)

s x

( )

sin x

( )

if

(

-2 π+θx-π

)



(

θx π

)

0 otherwise

:= déﬁni)on du signal idéal à tracer sur l'intervalle [-2π ; +2π]

A0 représente la valeur moyenne (n = 0)

A0 E

2 π

(

1 +cos

( )

θ

)

:=

A1 pour le fondamental calculé spéciﬁquement (n=1)

A1 E

4 π

(

cos 2

( )

θ -1

)

:=

B1 pour le fondamental calculé spéciﬁquement (n=1)

B1 E

4 π^



2

(

π-θ

)

+sin 2

( )

θ



:=

A n

( )

if n

(

>0

)

if n

(

1

)

^E

1-n²

( )

^π^

⁽

^{cos n}

⁽

^π

⁾

⁺^cos

^{( )}

^θ ^{cos n}

^{( )}

^θ ⁺^{n sin}^

^{( )}

^θ ^{sin n}

⁽

^θ

⁾ ⁾

, , A1

 



 



, , A0

 



 



( )

^E

1 -u²

( )

^π^

⁽

^{cos u}

⁽

^π

⁾

⁺^cos

^{( )}

^θ ^{cos u}

^{( )}

^θ ⁺^{u sin}^

^{( )}

^θ ^{sin u}

^{( )}

^θ

⁾

:=

B n

( )

if n

(

>0

)

if n

(

 1

)

^E

1 -n²

( )

^π^

⁽

^{sin n}

⁽

^π

⁾

⁺ ^cos

^{( )}

^θ ^{sin n}

^{( )}

^θ ^-^{n sin}^

^{( )}

^θ ^{cos n}

⁽

^θ

⁾ ⁾

, , B1

 



 



, , 0

 



 



( )

^E

1 -u²

( )

^π^

⁽

^{sin u}

⁽

^π

⁾

⁺ ^cos

^{( )}

^θ ^{sin u}

⁽

^θ

⁾

^-^{u sin}^

^{( )}

^θ ^{cos u}

^{( )}

^θ

⁾

:=

S n

( )

:= A n

( )

²+ B n

( )

² h x n

(

,

)

:= A n

( )

cos n x

( )

+ B n

( )

sin n x

( )

:= Am u

( )

²+Bm u

( )

²

f x n

(

,

)

A 0

( )

1 Nmax

n

h x n

(

,

)

( )



= +

:= Sfond S 1

( )

2

0.326323

=

Sdc:= S 0

( )

=0.271694 Srms E

2 1 θ

- π sin 2

( )

θ 2 π

+ =0.476748

( )

:= s x

( )

-h x 1

(

,

)

err x

( )

:= s x

( )

-f x n

(

,

)

-0.5 E résidu harmonique instantanné ; erreur d'approxima+on décalée de -0,5

-6.28-5.76-5.24-4.71-4.19-3.67-3.14-2.62-2.09-1.57-1.05-0.52 0 0.52 1.05 1.57 2.09 2.62 3.14 3.67 4.19 4.71 5.24 5.76 6.28 -1.31.2

-1.1 --0.91 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 - 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

s6(x) idéal + s6(x) par DSF + fondamental + valeur moyenne sur intervalle [-2π ; +2π] ; n = 23

s x

( )

f x n

(

,

)

h x 1

(

,

)

Sdc sh x

( )

err x

( )

x

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

spectre de s6(x) idéal obtenu par DSF ; n = 1...23

S n

( )

Sm u

( )

n u,

(12)

Analyse harmonique et spectrale du signal s6'(x)

signal idéal s6'(x)

θ π

4 =0.785398

E:= 1 pas 2 π

:= 1000 x:= -2 π,

(

-2 π+ pas

)

s x

( )

sin x

( )

^if

 (

-2 π+ θx -π

)



(

θxπ

) 

sin x

( )

^if

 (

-π+θx0

)



(

π+ θx 2 π

) 

0 otherwise

A0 représente la valeur moyenne (n = 0) A0:= 0

A1 pour le fondamental calculé spéciﬁquement (n=1)

A1 E

2 π

(

cos 2

( )

θ -1

)

:=

B1 E

2 π^



2

(

π-θ

)

+sin 2

( )

θ



:=

A n

( )

if n

(

>0

)

if n

(

1

)

^{E 1}

(

-^{cos n}

(

^π

) )

1-n²

( )

^π ^

⁽

^-¹ ⁺^cos

^{( )}

^θ ^{cos n}

⁽

^θ

⁾

⁺^{n sin}^

^{( )}

^θ ^{sin n}

^{( )}

^θ

⁾

, , A1

 



 



, , A0

 



 



( )

^{E 1}

(

-^{cos u}

(

^π

) )

1-u²

( )

^π ^

⁽

^-¹⁺ ^cos

^{( )}

^θ ^{cos u}

^{( )}

^θ ⁺^{u sin}^

^{( )}

^θ ^{sin u}

^{( )}

^θ

⁾

:=

B n

( )

if n

(

>0

)

if n

(

 1

)

^{E 1}

(

-^{cos n}

(

^π

) )

1-n²

( )

^π ^

⁽

^cos

^{( )}

^θ ^{sin n}

^{( )}

^θ ^-^{n sin}^

^{( )}

^θ ^{cos n}

^{( )}

^θ

⁾

, , B1

 



 



, , 0

 



 



( )

^{E 1}

(

-^{cos u}

(

^π

) )

1 -u²

( )

^π ^

⁽

^cos

^{( )}

^θ ^{sin u}

^{( )}

^θ ^-^{u sin}^

^{( )}

^θ ^{cos u}

^{( )}

^θ

⁾

:=

S n

( )

:= A n

( )

²+ B n

( )

² h x n

(

,

)

:= A n

( )

cos n x

( )

+ B n

( )

sin n x

( )

:= Am u

( )

²+Bm u

( )

²

f x n

(

,

)

A 0

( )

1 Nmax

n

h x n

(

,

)

( )



= +

:= Sfond S 1

( )

2

0.652646

=

Sdc:= S 0

( )

=0 Srms E

2

1 θ

- π sin 2

( )

θ 2 π

+ =0.674224

( )

:= s x

( )

-h x 1

(

,

)

err x

( )

:= s x

( )

-f x n

(

,

)

-6.28-5.76-5.24-4.71-4.19-3.67-3.14-2.62-2.09-1.57-1.05-0.52 0 0.52 1.05 1.57 2.09 2.62 3.14 3.67 4.19 4.71 5.24 5.76 6.28 -1.31.2

-1.1 --0.91 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 - 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

s6'(x) idéal + s6'(x) par DSF + fondamental + valeur moyenne sur intervalle [-2π ; +2π] ; n = 23

s x

( )

f x n

(

,

)

h x 1

(

,

)

Sdc sh x

( )

err x

( )

x

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

spectre de s6'(x) idéal obtenu par DSF ; n = 1...23

S n

( )

Sm u

( )

n u,

(13)

Analyse harmonique et spectrale du signal s6''(x)

signal idéal s6''(x)

θ π

4 =0.785398

E:= 1 pas 2 π

:= 1000 x:= -2 π,

(

-2 π+ pas

)

s x

( )

sin x

( )

if

(

-2 π+θx-π

)



(

θx π

)

sin x

( )

- if

(

-π+θx0

)



(

π+ θx2 π

)

0 otherwise

A0 représente la valeur moyenne (n = 0) A0 E

π

(

1+ cos

( )

θ

)

:=

A1 pour le fondamental calculé spéciﬁquement (n=1) --> Le fondamental cohérent est en fait l'harmonique 2 A1:= 0

B1:= 0

A n

( )

if n

(

>0

)

if n

(

1

)

^{E 1}

(

+ ^{cos n}

(

^π

) )

1-n²

( )

^π ^

⁽

¹ ⁺^cos

^{( )}

^θ ^{cos n}

^{( )}

^θ ⁺^{n sin}^

^{( )}

^θ ^{sin n}

⁽

^θ

⁾ ⁾

, , A1

 



 



, , A0

 



 



( )

^{E 1}

(

+ ^{cos u}

(

^π

) )

1-u²

( )

^π ^

⁽

¹ ⁺^cos

^{( )}

^θ ^{cos u}

^{( )}

^θ ⁺^{u sin}^

^{( )}

^θ ^{sin u}

^{( )}

^θ

⁾

:=

B n

( )

if n

(

>0

)

if n

(

 1

)

^{E 1}

(

+ ^{cos n}

(

^π

) )

1-n²

( )

^π ^

⁽

^cos

^{( )}

^θ ^{sin n}

⁽

^θ

⁾

^-^{n sin}^

^{( )}

^θ ^{cos n}

^{( )}

^θ

⁾

, , B1

 



 



, , 0

 



 



( )

^{E 1}

(

+ ^{cos u}

(

^π

) )

1 -u²

( )

^π ^

⁽

^cos

^{( )}

^θ ^{sin u}

^{( )}

^θ ^-^{u sin}^

^{( )}

^θ ^{cos u}

^{( )}

^θ

⁾

:=

S n

( )

:= A n

( )

²+ B n

( )

² h x n

(

,

)

:= A n

( )

cos n x

( )

+ B n

( )

sin n x

( )

:= Am u

( )

²+Bm u

( )

²

f x n

(

,

)

A 0

( )

1 Nmax

n

h x n

(

,

)

( )



= +

:= Sfond S 1

( )

2

=0

Sdc:= S 0

( )

=0.543389 Srms E 2

1 θ

- π sin 2

( )

θ 2 π

+ =0.674224

( )

:= s x

( )

-h x 1

(

,

)

err x

( )

:= s x

( )

-f x n

(

,

)

-6.28-5.76-5.24-4.71-4.19-3.67-3.14-2.62-2.09-1.57-1.05-0.52 0 0.52 1.05 1.57 2.09 2.62 3.14 3.67 4.19 4.71 5.24 5.76 6.28 -1.31.2

-1.1 --0.91 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 - 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

s6''(x) idéal + s6''(x) par DSF + fondamental + valeur moyenne sur intervalle [-2π ; +2π] ; n = 23

s x

( )

f x n

(

,

)

h x 2

(

,

)

Sdc sh x

( )

err x

( )

x

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

spectre de s6''(x) idéal obtenu par DSF ; n = 1...23

S n

( )

Sm u

( )

n u,