Signal 3 L’oscillateur harmonique

Signal 3 L’oscillateur harmonique

Lycée Vauvenargues - Physique-Chimie - PTSI 2 - 2021-2022

Contenu du programme officiel :

Notions et contenus Capacités exigibles

Oscillateur harmonique. Exemples du circuit LC et de l’oscillateur mécanique.

Établir et reconnaître l’équation différentielle qui caractérise un oscillateur harmonique ; la résoudre compte tenu des conditions initiales.

Caractériser l’évolution en utilisant les notions d’amplitude, de phase, de période, de fréquence, de pulsation.

Réaliser un bilan énergétique.

En gras les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale.

Table des matières

1 La force de rappel d’un ressort 1

1.1 Présentation des ressorts. . . 1

1.2 Modélisation de la force de rappel du ressort . . . 2

2 Le système masse-ressort horizontal 2 2.1 Étude dynamique . . . 3

2.2 L’équation différentielle de l’oscillateur harmonique . . . 3

3 Approche énergétique d’un oscillateur harmonique 4 3.1 L’énergie cinétique . . . 4

3.2 L’énergie mécanique . . . 5

3.3 Analyse des phases du mouvement . . . 6

3.4 Le portrait de phase . . . 6

4 Le système masse-ressort vertical 7 4.1 Position du problème . . . 7

4.2 L’état d’équilibre . . . 8

4.3 Résolution . . . 8 Beaucoup de systèmes en physique sont des systèmes oscillants. Nous l’avons vu par exemple lors de l’étude des ondes. Si celles-ci contiennent des composantes sinusoïdales, c’est que le phénomène physique qui leur a donné naissance l’est sans doute aussi. Nous introduisons dans ce chapitre le modèle de l’oscillateur harmonique qui permet de décrire ce genre de comportements. Cet exemple est fondamental en physique, et nous le retrouverons dans une multitude de systèmes physiques très différents, tant en mécanique qu’en électricité.

1 La force de rappel d’un ressort

1.1 Présentation des ressorts

Un ressort est un fil de métal torsadé. Lorsqu’il est faiblement déformé, l’élasticité naturelle du matériau tend à le faire revenir à sa configuration de départ.

Expérience 1 : Manipulation de ressorts On constate en imposant un effort sur les ressorts que

. si le ressort est comprimé, une force apparaît qui tend à l’étirer ; . si le ressort est étiré, une force apparaît qui tend à le comprimer.

Cette observation se schématise sur les figure 1.

`

O

`₀

−

→F

(a) Le ressort est plus étiré que le ressort à vide, la force de rappel #»

F tend à le comprimer.

`

O

`₀

−

→F

(b) Le ressort est plus comprimé que le ressort à vide, la force de rappel #»

F tend à l’étirer.

Fig. 1– Schéma de la force de rappel #»

F d’un ressort.

1.2 Modélisation de la force de rappel du ressort Définition. Un ressort est caractérisé par

. sa longueur à vide`0 qui correspond à la longueur du ressort au repos ; . sa raideur kqui s’exprime en N/m.

Lorsque le ressort est déformé par une extrémité, celui-ci exerce une force de rappel sur cette même extrémité. Cette force est donnée par

F#»(t) =−k(`(t)−`0)#»ea→`

avec `(t) la longueur à l’instant t du ressort et #»ea→` le vecteur unitaire dirigé du point d’accroche vers l’extrémité libre du ressort.

`(t)

O

`0

#»ea→` x

−

→F

Le signe de la force est extrêmement important et peut se retrouver grâce à la figure 1 . si le ressort est étiré, soit`−`₀ >0, la force est dirigée pour le comprimer ;

. si le ressort est comprimé, soit `−`0 <0, la force est dirigée pour l’étirer.

Remarque : Cette modélisation n’est valable que pour les petites déformations. En effet, si on tire trop fort sur le ressort, celui-ci va se déformer et ne reviendra pas à sa position initiale.

L’hypothèse élastique ne sera alors plus valable.

Dans un exercice, une des premières difficultés sera généralement l’expression de la longueur `(t) en fonction des données du problème. Cette expression doit être donnée dans le bilan des forces. Par ailleurs, il faut toujours matérialiser la longueur à vide`₀ sur le schéma.

2 Le système masse-ressort horizontal

Nous étudions dans ce paragraphe le problème d’un ressort de raideur k et de longueur à vide `₀ fixé à un mur par une de ses extrémité. On attache à l’autre extrémité une masse m. On étire le ressort d’une certaine longueurL puis on lâche la masse sans lui communiquer de vitesse initiale.

Comme tout problème mécanique, nous allons réaliser toute l’étude à l’aide de la méthode présentée dans le chapitre M2.

2.1 Étude dynamique

1. Le système étudié est la masse m dans le référentiel terrestre R_T supposé galiléen. Le problème sera étudié en coordonnées cartésiennes.

2. On fait un schéma dans une situation quelconque en orientant la force de rappel.

`

O

`0

#»e_x #» x

F N#»

#»p

Fig. 2– Schéma du problème du système masse-ressort horizontal.

3. Bilan des forces : #»

F = −k(`(t)−`0)#»ex = −k(x(t) −`0)#»ex par définition de la force, du vecteur

#»ea→` et car x(t) =`(t). Il faut aussi considérer le poids #»p ainsi que la réaction normale du support #»

N. Toutefois, la masse étant astreinte à rester sur le support, ces forces se compensent et #»

N =−#»p. 4. Vecteurs cinématique : La position de la masse est donnée par le vecteur positionx(t)#»ex, la vitesse

vaut donc #»v = ˙x(t)#»ex et l’accélération #»a = ¨x(t)#»ex. 5. Seconde loi de Newton :

m#»a =−k(x(t)−`0)#»ex. 6. On projette la seconde loi de Newton sur la direction #»e_x et il vient

mx(t) =¨ −k(x(t)−`0). (2.1)

De façon générale en physique, on écrit cette équation comme une équation différentielle sans coefficients devant la dérivée d’ordre supérieure, soit

x(t) +¨ k

mx(t) = k m`₀ . 2.2 L’équation différentielle de l’oscillateur harmonique

Définition. Un oscillateur harmonique est un système physique décrit par la fonction g(t) vérifiant l’équation différentielle harmonique

g(t) +¨ ω₀²g(t) =ω₀²ge (2.2) avec ω₀ lapulsation propredu système et g_e la valeur d’équilibre de la fonction g(t).

Remarque :Cette équation différentielle est à connaître sous cette forme par cœur.

Ici, la longueur d’équilibre du ressort vaut dans cet exemple la longueur à vide g_e=`₀.

Cette équation différentielle apparaît dans de très nombreux problèmes physiques, et elle apparaît d’autant plus lorsque l’on étudie des petites perturbations d’un système autour d’un point d’équilibre.

Pour résoudre cette équation, on utilise la méthode établie dans le chapitre E3, qui est basée sur les règles mathématiques de résolution d’équation différentielle.

Dans le problème du ressort horizontal, on constate ω₀ = s

k m . . Solution homogène : la solution de l’équation homogène est

x1(t) =Acosω0t+Bsinω0t

avec A etB des constantes. Il y a deux constantes car l’équation différentielle est d’ordre 2.

Remarque :On peut, de manière totalement équivalente, introduire les deux constantes sous la formeg1(t) =Acos(ω0t+φ) ou g1(t) =Asin(ω0t+φ⁰) avec A,φetφ⁰ les constantes.

. Solution particulière : le second membre est constant donc la solution particulière est une constante soit

x2(t) =C →0 +ω₀²C=ω²₀`0 →x2(t) =`0 . . Solution générale :

x(t) =x₁(t) +x₂(t) =Acosω₀t+Bsinω₀t+`₀.

. Conditions initiales : il est dit dans l’énoncé que `(0) = L et que la masse est lâchée sans vitesse initiale, soitv(0) = 0. Calculons d’abord la vitesse, on av(t) = ˙x(t) =−ω₀Asinω0t+ω0Bcosω0t.Ainsi, les conditions initiales s’expriment

L=A+ 0 +`<sub>0</sub> et 0 = 0 +B . Il vient B = 0 etA=L−`0.

. Ainsi, la position en fonction du temps de la masse est donnée par x(t) = (L−`<sub>0</sub>) cosω<sub>0</sub>t+`₀ .

Cette fonction est tracée figure 3. On reconnaît la phaseφ(t) =ω₀t, la pulsationω₀, la fréquencef₀ = ω0

2π et la période T = 2π

ω₀.

`(t)

t

`0 2(L−`₀)

T = 2π/ω₀ L

Fig. 3 – Représentation graphique de la position de la massemsoumise à la force d’un ressort horizontal sans vitesse initiale. La masse oscille autour de la position d’équilibre`₀.

3 Approche énergétique d’un oscillateur harmonique

3.1 L’énergie cinétique

Définition. On définit l’énergie cinétique d’une masse m animée d’une vitesse #»vR dans le référentiel Rpar la relation

E_c(t) = 1

2mv²_R(t) .

L’énergie cinétique dépend du référentiel d’étude car la vitesse en dépend.

La vitesse dans le référentiel d’étude vaut #»v = ˙`(t)#»e<sub>x</sub> = −(L −`₀)ω₀sinω₀t#»e_x, soit une énergie cinétique

E_c= 1

2m`˙²(t) = 1

2m(L−`₀)²ω₀²sin²ω₀t .

3.2 L’énergie mécanique

IÀ partir de la seconde loi de Newton

Repartons de l’équation différentielle (2.1) issue de la seconde loi de Newton, soit

m`(t) +¨ k(`(t)−`₀) = 0 (3.1)

Pour faire apparaître une équation de puissance, on multiplie par la vitesse ˙`(t). Il vient

m`(t)¨˙ `(t) +k`(t)(`(t)˙ −`0) = 0. (3.2) On reconnaît, en utilisant la relation mathématique 2f f⁰ = (f²)⁰,

m`(t)¨˙ `(t) = d dt

1 2m`˙²(t)

= d

dt(E_c(t)) . De la même façon, on reconnaît

k`(t)(`(t)˙ −`₀) = d dt

1

2k(`(t)−`₀)²

.

Définition. On définitl’énergie potentielle élastique du ressort par la relation E_p(t) = 1

2k(`(t)−`0)² .

Application 1 : Vérifier que cette expression a bien la dimension d’une énergie.

Avec cette définition et ce qui précède, on constate que la relation (3.2) devient d

dt(E_c(t) +E_p(t)) = 0. (3.3)

Remarque :Cette méthode est totalement analogue à celle que nous avons utilisé en électricité pour faire apparaître un bilan de puissance, à savoir la multiplication de la loi des maille par le courant (ou la loi des nœuds par la tension).

Définition. On définit l’énergie mécanique d’un système comme la somme de l’énergie cinétique du système et de toutes les énergies potentielles, soit

E_m(t) =E_c(t) +E_p(t) .

On constate par l’équation (3.3) que l’énergie mécanique du système se conserve.

Propriété.L’énergie mécanique totale d’un système décrit par une équation harmonique se conserve.

Cette conservation a des conséquences fortes. En effet, l’oscillation ne s’arrête jamais, le système est toujours en mouvement. En réalité, cela n’est pas possible car il y a toujours un terme de perte d’énergie, mais qui est négligeable sur des durée suffisamment courtes.

IÀ partir des expression temporelles

On peut retrouver cette propriété de conservation de l’énergie en écrivant l’expression temporelle de l’énergie potentielle.

En effet, on a

E_p(t) = 1

2k(`(t)−`₀)²= 1

2k(L−`₀)²cos²ω₀t . De plus, on sait que ω²₀ = k

m, il vient donc E_p(t) = 1

2m(L−`₀)²ω₀²cos²ω₀t .

Or on a vu précédemment queE_c= 1

2m(L−`₀)²ω₀²sin²ω₀t . Il vient donc E_m(t) =E_c(t) +E_p(t) = 1

2m(L−`0)²ω₀²cos²ω0t+ sin²ω0t= 1

2m(L−`0)²ω²₀ .

On retrouve bien la conservation de l’énergie mécanique, et en plus on obtient la valeur de la constante.

3.3 Analyse des phases du mouvement

On déduit de l’application que l’énergie potentielle élastique et l’énergie cinétique sont des fonction de périodeπ/ω₀. On peut les tracer en fonction du temps, comme cela est fait figure 4.

On peut trouver quatre phases du mouvement à l’aide de ce graphique, comme cela est visualisé dans l’animation[1].

E_p(t),E_c(t)

t E_m/2

E_m

π/ω₀

Fig. 4– Conservation de l’énergie dans un système masse-ressort horizontal sans vitesse initiale.

Propriété.Un oscillateur harmonique est un système dont l’énergie potentielle se transfère en énergie cinétique et inversement en permanence. L’énergie mécanique totale correspond au stock d’énergie totale disponible fournie par les conditions initiales.

3.4 Le portrait de phase

Définition. Le portrait de phase en mécanique d’un système est le tracé de la vitesse v du système en fonction de sa position x. Il s’agit d’une courbe paramétrée par le temps t, appelée généralement trajectoire.

Dans le cas de l’oscillateur harmonique, on a E_m= 1

2k(`−`₀)²+1 2mv²

qui est une constante du mouvement. Dans ce cas, la positionxcorrespond à la longueur`. Cette équation est celle d’une ellipse, comme cela est tracé figure 5. Plus l’énergie mécanique est grande, plus l’ellipse sera grande.

Pour trouver le sens de parcours du système d’une trajectoire dans le portait de phase, on analyse en un point donné le signe de la vitesse. Par exemple au maximum de la vitesse, celle-ci est positive donc la position` augmente, ce qui impose un sens de parcours horaire des trajectoires.

` v

v_max

v_min

`0 `max

`min

Fig. 5 – Portrait de phase d’un système masse-ressort horizontal. Chaque trajectoire correspond à une énergie mécanique fixée.

Propriété.Le portrait de phase d’un système décrit par une équation harmonique est un ensemble d’el- lipses parcourues dans le sens horaire.

Remarque :Le fait que les trajectoires soient fermées dans le portrait de phase est une maté- rialisation de la conservation de l’énergie du système et du caractère périodique du mouvement.

Attention, tout système dont l’énergie se conserve n’a pas nécessairement une trajectoire dans le portrait de phase fermée.

À nouveau, on peut constater les différentes phases du mouvement selon la position sur la trajectoire du portrait de phase, comme cela est réalisé sur l’animation [2].

4 Le système masse-ressort vertical

4.1 Position du problème

Considérons cette fois le même système mais ver- tical. C’est-à-dire qu’une extrémité du ressort est fixée au plafond tandis que l’autre est libre. Sur cette extrémité libre, on place une masse m. À l’instant initial, on communique une vitesse initialev₀ vers le bas à la masse qui était à sa position d’équilibre.

On étudie le problème dans le référentiel ter- restre R_T supposé galiléen et on se placera en coordonnées cartésiennes.

Bilan des forces :

. le poids #»p =m#»g =mg#»e_z; . la force de rappel du ressort #»

F = −k(`(t) −

`<sub>0</sub>)#»ea→`. Ici`(t) =`₀+z(t) d’où F#»=−kz(t)#»ez .

Seconde loi de Newton :En notant #»a le vec- teur accélération de la masse, il vient

m#»a =mg#»e_z−kz(t)#»e_z . (4.1)

` O

`₀

z= 0

z(t)

#»ez

−

→F

−

→p

Fig. 6 – Schéma du problème du système masse- ressort vertical. Attention, l’origine desz est prise au niveau de la longueur à vide du ressort.

4.2 L’état d’équilibre

Lorsque la masse est à la position d’équilibre zeq, son accélération est nulle, ainsi la seconde loi de Newton (4.1) devient

0 =mg#»e_z−kz_eq#»e_z ⇒ z_eq= mg k .

On remarque que z_eq >0, ce qui est cohérent avec le fait que le poids allonge le ressort à l’équilibre.

Dimensionnellement, la longueur mg/k est la seule possible à construire avec les données du problème, ce sera donc toujours elle qui interviendra pour l’équilibre d’un ressort vertical.

Remarque :Si le ressort était vers le haut, la longueur d’équilibre serait négative car le poids ferait descendre la masse pour comprimer le ressort.

Application 2 : Vérifier quemg/k est bien homogène à une longueur.

De même, on sait que nous allons arriver à une équation d’un oscillateur harmonique de pulsation ω₀ = ^pk/mcar c’est la seule façon de construire l’inverse d’un temps avec les données du problème. Le mouvement sera donc un mouvement sinusoïdal de pulsationω₀.

4.3 Résolution

Écrivons les vecteurs cinématiques, on a

# »

OM =z(t)#»e_z et #»v = ˙z(t)#»e_z et #»a = ¨z(t)#»e_z soit l’équation (4.1) devient, après projection sur l’axe #»e_z

m¨z(t) =mg−kz(t).

Cette équation peut être mise sous forme d’une équation différentielle et il vient z(t) +¨ k

mz(t) =g .

Or pour mettre cette équation sous forme canonique, on reconnaît ω₀= s

k

m . Par ailleurs, pour mettre l’équation sous la forme de l’équation harmonique (2.2), on veutω²₀ze=gsoitze=gm/k =zeq. L’équation sous forme canonique est donc

z(t) +¨ ω₀²z(t) =ω²₀zeq . On résout cette équation :

. Solution harmonique : z₁(t) =Acosω₀t+Bsinω₀t;

. Solution particulière : c’est une constante qui vautz2(t) =zeq; . Solution générale :z(t) =z₁(t) +z₂(t) =Acosω₀t+Bsinω₀t+z_eq;

. Conditions initiales :Calculons d’abord la vitesse ˙v(t) =−Aω₀sinω₀t+Bω₀cosω₀t.

Puis on a les conditions intilaies z(0) =zeq et ˙z(t) =v0. Soit z_eq=A+ 0 +z_eq etv₀ = 0 +Bω₀.

. Solution du problème : on a au final

z(t) = v0

ω₀sin(ω0t) +zeq . On peut tracer cette solution figure 7.

z(t)

t z_eq

2v₀ ω0

T = 2π/ω₀

Fig. 7 – Représentation graphique de la position de la masse m soumise à la force d’un ressort vertical avec vitesse initiale. La masse oscille autour de la position d’équilibrez_eq.

Références

[1] http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Oscillateurs/

oscillateur_horizontal.php

[2] http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Oscillateurs/ressort.

php