Analyse fréquentielle du signal

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Analyse fréquentielle du signal

Hajer Bahouri, François Vigneron

To cite this version:

Hajer Bahouri, François Vigneron. Analyse fréquentielle du signal. Images des Mathématiques, CNRS,

2019. �hal-02350738�

Analyse fr´equentielle du signal

H. Bahouri, F. Vigneron 26 d´ ecembre 2018

R´ esum´ e

Les signaux sont pr´ esents partout autour de nous. L’analyse du signal est au coeur des math´ ematiques appliqu´ ees et permet de d´ ecoder l’information. Un des principaux outils est l’analyse des fr´ equences. Nous pr´ esentons ici l’analyse fr´ equentielle d’abord dans le cas de signaux p´ eriodiques avant d’ouvrir quelques perspectives sur des cas plus g´ en´ eraux.

L’article contient de nombreuses images et animations pour illustrer les concepts de la fa¸ con la plus concr` ete possible. L’article est auto-contenu et devrait ˆ etre accessible aux lyc´ eens.

Cet article est disponible en ligne sur le site Images des Math´ ematiques :

http://images.math.cnrs.fr/Analyse-frequentielle-du-signal.html

Dans ce fichier PDF, qui constitue la version imprimable de l’article, les liens soulign´ es, les adresses web verbatim et les images encadr´ ees sont actifs. Une version interactive, au format CDF (Computable Document Format), est aussi disponible ` a l’adresse suivante :

https://www.dropbox.com/s/8psi7nzx3t9avxe/AFS_Bahouri-Vigneron.cdf?dl=0

La version interactive permet de jouer directement avec les param` etres des animations. La vi-

sionneuse CDF (gratuite, multi-plateforme) peut-ˆ etre t´ el´ echarg´ ee sur le site de Wolfram. Sauf

mention contraire, nous avons produit chaque video, sp´ ecialement pour cet article.

1 Qu’est-ce qu’un signal ?

1.1 Deux exemples, en guise d’introduction

Animation 1. L’oscillation d’un pendule est associ´ ee ` a de nombreuses fonctions math´ ematiques, comme la d´ ependance de l’angle en fonction du temps ou le niveau d’´ energie du pendule. Ces fonctions sont des signaux. Jouez l’animation et observez les liens entre les diff´ erents signaux.

https://www.youtube.com/embed/jGeJnrhTMXo?rel=0

L’amplitude du signal diminue au cours du temps ` a cause des frottements qui amortissent les oscillations.

Animation 2. Le mouvement des plan` etes autour du soleil est aussi associ´ ee ` a de nombreux signaux. Jouez l’animation suivante et observez comment varie la distance entre la Terre et Mercure, V´ enus et Mars, en fonction du temps.

https://www.youtube.com/embed/LF605Ee93Xs?rel=0

A la diff´ erence de l’animation avec le pendule, les signaux obtenus se r´ ep` etent ` a

l’identique ` a intervalles de temps r´ eguliers ; on dit qu’ils sont p´ eriodiques.

1.2 Signaux et fonctions

Un signal est une quantit´ e qui d´ epend du temps.

Par exemple, le cours d’une action financi` ere, la temp´ erature moyenne quotidienne ` a Paris, ou la population d’un pays sont des signaux. Chaque signal varie de fa¸ con significative ` a l’´ echelle qui lui est propre. Le cours de la bourse varie ` a la seconde pr` es, la temp´ erature ` a quelques heures pr` es, alors que les changements de population d’un pays ne sont sensibles qu’` a l’ordre de l’ann´ ee ou de la d´ ecennie.

Math´ ematiquement, un signal est mod´ elis´ e par une fonction t → f (t) qui ` a chaque instant

t ∈ R associe une valeur f(t). La grandeur f (t) peut, selon le mod` ele, repr´ esenter des propri´ et´ es

tr` es vari´ ees, comme un prix, une temp´ erature, un nombre d’individus, etc...

2 Notion de signal p´ eriodique

Parmi tous les signaux possibles, ceux qui nous int´ eressent dans la suite de cet article sont ceux qui ont la propri´ et´ e d’ˆ etre p´ eriodiques.

2.1 D´ efinition

Un signal est p´ eriodique lorsqu’on y observe un motif qui se r´ ep` ete ` a l’identique, ` a intervalles de temps r´ eguliers.

Math´ ematiquement, on dit qu’une fonction f : R → R est p´ eriodique de p´ eriode T > 0 lorsque la relation f (t + T ) = f (t) est satisfaite pour tout t ∈ R .

2.2 Motif fondamental d’un signal p´ eriodique

Le graphe d’une fonction p´ eriodique est invariant par la translation horizontale de vecteur T − →

i o` u − →

i d´ esigne le vecteur unit´ e port´ e par l’axe des temps (en abscisse). La portion du graphe correspondant ` a t ∈ [0, T ] s’appelle le motif fondamental. Ce motif est r´ ep´ et´ e ` a l’identique sur chaque intervalle de la forme [kT, (k + 1)T ] avec k ∈ Z . Par exemple, la fonction de la figure pr´ ec´ edente est p´ eriodique et son motif fondamental est dessin´ e en rouge.

Une fonction p´ eriodique de p´ eriode T poss` ede d’autres p´ eriodes : 2T, 3T, ... En g´ en´ eral, parmi toutes les p´ eriodes possibles, on choisit la plus petite, mais ce n’est pas obligatoire.

Une fonction p´ eriodique n’est pas n´ ecessairement r´ eguli` ere. Par exemple, la fonction sui-

vante est p´ eriodique, de p´ eriode T , mais elle n’est pas continue.

2.3 Signaux non p´ eriodiques

Les fonctions suivantes ne sont pas p´ eriodiques. Certes, on a l’impression qu’un certain motif se r´ ep` ete, mais le motif n’est pas r´ ep´ et´ e ` a l’identique.

Par exemple, pour la premi` ere, on observe que l’oscillation n’a pas lieu ` a intervalles de temps r´ eguliers ; pour la seconde, les intervalles de temps sont r´ eguliers, mais l’amplitude diminue au cours du temps.

2.4 Fr´ equence fondamentale d’un signal p´ eriodique

Consid´ erons ` a nouveau une fonction p´ eriodique de p´ eriode T . Le signal f (t) se r´ ep` ete toutes les T secondes. Dans un intervalle de temps de dur´ ee ∆T , le signal est donc r´ ep´ et´ e ∆T /T fois.

Si ∆T /T n’est pas un entier, on observe k r´ ep´ etitions du motif fondamental (o` u k est la partie

enti` ere de ∆T /T ), suivies d’une fraction du motif fondamental qui correspond ` a la partie

d´ ecimale (les chiffres apr` es la virgule) de ∆T /T .

Animation 3. Dans l’animation suivante, comparez la valeur de ∆T /T au nombre de r´ ep´ etitions du motif fondamental.

https://www.youtube.com/embed/qzV4czbvtyM?rel=0

Une fa¸con de reproduire un signal p´ eriodique f (t) consiste ` a dessiner le motif fondamental autour d’un cercle de rayon 1. On fait alors tourner une aiguille ` a vitesse angulaire constante de fa¸ con ` a r´ ealiser un tour complet en T secondes. L’aiguille parcourt le motif fondamental du signal ` a chaque tour, toutes les T secondes. Cette construction permet d’identifier une fonction p´ eriodique ` a une fonction d´ efinie sur le cercle unit´ e.

Animation 4. Visionnez l’animation suivante et observez comment l’aiguille rouge parcourt le motif fondamental du signal ` a chaque tour. Les graduations des deux graphiques se correspondent.

https://www.youtube.com/embed/1qzgb9wCWJM?rel=0

L’aiguille tourne de 2π radians (360 degr´ es) pendant la dur´ ee T d’une p´ eriode du signal.

La vitesse angulaire de l’aiguille est donc de 2π/T radians par unit´ e de temps : ` a chaque unit´ e

de temps, l’aiguille avance de 2π/T radians.

La fr´ equence fondamentale d’une fonction p´ eriodique de p´ eriode T est le nombre ω = 2π

T · (1)

Insistons sur le fait que la fr´ equence fondamentale ne d´ epend pas des d´ etails du signal dans l’intervalle [0, T ]. La fr´ equence fondamentale refl` ete seulement le fait que le signal est p´ eriodique de p´ eriode T .

Pour les lecteurs avanc´ es : comment repr´ esenter les valeurs n´ egatives du signal ? Le graphique ` a gauche est une courbe param´ etr´ ee en coordonn´ ees polaires (r, θ). Son ´ equation est r = exp f

. Les valeurs positives de f sont repr´ esent´ ees ` a l’ext´ erieur du disque unit´ e tandis que les valeurs n´ egatives sont repr´ esent´ ees ` a l’int´ erieur du disque.

https://www.youtube.com/embed/rlR9O2DAPfY?rel=0 A la section §7.3, nous utiliserons une autre repr´ esentation polaire r = f

, o` u le signal est enroul´ e

autour de l’origine plutˆ ot qu’autour du disque unit´ e.

3 Exemples ´ el´ ementaires de signaux p´ eriodiques

Les signaux p´ eriodiques qui nous ont accompagn´ es jusqu’` a pr´ esent sont relativement “com- plexes” puisque leurs motifs fondamentaux comportent plusieurs oscillations internes d’ampli- tudes vari´ ees. Cherchons dans un premier temps ` a ´ eliminer cette “texture” pour obtenir un signal p´ eriodique de p´ eriode T qui soit le plus simple possible.

3.1 Signaux constants

Un signal constant f (t) = C est p´ eriodique de p´ eriode T , quelle que soit la valeur de T .

Cet exemple est trop simple ! Cherchons un autre exemple plus int´ eressant.

3.2 Signaux sinuso¨ıdaux

Le deuxi` eme plus simple exemple d’une fonction p´ eriodique de p´ eriode T est la fonction f(t) = sin(ωt) o` u ω = 2π/T d´ esigne la fr´ equence fondamentale.

Animation 5. Observez l’effet de la valeur de la p´ eriode T sur le graphe de la fonction sin(2πt/T ). Ci-dessous, tous les graphes sont repr´ esent´ es dans une fenˆ etre temporelle fixe t ∈ [0, 10].

https://www.youtube.com/embed/5Nls8jQnn8Y?rel=0

Lorsque la p´ eriode d’un signal sinuso¨ıdal est r´ eduite ` a l’ordre de quelques millisecondes, le graphe du signal n’est plus vraiment lisible ` a notre ´ echelle. En effet, ` a cette fr´ equence, il y aurait de l’ordre de 1000 oscillations par seconde : il n’y a simplement pas assez de pixels pour repr´ esenter fid` element tous ces d´ etails. Par contre, l’oreille humaine est parfaitement capable de percevoir ce genre de signaux.

Animation 6. Certains sons purs ne contiennent qu’une seule harmonique ; ce sont des signaux sinuso¨ıdaux. Ecoutez les deux enregistrements suivants. Le premier est une gamme de notes pures. Le second balaie continˆ ument une gamme de fr´ equences (on dit que c’est un “chirp”).

https://www.youtube.com/embed/rNPOk32XHxg?rel=0

Le trac´ e en bleu repr´ esente la pression acoustique, c’est ` a dire le volume sonore r´ eel (qui diff` ere l´ eg` erement du volume per¸ cu, car la sensibilit´ e de l’oreille d´ epend de la fr´ equence). Le trac´ e en orange repr´ esente la fr´ equence.

3.3 Au del` a des signaux sinuso¨ıdaux

La richesse et la complexit´ e des signaux sonores nous invite ` a aller au del` a des seuls signaux sinuso¨ıdaux.

Animation 7. Les sons qui nous entourent sont en g´ en´ eral la superposition de plusieurs fr´ equences ´ emises simultan´ ement. Ecoutez ces deux enregistrements : quelques notes d’un piano r´ eel, et le message de Neil Armstrong depuis la surface lune.

https://www.youtube.com/embed/laSug6IyUwE?rel=0

Le trac´ e en bleu repr´ esente la pression acoustique. Le trac´ e en orange est une repr´ esentation du signal dans le plan temps-fr´ equence : l’´ energie du signal est r´ epartie sur diff´ erentes fr´ equences et l’intensit´ e de la couleur croˆıt avec l’´ energie.

Observez comment la repr´ esentation des fr´ equences illustre la “richesse” du signal.

Nous percevons cette richesse comme le timbre sonore. C’est ce qui nous permet

de distinguer imm´ ediatement un piano de concert d’une transmission radio.

4 Op´ erations sur les signaux p´ eriodiques ; synth` ese harmonique

On souhaite obtenir des signaux p´ eriodiques avec plus de “texture” dans leur motif fon- damental. Il est possible d’arriver ` a ce r´ esultat en combinant plusieurs signaux sinuso¨ıdaux.

Cette op´ eration met en oeuvre deux m´ ecanismes fondamentaux tr` es simples : le d´ ephasage et la superposition. Lorsqu’on cr´ ee un signal de cette fa¸ con, on dit qu’on synth´ etise le signal ` a partir de ses harmoniques. Ce processus est apparent´ e ` a celui de la production de sons complexes par un instrument de musique.

Dans la suite de cet article, on fixe la p´ eriode T ` a une valeur T = T 0 . La fr´ equence fondamentale correspondante est ω ₀ = 2π/T ₀ .

4.1 Harmoniques associ´ ees ` a une fr´ equence fondamentale

Pour chaque r´ eel ω > 0, la fonction sin(ωt) est p´ eriodique. Mais la plupart de ces fonctions ne sont pas de p´ eriode T ₀ : lorsqu’on trace le graphe sur [0, T ₀ ] on constate que la valeur (et/ou la pente) en T ₀ ne revient pas ` a la valeur prise ` a l’origine sauf pour certaines valeurs particuli` eres de ω.

Quelles sont donc les fr´ equences ω pour lesquelles sin(ωt) est de p´ eriode T ₀ ?

Animation 8. La fr´ equence ω varie. Lorsque ω est ` a moins de 5% d’une valeur qui donne un signal de p´ eriode T ₀ , la courbe s’affiche en rouge. Observez alors la valeur de ω dans la l´ egende.

https://www.youtube.com/embed/hZ3kw6_bVW4?rel=0

Parmi les fonctions sin(ωt), celles qui sont de p´ eriode T ₀ sont exactement celles pour lesquelles ω est un multiple de ω 0 , c’est-` a-dire lorsque ω = nω 0 avec n entier. Pour n ∈ N, on dit que les fonctions

sin(nω ₀ t) (2)

sont des harmoniques associ´ ees ` a la fr´ equence fondamentale ω ₀ . Dans le graphe de l’harmonique d’ordre n, le motif fondamental est r´ ep´ et´ e n fois sur l’intervalle [0, T 0 ].

Remarque. On pourrait aussi envisager de prendre n ∈ Z . Nous verrons dans la section suivante que cela revient ` a faire un d´ ephasage. On peut donc se limiter aux entiers naturels.

Animation 9. Observez les premi` eres harmoniques lorsque n varie.

https://www.youtube.com/embed/kWUqCAnljJw?rel=0

La vid´ eo suivante (par ToneSpectra.com) illustre la notion d’harmonique avec une corde de longueur fixe.

https://www.youtube.com/embed/no7ZPPqtZEg?rel=0

4.2 Retard et d´ ephasage

Dans la section pr´ ec´ edente, nous avons trouv´ e une infinit´ e de fonctions sinuso¨ıdales de p´ eriode T ₀ : les fonctions sin(nω ₀ t) avec n ∈ N . Or, toutes ces fonctions ont la propri´ et´ e de s’annuler en 0. Est-il possible d’obtenir des fonctions p´ eriodiques prenant une valeur diff´ erente

`

a l’origine ?

Etant donn´ ´ ee une fonction p´ eriodique f de p´ eriode T ₀ , la fonction f(t + R) est aussi une fonction p´ eriodique, de mˆ eme p´ eriode T 0 . La valeur ` a l’origine de f (t + R) est f(R).

En choisissant convenablement la valeur de R, on peut donc obtenir comme valeur initiale n’importe quelle valeur prise par f au cours d’une p´ eriode. On dit que la fonction f (t + R) est obtenue ` a partir de f (t) par retard.

Exemple. Pour la fonction f (t) = sin(nω 0 t), le retard peut s’exprimer de deux fa¸ cons selon que nω ₀ est mis en facteur ou pas :

f (R + t) = sin (nω 0 (R + t)) = sin (nω 0 t + φ) avec φ = nω 0 R = ^2nπR _T

0

. On dit que φ est le d´ ephasage. Contrairement au retard R qui s’exprime en unit´ es de temps, le d´ ephasage φ est mesur´ e en radians.

Animation 10. Observez comment le motif fondamental se d´ ecale lorsqu’on ap- plique un d´ ephasage. En particulier, observez l’´ evolution de la valeur ` a l’origine.

https://www.youtube.com/embed/pmwgaN-wSyw?rel=0 On illustre ainsi les propri´ et´ es suivantes :

— Lorsque φ est multiple de 2π, on retrouve la fonction initiale.

— Tous les d´ ephasages peuvent ˆ etre obtenus avec φ ∈ (−π, +π].

Exemple 1. Lorsque le d´ ephasage appliqu´ e ` a f (t) = sin(nω ₀ t) est φ = (2k + 1)π avec k ∈ Z , on obtient la fonction

sin (nω ₀ t + φ) = − sin (nω ₀ t) = sin (−nω ₀ t) .

Exemple 2. Observons aussi que lorsqu’on applique un d´ ephasage d’un quart de p´ eriode de

retard ` a la fonction sinus, on obtient la fonction cosinus :

La formule correspondante est

sin x + π

2

= cos x.

4.3 Superposition

Etant donn´ ´ ees deux fonctions f et g p´ eriodiques de p´ eriode T 0 , leur somme est aussi une fonction p´ eriodique de p´ eriode T ₀ . Lorsqu’on calcule la somme, on dit qu’on superpose les signaux f et g.

Si on superpose un signal ` a lui-mˆ eme, on peut modifier son amplitude. Plus g´ en´ eralement, on peut multiplier l’amplitude par un r´ eel α quelconque : la fonction α · f (t) est une fonction p´ eriodique de p´ eriode T 0 .

Lorsqu’on combine la multiplication par un r´ eel et la superposition de deux signaux, on dit

qu’on r´ ealise une combinaison lin´ eaire des signaux f et g.

Animation 11. Observez que la combinaison lin´ eaire de deux signaux engendre des motifs plus complexe que ceux des signaux initiaux.

https://www.youtube.com/embed/wtgBcgCgVqc?rel=0 Dans cette animation, la phase des signaux n’est pas modifi´ ee.

Animation 12. L’animation suivante illustre la superposition des 3 premi` eres har- moniques associ´ ees ` a la fr´ equence fondamentale ω ₀ . Dans cette animation, la phase des signaux n’est pas modifi´ ee ; ils s’annulent donc tous simultan´ ement en t = 0.

https://www.youtube.com/embed/T36YWBcOgvg?rel=0

4.4 Synth` ese d’un signal ` a partir d’un nombre fini d’harmoniques

Dans les sections pr´ ec´ edentes, nous avons vu que le signal constant g ₀ (t) = 1 ainsi que

les signaux g n (t) = sin(nω 0 t + φ) sont tous p´ eriodiques de p´ eriode T 0 = 2π/ω 0 , pour tout

entier n ∈ N et tout nombre r´ eel φ ∈ (−π, +π]. Ces signaux correspondent aux harmoniques

d’ordre n, d´ ephas´ ees d’un angle φ.

Superposons le signal constant et la premi` ere harmonique. On obtient : f 1 (t) = α 0 + α 1 sin(ω 0 t + φ 1 ).

Si on ajoute ` a ce nouveau signal une modulation de la deuxi` eme harmonique, on obtient : f 2 (t) = α 0 + α 1 sin(ω 0 t + φ 1 ) + α 2 sin(2ω 0 t + φ 2 ).

On peut continuer ainsi en ajoutant de plus en plus d’harmoniques.

f N (t) = α 0 + α 1 sin(ω 0 t + φ 1 ) + α 2 sin(2ω 0 t + φ 2 ) + . . . + α N sin(N ω 0 t + φ N ). (3) Cette formule s’´ ecrit de fa¸ con plus compacte :

f _N (t) = α ₀ +

N

X

j=1

α _j sin(jω ₀ t + φ _j ). (4)

Pour g´ en´ erer ce signal, on a besoin de sp´ ecifier les N + 1 modulations d’amplitude α 0 , ..., α _N et les N d´ ephasages φ ₁ , ..., φ _N , c’est-` a-dire 2N + 1 param` etres. Les coefficients α _j , φ _j sont appel´ es les coefficients de Fourier du signal f.

Animation 13. L’animation suivante illustre la synth` ese ` a partir du signal constant et des 3 premi` eres harmoniques de fr´ equence fondamentale ω 0 . A la diff´ erence de l’animation pr´ ec´ edente, on fait varier non seulement les amplitudes, mais aussi les phases.

https://www.youtube.com/embed/6jd9S-vRztQ?rel=0

Les changements d’amplitudes et de d´ ephasages engendrent une grande diversit´ e de motifs fondamentaux de p´ eriode T ₀ .

4.5 Peut-on obtenir un d´ ephasage par superposition ?

La formule suivante permet d’obtenir un d´ ephasage quelconque en superposant les fonctions sin(ωt) et cos(ωt).

sin(ωt + φ) = cos(φ) sin(ωt) + sin(φ) cos(ωt).

Preuve. La preuve se ram` ene ` a d´ emontrer une formule pour un sinus d’une somme. En utilisant les notations de la figure ci-dessous, le calcul est :

sin(α + β) = HC + KB

= OC sin α + BC cos α

= OB cos β sin α + OB sin β cos α

= cos β sin α + sin β cos α.

On applique alors cette formule avec α = ωt et β = φ ; on obtient ainsi la formule reliant d´ ephasage et superposition.

Voici une vid´ eo de Khan Academy (en anglais) qui d´ etaille la preuve de la formule pr´ ec´ edente.

Pour les lecteurs avanc´ es. La formule pour sin(α+β ) exprime aussi l’op´ eration suivante parmi les nombres complexes : e

= e

e

.

Une cons´ equence importante est la suivante. La formule f _N (t) = α 0 +

N

X

j=1

α j sin(jω 0 t + φ j )

pour la synth` ese d’un signal ` a partir d’un nombre fini d’harmoniques peut se r´ e´ ecrire de la fa¸con suivante :

f N (t) = a 0 +

N

X

j=1

a j cos(jω 0 t) + b j sin(jω 0 t). (5)

Les 2N + 1 coefficients a j , b j sont aussi appel´ es les coefficients de Fourier du signal f .

Pour les lecteurs avanc´ es : ces coefficients sont-ils uniques ? Les coefficients a

, b

sont uniques. Par contre, pour α

, φ

, on peut changer α

en −α

tout en modifiant la phase φ

en φ

+ π, pour j ≥ 1 ; on peut aussi ajouter un multiple entier quelconque de 2π ` a φ

. On peut ´ eliminer ces ambigu¨ıt´ es en supposant que α

≥ 0 et φ

∈ (−π, +π], pour tout j 6= 0. On peut enfin v´ erifier les relations suivantes :

a

= α

et a

= α

sin (φ

) , b

= α

cos (φ

) pour j = 1, . . . , N.

4.6 Peut-on avoir un nombre infini d’harmoniques ?

Math´ ematiquement, il est possible de superposer une infinit´ e d’harmoniques. Cependant, il faut alors prendre certaines pr´ ecautions pour que l’op´ eration ait un sens. Par exemple, si la famille des amplitudes (α j ) j∈ N est d’´ energie finie, c’est-` a-dire si la limite

E = lim

N→+∞





N

X

j=0

|α _j | ²





existe dans R, alors on peut donner un sens math´ ematique pr´ ecis ` a la superposition infinie suivante :

f (t) = α 0 +

∞

X

j=1

α j sin(jω 0 t + φ j ).

Pour les lecteurs avanc´ es. La d´ efinition pr´ ecise de la convergence d’une s´ erie infinie d’harmoniques

n´ ecessite des notions de topologie et d’analyse fonctionnelle, ce qui d´ epasse le cadre de cet article.

5 Analyse fr´ equentielle d’un signal n’ayant qu’un nombre fini d’harmoniques

L’analyse fr´ equentielle est le m´ ecanisme inverse de la synth` ese harmonique. Il s’agit d’iden- tifier les diff´ erentes harmoniques qui constituent le signal.

5.1 D´ efinition de l’objectif de l’analyse fr´ equentielle

Consid´ erons, dans ce paragraphe, un signal f (t) que nous allons supposer constitu´ e d’un nombre fini d’harmoniques, c’est ` a dire qu’il est de la forme :

f(t) = α ₀ +

N

X

j=1

α _j sin(jω ₀ t + φ _j ) (6)

f (t) = α ₀ + α ₁ sin(ω ₀ t + φ ₁ ) + α ₂ sin(2ω ₀ t + φ ₂ ) + . . . + α _N sin(N ω ₀ t + φ _N )

o` u N est un nombre fini. On suppose qu’on dispose seulement du signal f (t) : pour chaque t, on a acc` es ` a la valeur f (t) mais ` a rien d’autre. En particulier, les valeurs des amplitudes et des phases sont inconnues ; mˆ eme le nombre N est inconnu.

Est-il possible de retrouver les valeurs de N , les amplitudes α j et les phases φ j ` a partir de la seule connaissance du signal f (t) ? Ce probl` eme s’appelle r´ ealiser l’analyse fr´ equentielle de f.

Remarque. Dans la section §4.5 nous avons vu que le signal f (t) peut aussi s’´ ecrire : f (t) = a ₀ +

N

X

j=1

a _j cos(jω ₀ t) + b _j sin(jω ₀ t). (7) D´ eterminer les coefficients a _j et b _j est une variante du probl` eme de l’analyse fr´ equentielle de f . 5.2 Deux petits jeux pour comprendre ce qu’est l’analyse fr´ equentielle

Jeu 1. On consid` ere un signal p´ eriodique f (t) de la forme f(t) = α ₀ + α ₁ sin(ω ₀ t + φ ₁ ).

Ce signal est repr´ esent´ e dans l’animation suivante (courbe rouge). L’objectif du jeu

est de r´ ealiser l’analyse fr´ equentielle de ce signal. Pour cela, on change les valeurs

des amplitudes et des phases pour g´ en´ erer un nouveau signal (courbe bleue). Les

courbes se superposent lorsque les trois param` etres sont identifi´ es.

https://www.youtube.com/embed/QVmVEnf8OgQ?rel=0

Jeu 2. Ici, on consid` ere un signal p´ eriodique f(t) (courbe rouge) de la forme f (t) = α 0 + α 1 sin(ω 0 t + φ 1 ) + α 2 sin(2ω 0 t + φ 1 ).

En changeant les valeurs des amplitudes et des phases, on g´ en` ere un nouveau si- gnal (courbe bleue). Les courbes se superposent lorsque les trois param` etres sont identifi´ es.

https://www.youtube.com/embed/nM_XJ5TIz_4?rel=0

Remarque. Les jeux sont plus amusants dans la version interactive de l’article ; t´ el´ echargez CDF Player pour ouvrir le document interactif.

5.3 Strat´ egie (hilbertienne) pour analyser un signal

L’id´ ee fondamentale pour analyser un signal f (t) est de calculer des moyennes pond´ er´ ees.

Plus pr´ ecis´ ement, ´ etant donn´ ee une fonction continue arbitraire g(t), une approximation de la

moyenne pond´ er´ ee de f ` a l’ordre N est : 1

N

N

X

k=1

f kT

N

g kT

N

= 1 N

f (T /N)g(T /N) + f(2T /N)g(2T /N) + . . . . . . + f ((N − 1)T /N )g((N − 1)T /N) + f(T )g(T )

. A la limite, lorsque le nombre N de points tend vers l’infini, on obtient une int´ egrale :

1 T

Z T 0

f (t)g(t)dt.

Cette formule permet de calculer la valeur de l’aire sous le graphe de f (t)g(t), normalis´ ee par T ; si f g change de signe, la contribution ` a l’aire totale de chaque zone est compt´ ee avec son signe.

Animation 14. V´ erifiez sur l’exemple suivant que l’int´ egrale est bien la valeur limite de la moyenne pond´ er´ ee.

https://www.youtube.com/embed/cndj_3GYEQ4?rel=0

On dit que la fonction g(t) joue le rˆ ole de fonction test. Son rˆ ole est d’isoler une partie du signal f (t).

Le calcul pr´ ec´ edent s’interpr` ete comme suit : la fonction test g mod´ elise un capteur physique.

Lorsque le signal f traverse ce capteur, il interagit avec lui et produit la r´ eponse _T ¹ R T

0 f (t)g(t)dt.

Cette r´ eponse correspond ` a l’excitation moyenne du capteur. Math´ ematiquement, on peut

choisir arbitrairement la fonction g (parmi les fonctions continues). En collectant suffisamment

d’observations, on peut raisonnablement esp´ erer (et on peut mˆ eme d´ emontrer) qu’il est possible

de retrouver les valeurs des coefficients de Fourier.

Pour les lecteurs avanc´ es : notion de produit scalaire. La formule 1

T Z

0

f (t)g(t)dt

constitue ce qu’on appelle un produit scalaire des fonctions f et g. Cette notion g´ en´ eralise, dans le cadre des espaces de fonctions, la notion usuelle de produit scalaire dans R

ou R

. C’est le point de d´ epart de l’analyse hilbertienne.

5.4 Formules permettant d’analyser un signal

En appliquant la strat´ egie pr´ esent´ ee ` a la section pr´ ec´ edente, avec les fonctions test g j (t) = sin(jω 0 t) et h j (t) = cos(jω 0 t), on peut calculer les coefficients de Fourier a j et b j puis en d´ eduire les valeurs α _j et φ _j .

5.4.1 Calcul des coefficients de Fourier a j et b j

L’objectif est de d´ eterminer les coefficients a j et b j du signal f(t) repr´ esent´ e comme suit : f (t) = a ₀ +

N

X

j=1

a _j cos(jω ₀ t) + b _j sin(jω ₀ t).

En utilisant les fonctions test g j (t) = sin(jω 0 t) et h j (t) = cos(jω 0 t), on obtient (voir justifica- tion ci-dessous) :

a ₀ = 1 T

Z T 0

f (t)dt, (8)

a j = 2 T

Z T 0

f (t) cos(jω 0 t)dt (j ≥ 1), (9)

b _j = 2 T

Z T 0

f (t) sin(jω ₀ t)dt (j ≥ 1). (10)

Pour d´ eterminer la valeur de N , il suffit de chercher le plus petit entier N ` a partir duquel tous les coefficients de Fourier sont nuls, c’est-` a-dire

a N +1 = b N +1 = a N +2 = b N +2 = . . . = 0.

5.4.2 Calcul des coefficients de Fourier α _j et φ _j

Rappelons que les coefficients α j et φ j de notre premi` ere repr´ esentation du signal f (t) sont d´ efinis par :

f (t) = α ₀ +

N

X

j=1

α _j sin(jω ₀ t + φ _j ).

Par identification, on obtient les relations suivantes :

a ₀ = α ₀ (11)

a j = α j sin(φ j ) (j ≥ 1) (12)

b j = α j cos(φ j ) (j ≥ 1). (13)

Ces relations peuvent ´ egalement ˆ etre justifi´ ees graphiquement, ` a l’aide de la figure suivante.

Pour les lecteurs avanc´ es : formule pour α

et φ

. La formule correspondant au graphique est un peu compliqu´ ee :

α

= q

a

+ b

et φ

= arctan a

|b

|

+

( 0 si b

≥ 0 sign(α

) · π si b

< 0 avec la convention que arctan(±∞) = ±π/2.

5.4.3 Justification des formules pour les coefficients de Fourier

La formule pour les coefficients de Fourier r´ esulte de l’orthogonalit´ e de sinus et cosinus : lorsqu’on regarde l’espace des fonctions comme un espace g´ eom´ etrique, ces fonctions se com- portent comme deux droites orthogonales. Le calcul des coefficients de Fourier s’apparente donc ` a celui de trouver les coordonn´ ees d’un point dans une base orthonorm´ ee (mais ici, le signal tout entier joue le rˆ ole du point du plan ou de l’espace).

Pour les lecteurs avanc´ es. Calculons par exemple l’int´ egrale 2

T Z

0

sin(jω

t + φ

) cos(kω

t).

En utilisant la formule suivante

sin(a) cos(b) = 1

2 (sin(a + b) + sin(a − b)) on obtient :

2 T

Z

0

sin(jω

t + φ

) cos(kω

t) = 1 T

Z

0

sin ((j + k)ω

t + φ

) + 1 T

Z

0

sin ((j − k)ω

t + φ

) . Pour j, k entiers positifs, on a (j + k)ω

T = 2π(j + k) donc la premi` ere int´ egrale est identiquement nulle. Pour une raison similaire, la deuxi` eme int´ egrale est aussi nulle lorsque j 6= k. Par contre, lorsque j = k ≥ 1, on obtient :

2 T

Z

0

sin(jω

t + φ

) cos(jω

t) = sin(φ

).

En calculant les int´ egrales associ´ ees aux autres harmoniques de fa¸ con similaire, on obtient : 2

T Z

0

f (t) cos(jω

t) = α

sin(φ

).

5.5 Solutions des jeux

Au d´ ebut de cette section, nous avons propos´ e deux jeux. Voici leurs solutions. Vous pouvez v´ erifier que les valeurs des coefficients de Fourier obtenues par le calcul correspondent aux valeurs trouv´ ees empiriquement dans les animations pr´ ec´ edentes.

5.5.1 Jeu 1

Pour le 1er jeu, on obtient les valeurs num´ eriques suivantes : a 0 = 1

T Z T

0

f (t)dt ≈ 1.43 et

a ₁ = 2 T

Z T 0

f (t) cos(ω ₀ t)dt ≈ −2.04721, b ₁ = 2 T

Z T 0

f (t) sin(ω ₀ t)dt ≈ −1.91022.

Donc

α 0 ≈ 1.43, α 1 ≈ 2.8, φ 1 ≈ −2.32rad.

5.5.2 Jeu 2

Pour le 2` eme jeu, on obtient de mˆ eme les valeurs num´ eriques suivantes : j a _j b _j α _j φ _j (rad)

0 1.430 1.43

1 −0.804 −0.75 1.10 −2.32 2 −1.451 0.72 1.62 −1.11

3 0. 0. 0. 0.

4 0. 0. 0. 0.

Comme les coefficients sont nuls ` a partir de j = 3, on retrouve ainsi que le signal comporte

N = 2 harmoniques.

6 Analyse et synth` ese d’un signal p´ eriodique g´ en´ eral

Jusqu’` a pr´ esent nous avons consid´ er´ e des signaux qui r´ esultent de la superposition d’un nombre fini d’harmoniques. Que se passe-t-il si on analyse un signal p´ eriodique g´ en´ eral ? Cette question est en fait tr` es vaste et difficile. Nous nous contenterons donc ici de quelques exemples.

6.1 Exemples avec des fonctions p´ eriodiques r´ eguli` eres La fonction f (t) = e ^{−8 cos}

^(t−1)/2 est p´ eriodique de p´ eriode T ₀ = 2π.

On peut calculer ses coefficients de Fourier en utilisant les formules de la section pr´ ec´ edente.

Ils deviennent de plus en plus petits, mais ils ne sont pas tous nuls ` a partir d’un certain rang.

Cette fonction n’est donc pas la superposition d’un nombre fini d’harmoniques.

On peut n´ eanmoins essayer de reconstruire (partiellement) la fonction f en superposant seulement les N premi` eres harmoniques. On cherche donc une fonction f _N de la forme

f N (t) = α 0 +

N

X

j=1

α j sin(jω 0 t + φ j )

qui est une “bonne” approximation de f, c’est ` a dire que les graphes de f et f N sont proches.

L’animation suivante illustre cette propri´ et´ e d’approximation. Noter cependant que mˆ eme si les graphes semblent se superposer ` a cause du nombre limit´ e de pixels dans l’image, les fonctions f et f N sont diff´ erentes pour tout N .

Animation 15. Observez comment le graphe de la fonction f _N (en pointill´ es) s’ap- proche tr` es rapidement de celui de la fonction f lorsque le nombre d’harmoniques N augmente. A partir de N = 6, ils sont presque indiscernables.

https://www.youtube.com/embed/Tu3ZRaN3bAk?rel=0

Les valeurs des coefficients de Fourier de f sont visibles dans la table. Notez en particulier la d´ ecroissance du module α j en fonction de j. Cette d´ ecroissance est li´ ee ` a la r´ egularit´ e du signal (voir l’exemple de la fonction discontinue).

Voici un autre exemple avec la fonction p´ eriodique de p´ eriode T 0 = 2π : f (t) = e

^sin(7t)

1

3 cos(3t) − sin(1 − t) 2

qui n’est pas la somme d’un nombre fini d’harmoniques.

Animation 16. La convergence de f _N vers f demeure tr` es rapide. Mais comme le graphe de f contient plus de “texture” que celui de l’exemple pr´ ec´ edent, il faut attendre N = 12 harmoniques pour que les graphes de f et de f N soient presque indiscernables.

https://www.youtube.com/embed/HSQ_KvdhpzI?rel=0

Pour les lecteurs avanc´ es : la compression du signal. L’id´ ee de remplacer un signal continu f par un signal approch´ e f

est le principe de la compression du signal. Plus N est petit, plus la repr´ esentation est dite parcimonieuse : on peut stocker ou transf´ erer l’essentiel de l’information en utilisant tr` es peu de ressources.

Dans les exemples pr´ ec´ edents, il est possible d’obtenir une repr´ esentation tr` es fid` ele du signal f

en utilisant seulement une dizaine de coefficients de Fourier (amplitude + phase). On dit qu’on a

compress´ e le signal f . La description en clair de ce signal n´ ecessiterait d’expliciter toutes les paires

de valeurs (t, f (t)), c’est-` a-dire de faire la liste de tous les pixels ` a colorer. Mais nous pouvons stocker

ou transmettre une information de qualit´ e comparable en utilisant seulement les 20 nombres r´ eels

qui sont les coefficients de Fourier. Certes, pour ces exemples, la meilleure repr´ esentation (` a la fois

parcimonieuse et exacte) reste la formule math´ ematique reliant t ` a f (t) mais pour les signaux du

monde r´ eel, on ne dispose en g´ en´ eral pas d’une formule exacte ; une repr´ esentation compress´ ee est

alors un bon compromis.

6.2 Exemple avec une fonction p´ eriodique discontinue

On consid` ere la fonction p´ eriodique de p´ eriode T ₀ = 1 d´ efinie par la formule suivante : f (t) =

( +1 si t ∈ [0, 1/2),

−1 si t ∈ [1/2, 1).

C’est une fonction discontinue. Comme pr´ ec´ edemment, cette fonction n’est pas la superposition d’une nombre fini d’harmoniques. Pour cette fonction, on dispose mˆ eme d’une formule explicite pour les coefficients de Fourier :

a j = 0 et b j = 2 1 − (−1) ^j

jπ ·

Lorsqu’on consid` ere la superposition des N premi` eres harmoniques on obtient ainsi la fonction : f _N (t) = 2

N

X

j=1

1 − (−1) ^j

jπ sin(2πjt).

La fonction f _N est une approximation de f , mais elle est beaucoup moins bonne que dans l’exemple pr´ ec´ edent.

Animation 17. Observez les coefficients de Fourier de cette fonction discontinue.

Mˆ eme si beaucoup d’entre eux sont identiquement nuls, l’amplitude de ceux qui ne sont pas nuls d´ ecroˆıt tr` es lentement en comparaison avec les exemples pr´ ec´ edents.

Lorsqu’on fait varier le nombre d’harmoniques utilis´ ees pour reconstruire un signal approch´ e, la qualit´ e de la reconstruction laisse ` a d´ esirer.

https://www.youtube.com/embed/W51Y3jFlNlQ?rel=0

Une premi` ere explication du fait que f N (t) n’est pas une bonne approximation de f(t) est que

les fonctions f _N sont des superpositions d’un nombre fini d’harmoniques donc en particulier

ce sont des fonctions continues (et mˆ eme de classe C ^∞ , c’est-` a-dire que toutes leurs d´ eriv´ ees

successives sont continues) alors que f est discontinue et n’admet pas de d´ eriv´ ee aux points

0, 1/2, 1,... Dans la section suivante, nous verrons que cet exemple est un cas particulier du

ph´ enom` ene de Gibbs.

Pour les lecteurs avanc´ es : comment effectuer le calcul des coefficients de Fourier non nuls ?

Z

0

f (t) sin(2jπt)t =

− cos(2jπt) 2jπ

0

+

cos(2jπt) 2jπ

1/2

= − cos(jπ) − 1

2jπ + cos(2jπ) − cos(jπ) 2jπ

= (

jπ

si j est impair, 0 si j est pair.

6.3 Le ph´ enom` ene de Gibbs 6.3.1 Pr´ esentation g´ en´ erale

Lorsque le signal f (t) est continu, on peut d´ emontrer que les approximations f _N (t) avec N harmoniques convergent vers f lorsque N → ∞, c’est-` a-dire que l’approximation est d’autant meilleure que le nombre d’harmoniques utilis´ ees est ´ elev´ e. On dit que f N est la repr´ esentation du signal f en s´ erie de Fourier.

Lorsque le signal f (t) pr´ esente une discontinuit´ e en un point t ₀ , la convergence est moins bonne. Par exemple, les approximations en s´ eries de Fourier convergent vers la valeur moyenne de f (la moyenne entre la limite avant et apr` es la discontinuit´ e). Le d´ efaut de convergence des approximations f <sub>N</sub> (t) vers f (t) s’appelle le ph´ enom` ene de Gibbs. Lorsqu’on augmente le nombre d’harmoniques, le d´ efaut d’approximation se concentre autour de la discontinuit´ e, mais il ne disparaˆıt jamais.

Le ph´ enom` ene de Gibbs est syst´ ematiquement associ´ e ` a des oscillations autour des points de

discontinuit´ e. On peut mˆ eme d´ emontrer que l’amplitude de l’erreur ne disparaˆıt jamais. Lorsque

le nombre N d’harmoniques est suffisamment grand, l’amplitude de la premi` ere oscillation apr` es

une discontinuit´ e exc` ede de 8.95% l’amplitude de la discontinuit´ e ; celle de la seconde est de

l’ordre de 3.3%. On d´ emontre aussi que la fr´ equence des oscillations de Gibbs est du mˆ eme

ordre de grandeur que le nombre d’harmoniques utilis´ ees pour approcher la discontinuit´ e.

Pour les lecteurs avanc´ es : convergence des s´ eries de Fourier. Comme l’amplitude des oscilla- tions de Gibbs est asymptotiquement ind´ ependante du nombre d’harmoniques utilis´ ees, la convergence de la s´ erie de Fourier vers le signal original n’est pas uniforme au voisinage des points de discontinuit´ e.

Par contre, comme leur localisation se resserre autour de la discontinuit´ e lorsque le nombre d’harmo- niques augmente, la contribution des oscillations diminue dans la topologie qui mesure l’´ energie du signal.

Pour plus de d´ etails, voir l’article sur la convergence des s´ eries de Fourier (en anglais).

6.3.2 Le ph´ enom` ene de Gibbs en traitement d’images

En traitement d’images, les discontinuit´ es font naturellement partie du signal. Les dis- continuit´ es correspondent aux bords des objets, aux changements de couleur, de texture, de profondeur, etc.

Les discontinuit´ es sont les ´ el´ ements caract´ eristiques de l’image. Ce sont les premiers ´ el´ ements qu’on identifie dans un dessin.

Lorsqu’on cherche ` a compresser une image, on utilise (d’une fa¸con ou d’une autre) une approximation du signal original par un signal ne contenant qu’un nombre fini d’harmoniques.

Le ph´ enom` ene de Gibbs apparaˆıt alors comme un d´ efaut syst´ ematique au niveau des disconti-

nuit´ es.

Ce d´ efaut n’est pas dˆ u au nombre limit´ e de pixels mais au nombre limit´ e d’harmoniques. Il se traduit par l’apparition de taches ` a proximit´ e des discontinuit´ es.

Animation 18. Dans l’animation suivante, on fait varier le nombre d’harmoniques utilis´ ees. Moins il y a d’harmoniques, plus l’image se d´ egrade.

https://www.youtube.com/embed/mgJ60oywKQ0?rel=0

Le ph´ enom` ene de Gibbs est aussi visible (en particulier dans le zoom) : mˆ eme avec beaucoup d’harmoniques, on observe une ”ombre” sur le mur clair, autour des bords sombres de l’horloge ; cette ombre n’est pas associ´ ee ` a l’´ eclairage de la sc` ene.

En anglais, le ph´ enom` ene de Gibbs s’appelle “ringing artifact” ` a cause des oscillations ca- ract´ eristiques auxquelles il est associ´ e. Pour plus de d´ etails sur l’importance du ph´ enom` ene de Gibbs, voir par exemple cet article sur le site Images des Maths ou celui-ci (en anglais).

6.3.3 Le ph´ enom` ene de Gibbs en ´ electronique

En ´ electronique, on rencontre souvent un proche parent du ph´ enom` ene de Gibbs. Dans la

capture d’´ ecran suivante, on a observ´ e un signal en cr´ eneau de 5MHz, c’est-` a-dire un signal

qui alterne entre 0V et 1V cinq millions de fois par seconde. Sur le premier canal (en jaune),

on a utilis´ e un cˆ able blind´ e et le signal est ` a peine d´ eform´ e. Sur le second canal (en bleu), on

a utilis´ e des cˆ ables courants et le signal est tr` es d´ eform´ e. A chaque discontinuit´ e du signal, on

observe une succession d’oscillations amorties.

L’action des cˆ ables de mesure sur le signal est comparable ` a une approximation par un nombre fini d’harmoniques car les harmoniques d’ordre ´ elev´ e sont att´ enu´ ees. On dit que c’est un filtre passe-bas, car il laisse les basses fr´ equences relativement intactes.

Au niveau physique, les cˆ ables non blind´ es agissent comme un circuit RLC, plus ou moins complexe selon les cas. Pour plus de d´ etails sur la mod´ elisation des cˆ ables ´ electriques, nous renvoyons ` a un article tr` es complet de Jim Brown, ou ` a l’article Wikipedia correspondant. La notion de filtre ´ electronique est pr´ esent´ ee dans cet autre article, et les articles connexes (en anglais).

Cependant, notons qu’il y a deux diff´ erences majeures entre l’observation pr´ ec´ edente et le ph´ enom` ene de Gibbs.

— D’une part, le filtre ´ electronique n’est pas id´ eal : il att´ enue les hautes fr´ equences, mais il ne les supprime jamais compl` etement et, contrairement au cadre math´ ematique pr´ ec´ edent, le filtre alt` ere aussi les phases du signal.

— D’autre part, le circuit r´ eagit ”en temps r´ eel” : juste avant une discontinuit´ e, le syst` eme n’a aucun moyen de savoir qu’une discontinuit´ e est imminente (on dit que le circuit est causal). En particulier, on observe les oscillations seulement apr` es chaque discontinuit´ e, mais jamais avant. Dans le ph´ enom` ene de Gibbs associ´ e ` a la troncature d’harmoniques, l’ensemble du signal (pass´ e et futur) est suppos´ e connu et les oscillations de Gibbs apparaissent de part et d’autre de chaque discontinuit´ e.

Les oscillations associ´ ees aux discontinuit´ es constituent un probl` eme s´ erieux en ´ electronique

`

a cause des sur-tensions (ou sur-intensit´ es) passag` eres qui leur sont associ´ ees. Pour un aper¸ cu des techniques employ´ ees pour les att´ enuer, voir par exemple cet article (en anglais).

6.4 Au del` a du cadre p´ eriodique...

L’analyse de Fourier ne se limite pas aux fonctions p´ eriodiques. Il existe une transformation g´ en´ erale, appel´ ee transform´ ee de Fourier, qui ` a toute fonction “convenable” f : R → R associe une autre fonction

f b : R → C .

L’id´ ee de cette transformation est que le signal f peut s’obtenir en superposant une infinit´ e d’harmoniques oscillant ` a toutes les fr´ equences ξ ∈ R possibles. L’harmonique de fr´ equence ξ est modul´ ee par une amplitude f b (ξ). Dans ce cadre, l’utilisation des nombres complexes permet de simplifier la gestion des phases entre les sinus et les cosinus.

A la fin du chapitre suivant, nous verrons plusieurs fa¸ cons de mat´ erialiser la transformation de Fourier d’un signal quelconque.

Pour les lecteurs avanc´ es : quelques pr´ ecisions sur la transform´ ee de Fourier. En toute rigueur, il existe des restrictions techniques sur la classe des fonctions pour lesquelles la transform´ ee de Fourier existe. La plus simple est celle o` u f est une fonction int´ egrable (ce qui signifie grossi` erement que l’aire sous la courbe |f (x)| est finie). La plus utile pour les applications (bien qu’un peu plus subtile ` a d´ efinir) est celle o` u f est suppos´ ee d’´ energie finie. Si on s’autorise une excursion hors du cadre des fonctions, on peut mˆ eme construire une th´ eorie de Fourier encore plus g´ en´ erale (voir cet article sur les distributions temp´ er´ ees).

Pour une fonction f int´ egrable sur R

, la transform´ ee de Fourier est d´ efinie par la formule : f b (ξ) =

Z

R^d

f (x)e

dx.

Sous des conditions convenables, la fonction ˆ f permet la synth` ese de f par la formule d’inversion : f (x) = 1

(2π)

Z

R^d

f b (ξ)e

dξ.

La donn´ ee de f b est (sous certaines conditions) exactement ´ equivalente ` a celle de f et cette dualit´ e

entre analyse en amplitude (dans l’espace physique d´ ecrit par x) et analyse en fr´ equence (dans l’espace

des fr´ equences d´ ecrit par ξ) est d’une grande importance en physique comme en math´ ematiques.

7 Un peu d’histoire et d’ing´ enierie

Dans cette section, nous allons bri` evement pr´ esenter l’origine de l’analyse fr´ equentielle du signal dans les travaux de Joseph Fourier, ainsi que quelques repr´ esentations originales de l’analyse et de la synth` ese harmonique, inspir´ ees de l’ing´ enierie.

7.1 Joseph Fourier (1768 - 1830)

L’id´ ee de repr´ esenter un signal comme une superposition d’harmoniques, correctement d´ ephas´ ees et modul´ ees, remonte ` a Joseph Fourier (1768 - 1830), dans un livre qu’il publie en 1822, d´ edi´ e ` a la th´ eorie de la chaleur.

L’objectif de Joseph Fourier ´ etait d’´ etudier comment la temp´ erature ´ evolue dans un objet de forme quelconque. Sa motivation ´ etait, comme il le dit dans son introduction, de fournir une th´ eorie math´ ematique qui soit ` a la fois suffisamment g´ en´ erale et suffisamment calculatoire pour pouvoir ˆ etre appliqu´ ee et contribuer aux progr` es de l’industrie naissante.

Par exemple, une barre de fer plac´ ee dans une forge va se r´ echauffer. En comprenant comment la chaleur est diffus´ ee dans la barre et donc comment la temp´ erature ´ evolue en chaque point, on peut esp´ erer pouvoir en d´ eduire le moyen optimal de chauffer la barre pour l’amener ` a la temp´ erature id´ eale pour le travail du forgeron.

Au d´ etour de ce probl` eme, Joseph Fourier introduit les bases de l’analyse fr´ equentielle du signal, en particulier l’id´ ee r´ evolutionnaire qu’un signal quelconque peut ˆ etre mod´ elis´ e par une superposition d’harmoniques.

Pour les lecteurs avanc´ es : quelques pr´ ecisions sur le livre de Joseph Fourier. Dans son livre, Joseph Fourier ´ etablit que la temp´ erature T (t, x, y, z) d’un corps solide, mesur´ ee en un point (x, y, z) et ` a l’instant t, doit ˆ etre reli´ ee ` a toutes les autres valeurs de la temp´ erature par une certaine

´ equation universelle. Plus pr´ ecis´ ement, cette ´ equation relie la d´ eriv´ ee temporelle de la temp´ erature ` a

ses d´ eriv´ ees secondes spatiales :

∂T

∂t = K ∂

T

∂x

+ ∂

T

∂y

+ ∂

T

∂z

La constante K est propre au mat´ eriau dont le corps est constitu´ e ; c’est la constante de diffusi- vit´ e thermique du mat´ eriau. Joseph Fourier s’int´ eresse en particulier au cas d’une barre, dont la temp´ erature peut ˆ etre d´ etermin´ ee de fa¸ con approch´ ee en supposant que T (t, x, y, z) = T(t, x) ne d´ epend que de t et de x. Fourier propose alors de calculer la solution en la recherchant sous la forme T(t, x) = a

(t) sin(x) + b

(t) cos(x) + a

(t) sin(2x) + b

(t) cos(2x) + a

(t) sin(3x) + b

(t) cos(3x) + . . . Il obtient ainsi un syst` eme dont les inconnues sont les fonctions a

(t) et b

(t). On s’attendrait ` a ce que le syst` eme soit ´ enorme et inutilisable. Mais il observe en fait que ce syst` eme est tr` es simple ` a r´ esoudre et il en calcule la solution :

a

(t) = a

(0)e

a

(t) = a

(0)e

a

(t) = a

(0)e

b

(t) = b

(0)e

b

(t) = b

(0)e

b

(t) = b

(0)e

En termes modernes, Joseph Fourier a donc eu trois id´ ees g´ eniales :

1. Faire l’analyse fr´ equentielle de la temp´ erature initiale.

2. Observer que l’´ evolution des coefficients, qu’on appelle aujourd’hui coefficients de Fourier, se calcule tr` es facilement (il suffit de multiplier par e

).

3. Enfin, il a eu l’intuition que le signal ` a l’instant t peut ˆ etre reconstitu´ e ` a partir de ses coeffi- cients, par superposition des diff´ erentes harmoniques.

Pour une analyse plus d´ etaill´ ee du livre de Joseph Fourier, consulter le lien suivant.

7.2 L’analyseur fr´ equentiel de Michelson

L’analyseur de Albert A. Michelson (1852 - 1931) est une merveille d’ing´ enierie. Un exem- plaire a ´ et´ e restaur´ e et il est visible ` a l’Universit´ e d’Illinois, ` a Chicago.

En ajustant 20 leviers, on peut pr´ eciser 20 valeurs prises par un signal p´ eriodique quelconque

(en termes modernes, on dit qu’on discr´ etise le signal). En tournant une manivelle, une s´ erie

d’engrenages va alors calculer et dessiner sur une bande de papier la transform´ ee de Fourier

de ce signal p´ eriodique. En observant la bande ` a des abscisses pr´ ecises, on peut alors lire directement la valeur des coefficients de Fourier des 20 premi` eres harmoniques.

Video. Cette vid´ eo de Bill Hammack pr´ esente l’histoire, le fonctionnement et la restauration d’un analyseur de Michelson (aller ` a t=7 :28 pour le voir en fonction- nement ; explications en anglais) :

https://www.youtube.com/embed/GyYflzRVu6M?rel=0 Cette vid´ eo ´ etant longue (40min), voici quelques points de rep` ere : Avant 3 : 00 Introduction, histoire de l’analyseur.

3 : 00 ` a 7 : 00 Panorama des ´ el´ ements m´ ecaniques.

7 : 28 ` a 8 : 00 Analyseur en fonctionnement.

8 : 30 ` a 11 : 30 Justification math´ ematique et utilisation de l’analyseur.

11 : 45 ` a 22 : 50 Explication tr` es d´ etaill´ ee du fonctionnement de l’analyseur.

23 : 00 ` a la fin Lecture comment´ ee du livre compagnon.

Le livre de Bill Hammack compl´ emente cette vid´ eo ; on peut acheter le livre sur son site, mais une version ´ electronique est t´ el´ echargeable gratuitement (et l´ egalement), aussi sur son site.

7.3 Interpr´ etation g´ eom´ etrique et m´ ecanique de la transform´ ee de Fourier La transform´ ee de Fourier poss` ede plusieurs descriptions g´ eom´ etriques.

7.3.1 Interpr´ etation de la transform´ ee de Fourier d’une fonction comme centre de gravit´ e de son graphe

Un signal p´ eriodique y = f (t) peut-ˆ etre repr´ esent´ e autour du cercle unit´ e. Ici, on choisit

d’associer l’intervalle de temps [0, 2π/α] ` a un tour, o` u α est un param` etre arbitraire (strictement

positif). Comme 2π/α n’est pas une p´ eriode, on fait plusieurs tours pour avoir une courbe

suffisamment longue. On suppose que l’encre utilis´ ee pour tracer ce dessin a une certaine

masse par unit´ e de longueur et on calcule le centre de gravit´ e du dessin obtenu.

En g´ en´ eral, on observe que pour un choix arbitraire de α, le centre de gravit´ e reste au voisinage de l’origine et ceci quelque soit le nombre de tours que l’on fait. Mais pour certaines valeurs particuli` eres de α, le centre de gravit´ e se d´ eplace dans le plan et s’´ eloigne franchement de l’origine. Ces valeurs de α correspondent aux fr´ equences effectivement pr´ esentes dans le signal. Le nombre complexe associ´ e repr´ esente la valeur f(α) de la transform´ b ee de Fourier du signal f ` a la fr´ equence α.

Animation 19. Sur la figure suivante, on a repr´ esent´ e le signal f (t) = sin(2t) + 2 cos(5t).

Le signal est “enroul´ e” autour de l’origine ; pour chaque valeur de τ > 0, l’intervalle de temps [0, 2π/α] est associ´ e ` a un tour. On s’arrˆ ete apr` es 3 tours. On obtient ainsi la courbe bleue. Le point rouge est le centre de gravit´ e de la courbe bleue. Observez que la courbe bleue change ´ enorm´ ement en fonction de α, mais que son centre de gravit´ e reste au voisinage du centre de la figure. La trajectoire d´ ecrite par le centre de gravit´ e est dessin´ ee en orange.

https://www.youtube.com/embed/nKV9TBVf7oc?rel=0

Observez que la courbe orange pr´ esente deux “lobes” correspondant ` a deux excur- sions du centre de gravit´ e : une excursion pour α = 2 et une autre pour α = 5.

Ces valeurs sont les fr´ equences constituant le signal f . La position de ces excursions

dans le plan complexe refl` ete le module et la phase des coefficients de Fourier : l’am-

plitude associ´ ee ` a la fr´ equence α = 5 est deux fois plus grande que celle associ´ ee ` a

α = 2, et elle est atteinte un quart de tour plus tˆ ot. Ces propri´ et´ es sont conformes

avec les valeurs des amplitudes relatives et du d´ ephasage entre les coefficients de

Fourier de f .

Video. La vid´ eo suivante de Grant Sanderson, alias 3Blue1Brown, pr´ esente ce point de vue sur la transform´ ee de Fourier avec beaucoup de d´ etails et d’animations remarquables (21min, en anglais).

https://www.youtube.com/embed/spUNpyF58BY?rel=0

Pour les lecteurs avanc´ es : une ´ ebauche de justification. L’enroulement de l’intervalle de temps [0, 2π/τ] sur un tour correspond ` a la courbe param´ etr´ ee t 7→ e

f (t) ∈ C . Pour t = 2π/τ , on retrouve bien un multiple r´ eel de e

= 1, donc on a parcouru un tour dans le plan complexe. Le centre de gravit´ e d’un nombre croissant d’enroulement est ´ egal, asymptotiquement, ` a

n→∞

lim 1 n

Z

0

e

f (t)dt.

On peut d´ emontrer que, si f est de p´ eriode T

, cette limite est en g´ en´ eral nulle, sauf lorsque τ = jω

avec ω

= 2π/T

et j ∈ Z . Dans ce seul cas, la limite est ´ egale au coefficient de Fourier complexe

1

2

(a

+ ib

) o` u a

et b

sont les coefficients de Fourier.

Pour une fonction non-p´ eriodique, on peut (sous certaines conditions) mener ce calcul ` a bien, ce qui

permet d’associer ` a chaque r´ eel τ un coefficient de Fourier complexe f b (τ).

7.3.2 Interpr´ etation de la synth` ese harmonique comme un syst` eme plan´ etaire : l’´ epicyclo¨ ıde

Une autre interpr´ etation de l’analyse de Fourier est celle de l’´ epicyclo¨ıde, plus commun´ ement connue sous le nom de spirographe.

Dans le jeu du spirographe, des engrenages roulent les uns dans les autres, ou autour des autres. On place un stylo dans un petit trou de l’un des engrenages et le d´ eplacement du stylo construit une figure g´ eom´ etrique.

Animation 20. Observez comment l’ordonn´ ee du point qui parcourt le cercle est associ´ ee ` a celle du point parcourant le graphe.

https://www.youtube.com/embed/cNdBlTDYAg0?rel=0

La superposition de plusieurs harmoniques consiste simplement ici ` a superposer plusieurs figures, mais en positionnant le centre de la deuxi` eme au niveau du point mobile de la premi` ere.

On obtient ainsi un “syst` eme plan´ etaire” ; la premi` ere harmonique est le soleil, la deuxi` eme

joue le rˆ ole de la Terre tournant autour du soleil, la troisi` eme est la lune tournant autour de

la Terre, la quatri` eme un satellite tournant autour de la lune, la cinqui` eme un d´ ebris tournant

autour du satellite, etc.

Animation 21. Observez comment le graphe de f (t) = sin

t + 5π

6

+ 1

2 sin(3t)

peut ˆ etre g´ en´ er´ e en superposant une trajectoire circulaire de rayon 1 et une trajec- toire circulaire de rayon 1/2, parcourue ` a une vitesse angulaire triple.

https://www.youtube.com/embed/zym4lLqmHkE?rel=0

Cette vid´ eo remarquable de Burkard Polster, alias Mathologer, illustre tr` es bien ce point de vue original sur la transform´ ee de Fourier (25min, en anglais) :

https://www.youtube.com/embed/qS4H6PEcCCA?rel=0

Voir aussi la page Wikipedia (anglophone) sur les s´ eries de Fourier, ou cette animation Javascript

de Pierre Guilleminot.

Pour aller plus loin : la g´ eom´ etrie des ´ epicyclo¨ ıdes. Cette discussion sur le web explique com- ment dessiner une figure (presque) arbitraire du plan. Par exemple, on y apprend comment dessiner cet ´ el´ ephant avec 101 niveaux de cercles superpos´ es.

Un autre exemple ´ etonnant de cette technique est le dessin de Homer Simpson obtenu par Ramiro Serra, Cristi´ an Carman et Santiago Ginnobili :

https://youtu.be/QVuU2YCwHjw

La th` ese de P. Andrew sur l’´ epicyclo¨ıde permettra au lecteur int´ eress´ e d’aller encore plus loin.

8 Exemples d’applications de l’analyse de Fourier

Dans cette section, nous pr´ esentons quelques applications modernes de l’analyse fr´ equentielle, et un bref panorama de l’h´ eritage scientifique de Joseph Fourier. Cette section est un peu plus difficile d’acc` es que le reste de l’article, mais si le lecteur accepte d’admettre quelques calculs interm´ ediaires, les id´ ees devraient ˆ etre accessibles ` a tous.

8.1 R´ esolution de certaines ´ equations diff´ erentielles

L’analyse fr´ equentielle est particuli` erement adapt´ ee pour r´ esoudre les ´ equations diff´ erentielles.

Dans une ´ equation diff´ erentielle, l’inconnue est une fonction, et l’´ equation exprime une relation entre les valeurs de la fonction et les valeurs de ses d´ eriv´ ees. Il existe de nombreuses classes d’´ equations diff´ erentielles. Voici un exemple d’´ equation lin´ eaire, ` a coefficients constants.

Etant donn´ ´ ee une fonction p´ eriodique g, on souhaite trouver une fonction f (l’inconnue) telle que

− f ⁰⁰ + f = g. (14)

Pour simplifier la discussion, on suppose que la fonction g ne comporte qu’un nombre fini d’harmoniques c’est ` a dire qu’on peut l’´ ecrire sous la forme suivante :

g(t) = α ₀ +

N

X

j=1

α _j sin(jω ₀ t + φ _j ). (15)

On va chercher une solution particuli` ere du probl` eme, sous la mˆ eme forme : f (t) = β ₀ +

N

X

j=1

β _j sin(jω ₀ t + φ _j ).

Les coefficients β ₀ , β ₁ , . . . sont inconnus. On calcule les d´ eriv´ ees successives de f : f ⁰ (t) =

N

X

j=1

jω ₀ β _j cos(jω ₀ t + φ _j ), f ⁰⁰ (t) = −

N

X

j=1

(jω ₀ ) ² β _j sin(jω ₀ t + φ _j ).

Par identification, l’´ equation −f ⁰⁰ + f = g devient une famille d’´ equations particuli` erement simples. Chaque ´ equation peut-ˆ etre r´ esolue ind´ ependamment des autres ; on dit que le probl` eme a ´ et´ e diagonalis´ e. On obtient :

( β ₀ = α ₀

β j = _1+j ^α

ω

(j ≥ 1).

La fonction

f ₀ (t) = α ₀ +

N

X

j=1

α _j

1 + j ² ω ² ₀ sin(jω ₀ t + φ _j ) (16) est donc une solution particuli` ere de l’´ equation diff´ erentielle −f ₀ ⁰⁰ + f ₀ = g.

On souhaite maintenant prescrire le point de d´ epart de la fonction f solution de (14) :

f (0) = c et f ⁰ (0) = d (17)

o` u c, d ∈ R sont des nombres arbitraires donn´ es.

La valeur f ₀ (0) = α ₀ +

N

X

j=1

α _j

1 + j ² ω ² ₀ sin(φ _j ) n’a aucune raison d’ˆ etre ´ egale ` a la constante c, et la d´ eriv´ ee f ₀ ⁰ (0) n’a aucune raison de valoir d ; f 0 n’est donc pas la solution f qu’on cherche.

Mais on peut r´ eutiliser f ₀ pour trouver f ! En effet, la diff´ erence entre les ´ equations

−f ⁰⁰ + f = g et − f ₀ ⁰⁰ + f ₀ = g donne

−(f − f 0 ) ⁰⁰ + (f − f 0 ) = 0.

Autrement dit, la fonction y = f − f 0 est une solution de l’´ equation diff´ erentielle −y ⁰⁰ + y = 0.

On peut d´ emontrer que les seules solutions de cette ´ equation sont les combinaisons lin´ eaires des fonctions e ^t et e ^−t . Il existe donc deux constantes A, B telles que :

f(t) − f 0 (t) = Ae ^t + Be ^−t .

Pour d´ eterminer f on doit trouver A et B de sorte que f (0) = c et f ⁰ (0) = d, ce qui, apr` es substitution, nous donne les valeurs :

A = c + d − f 0 (0) − f ₀ ⁰ (0)

2 , B = c − d − f 0 (0) + f ₀ ⁰ (0)

2 ·

Nous avons donc obtenu une formule exacte pour la solution de l’´ equation diff´ erentielle : f (t) = α 0 +

N

X

j=1

α _j

1 + j ² ω ₀ ² sin(jω 0 t + φ j ) + Ae ^t + Be ^−t . (18) Sur cet exemple, il est int´ eressant d’observer que la solution f n’est, en g´ en´ eral, pas p´ eriodique bien que g le soit (sauf si A = B = 0).

Exemple En utilisant la m´ ethode pr´ ec´ edente, on peut calculer la solution de l’´ equation

−f ⁰⁰ (t) + f (t) = sin(t) avec

( f (0) = a + ¹ ₂ , f ⁰ (0) = −a + εe ^−T

o` u a ∈ R , ε ∈ {−1, 0, +1} et T > 0 sont des param` etres arbitraires. La solution est la fonction f(t) = 1

2 sin(t) +

a + 1 2

e ^−t + ε

2 e ^t − e ^−t e ^−T . Cette ´ equation diff´ erentielle est particuli` erement instable. Si ε 6= 0, alors

t→+∞ lim f (t) = ±∞

tandis que si ε = 0, alors la solution reste born´ ee. Une petite erreur sur la valeur de la

pente initiale se traduit donc par un changement radical du comportement asymptotique de

la solution. Cependant, si ε = ±1, alors la solution reste born´ ee sur l’intervalle [0, T ], avant

de diverger violemment. Dans cet intervalle, l’influence de la donn´ ee initiale sur le profil de la

solution est d’ailleurs assez limit´ ee.