I. Étude d’un compresseur à CO

PCSI 1 - Stanislas DM de PHYSIQUE N^◦8 - 03/05/18 - CORRIGÉ A. MARTIN

THERMODYNAMIQUE

I. Étude d’un compresseur à CO

I.1. Effet d’un unique piston

1. A→B: Le piston recule par rapport aux clapets, le clapet d’admission est ouvert, le clapet d’échappe- ment est fermé.

B→C: Le piston avance vers les clapets, qui sont fermés tous les deux.

C→D: Le piston avance vers les clapets. Le clapet d’admission est toujours fermé. Le clapet d’échap- pement est ouvert.

2. Le gaz est parfait donc d’après la première loi de Joule, ∆_ABU=mc_v(T_B−T_A) .

La transformation est isobare avecP_A=P_B=P_e, doncW_AB=P_e(V_A−V_B). En utilisant la loi des gaz parfaits etc_p=γc_v, cela donne W_AB=nR(T_A−T_B) =mc_v(γ−1) (T_A−T_B) =m(c_p−c_v) (T_A−T_B) . Le premier principe donne alorsQ_AB= ∆_ABU−W_AB, d’où Q_AB=mc_p(T_B−T_A) = ∆_ABH. 3. DeBàC, le gaz subit une compression adiabatique mécaniquement quasi-statique, donc qui vérifie la loi

de Laplace :P_C^1−γT_C^γ=P_B^1−γT_B^γ, d’où T_C=T_Bx^1−1γ avecx=^P_P^s

e.

4. Le premier principe pour une transformation adiabatique d’un gaz parfait donne iciW_BC= ∆_BCU = mcv(T_C−T_B), d’où W_BC=mcvT_B(x^1−γ1−1) .

5. Les caractéristiques de la transformation sont les mêmes qu’en2.. On obtient donc :

∆_CDU=mc_v(T_D−T_C) , W_CD=m(c_p−c_v) (T_D−T_C) et Q_CD=mc_p(T_D−T_C) = ∆_CDH. Par ailleurs, commeV_D = V_A, on aT_D =T_A^P_P^s

e = T_Ax. On a aussiT_C =T_Bx^1−1γ. Cela conduit à

∆_CDU=mc_v(T_Ax−T_Bx^1−γ1) , W_CD=m(c_p−c_v) (T_Ax−T_Bx^1−γ1) et Q_CD=mc_p(T_Ax−T_Bx^1−γ1) = ∆_CDH.

6. w_i,BC= ∆_BCh=c_p(T_C−T_B) d’où w_i,BC=c_pT_B(x^1−1γ−1) .

I.2. Compresseur à deux étages

_P0 s Pe

1−¹_γ

=T_B0z1etT_G=T_F ^P_P^s0 s

1−_γ¹

=T_B0z2carT_F=T_B0. D’après6., on aura donc w_i,tot=c_pT_B0(z1+z2−2) .

8. En considérantT_B0=T_B, la différence entre le travail indiqué à 1 et à 2 étages est du signe de la fonction f_z(z1) =z−z1−_z^z

1+ 1, sachant quez1∈[1, z]. Orf_z⁰(z1) =_z^z2 1

−1≥0⇔z1≤√

z, doncf_zest croissante puis décroissante avec un maximum enz1=√

z. De plusf_z(z1= 0) =f_z(z1=z) = 0. Doncf_z(z1)≥0 sur tout le domaine utile.Le travail indiqué est donc plus faible pour un compresseur à deux étages. Sa valeur est minimale (optimale) pourz1=√

zdonc P_s⁰ P_e=

sP_s P_e . 9. On az2< z, doncT_G=T_B0z2< T_B0z=T_C0.

Il est préférable de travailler avec des températures plus basses pour la sécurité et la durabilité du matériel (vieillissement).

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PCSI 1 - Stanislas DM de PHYSIQUE N^◦8 - 03/05/18 - CORRIGÉ A. MARTIN

Bilan du DS - Compresseur à pistons

Ô On ne doit JAMAIS associer le symbole ∆ aux symbolesQetW, car ce sont des fonctionnelles mais pas des variations dans le cas général. Sous forme infinitésimale on les écriraδQetδW.

Ô On ne dit pas qu’« un système est adiabatique », mais que « les parois sont calorifugées donc la transformation adiabatique ».

Ô Le principale erreur est un problème de compréhension physique : ce n’est pas parce que les parois du cylindre sont calorifugées, que toutes les transformations sont adiabatiques. Les système est renouvelé à chaque

« cycle ». Les phases d’admission de l’air extérieur et d’échappement se font au contact de l’atmosphère extérieur, qui joue le rôle de thermostat. Donc ces transformations sont l’occasion de transferts thermiques.

Ô Ces phases sont isobares, donc on peut immédiatement calculer le transfert thermique via ∆H =Q. Ce point n’étant pas encore assimilé au moment du DS, beaucoup d’entre vous refont le calcul via le premier principe. Ce n’est pas grâve mais c’est plus long... et des erreurs (de signe notamment) peuvent s’interposer.

Ô La deuxième erreur fréquente (mais quqi n’avait que peu de conséquences cette fois), et dans la compréhension du mécanisme du compresseur : beaucoup ont indiqué que le piston était immobile entre A et B, puis entre C et D. C’est impossible : il faut faire entrer ou chasser le gaz dans le/du piston. Par ailleurs le piston doit revenir dans sa position initiale. Il ne peut s’arrêter qu’à deux instants, quand il rebrousse chemin.

Ô Il faut faire un effort, comme toujours en physique depuis le début de l’année, pour exprimer les résultats en fonction des données du problème. Ici on donnait les capacités massiquesc_petc_v,γ, et la masse du système.

Donc les réponses en fonction du nombre de molesnet de la masse molaireM sont incomplètes.

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