MP 1 / 4

X Maths 1 MP 2009 — Énoncé 1/4

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈREMP

CONCOURS D’ADMISSION 2009

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

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Exponentielles d’endomorphisme, intégrales et séries

Première partie

On désigne par C^∞(R)l’espace vectoriel des fonctions réelles, de classeC^∞, d’une variable réelle. On définit comme suit des endomorphismes de cet espace :

• pour toutef ∈C^∞(R),(Xf)(x) =xf(x),(Df)(x) =f^′(x),(Af)(x) =xf^′(x),

• pour tout nombre réeltet pour toutef ∈C^∞(R),(Φ_tf)(x) =f(e^tx).

1.Vérifier que la valeur ent= 0de la dérivée de la fonctiont7→(Φtf)(x)est égale à(Af)(x).

On va maintenant étudier les puissances de A et chercher le sens à donner à la formule exp(tA) = Φt.

2.Vérifier que, sif est un polynôme, la série ^X

n>0

tⁿ

n!(Aⁿf)(x)est convergente et de somme (Φ_tf)(x).

3.Montrer que, pour tout entiern >0, on aDⁿX=XDⁿ+nDⁿ⁻¹.

4.Montrer que, pour tout entiern >0, il existe des nombres réels positifsµ_n,k, k= 1, . . . , n, tels queAⁿ=

n

X

k=1

µ_n,kX^kD^k, et exprimerµ_n,ken fonction desµ_n−1,p, p= 1, . . . , n−1.

Préciser les valeurs deµ_n,1etµ_n,n.

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5.On désigne parf un polynôme d’une variable réelle. Démontrer la relation

∀t, x∈R f(e^tx) =f(x) +^X

k>1

Ñ X

n>k

tⁿ n!µ_n,k

é

x^kf^(k)(x).

6.Étant donné une suite de nombres réelsa_k, k∈N, comparer les rayons de convergence des séries entières^X

k>0

a_kx^ket^X

k>0

ka_kx^k.

7.On se donne maintenant une fonction développable en série entière f(x) =^X

k>0

a_kx^k de rayon de convergenceR >0. On admettra la propriété suivante :

(P) si|x|< R, la série entière enh:^X

k>0

h^k

k!f^(k)(x)a un rayon de convergence au moins égal à R− |x|, et, si|h|< R− |x|, on a^X

k>0

h^k

k!f^(k)(x) =f(x+h).

7.a)Vérifier que, si|x|< R, il existe un réelγ_x>0tel que

|t|< γx ⇒ |(e^t−1)x|< R− |x|.

7.b)Démontrer l’existence de nombres réelsλ_n,k, n, k∈N^∗, indépendants def et tels que l’on ait

∀x∈]−R, R[ , ∀t∈]−γx, γx[ , f(e^tx) =f(x) +^X

k>1

Ñ X

n>1

tⁿ n!λn,k

é

x^kf^(k)(x).

7.c)Vérifier que

λn,k =

(µ_n,k si k6n 0 si k > n . [On pourra utiliser le résultat de la question5.]

7.d)Montrer que, pour16k6n, on aλ_n,k62ⁿ n!

(k−1)!. 7.e)On poseZ_n,k= tⁿ

n!λ_n,kx^kf^(k)(x). Indiquer deux réelsα >0etη >0tels que

|x|< α , |t|< η ⇒ ^X

k>1

Ñ X

n>1

|Z_n,k| é

<+∞.

7.f )Montrer que, si|x|< αet|t|< η, la série^X

n>0

tⁿ

n!(Aⁿf)(x)est convergente et de somme (Φtf)(x).

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Deuxième partie

Dans cette partie, on désigne parFl’espace vectoriel des fonctionsf réelles, d’une variable réelle, continues et telles que, pour tout entierk>0, la fonctionx7→x^kf(x)soit bornée.

8.Soitf une fonction deF. Montrer que, pour tout entier k>0, la fonction x7→x^kf(x) est intégrable surR.

On poseram_k(f) = Z

R

x^kf(x)dx.

9.Soientf etgdeux fonctions deF.

9.a)Montrer que, pour tout réelx, la fonctiony7→f(x−y)g(y)est intégrable surR. On noteraf∗gla fonctionx7→

Z

R

f(x−y)g(y)dy.

9.b)Montrer quef∗gappartient àFet écrire une formule de la forme m_k(f∗g) =

k

X

p=0

γ_k,pm_p(f)m_k−p(g),

où lesγ_k,psont des coefficients à déterminer.

On admettra la commutativité et l’associativité de l’opération(f, g)7→f∗g.

Dans la suite du problème, on désigne par F₀ l’ensemble des fonctions f de F qui sont positives et telles quem₀(f) = 1etm₁(f) = 0.

10.Étant donné des fonctionsf₁, . . . , f_ndeF0, calculerm₀(f1∗. . .∗f_n)etm₁(f1∗. . .∗f_n) puis exprimerm₂(f₁∗. . .∗fn)en fonction desm₂(fi), i= 1, . . . , n.

Pour tout réela >0, on désigne parT_al’endomorphisme deFdéfini par(Taf)(x) =af(ax).

11.Calculerm_k(Taf).

Dans la suite du problème on désigne parf_i, i= 1,2, . . ., des fonctions deF₀, et, pour tout n, on pose F_n = f₁∗. . .∗f_n. On suppose que tous les m₂(f_i) sont majorés par une même constanteC.

12.a) Montrer que, pour tout réel α > 0, les deux intégrales Z₊∞

α

(TnF_n)(x)dx et Z−α

−∞

(TnF_n)(x)dxtendent vers 0 lorsquen→+∞.

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12.b) Étant donné une fonction h continue bornée sur R, étudier le comportement de Z

R

h(x)(T_nF_n)(x)dxlorsquen→+∞.

[On pourra considérer d’abord le cas oùh(0) = 0.]

13.a)Établir une inégalité entrem₄(f)etm₂(f)²lorsquef∈ F0. 13.b)Démontrer la formule, pourn>2,

m₄(Fn) = ^X

16i6n

m₄(fi) + 6 ^X

16i<j6n

m₂(fi)m2(fj).

13.c)Trouver une condition portant sur lesm₄(fi)sous laquelle on ait, pour toutα >0, X

n>1

Z₊∞ α

(TnFn)(x)dx <+∞.

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