Bandes interdites et bandes permises dans les semi-conducteurs impurs et les alliages désordonnés

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Submitted on 1 Jan 1955

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Bandes interdites et bandes permises dans les semi-conducteurs impurs et les alliages désordonnés

J. Des Cloizeaux

To cite this version:

J. Des Cloizeaux. Bandes interdites et bandes permises dans les semi-conducteurs impurs et les alliages désordonnés. J. Phys. Radium, 1955, 16 (4), pp.320-324. �10.1051/jphysrad:01955001604032001�.

�jpa-00235150�

aux basses pressions. L’accroissement de la sensi- bilité lorsque ^la pente de la droite de charge ^diminue

en valeur absolue, ^est exprimée ^{dans le tableau}

Fi g. 6.

suivant, ^où je ^{donne les} variations relatives de la résistance de la thermistance pour le même inter- valle de pression (10-2 p I o-1), pour différentes droites de charge.

Pratiquement, j’ai choisi la droite de charge

,E

34 V, p

^{20 ooo} 03A9; elle coupe la courbe ^u

i (i) correspondant ^{à la} pression moyenne de l’intervalle de mesure p = 6,7. jo-2 ^{mm de} Hg, ^au voisinage

de son maximum; ^sa pente ^{est assez} grande, ^en

valeur absolue, pour conduire à ^une durée acceptable

d’établissement du régime permanent ^des échanges

de chaleur de la thermistance.

La sensibilité du dispositif ^{ainsi réalisé est}

convenable jusqu’à ^une pression-seuil de l’ordre de 5.10-3 mm de Hg.

Manuscrit reçu le 3 décembre 1954.

BIBLIOGRAPHIE.

[1] VACHER M. et LORTIE Y.

C. R. Acad. Sc., I953, 236, I759-I76I.

[2] THIEN CHI N. et SUCHET J.

Onde Électrique, I95I, 31, 473-489.

[3] BLEUZE J.

Onde Électrique, I953, 33, 497-509 ^et 578-590.

BANDES INTERDITES ET BANDES PERMISES

DANS LES SEMI-CONDUCTEURS IMPURS ET LES ALLIAGES DÉSORDONNÉS

Par J. DES CLOIZEAUX,

Laboratoire de Physique ^de l’École Normale supérieure.

Sommaire.

Étude analytique ^{des limites des bandes} d’énergie permises ^{dans un} modèle unidi- mensionnel de semi-conducteur impur ^ou d’alliage désordonné. Celui-ci est représenté par ^une succession aléatoire de cellules de deux types ^{A ou} B. Les conditions trouvées montrent l’existence de bandes

d’énergie permises extérieures aux bandes permises relatives à ^une suite infinie de cellules d’un type unique ^{A ou B} (en contradiction avec l’hypothèse de Saxon et Hutner).

LE JOURNAL ^DE PHYSIQUE ^{ET LE RADIUM. TOME} 16, ^AVRIL 1955,

Dans l’étude de la conductivité des semi-conduc- teurs impurs, l’on suppose ^en général que les impu-

retés agissent, ^d’une part ^en introduisant des niveaux

d’énergie supplémentaires et, d’autre ^{part, en}

modifiant la mobilité des électrons à cause de la diffusion de ceux-ci ^sur les centres d’impuretés,

ce dernier effet pouvant être traité par des méthodes

approchées.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01955001604032001

Discutons la nature des niveaux d’énergie ^intro-

duits. Si la concentration en impureté ^{est très faible,}

il est presque certain que deux ^{centres se trouveront}

toujours ^{à une} grande distance. Dans ce cas, les

impuretés n’introduisent qu’un ^ou plusieurs ^niveaux

discrets dégénérés. ^{Par contre,} quand ^la concentration devient plus ^{forte les centres} d’impureté ^ne peuvent plus être considérés comme éloignés ^{les uns des} autres, ^la dégénérescence des niveaux cesse, il se

forme une bande. Certains auteurs [1] ^ont essayé

de calculer ces bandes en répartissant ^les impuretés

d’une façon périodique ^{dans le} cristal. Les résultats semblent toutefois peu conformes à la réalité.

Le fait que les ^centres d’impureté ^soient répartis

au hasard montre qu’il ^existe toujours ^{dans un cristal}

infini ^une probabilité ^non nulle pour qu’autour ^d’un point ^du cristal soient groupés ^un nombre aussi

grand que l’on ^veut de centres d’impuretés. ^{Or ces} paquets d’impuretés produisent ^entre les niveaux

d’énergie ^une séparation ^{accrue et,} par conséquent,

les bandes sont beaucoup plus étalées dans la direction des hautes et des basses énergies que dans le ^cas

d’impuretés ^ordonnées (fin. I).

Fig. ^r.

^Bande d’énergie :

a. Dans le cas d’impuretés ordonnées;

b. Dans le cas d’impuretés désordonnées, figure schématique.

Cet effet a été bien observé par James ^et Ginz-

barg [2] qui ^ont calculé par des méthodes graphiques

les bandes permises d’un cristal linéaire constitué par des cellules de deux types ^{A et B se succédant}

au hasard avec une certaine probabilité.

Remarquons, ^d’autre part, que dans ^un semi- conducteur impur ^et pour ^un cristal infini, ^la largeur

des bandes permises ^ne dépend pas de la ^concen- tration en impureté. ^{En effet,} il existe toujours

une probabilité ^non nulle pour que dans ^un domaine arbitraire un nombre quelconque d’impuretés ^soient réparties d’une manière donnée compatible ^avec

la structure du cristal et des impuretés. ^Néanmoins quand ^décroît la concentration ^en impuretés, ^la

densité de niveau dans les queues de bande diminue extrêmement vite et si la concentration est assez

petite, ^{il nous est interdit de} considérer le cristal réel comme étant de taille infinie, ^{en sorte} qu’il

est alors permis de supposer que les impuretés

n’introduisent que des niveaux discrets ^comme

nous l’avions fait précédemment.

La discussion qui précède s’applique également

aux alliages désordonnés ; ^nous remarquons que dans

ce cas la bande permise ^de l’alliage ^{s’étend au moins} dans le domaine des bandes permises ^{de chacun}

des constituants puisqu’il existe dans un cristal infini une probabilité ^non nulle pour qu’un ^domaine

aussi grand que l’on ^{veut ne} contienne que l’un des constituants.

Comme application, ^nous calculerons rigoureu-

sement la largeur des bandes d’énergie ^{dans le cas}

d’un cristal linéaire constitué par des cellules de deux types ^{A et B se succédant au hasard avec une}

certaine probabilité. Ainsi dans la nièmc cellule le

potentiel ^vaudra

où comme dans la suite de l’article, l’indice I est

mis pour A ^ou B suivant le type ^{de la noème cellule}

et où xri ^est l’abscisse de l’origine ^{de celle-ci.}

Une solution réelle de l’équation ^de Schrôdinger

est fonction linéaire et homogène de deux solutions

particulières. ^Par conséquent, si les valeurs de la

fonction 03C8 ^{et de sa dérivée} 03C8’ ^sont respectivement 03C8e

et 03C8e à l’entrée d’une cellule I, tfs ^et ǧç ^{à sa} sortie,

nous pourrons écrire

où MI ^{est une} matrice fonction de l’énergie, ^{de déter-}

minant unité

Les matrices M. ^et Ma définissent les bandes

d’énergie permises ^{PA et PB} pour ^une suite infinie de cellules A ^ou de cellules B respectivement : l’énergie ^{,E se} trouvera dans la bande permise ^{PI si}

La phase a(x) ^d’une solution réelle peut ^être

définie continuement par l’équation

La quantité :a.( Xn) - :1.( :l’l) ^{sera égale à une unité}

près ^au nombre de zéros de la fonction 03C8 (r) ^entre

les abscisses _x1 et xn. D’où si

la densité de niveau par cellule vaudra

Pour que l’énergie ^E appartienne ^{à la bande} permise ^{Pv de} l’ensemble désordonné, ^{il faut et il}

suffit que f (E) ^{soit une fonction non constante de}

l’énergie. Or, d’après l’équation (1), ^nous pouvons

322 écrire

De proche ^en proche ^nous pouvons calculer a(xn).

Représentons maintenant le vecteur - ₍ 03C8(xn) _03C8 ^dans

J

le plan. ^{Il sera} porté par l’axe Dn.

D,,,, ^{sera lié à} Dn _par ^une transformation homo-

graphique puisque ^les pentes respectives ^{sont liées}

par l’équation (2).

Si ,E appartient ^{aux bandes PA ou PB, il} appartient

à la bande PD. Dans le cas contraire

et les homographies définissent des axes doubles Ai réels de pente ^{ti avec}

Chaque valeur ti ^{est liée à une} valeur propre xI de la matrice Mi par les relations

Un axe correspondant ^{à x sera stable} si xI > ^I,

instable si xl ^1.

Trois cas de figure ^sont possibles (à ^des symétries près), mais le seul qui corresponde ^{à une bande} permise pour l’ensemble désordonné est celui où les axes stables et instables sont croisés (fig. 2).

Fig. ^2.

^{Les axes stables sont en traits} forts, ^{le sens de la} flèche indique ^{le sens} de l’avance de phase ^a.

Plaçons-nous à l’extérieur de PB ^{et à la frontière} de PA ^et examinons si nous sommes à la limite d’une bande interdite ou non. Soit

Nous écrirons

Soit tg a’ ^et tg a" ^les pentes ^{des axes} doubles pour

une énergie légèrement extérieure à PA. Appli-

quons les formules (3) ^et (5)

L’équation (6) ^{nous donne} l’angle ^{entre l’axe}

double stable et l’axe double instable relatifs à la matrice MA, pour ^une énergie légèrement ^exté-

rieure à PA.

Nous devons maintenant trouver la position ^de

l’axe quadruple ^{AA par rapport aux axes doubles àB}

et AB (axe stable).

La plus grande ^valeur propre ^de Ms ^vaut

il lui correspond par les équations (3)

Soit alors

h(t) ^{s’annule sur} 3à ^et Ab

Par conséquent,

régions limitées par les ^axes An ^et A’B (fig. 3).

Fig. 3.

Posons

avec

Avec les hypothèses (4) ^{et en} rassemblant les résultats (6) ^et (7), ^nous voyons que la limite de la bande PA ^{ne sera} pas limite de ’PD ^{si J o.} Les conditions dans tous les cas sont résumées dans le tableau ci-dessous :

qui donne les conditions pour que la limite de P,,

ne soit pas limite de PD, pour l’énergie considérée.

Si les conditions (9) ^sont remplies, nous ne sor-

tirons la bande permise ^P" que lorsque ^{deux axes}

doubles coïncideront. Cette circonstance ^se produit

323 si l’on peut ^vérifier simultanément

L’élimination de 1 donne alors la condition

Cellules symétriques.

^{Dans ce cas} ,la ^condi-

tion de symétrie s’écrit dj

ai. A l’intérieur d’une bande interdite de PA, ^les valeurs de aA, bA ^et ÇA

gardent ^un signe ^constant, d’ailleurs identique ^pour

les deux dernières quantités.

La condition (9) ^se simplifie (1) : ^à la limite d’une bande permise ^{deux cas sont} possibles :

Nous voyons alors que pour qu’une bande interdite

commune à P, ^et PB ^soit permise pour l’ensemble désordonné, ^{il faut} _que

Cette condition est valable dans toute la nouvelle bande permise ^{et la condition} (10) ^{devient sans} objet (ceci provient ^{de ce} que ^{les axes} doubles relatifs aux cellules A et B sont antiparallèles).

Comme conséquence ^{de ce fait, nous} voyons qu’il

n’existe pas de bande supplémentaire ^{isolée et} que toute bande supplémentaire ^réunit toujours ^des

bandes permises appartenant ^{soit à} PA, ^{soit à Pu.}

Cette circonstance ^{ne se} produirait pas dans le ^cas

général.

Nous vérifions que les conditions (9), (10) ^et (12)

ne dépendent pas des probabilités ^de présence ^des

cellules A et B. Nous voyons également que la bande

permise ^PD de l’ensemble désordonné déborde souvent largement ^sur les bandes permises PA ^et PB.

Les résultats ci-dessus peuvent ^{être étendus à}

un cristal linéaire constitué par ^une suite aléatoire de cellules de plusieurs types (par exemple ^{A, B, et} C).

Comme illustration de ce qui précède, ^étudions quelques exemples :

1. Les cellules A et B sont symétriques ^{et le} potentiel ^est constitué par ^une fonction de Dirac.

-

Posons alors

(1) Les résultats qui ^suivent peuvent aussi s’obtenir d’une manière directe ^sans difficulté.

La matrice Mi s’écrira alors

Nous transformons légèrement l’expression ^{de bi}

et _CI

Plaçons-nous à l’extérieur de PA de façon que

Nous aurons

La condition (12) n’est pas satisfaite ^et il ^en est de même dans tous les ’cas.

Nous retrouvons ainsi un résultat de Lüttinger [3]

d’après lequel pour ^une chaîne aléatoire de cette

espèce, ^toute région ^{de la bande} permise ^Pjj appar- tient soit à p.B, soit à PB.

Le résultat précédent (hypothèse ^{de Saxon et} Hutner) ^n’est pourtant pas général. Choisissons

un exemple ^où la condition (12) peut être satisfaite.

2. Les cellules A sont symétriques ^{et com-} portent ^{un double} puits ^de potentiel rectangu- laire, les cellules B sont vides (fig. 4)

Fig. l.

Nous poserons

Les résultats suivants sont immédiats

E > ^o bande permise, ^{E - Vo o} bande interdite.

Soit donc Nous écrirons

Le calcul des matrices MA et MB ^{donne les résul-}

tats suivants :

et,

Pour simplifier ^{l’étude nous} supposerons :

soit

Les variations de aÀ qui déterminent le domaine de PA ^sont représentées ^{dans le tableau ci-}

dessous :

Pour E

Vo, p

^o,

[La ^condition (12) n’est pas satisfaite].

Pour E = Et, p == 7’

[La condition (12) ^{est alors} satisfaite.] ]

Il existe une bande supplémentaire (2) ^{s’étendant}

entre les énergies ^{E’ et E".} Les résultats sont figurés

sur le graphique ^suivant (fig. 5).

(2) ^{Un résultat} analogue ^a été déduit dans le ^cas d’un réseau linéaire périodique par E. H. Kerner (Phys. Rev., 1954, 95, 687.

Manuscrit _{reçu le} 18 octobre 1954.

BIBLIOGRAPHIE.

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[2] ^GINZBARG.

^Thèse.

[3] LÜTTINGER.

Philips ^Res. Rep., I95I, 6, ^383.