TS : correction de la feuille d’exercices (intégration) (1)

TS : correction de la feuille d’exercices (intégration) (1)

I

Calculer, en u.a. : a)

Z1

−1

3 dx=6 car on intègre la fonction constantef :x7→3

−1 1 2 3

1

−1

−2

b) Z2

−5

dx=7 car on intègre la fonctionf :x7→1 sur [−2 ; 5]

−1 1

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

c) Z2

0

(4−x) dx=(4+2)×2

2 =6 en calculant l’aire d’un trapèze (voir figure)

−1 1 2 3 4

1 2 3 4

−1

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II

Soitf une fonction impaire définie et continue surR. On suppose quef est positive sur [0 ; +∞[.

La courbe représentativeC_{f de f} est donc symétrique par rapport à O.

1.

Za

−a

f(x) dxpour touta∈R= Z0

−a

f(x) dx+ Za

0

f(x) dx= −A ₊A ₌0 si on noteA l’aire de la partie du plan comprise entreC, l’axe (Ox) et les droites d’équationsx=0 etx=a.

−1

−2

−3

−4 1 2 3

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5

bO

A

A

a -a

2. La fonction sin est impaire, donc Z^π₂

−^π₂

sinxdx=0

III

Que vaut Z1

−1

p1−x²dx?

Un équation cartésienne du cercle de centre et de rayon 1 estx²+y²=1⇔y²=1−x²⇔y= ±p 1−x². La courbe représentative de la fonction f :x7→p

1−x²a pour représentation graphique le demi-cercle supérieur de centre O et de rayon 1.

Z1

−1

p1−x²dxest donc l’aire du demi-disque supérieur, soit Z1

−1

p1−x²dx= π 2 .

IV

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes : f1(x)= x²+2+e^x surR

Une primitive est F₁(x)=x³

3 +2x+e^x f₂(x)= x²−x+1

x³ sur ]0 ;+∞[f₂(x)= x² x³− x

x³+ 1 x³ =1

x− 1 x²+ 1

x³ donc une primitive estF2(x)=lnx−

µ

−1 x

¶ +

µ

− 1 2x²

¶

= lnx+1 x− 1

2x²

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f₃(x)= 1 3p

x+x−1 sur ]0 ; +∞[ f₃(x)=2

3× 1 2p

x+x−1 donc une primitive est F₃(x)=2 3

px+x² 2 −x f₄(x)= 3(2x+5)⁴surR

On essaye de faire apparaîtreu^′uⁿen posantu(x)=2x+5, d’oùu^′(x)=2.

f₄(x)=3

2×2(2x+5)⁴doncf₄=3

2u^′u⁴; une primitive estF₄=3 2

u⁵

5 donc une primitive est F₄(x)= 3

10(2x+5)⁵ f₅(x)= 5 cosxsin²xsurR.

On poseu(x)=sinxdoncu^′(x)=cosx, alorsf₅=5u^′u²; une primitive estF₅=5u³

3 donc une primitive est F₅(x)=5

3sin³x

f₆(x)= −3

x(lnx+2)²

On cherche à faire apparaîtreu^′uⁿ. On poseu(x)=lnx+2 ; alorsu^′(x)= 1

x.

On en déduit que :f6= −3u^′u²donc une primitive estF6= −3u³

3 = −u³. Par conséquent, une primitive est F₆(x)= −(lnx+2)³

f7(x)= cosx

psinx sur ]0 ;π[.

On poseu(x)=sinx, strictement positive sur l’intervalle considéré. On au^′(x)=cosx Alors : f₇= u^′

pu =2× u^′ 2p

u; ainsi une primitive de cette fonction est-elle : F7=2p

udonc F7(x)=2p sinx

f₈(x)= 3

(−4x+1)²sur

¸1 4 ; +∞

·

On cherche à faire apparaître u^′

u². On poseu(x)= −4x+1 ; alorsu^′(x)= −4.

f₈(x)= −3

4× 4

(−4x+1)²doncf₈= −3 4

u^′

u². Une primitive est alorsF₈= −3 4×

µ

−1 u

¶

donc F₈(x)=3

4× 1

−4x+1 . f₉(x)= x

¡x²−1¢7 sur ]− ∞; −1[

On fait apparaître u^′

uⁿ; on poseu(x)=x²−1 ; alorsu^′(x)=2x.

On en déduitf₉=1

2× 2x

(x²−1)⁷=1

2×u^′(x) u⁷(x). Ine primitive estF9=1

2× µ

− 1 6u⁶

¶

d’où F9(x)= − 1 12¡

x²−1¢6

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f₁₀(x)= e^x

e^x+1surR.

On poseu(x)=e^x+1 ; alorsu^′(x)=e^x. On en déduitf₁₀=u^′

u avecu>0 donc une primitive estF10=ln(u) d’où F₁₀(x)=ln¡ e^x+1¢

.

f₁₁(x)= xe^−x2+1surR

On fait apparaîtreu^′e^u; on poseu(x)= −x²+1 ; alorsu^′(x)= −2x.

f11(x)= −1

2×2xe^−x2+1doncf11= −1 2u^′e^u. Une primitive es doncF₁₁= −1

2e^udonc F₁₁(x)= −1 2e^−x2+1

V

f est la fonction définie sur ]−1 ; 2[ par f(x)= 1 (x+1)(x−2). 1. a

x+1+ b

x−2=a(x−2)+b(x+1)

(x+1)(x−2) =(a+b)x−2a+b (x+1)(x−2) . Pour que cette expression corresponde à f(x), on doit avoir

(a+b=0

−2a+b=1 ⇔

(b= −a

−3a=1 ⇔







a= −1 3 b=1

3 .

On en déduit que f(x)= −1 3× 1

x+1+1 3× 1

x−2 =1

3[−ln(x+1)+ln(x−2)) 2. Une primitive def est alors F(x)=1

3[−ln(x+1)+ln(x−2)] car 1

x+1est de la formeu^′(x)

u(x) avecu(x)=x+1.

Remarque : on peut écrire F(x)=1 3ln

µx−2 x+1

¶

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