Oral 2006

(1)

1. Sujets posés aux Écoles Normales Supérieures à l’oral 2006 1.1. Oral Maths Ulm.

Exercice 1.1.1. On poseZ₂ l’ensemble des rationnels dont le dénominateur est impair (dans leur écriture propre) et O₃(Q) l’ensemble des matrices orthogonales à coefficients rationnels.

Montrer que tous les coefficients d’une matrice de O3(Q) appartiennent `a Z₂.

Exercice 1.1.2. Soit (G,×) un groupe et H un sous-groupe de G.

On considère E ={aH, a∈G} supposé fini de cardinal p premier et la propriété (⋆) ∀a∈G\H, a², ..., a^p⁻¹ ∈/ H.

(1) On suppose (⋆), montrer que H est distingu´e dans G (i.e. ∀g ∈ G,∀h ∈ H on a ghg⁻¹ ∈H)

(2) On ne suppose plus (⋆), mais Gest fini etpest le plus petit facteur premier du cardinal deG. Mˆeme question.

(3) R´eciproque : on suppose encoreG fini et H distingu´e dans G, a-t’on (⋆) ?

Question bonus : montrer que si Card G = p alors G est isomorphe à Z/pZ (avec peut-être d’autres hypothèses).

Exercice 1.1.3.

SoitE =R_n[X] muni de la normekPk= sup

x∈[−1,1]|P(x)|, on poseϕa(P) = P(a) etαn(a) =kϕak (norme subordonn´ee).

Etudier´ αn(a) en fonction de n et a(minorer, majorer, calculer).

Exercice 1.1.4. Soit f : R → R^∗₊ d´erivable en 0 et telle que f(0) = 1. On d´efinit la suite (an) par a1 >0 et an+1 =anf(an).

(1) Nature de P an ?

1.2. Oral Maths Ulm-Lyon-Cachan.

Exercice1.2.1. Soitfune fonction continue deRⁿdansR. On suppose que l’image r´eciproque de tout singleton est un compact. Est-ce que f admet un maximum ou un minimum global?

1

(2)

Exercice 1.2.2.

(1) On se place dans Mⁿ(R). Quel est l’espace vectoriel engendr´e par les matrices nilpotentes ?

(2) TrouverA et B telles que AB = 0 et BA6= 0

(3) Montrer qu’il n’existe pas de norme invariante par similitude (i.e. telle que N(A) = N(P AP⁻¹) pour tout P inversible)

(4) Montrer que N(A) =|TrA|est une semi-norme (i.e. une norme telle que N(A) = 0; A= 0)

(5) Trouver toutes les semi-normes invariantes par similitude.

Exercice 1.2.3. Soit (a, b, c, A, B, C)∈R⁶, on suppose que

∀x∈R, |ax²+bx+c|6|Ax²+Bx+C|. Montrer que |b² −4ac|6|B²−4AC|.

Exercice 1.2.4.

(1) Soient A, B et M trois matrices de Mⁿ(C) telles que AM = MB et Rg(M) = r.

Montrer que A et B ont r valeurs propres communes (comptées avec leur ordre de multiplicité dans le polynôme caractéristique).

(2) Soient A etB dans Mⁿ(C) telles que AB =BA. On note ΠA le polynˆome minimal de A, ΠB celui de B. Montrer que deg(ΠAB)6deg ΠA.deg ΠB.

(3) Soient A, B des matrices de Mⁿ(C). Que dire des polynˆomes caract´eristiques de AB etBA ?

Exercice 1.2.5. Soit E un C-espace vectoriel de dimension n, u ∈ L(E). On note ur

l’endomorphisme induit par u sur leR-espace vectoriel associ´e `a E.

(1) Exprimer detur. (2) `A la fin :

a) Est-ce que [0,1[ est hom´eomorphe a ]0,1[ ?

b) B(0,1) est-elle hom´eomorphe `a B(0,1)∪ {(1,0)}(sur R²) ?

1.3. Oral Maths Lyon.

Exercice 1.3.1. Soit P(X) =Xⁿ−

nP−1 i=0

aiXⁱ avec les ai >0 non tous nuls.

(1) Montrer queP a une racine strictement positive.

(2) Soit ρ la plus grande racine strictement positive deP. Montrer que ρ <max{ai}+ 1 (3) Soit λ une racine quelconque de P. Montrer que|λ|< ρ.

(4) Montrer queρ est de multiplicit´e 1.

(5) Montrer queρ est la seule racine r´eelle strictement positive.

(3)

Exercice 1.3.2.

(1) Existe-t-il des matrices de GL_n(C) distinctes de l’identité semblables à leur carré ? (2) Même question dans GLn(R).

(3) Trouver toutes les matrices de GL2(C) semblables `a leur carr´e.

(4) Mˆeme question dans GL2(R).

Exercice 1.3.3. Soit Aun anneau commutatif, on d´efinit Sn(A) ={x∈A | ∃(a1, . . . , an)∈Aⁿ, x=

Xn i=1

a²_i}. (1) S2 est-il stable par la multiplication ?

(2) S3 est-il stable ?

(3) Montrer que, sin ≡7[8] alors

(n /∈S3(Z) n /∈S3(Q)

(4) En effa¸cant le tableau : est-ce que [0,1] est hom´eomorphe `a ]0,1[ ?

1.4. Oral Maths Cachan.

Exercice 1.4.1.

(1) a) Soit H ∈ Mn(R) sym´etrique. Calculer det(I+tH) pour t ∈R.

b) Soit A etB réelles symétriques définies positives, A6=B et 0< α <1.

Montrer que det (αA+ (1−α)B)>(detA)^α(detB)¹⁻^α.

c) Que dire de {M ∈ Mⁿ(R) sym´etrique d´efinie positive | detM ^>1} ? (2) Soit j ∈N eth∈R tel que jh= 1, (un)∈R^N avec u0 = 0.

Montrer que Pj k=0

u²_k⁶

jP−1 k=0

uk+1−uk

h

2

.

Exercice 1.4.2.

(1) Soit ϕ ∈ C(R+,R), montrer que, s’il existe C ∈ R tel que, pour tout t ∈ R₊, on a tϕ(t)6C+

Z t 0

ϕ(s) ds alors ϕ est born´ee.

(2) Montrer que sif vérifie l’équation différentielle f^′′+qf =? alors f est bornée.

(3) Soit M =







2 1 0 1

1 2 1 0

0 1 . .. 1

1 0 1 2





, montrer que M est positive non d´efinie.

Exercice 1.4.3.

Soit a >0, on posef(t) = P

n∈Z

1

a²+ (t−2nπ)². (1) Définition, régularité, parité, périodicité def. (2) Calcul des coefficients de Fourier def.

(3) Siap d´esigne le coefficient de Fourier de f, calculer ϕ(a) =aπap.

(4)

Exercice 1.4.4.

(1) Soit f : R² →R, diff´erentiable et v´erifiant f(0,0) = 0 ainsi que ∂f

∂y > |∂f

∂x|. Montrer que ∀x ∈ R, ∃!y ∈ R, f(x, y) = 0. Si on d´efinit g : x 7→ y, montrer que g est alors continue et d´erivable.

(2) Connaissez-vous des démonstrations du théorème des fonctions implicites? (question

”culturelle”) Comment le prouver avec le mˆeme genre de d´emonstration qu’en (1)?

2. Spéciales MP* : sujets posés à l’école Polytechnique à l’oral 2006 2.1. Mr Grigis.

Exercice 2.1.1.

(1) Soit P =a0+a1z+. . .+anzⁿ un polynˆome `a coefficients entiers tels que 0⁶ai 69 et an>1. Montrer que si z est une racine deP alors R(z)⁶0 ou |z|⁶ ¹₂(1 +√

37).

(2) Soit une matrice carr´ee de taillen telle que ∀j,P

imij = 1. On prend x un vep tel que P

ixi 6= 0. Trouver la valeur propre associée. (+ question donnée à la fin : si la somme sur chaque ligne vaut 1, que peut-on dire?)

Exercice 2.1.2.

E = C^∞(R,C). On pose, pour toute f dans E, f_a(x) = f(x+a) et F_f l’espace engendr´e par lesfa. On note Φ ={f ∈E,dim(Ff)<+∞}.

D´eterminer Φ. (T’es seul, t’es seul).

Exercice 2.1.3. Soit f(x) = Z +∞

0

e^it^xdt pourx >1.

(1) ´Etudier la convergence.

(2) Donner un ´equivalent en +∞.

Exercice 2.1.4. Soit g(x) =|sinx|. (1) Montrer queg(x) = 1

π − 4 π

+P∞ n=1

cos 2nx 4n²−1.

(2) Montrer que l’´equation (E) : y^′′ +y = g(x) admet une unique solution C², C³ par morceaux et π-p´eriodique.

Exercice 2.1.5. Soit n ∈ N, on pose pour k ∈ [[1, n]] : nk le reste de la division euclidienne den par k etp_n la probabilit´e pour que n_k ^> ^k₂.

(1) Calculer pn. (2) Calculer lim

n→+∞p_n.

(3) Et pour finir : nature de la suite un=n! sin(2πn!e).

(5)

2.2. Mr Henry.

Exercice 2.2.1.

(1) Soit u ∈ L(Kⁿ) tel que u(e1) = 0 et u(ek) = ek−1 pour k ∈ [[2, n]]. Trouver les sous- espaces stables paru.

(2) Soif f : R −→ R lipschitzienne. Montrer que f s’´ecrit comme la diff´erence de deux fonctions monotones.

(3) Soit f : [0,1[−→R uniform´ement continue. Montrer que f est born´ee.

(4) Est-ce que la fonction ln peut s’´ecrire localement comme un polynˆome ?

Exercice 2.2.2. (1) Soit w_n =Rπ/2

0 sinⁿxdx. ´Etude.

(2) a) Soit P ∈ Q[X]. P irr´eductible dans Q. Montrer que P n’admet pas de racine double.

b) Soit P ∈Q[X] de degr´e 5 qui admet une racine double. Montrer que P admet une racine rationnelle.

(3) Soit (xn) positive et (an)ց0 telles que. P

anxn converge. ´Etude deanPn k=1xk

2.3. Mr Langevin.

Exercice 2.3.1.

(1) Soit A∈ Mⁿ(C). On noteC1, ..., Cn ses colonnes. Montrer que |detA|⁶ Qn i=1||Ci||. (2) Soit un d´efinie par u0, u1, u2 et un+3 =aun+2+bun+1 +cun. On suppose a+b+c= 1

etun convergente, trouver sa limite. (On pourra traiter le casun+2 =aun+1+bun avec a+b = 1 et essayer de g´en´eraliser).

Exercice 2.3.2. Que dire de f : (A, B, C) ∈E³ 7→(α, β, γ) o`u E est le plan affine euclidien et α=−→AB.−→AC,β =−→BA.−−→BC, γ =−→CA.−−→CB.

Exercice 2.3.3. Soient A,B,C, D 4 points du plan tels que

0 AB² AC² AD² BA² 0 BC² BD² CA² CB² 0 CD² DA² DB² DC² 0

= 0 Montrer que A, B, C, D sont cocycliques!

Exercice 2.3.4.

(1) D´eterminer 3 nombresα, β,γ tels que f :C→C soit constante o`u f(z) =α(z−a)²+β(z−b)²+γ(z−c)².

SiA,B, C sont trois points align´es du plan, −→u un vecteur unitaire de la droite passant par ces trois points alors montrer que

MA²−−→BC+MB²−→CA+MC²−→AB =±AB.BC.CA.−→u .

(6)

(2) Soit A ∈ Mⁿ(C), on suppose qu’il existe p1 6= p2 tels que A^p¹ = A^p². Montrer qu’il existe p tel que A^p soit diagonalisable.

2.4. Mr Rosso.

Exercice 2.4.1. On prend une matrice P sym´etrique positive. Montrer que : detP ⁶Y

i

p_ii.

Exercice 2.4.2.

Soit ∀j ∈N, Pj(X) = ^X(X⁻¹⁾^···_j!^(X⁻^j+1)

(1) Soit P ∈ R_k[X]/ ∃n ∈ N, P(n, n+ 1,· · · , n+k) ⊂ Z. Montrer que l’on peut ´ecrire P(X) = Pk

0ajPj(X) o`u les aj sont des entiers.

(2) Soit R une fraction rationnelle telle que R(Z)⊂Z. Montrer queR est un polynˆome.

Exercice 2.4.3.

Soient A= (aij) etB = (bij) deux matrices symétriques réelles d’ordre n, on définit la matrice C de coefficients cij =aijbij.

Montrer que

(1) SiA>0 et B >0 alors C >0.

(2) SiA >0 et B >0 alors C >0.

(3) A>0⇔(∀B >0, C >0).

Exercice 2.4.4.

Soit f ∈ C³(Rⁿ,R) telle que f(0) = 0 et f^′(0) = 0.

Montrer qu’il existe h∈ C¹(Rⁿ,Sn) telle que ∀x ∈Rⁿ, f(x) = x^Th(x)x (Sn désigne l’ensemble des matrices symétriques réelles).

Exercice 2.4.5.

(1) Soit σ∈R^∗₊, (ak)∈R^N telle que Sn= Pⁿ

k=1

akk⁻^σ converge.

Montrer quen⁻^σ Pⁿ

k=1

ak→0.

(2) Soit J = [[1, n]], z1, . . . , zn n complexes.

Montrer qu’il existe I ⊂J tel que P

i∈I

zi

> 1

6 P

i∈J|zi|.

(7)

2.5. Divers.

Exercice 2.5.1. Soit Aune matrice sym´etrique d´efinie positive, on pose K(x) = (Ax|x)(A⁻¹x|x)

et on se propose de d´eterminer min

kxk=1K(x) et max

kxk=1K(x).

(1) Montrer que si K passe par un extremum en x ∈ S(0,1) alors il existe λ ∈ R tel que (Ax|x)A⁻¹x+ (A⁻¹x|x)Ax=λx.

(2) En d´eduire quex appartient `a la somme d’au plus 2 sous-espaces propres de A.

(3) Conclure.

Exercice 2.5.2.

(1) Nature de la suite d´efinie par u0 ∈ R et la relation de r´ecurrence un+1 = a(1 +a²) 1 +u²_n , a >0.

(2) Soit f ∈ L(E) o`uE est un espace vectoriel de dimension finie. Montrer l’´equivalence Kerf = Imf ⇔(f² = 0) et (∃h∈ L(E) | h◦f+f◦h= IdE.

3. Spéciales MP* : sujets posés aux Écoles des Mines à l’oral 2006

Exercice 3.1.1.

(1) Considérons l’équation différentielle suivante : x²y^′′+xy^′−y= x²

1−x²

Chercher les solutions D.S.E. (question pos´ee `a l’oral : expliciter cette solution) (2) PosonsA=





1 . . . 1 ... . .. 0

1 0 1



. D´eterminer son spectre et ses sous-espaces propres.

(3) Pour trois r´eels p, q, r, on pose M =



p q r r p q q r p



. Montrer que M est une matrice de rotation ssir,p, q sont racines du polynôme X³+bX²+c oùb et csont à déterminer.

(4) Soit (an) une suite de r´eels croissante qui tend vers l’infini.

Montrer que Z +∞

0

+∞

X

0

(−1)ⁿe⁻^aⁿ^xdx=

+∞

X

0

(−1)ⁿ an

.

Exercice 3.1.2.

(1) (10 min de pr´eparation) Soit Pn(X) =Xⁿ+Xⁿ⁻¹+...+X²+X−1 pour n ∈N.

a) Montrer qu’il existe un unique an >0 tel que Pn(an) = 0 b) Trouver la limite l de a_n.

c) Donner un ´equivalent de a_n−l.

(2) (Sans pr´eparation) Montrer que la famille (f_α)_α_∈R est libre, o`uf_α(t) =te^αt.

(8)

Exercice 3.1.3.

(1) Pourn ∈N, on consid`ere

In= Z 1

0

xⁿ(1−x) 1−xⁿ dx.

Etudier la suite (I´ n)n∈N, puis la s´erie P In.

(2) On poseE =Rⁿ, o`u n∈N. Soit u∈ L(E) un projecteur. On consid`ere Φ : L(E) −→ L(E)

f 7−→ f ◦u+u◦f Φ est-il diagonalisable ?

Exercice 3.1.4.

(1) Soit f un endomorphisme de E tel que f²+f −2 IdE = 0, montrer que E = Ker(f + 2 IdE)⊕Ker(f−IdE).

(2) Soit g(x) =

+P∞ n=1

1 n^x.

Chercher l’ensemble de définition deg, étudier sa dérivabilité, donner l’expression de sa dérivée et étudier le comportement de g aux bornes de son ensemble de définition.

(3) Soit M =



r p q p q r q r p



. Montrer que M est une matrice de rotation ssi r, p, q sont racines du polynôme X³+bX²+coùb etcsont à déterminer.

Exercice 3.1.5.

(1) Soit P ∈R[X], unitaire.

a) Montrer que : P scind´e sur R ssi∀z ∈C, |P(z)|>|Im(z)|^deg^P.

b) Soient E un R-e.v., (U_m) une suite d’endomorphismes diagonalisables qui converge vers U. U est-il diagonalisable ? Trigonalisable ?

(2) Soit E =C([0,1]), A={f ∈E |f(0) = 0}.

Montrer queA est ou bien dense dansE ou bien ferm´e

Exercice 3.1.6.

(1) Soit t∈]0,1[,f(x, y) = t^(2x+1)y, montrer que f ∈L¹([1,+∞[²).

En d´eduire que Z +∞

1

t^3y 2y dy=

Z +∞ 1

t^2x+1 2x+ 1dx.

(2) Soit E un espace euclidien, pun projecteur.

a) Montrer que p est orthogonal ssi ∀x∈E, kp(x)k6kxk.

b) En d´eduire que l’ensemble K des projecteurs orthogonaux est compact.

(3) ´Etudier la courbe d´efinie en polaires par r= cos(2θ)...

(9)

Exercice 3.1.7.

(1) SoitSla surface d’´equations param´etriques :







x =ucosv y =usinv z =au+ϕ(v)

o`ua∈R,ϕ∈ C¹(R,R).

a) Trouver l’´equation du plan tangent en chaque point.

b) Montrer que, à v fixé, il existe une droite qui appartient à tous les plans lorsque u décrit R.

(2) Soit (u_n)∈(R₊)^N, montrer que P

u_n,P _u_n

1+un, P

ln(1 +u_n) et P Run

0 dx

1+x² sont toutes de mˆeme nature.

Exercice 3.1.8.

(1) R´esoudre dans (Z/36Z)² : (

5.˙5x−y= ˙11

˙3x+ ˙5y= ˙1 (10 min de pr´eparation).

(2) Soitf ∈ C²(R+,R₊), born´ee. On suppose qu’il existeα∈R₊tel quef^′′>α²f. Montrer quef etf^′ tendent vers 0 en +∞.

(3) Donner l’équation cartésienne de la surface de révolution Σ d’axe Oz engendrée par la courbe

C

(x+z = 1 (x−1)²+y²+z² = 1.

(4) Donner l’équation cartésienne d’un hyperbolo¨ıde (à 2 mn de la fin).

Exercice 3.1.9. (1)

a) Soit E =C^∞(R,C) et D :f 7→f^′. Existe-t-il ∆∈ L(E) tel que ∆² =D ? b) SiE = Vect(cos,sin), existe-t-il ∆ tel que ∆² =D ?

(2) Soit f(t) = Z +∞

0

sinxt x(1 +x²)dx.

a) Montrer que f est de classe C¹ sur [0,+∞[.

b) Montrer que f est deux fois dérivable sur ]0,+∞[ et que f satisfait l’équation différentielle y−y^′′= π

2, en d´eduire l’expression de f sur [0,+∞[.

c) Quelle est l’expression de f sur R ?

Exercice 3.1.10.

(1) Soit ϕ :R_n[X]→R telle queϕ(P) =P(a) où a est un réel fixé.

a) Montrer que ϕ continue.

b) Calculer la norme subordonn´ee deϕ pour la norme 1 et la norme infinie.

(10)

(2) Exercice assez simple sur les séries de fonctions (étant donné un terme général, domaine de définition, convergence, limites).

(3) On consid`ere la courbe intersection des deux surfaces : x²+y²−4z= 9 et x+y−2z = 0.

Equation de la surface de r´evolution autour de´ Oz.

(4) Soit A une matrice r´eelle telle que A⁴+ 5A²+ 4In= 0.

Montrer que TrA= 0.

4. Spéciales MP* : sujets posés aux Écoles Centrales à l’oral 2006

4.1. Math 1.

Exercice 4.1.1.

(1) (Avec pr´eparation) : SoitA∈On(R) de coefficients aij.

a) Montrer que P

i,j|aij|⁶n√ n.

b) En consid´erantv =



 1...

1



, montrer que

P

i,j

aij

⁶n.

c) Peut-on avoir égalité à la fois dans a. et b. ?

d) Quelle transformation géométrique admet une matrice symétrique et orthogonale ? (2) (Sans préparation) : (Z/4Z)² est-il cyclique ?

(3) Soit (f1, f2)∈(R^n⋆)².

Montrer l’´equivalence : (f1, f2) est libre ⇔dim Kerf1 ∩Kerf2 =n−2.

Exercice 4.1.2.

(1) Soit n∈N, E =Rⁿ, uet v deux endomorphismes de E qui commutent.

Soit χu etχv leurs polynˆomes caract´eristiques.

a) On suppose que χu est scind´e et que χu est premier avec χ^′_u, montrer que v est diagonalisable.

b) Est-ce une condition n´ecessaire ?

c) Contre exemple (v non-diagonalisable) avec χ_u non premier avec χ^′_u. d) Contre exemple (v non-diagonalisable) avec χu non scind´e.

e) Reprendre les questions pr´ec´edentes avec E =Cⁿ. (2) Quels sont les sous-groupes de (Z/nZ,+) ?

Exercice 4.1.3. Soit f ∈ L(E) telle que f admette un polynˆome annulateur P. (1) Montrer quef admet un polynˆome minimal.

(2) Montrer que sif est inversible alors f⁻¹ est un polynˆome de f. (3) Donner un endomorphisme qui n’admet pas de polynˆome annulateur.

(4) SoitM ∈ Mⁿ(R), est-ce que toutes les matrices M admettant X⁶+X⁴+X²+ 1 comme polynˆome minimal sont semblables entre-elles ?

Discuter selon les valeurs de n (au passage, il a demand´e de prouver que si 2 matrices deMⁿ(R) sont semblables dans C alors elles sont semblables dans R).

(11)

Exercice 4.1.4.

(1) Soit M ∈ Mⁿ(C).

On note C(M) ={P(M), P ∈C[X]} etIM ={A∈ C(M) |A² =In}.

Montrer que la dimension de C(M) est égale au degré du polynôme minimal de M. Déterminer le cardinal deIM dans le cas particulier oùM est diagonalisable.

(2) D´eterminer de mˆeme CardIM lorsque M est nilpotente.

(3) Étudier le cas général.

Exercice 4.1.5. On dit quex est u-générateur de F (sev de E) ssiF est le plus petit sev de E qui vérifie : x∈F etu(F)⊂F.

(1) DansR², quels sont les u-g´en´erateurs, avec u=

1 2 1 1

.

(2) Montrer que : x est un u-générateur de F ssiF ={f(x), f ∈R[u]}. (3) Soit up =u−p.Id, montrer que les u-générateurs sont les up-générateurs.

(4) Soit C(u) = {v | u◦v =v◦u}. Montrer que R[u]⊂C(u) et que C(u) est un sev.

(5) SiPu(X) est scind´e `a racines simples, alors montrer que R[u] = C(u).

(6) Questions compl´ementaires :

a) Donner une matrice non diagonalisable de M³(C).

b) Donner le reste de la division euclidienne deXⁿ par (X³−1).

c) Combien y a-t-il d’automorphismes de Z/3Zdans Z/3Z ?

Exercice 4.1.6. Soit A = (aij) ∈ Mⁿ(R), on suppose que aij ∈ {0,1}, aii = 0 et, si i 6= j, aij +aji = 1.

(1) Soit H l’hyperplan d’´equation x1+· · ·+xn = 0, chercher KerA∩H.

(2) En d´eduire que Rg(A)>n−1.

(3) Quels sont les entiers n>2 tels que toutes les matrices A soient de rang n−1 ? Questions annexes :

(1) Quelles sont les vap deJ ?

(2) Montrer que la matriceA de la fin est bien de rang n.

(3) Quel est le polynôme caractéristique de J, quel est son polynôme minimal ? (4) Trouver une matrice de polynôme minimal X²+ 1.

Exercice 4.1.7.

(1) On consid`ere A=



 1 −1 −1

−1 1 −1

−1 −1 1



.

a) Chercher l’id´eal annulateur de A, en d´eduire R[A].

b) Trouver (an) et (bn) tels que∀n ∈N,Aⁿ=anI3+bnA.

c) Soit C^R(A) le commutant de A dans M³(R), d´eterminer dimC^R(A).

d) D´eterminer {B ∈ M³(R)| B² =A}. (2) Soit A∈ Mn(C), montrer que dimC^C(A)>n.

(12)

Exercice 4.1.8.

(1) On consid`ere l’´equation X² =A dans Mn(R) a) n = 2, trouver A telle qu’on ait

• une infinit´e de solutions,

• aucune solution

• un nombre fini de solutions.

b) R´esoudre pourA =



0 1 0 0 0 1 0 0 0



 etA=



2 0 0 1 2 0 0 1 3



.

c) Que dire si χA(pol caractéristique) scindé à racines simples ? d) Que dire siχA scindé à racines positives ?

e) Que dire si χA scind´e mais n’a pas toutes ses racines positives ? f) R´esoudre dansMⁿ(C)X² =A pour A diagonalisable.

g) R´esoudre X_n² =In dans Mⁿ(R).

(2) Montrer que la famille (sinxⁿ)n>0 est libre...

(3) Calcul de cos^2π₅ .

Exercice 4.1.9.

(1) a) Montrer qu’il existe un unique polynˆomeTn tel que ∀x∈R,Tn(cosx) = cosnx.

b) Établir une relation de récurrence entre Tn+2,Tn+1 et Tn. c) Chercher le degré, la parité et le terme dominant de Tn. d) Montrer queϕ(P, Q) =

Z 1

−1

P(x)Q(x)

√1−x² dx est un produit scalaire surR[X].

e) Calculer ϕ(Tp, Tq), en d´eduire une base orthonormale de R[X].

f) Matrice de la r´eflexion orthogonale par rapport `aR_n₋₁[X] dans cette base.

(2) D´ecrire l’ensemble des matrices deM²(R) admettantX²+1 comme polynˆome minimal.

4.2. Math 2.

Exercice 4.2.1.

(1) (Avec préparation) : On considère une suiteandécroissante de réels strictement positifs, etu_n(t) =a_ntⁿ(1−t) pour n∈N ett ∈[0,1].

a) Montrer que P

u_n converge simplement sur [0,1].

b) Trouver une CNS suran pour avoir convergence normale.

c) Montrer que P

un converge uniform´ement ⇔an−→0.

d) On suppose an 90. étudier la continuité deP un. (2) (A 5min de la fin) : On considère P

fn

−→C.U.

[a;+∞[f etfn(t) −→

t−→+∞αn. Que dire def pourt−→+∞ ?

Exercice 4.2.2.

(1) a) Soit un etvn deux suites `a termes r´eels positifs.

On suppose que P

unvn converge simplement.

(13)

On d´efinit la suite :

∆n = det







1 −v₁

u1 1 . .. (0) . .. ... ...

(0) . .. ... −vn

un 1





 On pose ∆0 = 1. Montrer que (∆n) converge.

(On pourra consid´erer la suite wn = Yn k=1

(1 +ukvk).) b) R´eciproque

(2) Calculer

limn

Z ^√n 0

1− t

√n n

e^t^√ⁿ

Exercice 4.2.3. (1) Montrer que

+P∞ n=1

1

n(n+ 1)(. . .)(n+q) = 1 q.q!

(consid´erer 1

n(n+ 1)(. . .)(n+q−1)− 1

(n+ 1)(. . .)(n+q)).

(2) Montrer que

π² 6 =

Xq n=1

1 n² +q!

+∞

X

n=1

1

n²(n+ 1)(. . .)(n+q).

(3) Donner une méthode pour avoir une valeur approchée deπ à 10⁻¹⁰⁰.

Exercice 4.2.4.

(1) Soit f ∈ C¹([a, b],R). Calculer lim

n→+∞

Z b a

f(t) sinntdt.

(2) Calculer lim

n→+∞

Z π/2 0

cosx

sinx sin(2nx) dx.

(3) Calculer lim

n→+∞

Z 2π 0

ln(2 sin(x/2)) cosnxdx et chercher son ´equivalent en +∞. Indication pour le 2 : consid´erer θ(x) = 1

2

cos(x/2) sin(x/2) − 1

x. Exercice 4.2.5.

(1) Soit f(x) =

+P∞ n=0

e⁻ⁿ²^x².

a) Domaine de d´efinition de f. b) Trouver lim

x→0xf(x).

c) Trouver lim

x→+∞f(x).

(2) Nature de la s´erie P

un o`uun = cos[πn²ln(1−1/n)].

(14)

Exercice 4.2.6.

(1) On consid`ere S = 1

1.2.3.4 + 1

5.6.7.8 +· · ·.

a) Justifier la convergence. Peut-on calculer S avec Maple ?

b) ´Equivalent du reste sous forme d’une int´egrale puis sous la forme A n^α. (2) Soit un(x) = x

n²+x², n>1, x>0.

a) ´Etudier la convergence simple, normale sur tout segment deP un. b) Comparer ⁺P^∞

n=1

un(x) avec une int´egrale faisant intervenir fx(t) = x

t²+x², x ´etant fix´e.

c) Conclure pour la convergence uniforme sur R₊.

Exercice 4.2.7.

(1) Exercice ultra simple sur les séries entières (2) Soit u0 >0, u1 >0 et un+1= _1+uû_nⁿ_u_n

−1. Equivalent de´ un.

Exercice 4.2.8. Soit un = Z 1

0

xⁿ

(1 +x+· · ·+xⁿ⁻¹)² dx.

(1) Convergence de la suite (un).

(2) Écrire un comme somme d’une série, en déduire un équivalent (?).

(15)

Solution 1.1.1 (R. Portalez) Note : ?

Examinateur : D. HARARI, petit, un peu grassouillet, gentil, avare en paroles mais ne laisse pas t’es seul t’es seul non plus, ce qu’il aurait pu faire facilement vu l’exo. C’est le ”Daf en plus vieux” de Carla. Il est assez malsain et fait des blagues pendant l’oral, il m’a parl´e de la coupe du monde... Donne des indications et sur un exo comme ¸ca, il vaut mieux! Avant, il

était chargé de cours d’algèbre à ULM.

On raisonne par l’absurde en consid´erant un vecteur colonne de la matrice. On sait qu’il est unitaire et donc ^p_q²¹¹2

11 + ^p_q²²¹2 21 + ^p_q²³¹2

31 = 1. On suppose donc que q11 est pair. On distingue alors plusieurs cas.

Supposons que q21 et q31 soient impairs. On met tout au même dénominateur et on obtient : p²₁₁q₂₁² q₃₁² +p²₂₁q₁₁² q₃₁² +p²₃₁q₁₁² q₂₂² = q₁₁² q₂₁² q₃₁² . On a clairement une absurdité puisque p11 est impair.

Il existe alors un deuxième dénominateur pair. On suppose que c’est le deuxième, histoire de pas s’embrouiller.

Là, il faut penser à la valuation 2−adique deq₁₁etq₂₁car le raisonnement précédent ne marche plus. On écrit doncq11 = 2^k¹q₁₁^′ et de même pourq21. On met alors tout au même dénominateur pour trouver la relation sordide :

2^2k²p²₁₁q^′₂₁²q₃₁² + 2^2k¹p²₂₁q₁₁^′²q²₃₁+ 2^2k¹^+2k²p²₃₁q₁₁^′²q₂₁^′² = 2^2k¹^+2k²q₁₁^′²q₂₁^′²q²₃₁. On regroupe tout ¸ca par puissance de 2 d´ecroissantes, `a savoir :

2^2k¹^+2k²(p²₃₁q^′₁₁²q₂₁^′²−q₁₁^′²q₂₁^′²q²₃₁)+2^2k²p²₁₁q^′₂₁²q₃₁² +2^2k¹p²₂₁q₁₁^′²q₃₁² = 0. On utilise alors que la valuation 2−adique de la somme de deux nombre vaut le min des deux valuations 2−adiques des deux termes de la somme, sauf dans le cas où celles-ci étaient égales. Comme ici, on a la somme de deux nombres de valuation 2−adique respectives 2k1 et 2k2 dont la somme a pour valuation 2−adique 2k1+ 2k2 au moins. Comme k2 et k1 sont supérieurs à 1 (par hypothèse), ils sont

égaux. On peut alors simplifier par 2^2k et on aboutit à la même absurdité que dans la premier cas.

Les trois dénominateurs sont donc pairs, on note k₁, k₂, k₃ leurs valuations 2−adiques respectives. On fait le même type de raisonnement que ci-dessus et arrive à une absurdité, ce qui prouve le résultat.

Remarque : On peut faire autrement. Soient pi

q_i des fractions rationnelles irr´eductibles telles que

p²₁

q₁² +· · ·+p²_n q_n² = 1.

On pose qi = 2âⁱbi où bi est un nombre impair, a = max(ai) et E ={i∈[[1, n]] | ai =a}. Pour simplifier la démonstration qui suit, on suppose que E = [[1, k]] après renumérotation.

Montrons que soit E = [[1, n]] soit 4|CardE :

• Sia= 0 alors E = [[1, n]].

• Sia >0 on multiplie la relation p²₁

q²₁ +· · ·+p²_n

q_n² = 1 par 2^2ab²₁. . . b²_n. Dans Z/4Z, les seuls carrés sont 0 et 1 donc, tout nombre impair élevé au carré est congru à 1 modulo 4. On obtient alors

p²₁b²₂. . . b²_n

| {z }

≡1[4]

+· · ·+p²_kb²₁. . .bbk 2. . . b²_n

| {z }

≡1[4]

+4.K = 2^2ab²₁. . . b²_n

o`uK est un entier correspondant aux autres termes. Dans Z/4Z on aura donc k ≡0[4]

i.e. 4|CardE.

Si n = 3 alors on en d´eduit que E = [[1,3]] i.e. tous les coefficients d’une matrice de O3(Q) appartiennent `a Z₂.

Questions posées à la fin : De quelle structure algébrique peut-on munir Z₂? (c’est un sous

(16)

anneau unitaire deQ.), comment appelle-t-on la plus grande puissance de 2 qui divise un entier?

(la valuation 2−adique). (je n’en avais pas parl´e pendant l’oral).

Solution 1.1.2 (Th. Pradeau) Note : 13

Examinateur : Sympa, avec une voix de fausset, assez rigoureux (il m’a repris car j’ai dit qu’un

élément de Z/nZ l’engendre ssi il est premier avecn, en fait il faut parler du représentant dans [[0, n−1]] de la classe d’équivalence, et encore c’est pas vrai pour 0...)

(1) Si G est commutatif c’est évident (mais ¸ca n’aura pas d’importance). On considère h∈H et g ∈G\H (si g ∈H c’est immédiat), on veut montrer que ghg⁻¹ ∈ H. On a E ={H, gH, . . . , g^p⁻¹H}. En effet, on a bien péléments et pour 1< j < k < p−1 on a g^kH 6= g^jH car sinon ∃h0 ∈ H | g^k = g^jh0 i.e. g^k⁻^j =h0 ∈ H or k−j ∈ [|1, p−1|] et d’après (⋆) on a g², ..., g^p⁻¹ ∈/ H.

Par l’absurde si ghg⁻¹ ∈/ H, comme (ghg⁻¹)^k = gh^kg⁻¹ (récurrence immédiate), on a aussi E = {H, ghg⁻¹H, ..., gh^p⁻¹g⁻¹H}. Donc ∃k ∈ [|0, p−1|] | gH = gh^kg⁻¹H (ce sont deux éléments deE) et∃h0 ∈H |gh^kg⁻¹ =gh0 soit g⁻¹ =h⁻^kh0 ∈H, soit g ∈H, contradiction.

(2) En fait on va montrer qu’on a (⋆). On note n le cardinal de G. Si n est pair, p= 2 et on a (⋆) imm´ediatement. On suppose donc n impair.

Soit a ∈ G\H, supposons par l’absurde que ∃k ∈ [|1, p−1|]|a^k ∈ H. On prend k minimal (k ^>2). On fait la division euclidienne : n=kq+r avec r ∈[|0, k−1|]. Alors aⁿ = e = a^kqa^r en notant e le neutre du groupe. Donc a^r = a⁻^kq ∈ H car a^k ∈ H.

Comme on a prisk minimal et quer < k on a n´ecessairement r= 0.Donck divise n et commek < p qui est le plus petit facteur premier de n, on a k = 1. Contradiction car a /∈H.

On a donc (⋆) et d’apr`es (1) on a le r´esultat.

(3) Alors d’abord l’arnaque pour montrer que si Card G = p alors G est isomorphe à _p^Z_Z. J’ai considéré ϕa de Z dans G tel que ϕa(k) = a^k. On sait que si Kerϕa = pZ alors Imϕa ≃ _p^ZZ. Le but c’est donc de montrer queϕa est surjective i.e que Gest monogène, il m’a arnaqué que c’est vrai mais ¸ca me semble louche donc il manque peut-être des hypothèses.

Ici p est juste le cardinal de E (et plus le plus petit facteur premier de n). S’il n’est pas premier le résultat est faux : on se ramène à _n^Z_Z et on prend H =

0 . Alors p = n et E =

0 ...

p−1

, pn’est pas premier donc il y a un ´el´ement a6= 0 d’ordrek ∈[|2, p−1|].

En effet s’ils sont tous d’ordrepils engendrent tous le groupe et doncpest premier avec chacun d’eux i.e pest premier. On a ainsi a /∈H, mais a^k = 0∈H donc (⋆) est fausse.

Si p est premier, on définit le groupe (E,⊗) avec (aH)⊗ (bH) = abH. Ceci n’est possible que si H est distingué dans G (on l’a admis par manque de temps). Avec cette loi on a donc E ={H, aH, ..., a^p⁻¹H}d’où (⋆) (car si a^k∈H alors a^kH =H).

Solution 1.1.3 (V. Laviron) Note : ? Examinateur : ?

Solution 1.1.4 (P. N´eron) Note : ? Examinateur : ?

(1) Si (an) ne tend pas vers 0 alorsP

an diverge.

On suppose alors que lim

n→+∞an= 0.

(17)

Par une r´ecurrence imm´ediate, on a an =a1

n−1

Y

k=1

f(ak)

donc an→ 0⇒

n−1

Y

k=1

f(ak)→0. Comme toutes ces quantit´es sont strictement positives, on peut prendre le logarithme :

n−1

X

k=1

lnf(a_k)→ −∞. Orf(ak) = 1 +f^′(0)ak+o(ak) (d´erivabilit´e en 0) donc

lnf(ak) = ln(1 +f^′(0)ak+o(ak))∼f^′(0)ak. On en d´eduit (comparaison des s´eries divergentes) que P

f^′(0)ak diverge donc P ak

diverge.

(2) Suite au prochain num´ero...

Solution 1.2.1 (R. Portalez) Note : ?

Si n= 1 le r´esultat est faux en prenant pourf l’identit´e...

Pourn ^>2 le résultat est vrai. Pour le montrer on raisonne par l’absurde et on suppose donc que f n’a ni minimum ni maximum global. On pose r1 = 1. Sur ¯B(0, r1) qui est compacte, f admet un max et un min qui sont respectivement atteints enx1, x^′₁. Comme ces points ne réalisent pas de max ou de min globaux, on sait qu’il existe y1, y₁^′ tels que ||y1||,||y^′₁||> r1 et f(y1)> f(x1) et f(y₁^′) < f(x^′₁). On pose alors r2 = max(r1 + 1,||y1||,||y^′₁||). On pose x2, x^′₂ les points où f atteint respectivement son max et son min sur la boule fermée de centre 0 et de rayon r2. Par récurrence on construit trois suites rn, xn, x^′_n telles que rn → ∞, rn−1 <||xn||,||x^′_n||⁶ rn, f(xn) croˆıt strictement, f(x^′_n) décroˆıt strictement. On voit alors où est le problème. En effet, en supposant f(x1) > f(x^′₁) (quitte à augmenter r1...), on prend x0 = ^f^(x¹^)+f(x₂ ^′¹⁾. On a alors n^>1,f(x_n)< x₀ < f(x^′_n). Comme ensuite la couronne r_n₋₁ <||x||⁶r_n est connexe par arcs, on peut rejoindrexn etx^′_n par un arc continuγn tel queγn(0) =xn,γn(1) =x^′_n. En appliquant le T.V.I àf◦γn, on trouve un tntel quef(γn(tn)) =x0. Mais pas de bol, la suiteγn(tn) diverge ce qui est contradictoire avec l’hypothèse...

Commentaire : J’ai fait cet exo sans aide en à peu près 35 minutes et il m’a alors collé un truc de matrices hermitiennes sur lequel je ne connaissais rien... Comme quoi le hors programme ¸ca peut servir (ou pas).

Remarque : il y a moins p´enible comme d´emonstration !

On peut supposer f(0) = 0 (par translation). K = f⁽−1)(0) est un compact donc il existe R >0 tel que K ⊂B(0, R).

A=Rⁿ\B(0, R) est connexe par arcs etf ne s’annule pas sur A doncf est de signe constant sur A (on peut supposer f >0 sur A).

Par compacit´e, il existe x₀ ∈B(0, R) tel que f atteint son minimum en x₀ sur cette boule. On a alors f(x0)6f(0) = 0 et f atteint son minimum global en x0.

Solution 1.2.2 (Th. Pradeau) Note : 14

Examinateur : celui de la salle Lebesgue, super sympa. C’était mon dernier jour d’oral (et encore de l’algèbre !) et il m’a demandé à la fin comment les concours s’étaient passés.

(1) Alors là j’ai bien galéré 10 min avant qu’il me dise de considérer d’abord le cas n = 2 ... On se rend compte que si A ∈ E (l’espace vectoriel qu’on cherche) alors TrA = 0.

(18)

On conjecture doncE ={M ∈ Mⁿ(R) | TrM = 0}.

⊂: évident par linéarité de la trace

⊃ : On traite donc d’abord le cas n = 2 pour y voir plus clair. A nilpotente ⇔ detA= TrA= 0. Soit M de trace nulle :

M =

a c b −a

=a

1 −1 1 −1

| {z }

nilpotente

+ (a+c)

0 1 0 0

| {z } +

nilpotente

(b−a)

0 0 1 0

| {z }

nilpotente

.

DoncM ∈E.On a bien E ={M ∈ Mⁿ(R)| TrM = 0} et cet espace est de dimension 3 car les 3 matrices précédentes sont libres et génératrices.

Cas général : c’est le même principe, on aM =





m₁ ⋆

. ..

⋆ m_n



 avec Pn i=0

mi = 0.On va s’arranger pour avoir d’abord la diagonale : on a

m1







1 1 0

−1 −1

0 0







| {z }

A1 :nilpotente

+(m2+m1)







0 0 0 0

0 1 −1 0 1 −1

0 0







| {z } +

A2:nilpotente:

· · ·+(mn−1+...+m1)







0 0

1 −1

0 1 −1







| {z }

An:nilpotente

=





m1 ⋆^′ . ..

⋆^′ mn





et comme la trace est nulle, mn = −(m1 +...+mn−1) et on a juste besoin de n−1 matrices pour former celle-ci (et cette famille est libre).

Ensuite on utilise les n² −n matrices Eij (i 6= j) qui sont nilpotentes, avec les bons coefficients pour obtenir M =

nP−1 i=1

_i P

k=0

mk

Ai+P

i6=j

βijEij. On a donc M ∈ E et E est de dimension n²−1.

(2) L`a j’ai eu de la chance car j’avais eu cet exo en colle avec Ginoux dans l’ann´ee donc j’ai pu aller vite et me rattraper suite au laborieux premier exo.

Avec A =

0 0 1 0

et B =

0 1 0 0

on a AB =

1 0 0 0

6

= 0 et BA = 0. (En dimension n, prendre A=Eij etB =Ejk avec k 6=i).

(3) Par l’absurde on suppose qu’il existe une norme N invariante par similitude. Soit A ∈ Mⁿ(R), ∀P ∈ GLn(R) on a N(A) = N(P AP⁻¹). Avec B = AP on a N(AP) = N(B) =N(P BP⁻¹) =N(P A).Donc∀P ∈GLn(R) on a N(AP) = N(P A), or GLn(R) est dense dans Mⁿ(R), donc ce r´esultat reste vrai pour tout P ∈ Mⁿ(R). Il suffit de prendre les Aet B du a. : N(AB) = 06=N(BA) d’o`u la contradiction.

(4) La trace est linéaire et la valeur absolue est une norme, de plus TrM = 0 ; M = 0 donc on a bien les propriétés d’une semi-norme (vérification immédiate).

(5) Comme TrAB = TrBA, la semi-norme précédente est invariante par similitude. Pour en trouver d’autres j’ai cherché les invariants pour des matrices semblables mais on obtient rien, il peut être intéressant de penser en termes d’endomorphismes mais je n’ai pas eu le temps de finir. Il m’a demandé ce que j’en pensais, j’ai dit qu’à mon avis c’était la seule semi-norme mais depuis j’en doute...

(19)

Solution 1.2.3 (P. Adroguer) Note : 14

Examinateur : calme, serein, sympa, laisse passer les “arnaques” s’il voit qu’on a compris.

On peut d´ej`a supposer a et A>0.

On divise par x², `a la limite quand x→+∞, on a a6A (si A= 0 alors |b|6 |B| en divisant par x et en faisant tendre x vers +∞).

Avec x= 0, on a |c|6|C|.

Posons P(x) = Ax²+Bx+C etp(x) =ax² +bx+c.

• Premier cas : si B² − 4AC = 0 alors P(x) admet une racine double x0 et comme

|p(x0)|6P(x0) alorsp(x0) = 0.

Montrons par l’absurde que x0 est racine double de p : en effet, si x0 n’est pas racine double depalorsp^′(x0)6= 0 donc, si par exemplep^′(x0)>0 alorsp(x)∼p^′(x0)(x−x0)>

P(x) au voisinage de x0.

Conclusion : x0 est racine double de p donc b²−4ac= 0.

• SiB²−4AC >0,P a 2 racinesx1 > x2doncpadmet les mˆemes racines doncb²−4ac >0.

On a donc x1+x2 = −B

A = −b

a et |P(^x¹^+x₂ ²)| = B²−4AC

4A > |p(^x¹^+x₂ ²)| = b² −4ac 4a donc b²−4ac6 a

A(B²−4AC)6B²−4AC.

• Si B² −4AC < 0 alors C > 0 et ∀x ∈ R, P(x) > 0, on a alors p(x) 6 P(x) et

−p(x)6P(x) soit

(A−a)x²+ (B−b)x+ (C−c)>0 et (A+a)x² + (B+b)x+C+c>0 et, en calculant les discriminants qui sont n´egatifs, on obtient

B²−2bB+b²−4AC+ 4aC+ 4Ac−4ac60 B²+ 2bB+b² −4AC−4aC−4Ac−4ac60

puis, en faisant la somme, on obtientb²−4ac6−(B²−4AC) =|B²−4AC|. – Sib² −4ac>0, c’est gagn´e.

– Sib² −4ac < 0 alorsc > 0 et p(x)>0 pour tout x. Or minx∈RP(x) =P(− B

2A)>p(−B

2A)>min

x∈Rp(x) =p(− b 2a) soit 4AC−B²

4A > 4ac−b²

4a et on se retrouve dans la situation du deuxi`eme cas.

Solution 1.2.4 (N. Charon) Note : ?

Examinateur : jeune et vraiment sympathique, il laisse chercher avant de donner quelques indications bien placées, confirme lorsqu’on est sur la bonne voie et ne demande pas trop de détails sur les arnaques qu’on peut lui faire, ce qui fait que l’oral est assez agréable. Par contre, on dirait qu’il aime bien l’algèbre. Durée : 45 mn sans préparation.

(1) Au début, je voyais pas très bien quoi faire alors j’ai commencé par le cas simple où r = n, i.e. M est inversible. Dans ce cas, A et B sont semblables et elles ont même polynômes caractéristiques.

Pour le cas général, on commence par utiliser la sacro-sainte propriété :

∃(P, Q)∈GL_n(R) telles que M =P J_rQ.

Puisque AM =MB, on obtient P⁻¹AP J_r = J_rQBQ⁻¹. On se ramène ainsi au cas où M =J_r. On traduit ensuite le fait que AJ_r =J_rB en faisant le produit matriciel par blocs. En écrivant que A =

A1 A2

A₃ A₄

et B =

B1 B2

B₃ B₄

, on trouve que : A₃ = 0, B2 = 0 et A1 = B1 = D d’o`u A =

D A2

0 A4

; B =

D 0 B3 B4

. Puis, on a : PA(X) = det(A−XIn) = det(D−XIr) det(A4−XIn−r) et idem pourB.

(20)

(2) Là, j’ai commencé par traiter le cas oùAetB sont diagonalisables. Étant donné qu’elles commutent, elles sont simultanément diagonalisables et comme les polynômes minimaux deAetB sont les produits des (X−λ) avecλvap, on obtient assez facilement le résultat voulu. Mais en fait la démonstration générale ne marche pas comme ¸ca. Ici, il m’a un peu aidé en me disant “Est-ce que vous ne pourriez pas relier le degré de ΠA avec la dimension d’un certain espace ?”. Et là, je me suis subitement rappelé l’exo de Franchini

à Centrale où l’on montre que det Π_A = dimC[A], C[A] étant l’algèbre des polynômes sur C engendré parA.

On écrit alors que d’une part C[AB] ⊂ C[A, B] donc dimC[AB] = deg ΠAB 6 dimC[A, B], d’autre part, tout polynôme de C[A, B] se décompose au moyen de po- lynômes du type AⁱB^j avec i ∈ [[0,deg ΠA−1]], j ∈ [[0,deg ΠB−1]] (on peut faire la division euclidienne de tout polynôme deC[A] par ΠA, idem pourB). Donc cette famille de deg ΠA×deg ΠBéléments est génératrice et de ce fait : dimC[A, B]6deg ΠA.deg ΠB

et on a le r´esultat annonc´e.

(3) On avait vu cet exo dans le cours mais honte à moi je m’en souvenais plus. Il m’a donc aidé en me suggérant d’étudier d’abord le cas où par exemple A est inversible.

En écrivant la définition du polynôme caractéristique, on montre facilement que P_AB et PBA sont égaux puis en utilisant la densité de GLn(C) dans Mⁿ(C), on étend par continuité ce résultat.

Solution 1.2.5 (P. N´eron) Note : ?

(1) Prenons le cas de la dimension 1 : on confond ici E et C. u(z) = (a+ib)z induit l’endomorphisme de matrice

a −b b a

(u_r(1) = (a, b) et u_r(i) = (−b, a)). On a ainsi detur =a²+b² =|detu|².

Passons `a une dimension n quelconque : si u(ej) = Pⁿ

k=1

akjek dans une base (e1, . . . , en) alors, dans la base (e1, ie1, . . . , en, ien), on aura

u_r(e_j) = Xn k=1

Re(a_kj)e_j+ Im(a_kj)ie_j ur(iej) =

Xn k=1

−Im(akj)ej + Re(akj)iej.

Or on sait queur est trigonalisable surCdonc il existe une base dans laquelle la matrice de u est triangulaire sup´erieure : M(u) =





λ1 ∗

. ..

0 λ_n



 donc la matrice de ur sera triangulaire par blocs :

M(ur) =





A1

∗

. ..

0 An





o`uAk =

Re(λk) −Im(λk) Im(λk) Re(λk)

.

On en déduit immédiatement que detur= detA1× · · ·detAn=|λ1|². . .|λn|² =|detu|². (2) a) Par l’absurde : si [0,1[ est homéomorphe à ]0,1[, soitf l’homéomorphisme en question. [0,1[\{0} est connexe par arcs alors que ]0,1[\{f(0)} ne l’est pas ce qui est contradictoire.