Dénombrement et probabilités discrètes

Cours de mathématiques

Chapitre 7

Dénombrement et probabilités discrètes

Lesprobabilitésformentundomaineàpartenmathématiques,eluidel'étudedesphénomènes

et des expérienes aléatoires, 'est à dire des expérienes dont le résultat n'est pas onnu

à l'avane.

Contrairement à e que l'on pourrait penser de prime abord l'étude sientique des prob-

abilités est relativement réente dans l'histoire des mathématiques. On fait remonter à la

orrespondane de

1654

^{entre Pasalet Fermat, sur un problème de jeu de hasard, l'ate}

de naissane du alul des probabilités.

Après trois sièles de reherhe, le alul des probabilités a pu fournir, au début du

XX ^e

sièle, les bases théoriques néessaires au développement de la statistique et a investi de

très nombreux domaines de la viesientique, éonomique et soiale.

Aymar de Saint-Seine

Année scolaire 2011–2012

1.

Rappels : Voabulaire des événements

1.1. Voabulaire

DÉFINITIONS EXEMPLES

Une expériene aléatoire est une expériene

liéeauhasarddont onnepeutpasprévoirleré-

sultat àl'avane.

Lanerundéest uneexpérienealéatoire.

Onpeutependantonnaîtrelesissuespossibles,

appeléeséventualités.

Obtenirlehire

2

^{est unedes}éventualités.

L'ensemble de toutes les éventualités d'une ex-

périenealéatoireestappeléunivers.Engénéral,

onnoteetensemble

Ω

^.

L'universest

Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Événement:

Un événement est une partie (ou un sous-

ensemble) de l'univers

Ω

^{. Il est onstitué d'une}

oud'unensembled'éventualités.

L'événement

A

:obtenirunnombrepair est omposéde3éventualités.Onnote

A = {2; 4; 6}

^.

Lorsqu'une éventualité

e

appartientà un événe- ment

A

,onditque

e

réalise

A

.

L'éventualité{2}réalisel'événement

A

.

Événementpartiulier :

Un évènementimpossibleestunévénementqui

neseréalisejamais.

L'événement

B

:obtenir7estimpossible.On note

B = ∅

.

Un évènement ertainest un événement qui se

réalisetoujours.

L'événement

C

:obtenirunnombreplusgrand que0est ertain.Ona

C = Ω

^.

Un évènement élémentaire est onstitué que

d'uneseuleissue.

L'événement

D

: obtenirle nombre 3 ;

D

= {3}

L'évènementontraireouomplémentairede

A

est onsitué de l'ensemble des issues qui ne réalisentpas

A

.Onlenote

A

.

A = {1; 3; 5}

Laréuniondesévènements

A

et

B

estl'ensemble deséventualitésréalisant

A

ou

B

.Onnote

A ∪ B

et ondit

A

ou

B

.

A B

Soit l'événement

E

: obtenir un nombre au moinségalà5 ;

E

={5;6}

Soit l'événement

F

: obtenir un nombre im- pair ;

F

={1;3;5}

L'événement

E ∪ F

est obtenirun nombre au moinségalà5ouunnombreimpair ;

E ∪ F

={1;3;5;6}

L'intersetion des évènements

A

et

B

est l'ensemble deséventualités réalisant

A

et

B

.On note

A ∩ B

et ondit

A

et

B

.

A B

L'événement

E ∩ F

est obtenirun nombre au moinségalà5etunnombreimpair 'estàdire

obtenirunnombreimpairaumoinségalà5 ;

E ∩ F

={5}

A

et

B

sontdisjointsouinompatibleslorsque

A

et

B

nepeuventpasseréaliserenmêmetemps;

A ∩ B = ∅

Lesévénements

E

et

D

sontinompatibles.

E ∩ D = Φ

^.

Ilsnesontpasontraires.

2.

Rappels : Calul de probabilités

Définition 1 :

Laprobabilitéd'unévénementd'univers

Ω

^{estlasommedes}probabilitésdesévéne- ments élémentaires qui leonstitue.

Définition 2 :

On dit qu'il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ont la

même probabilité.

Dans e as, on a :

P (A) =

^{nombre d'éléments de}

A

nombre d'éléments de

Ω =

^Card

(A)

Card

(Ω)

^.

Remarque:Dansun exerie,poursignierqu'onestdansunesituationd'équiprobabilité

on agénéralement dans l'énoné un expression du type :

•

^{on laneun dé non pipé, un dé équilibré,...}

•

^{dans une urne, il y a des boules} indisernables autouher,

•

^{on renontre auhasard une personne parmi ...}

Exemple : On laneun dé équilibré àsixfaes. On onsidèrel'événement

A

^:"obtenirun hirepair" etl'événement

B

^: "obtenirun diviseur de six".

•

^{Le dé est équilibré, onest don dans une situation}d'équiprobabilité.

• A = {2 ; 4 ; 6}

^et

B = {1 ; 2 ; 3 ; 6}

^,

•

^don,

P (A) =

^Card

(A)

Card

(Ω) = 3 6 = 1

2

^{, et}

P (B ) =

^Card

(B)

Card

(Ω) = 4 6 = 2

3

^.

Théorème 1 :

Soit

A

^et

B

^deux événements, on a les propriétés suivantes :

• 0 6 P (A) 6 1

^{; en partiulier}

P ( ∅ ) = 0

^et

P (Ω) = 1

^.

• P (A) = 1 − P (A)

^.

• P (A ∪ B ) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B )

^.

Exemple : Ononsidèrel'ensemble

E

^{desentiers de}

1

^à

20

^{.On hoisitl'unde es nombres}

au hasard.

A

^est l'événement : lenombre est multiplede

3

^:

A = {3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18}

^;

B

^estl'événement: lenombreestmultiplede

2

^:

B = {2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 18 ; 20}

^.

Calul des probabilités :

• P (A) = 6 20 = 3

10 = 0, 3

^.

• P (A) = 1 − P (A) = 1 − 3 10 = 7

10 = 0, 7

^.

• P (B) = 10 20 = 1

2 = 0, 5

^.

• P (A ∩ B) = 3

20 = 0, 15

^.

• P (A ∪ B) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B) = 6 20 + 10

20 − 3 20 = 13

20 = 0, 65

^.

3.

Probabilités onditionnelles

Définition 3 : Probabilité conditionelle

Soient

P

^une probabilité sur un univers

Ω

^,

A

^{est un évènement de} probabilité non nulle et

B

^{un évènement quelonque.}

On appelle probabilité de

B

^{sahant que}

A

^{est réalisé la}probabilité

P A (B ) = P (B|A) = P(A ∩ B ) P (A) .

Théorème 2 :

Soient

A

^et

B

^{deux évènements de} probabilité non nulle. La dénition préédente implique :

P (A ∩ B) = P (B|A)P (A) = P (A|B)P(B ).

Définition 4 : Indépendant

Deux évènements sont dits indépendants quand

P (A ∩ B) = P (A) × P (B)

'est à dire, en supposant que les probabilités de

A

^et

B

^{sont non nulles, si et}

seulement si

P (A|B) = P (A)

^et

P (B|A) = P (B).

4.

Dénombrements

4.1.

Puissanes

Le nombre de listes de

p

^{éléments distints ou non hoisis parmi}

n

^est

n ^p

^.

Exerie résolu 1 :

Combien y-a-t-ilde odes seretsde arte banaire?

Solution : On faitune liste de 4 hires hoisis parmi

10

^{valeurs don}

10 ⁴

^.

4.2.

Permutations

Soit un ensemblede

n

^{éléments. Lenombre de façons de lasser es}

n

^{éléments est}

n! = n × (n − 1) × (n − 2) × · · · × 3 × 2 × 1

C'est le nombre de permutationsde

n

^éléments.

On a

n! = n × (n − 1)!

^et

0! = 1

Exerie résolu 2 :

Combien de mots (existantsou non) peut-on former ave les lettres

a, b, c

^?

Solution : On permute trois lettres :

3! = 6

^{mots diérents.}

4.3.

Arrangements

Le nombre de listes de

p

^{éléments distintshoisis parmi}

n

^est

n × (n − 1) × (n − 2) ×

· · · × (n − p + 1)

^.

On ditqu'on a un arrangement de

p

^{éléments hoisis par}

n

^.

A ^p _n = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1) = n!

(n − p)!

Exerie résolu 3 :

Quel est le nombre de tierés dans l'ordre sahant qu'il y a

15

^{hevaux partants?}

Solution : On lasse trois hevaux hoisis parmi

15

^:

A ³ ₁₅ = 15.14.13 = 2 730

^tierés

possibles.

4.4. Combinaisons

Le nombre d'ensembles de

p

^{élémentsdistintshoisis parmi}

n

^est

^{n(n − 1)(n} _1.2.3.4 ^{− 2) ···} _··· ⁽ⁿ _p ^{− p+1)}

^.

On dit qu'on a une ombinaison de

p

^{éléments hoisis par}

n

^{. Il s'agit omme dans les}

arrangementsde plaer

p

^{élémentsd'unensemble hoisiparmi}

n

^{,mais ette foisi,onne}

s'oupe pas de l'ordre. Lenombre de ombinaisons est :

C _n ^p = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1)

1.2.3.4 · · · p = n!

p!(n − p)!

Exerie résolu 4 :

Combien d'équipes de 11 joueurs diérentes peut-on onstitués en hoisisant parmi 19

andidats?

Solution : On hoisit 11 joueurs non lassés parmi 19 :

C ₁₉ ¹¹ = 19 × 18 × · · · × 9 11 × 10 × · · · × 1 = 75 582

^.

On a

C _n ^p = C _n ^{n − p} = C _n ^p − 1 + C _n ^{p −} − ¹ 1

^{(arpour onstitueruneéquipede}

p

^{joueursen ayant}

n

^{andidats dont Roger, soit on fait une équipe ave Roger (et on hoisit}

p − 1

^joueurs

parmi

n − 1

^{pouromplèterl'équipede Roger),soitonfaituneéquipesansRoger etdans}

e as, onhoisit

p

^{joueurs parmi les}

n − 1

^{andidats restants.}

Graeàetteformule, onpeutreprésenterles

C _n ^p

^{dansun triangle(quiest appelétriangle}

de Pasal 1

).

p = 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 n = 0

¹

n = 1

^{1 1}

n = 2

^{1 2 1}

n = 3

^{1 3 3 1}

n = 4

^{1 4 6 4 1}

n = 5

^{1 5 10 10 5 1}

Théorème 3 : Formule du binôme

On a

(a + b) ⁿ = X n

i=0

C _n ⁱ a ^{n − i} b ⁱ

= C _n ⁰ a ⁿ b ⁰ + C _n ¹ a ^{n − 1} b ¹ + C _n ² a ^{n − 2} b ² + · · · + C _n ⁿ a ⁰ b ⁿ

Exemple :

(a + b) ⁵ = a ⁵ + 5a ⁴ b + 10a ³ b ² + 10a ² b ³ + 5ab ⁴ + b ⁵

^{(on peut utiliser letriangle}

de Pasal pour trouver lesoeients).

4.5.

Résumé

•

^{Si letirage autorisedes} répétitions, onutilise lespuissanes.

•

^{Si letirage n'autorise pas de} répétitions, ondoit utiliser des fatorielles :

1

^{. Sil'ordre est important,onutilise le nombre} d'arrangements.

2

^{. Sil'ordre n'est pas important,onutilise le nombre de} ombinaisons.

Exemple : Un sa ontient

5

^{boules de ouleurs diérentes.}

1

^{. On tire}

1

^{boule, on note sa ouleur, on la remet et on reommene trois fois au}

total : répétitionet ordre, ily a

5 ³

^{tiragesdiérents.}

2

^{. On tire}

1

^{boule, onnote sa ouleur, onne la remetpas etonreommene trois fois}

au total :pas de répétitionet ordre, ily a

A ³ ₅

^{tirages diérents.}

3

^{. On tire} simultanement trois boules : Pas de répétition, nid'ordre :

C ₅ ³

^.

5.

Exeries

5.1. Probabilités disrètes

7.1

^{Onutilise un dé équilibréà6faesnumérotées de 1à6.Lesrésultatsseront donnés}

sous formede frations irrédutibles.

1

^{. On eetue un lanerdu dé. On onsidère lesévènements suivants.}

• A

^{: On obtient 3ou 6.}

• B

^{: On obtient 1,2, 3 ou5.}

1. ainsiappeléarBlaisePasall'aétudié

a

^{. Calulerla} probabilitédes évènements

A

^,

B

^et

A ∩ B

^.

P (A) = ² ₆ = ¹ ₃

^;

P (B ) = ⁴ ₆ = ² ₃

^;

P (A ∩ B ) = P ({3}) = ¹ ₆

^.

b

^{. Endéduire la}probabilité de l'évènement

A ∪ B

^.

P (A ∪ B ) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = ² ₆ + ⁴ ₆ − ¹ ₆ = ⁵ ₆

^.

2

^{. On eetuedeux lanerssuessifs dudé, lerésultatétantnotépar un ouple}

(x, y)

où

x

^et

y

^{sontlesnumérosdesfaesobtenues}respetivementaupremieretauseond laner.

a

^{. Quel est le nombre d'éléments de l'univers?}

|Ω| = 6 × 6 = 36

^.

b

^{. Déterminerla} probabilité de l'évènement

C

^{: On obtient 3ou 6à haun des}

deux laners.

Quatre ouples solutions réalisent et évènement :

(3; 3)

^,

(3; 6)

^,

(6; 3)

^et

(6; 6)

^.

La probabilité de

C

^{est don}

P (C) = ₃₆ ⁴ = ¹ ₉

^.

7.2

^{Un sa ontient six jetons :}

•

^{deux jetons verts numérotés notés}

V ₁

^et

V ₂

^;

•

^{trois jetons jaunes notés}

J 1

^,

J 2

^et

J 3

^;

•

^{un jeton noir noté}

N 1

^.

Onréalisel'expérienesuivante:ontireauhasardun premierjetondanslesa;parmiles

jetons restants,onen tire auhasardun seond. Lesprobabilités alulées seront données

sous formede frations irrédutibles.

1

^{. Dérire les résultats possibles de ette expériene à l'aide d'un arbre. Quel est le}

nombre d'éléments de et univers?

L'univers ontient

6 × 5

^éléments.

2

^{. On suppose que tous les évènements} élémentaires sont équiprobables. Caluler la probabilité de haundes évènements suivants.

• A

^{: Lesdeux jetons tirés ont lamême ouleur.}

• B

^{: Lesdeux jetons tirés ont lemême numéro.}

Lesévènementsélémentairesappartenantà

A

^sont

(V 1 ; V 2 )

^,

(V 2 ; V 1 )

^,

(J 1 ; J 2 )

^,

(J 2 ; J 1 )

^,

(J 1 ; J 3 )

^,

(J 3 ; J 1 )

^,

(J 2 ; J 3 )

^et

(J 3 ; J 2 )

^{. La} probabilité de

A

^{est don}

P (A) = ₃₀ ⁸ =

4

15

^{. Les évènements élémentaires} appartenant à

B

^sont

(V ₁ ; J ₁ )

^,

(V ₁ ; N ₁ )

^,

(V ₂ ; J ₂ )

^,

(J 1 ; V 1 )

^,

(N 1 ; V 1 )

^et

(J 2 ; V 2 )

^{don la} probabilité de

B

^{est don}

P (B) = ₃₀ ⁶ = ¹ ₅

^.

3

^{. Lesévènements}

A

^et

B

^sont-ilsinompatibles?En déduirelaprobabilitéde

A ∪ B

^.

Les évènements

A

^et

B

^sontinompatibles ar il n'est pas possiblede tirer à la fois deux jetons de la même ouleur et portant le même numéro. Don

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) = ₃₀ ⁸ + ₃₀ ⁶ = ¹⁴ ₃₀ = ₁₅ ⁷

^.

7.3

^{On utiliseundé à6faesnumérotéesde 1à6.Cedé estpipé,'estàdirequetoutes}

les faesn'ont pas lamême probabilité d'apparition.On saitseulement que :

•

^{les faespaires ont lamême} probabilité d'apparition;

•

^{les faesimpairesont lamême} probabilité d'apparition;

•

^la probabilitéd'apparition d'une faeimpaire est le doublede elle d'unefae paire.

1

^{. En utilisant un système} d'équations à deux inonnues, déterminer la probabilité d'apparition de haque fae.

Soient

x

^la probabilité d'apparition d'une des faes paires et

y

^{elle d'une fae im-}

paire. D'après l'énoné :

y = 2x

^{. De plus lasomme des} probabilités d'apparitionde toutes les faes doit être égale à 1, don

x + x + x + y + y + y = 3x + 3y = 1

^{. On}

en déduitque

3x + 3 · 2x = 9x = 1

^{et don}

x = ¹ ₉

^{e qui implique}

y = ² ₉

^.

2

^{. Quelle est la} probabilité de voirapparaitre un hire pair? Et un hire impair? Comme il y a trois faes présentant un hire pair, la probabilité d'en obtenir un

est

3 × ¹ ₉ = ¹ ₃

^{. De même la} probabilité d'obtenir un hire impair est

3 × ² ₉ = ² ₃

^.

5.2.

Probabilités onditionnelles

7.4

^{Lors d'un test oùil fallaitrépondre par oui ou non à deux questions :}

•

^{13personnes ont répondu oui à la}

1

^{ère question;}

•

^{16personnes ont répondu non à la}

2

^{nde question;}

•

^{5 personnes ont répondu non aux deux questions.}

1

^. Représenter ettesituation dans un tableau.

2

^{. Compléter le tableausahant que28personnes ont été} interrogées.

Qu2

\

^{Qu1 Oui Non Total}

Oui 2 10 12

Non 11 5 16

Total 13 15 28

3

^{. On hoisitauhasardunepersonneparmiles28testées. Quellessontles}probabilités des évènements suivants?

• A

^{: Ellearépondu oui auxdeux questions.}

• B

^{: Ellea répondu oui àl'une des deux questions.}

• C

^{:Elle arépondu oui à l'une des deux questionset non à l'autre.}

P (A) = ₂₈ ² = ₁₄ ¹

^;

P (B) = ²³ ₂₈

^;

P (C) = ²¹ ₂₈ = ³ ₄

^.

4

^{. On hoisit une personne parmielles quiont répondu non à lapremière question.}

Quelleest laprobabilité pourqu'elle aitaussi répondunon àlaseondequestion?

Il s'agitd'uneprobabilitéonditionnelle.Sionnote

D

^{etévènement,}

E

l'évènement ellearépondu non à lapremièrequestion et

F

^{ellearépondunon àlaseonde}

question, alors

P (D) = P (F |E) = ^P _P ^(F _(E) ^{∩ E)} = ₁₅ ⁵ = ¹ ₃

^.

7.5

^{Dansune populationde 40 hommeset60femmes,on observe que50personnes ont}

les yeux bleus et que

60%

^{des hommes ont les yeux bleus. On hoisit une personne au}

hasard. Calulerles probabilitéspour quela personne hoisie :

• A

^{: soitun homme;}

• B

^{: soitun homme aux yeux bleus;}

• C

^{:soit une femme aux yeux bleus;}

• D

^{: aitles yeux bleus, sahant que 'est une femme;}

• E

^{: soitune femme, sahant qu'elle ales yeux bleus.}

Grâe aux informationsde l'énoné,on peut ompléter le tableau i-dessous :

Homme Femme Total

Bleus 24 26 50

Non bleus 16 34 50

Total 40 60 100

On en déduit alors les probabilités demandées :

P (A) = ₁₀₀ ⁴⁰ = ² ₅

^;

P (B) = ₁₀₀ ²⁴ = ₂₅ ⁶

^;

P (C) = ₁₀₀ ²⁶ = ¹³ ₅₀

^;

P (D) = P (Bl|F ) = ^P _P ^(Bl _(F ^∩ ₎ ^{F )} = ²⁶ ₆₀ = ¹³ ₃₀

^;

P (E) = P (F |Bl) = ^P _P ^(F _(Bl) ^{∩ Bl)} = ²⁶ ₅₀ = ¹³ ₂₅

^.

7.6

^{Une étude} épidémiologique onernant une ertaine maladie a été faite dans des familles ayant un garçon et une lle de moins de dix ans. On a onstaté que

20%

^des

lles et

50%

^{des garçonssonttouhés par lamaladie.Parailleurs,parmilesfamillesoùla}

lle est malade,

70%

^{des garçonsle sont aussi. On hoisit au hasardune familleétudiée.}

Caluler lesprobabilités des évènements suivants.

• A

^{: Les deux enfantssont touhés par la maladie.}

• B

^{: Au moinsun des deux enfants est touhé.}

• C

^{:Auun des deux enfants n'est touhé.}

• D

^{: Sahant quele garçon est touhé, la llel'est aussi.}

• E

^{: Sahant que legarçon n'est pas touhé, lalle l'est.}

Pour la rédation on notera

F

l'évènement La lle est touhée par la maladie. et

G

l'évènementLe garçonest touhé par la maladie.

D'après l'énoné,

P (F ) = ¹ ₅

^,

P (G) = ¹ ₂

^et

P (G|F ) = ₁₀ ⁷

^{. On en déduit les} probabilités demandées :

P (A) = P (F ∩ G) = P (G|F ) P (F ) = ₅₀ ⁷

^;

P (B) = P (F ∪ G) = P (F ) + P (G) − P (F ∩ G) = ¹⁴ ₂₅

^;

P (C) = P (B) = 1 − ¹⁴ ₂₅ = ¹¹ ₂₅

^;

P (D) = P (F |G) = ^P _P ^(F _(G) ^{∩ G)} = ₂₅ ⁷

^;

P (F ∩ G) = 1 − P (F ∩ G) = ⁴³ ₅₀

^don

P (E) = P (F |G) = ^P _P ^{(F ∩ G)}

(G) = ⁴³ ₂₅

^.

7.7

^{Oneetue une enquêtesur lesgoûtsdes} onsommateurs onernantlesaessoires automobiles. Parmi les personnes interrogées,

90%

^{souhaitent un véhiule équipé d'un}

autoradio,

15%

^{souhaitent la}limatisation et

12%

^{es deux} équipements.

1

^{. On hoisit un individu dans ette} population.

a

^{. Quelleest la}probabilité pour qu'il ne souhaite pas d'autoradio?

b

^{. Quelleestla}probabilitépourqu'ilsouhaiteaumoinsundesdeuxéquipements?

Notons

A

l'évènement l'individu souhaite un autoradio et

C

l'évènement l'indi- vidu souhaitelalimatisation. Grâe aux données del'énoné,on peut ompléter le

tableau suivant :

A A

^Total

C

^{12 3 15}

C

^{78 7 85}

Total 90 10 100

On endéduitsans diultéque

P (A) = ₁₀ ¹

^et

P (A ∪ C) = P (A) + P (C)− P (A ∩ C) = ⁹⁰⁺¹⁵ ₁₀₀ ^{− 12} = ₁₀₀ ⁹³

^.

2

^{. On hoisit auhasard un individu quisouhaitela} limatisation.Quelleest la proba- bilité pour qu'ilsouhaiteaussi un autoradio?

C'est

P (A|C) = ^P _P ^(A _(C) ^{∩ C)} = ¹² ₁₅ = ⁴ ₅

^.

7.8

^{Dans un lub de vaanes, deux ativités A et B sont proposées aux enfants entre}

8 et10 ans. Lesenfantspeuvent umuler les deux ativités, hoisir une seule de es deux

ativités, ou enore ne pratiquer auune de es deux ativités. On hoisit au hasard le

nom d'un enfant de et âge. Tous les enfantsont lamême probabilité d'être hoisis.

On notera

A

l'évènement : l'enfant pratique l'ativité A et

A

l'évènement ontraire de

A

^,

B

l'évènement : l'enfantpratique l'ativité B et

B

l'évènement ontraire de

B

^.

La situationest représentée àl'aide d'un arbre pondéré donné en annexe I.

1

^{. Compléter l'arbre etle tableaudonnés idessous.}

probabilité du résultat

b b

A 0, 6

b B

0, 3

b B

0, 7

b

A 0, 4

b B

0, 1

b B

0, 9

p(A ∩ B) = 0, 18 p(A ∩ B) = 0, 42 p(A ∩ B) = 0, 04 p(A ∩ B) = 0, 36

2

^{. Par leture de l'arbre, donnerles}probabilités onditionnelles

p(B/A)

^et

p(B/A)

^.

p(B/A) = 0, 3

^et

p(B/A) = 0, 1

^.

3

^{. Démontrer que}

p(B) = 0, 22

^.

p(B) = p(B ∩ A) + p(B ∩ A) = 0, 18 + 0, 4 = 0, 22

^.

4

^{. On dénit les évènements}

E

^et

F

^{de la façonsuivante:}

E : l'enfanthoisi ne pratique auune des deux ativités;

F :l'enfant hoisi pratique au moinsl'une des ativités.

a

^{. Exprimer}

E

^enfontionde

A

^et

B

^{puis,ens'appuyantsurlesrésultatsontenus}

dans letableau du 1, déterminer

p(E)

^.

p(E ) = p(A ∩ B) = 0, 36.

b

^{. Caluler}

p(F )

^.

p(F ) = p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) = 0, 6 + 0, 22 − 0, 18 = 0, 64

^.

7.9

^{Une usine fabrique des omposants} életroniques. Une étude statistique à montré que 90% de la produtionne présentepas de défaut.

Chaque omposant est soumis à un ontrle de fabriation. Ce ontrle refuse 94% des

omposantsave défaut etaepte 92% des omposants sans défaut.

On prélève au hasard un omposant avant son passage au ontrle dans la prodution

d'une journée.

Tous lestirages sont équiprobables.

On désigne par

D

l'événement : Le omposant a un défaut etpar

A

l'événement : Le omposant est aepté al'issue du ontrle.

1

^.

a

^{. Déduire}

P (D), P (A/D)

^et

P (A/D)

^des informationsgurant dans l'énoné et représenter la situationàl'aide d'un arbre de probabilité.

D'après l'énoné, on a

P (D) = 0, 9, P (A/D) = 0, 92

^et

P (A/D) = 0, 94

b b

D 0, 1

b A p(D ∩ A) = 0, 006 0, 06

b A p(D ∩ A) = 0, 094 0, 94

b

D 0, 9

b A p(D ∩ A) = 0, 828 0, 92

b A p(D ∩ A) = 0, 072 0, 08

b

^{. Endéduire}

P (A/D)

^.

P (A/D) = 1 − P (A/D) = 1 − 0, 94 = 0, 06

^.

2

^.

a

^{. Calulerla} probabilitédes événements suivants:

E 1

^{: Leomposantest aepté etn'a pas de défaut}

E 2

^{: Leomposantest aepté eta un défaut}

p(E ₁ ) = p(A ∩ D) = p(A/D).p(D) = 0, 92 × 0, 9 = 0, 828

^.

p(E 2 ) = p(A ∩ D) = p(A/D).p(D) = 0, 06 × 0, 1 = 0, 006

^.

b

^{. Calulerla} probabilitéque le omposantsoit aepté.

p(A) = p(A ∩ D) + p(A ∩ D) = 0, 828 + 0, 006 = 0, 834

^.

3

^{. Leontrlepermet-ild'armerquemoinsde1%desomposantsaeptésprésentent}

un défaut?

p(D/A) = p(A ∩ D)

p(A) = 0, 006

0, 834 = 0, 007 < 1%.

Eetivement, moins de 1% des omposants aeptés présententun défaut.

7.10

^{Roger est un adeptedu tir aufusilsur un disque d'argilelané dans lesairs (ball-}

trap).

Il tire suessivement sur deux disques, lanés l'un après l'autre à quelques seondes

d'intervalles.

On note

A ₁

l'évènement : Roger atteintlepremier disqueet

A ₂

l'évènement : Roger atteintle deuxièmedisque.

La probabilité qu'il atteigne le premier disque est de 0,8. Lorsqu'il atteint le premier

disque, la probabilité qu'il atteigne le deuxième disque est de 0,7. Lorsque Roger rate le

premier disque, laprobabilité qu'ilatteigne ledeuxième disque est de 0,4.

1

^. Représenter lasituationà l'aide d'un arbre de probabilité.

b b

A 1

0, 8

b A 2 p(A 1 ∩ A 2 ) = 0, 56 0, 7

b A 2 p(A 1 ∩ A 2 ) = 0, 24 0, 3

b

A 1

0, 2

b A 2 p(A 1 ∩ A 2 ) = 0, 08 0, 4

b A 2 p(A 1 ∩ A 2 ) = 0, 12 0, 6

2

^{. Enindiquantlesalulsetenutilisantlesnotationsorretes, donnerla}probabilité que Roger rate lepremier disque etatteigne ledeuxième.

p(A ₁ ∩ A ₂ ) = p(A ₁ )p(A ₂ /A ₁ ) = 0, 2 × 0, 4 = 0, 08

^.

3

^{. Enindiquantlesalulsetenutilisantlesnotationsorretes, donnerla}probabilité que Roger atteignele deuxièmedisque.

p(A 2 ) = p(A 2 ∩ A 1 ) + p(A 2 ∩ A 1 ) = 0, 8 × 0, 7 + 0, 2 × 0, 4 = 0, 64

^.

4

^{. Enindiquantlesalulsetenutilisantlesnotationsorretes, donnerla}probabilité que Roger aitraté le premierdisque sahant qu'ilatteintle deuxième.

p(A 1 /A 2 ) = p(A 1 ∩ A 2 )

p(A ₂ ) = 0, 08

0, 64 = 0, 125

^.

7.11

^{Une maladieatteint}

3%

^d'une population.

On appellera maladeslesindividusatteintsde ettemaladieet sainseux quine

le sont pas.

Un test de dépistage donneles résultatssuivants :

•

^{Chez lesindividus malades,}

95%

^{de tests sontpositifset}

5%

^négatifs;

•

^{Chez lesindividus non malades,}

2%

^{de tests sont positifs et}

98%

^négatifs.

On note

M

l'événement : être maladeet

P

l'événement : avoir un test positif.

1

^.

a

^{. Donner,enutilisantlesnotationsorretes,les}probabilitésfourniesparl'énoné.

On a

p(P/M ) = 0, 95, p(P /M ) = 0, 05, p(P/M) = 0, 02, p(P /M ) = 0, 98

^.

b

^{. Construire un arbre pondéré} orrespondant à lasituationdérite.

b b

M 0, 03

b P p(P ∩ M ) = 0, 0285 0, 95

b P p(P ∩ M ) = 0, 0015 0, 05

b

M 0, 97

b P p(P ∩ M ) = 0, 0194 0, 02

b P p(P ∩ M ) = 0, 9506 0, 98

2

^.

a

^{. Exprimer par une phrase lesévénèment}

M ∩ P

^et

M ∩ P

^.

M ∩ P

^est l'événement : l'individu est malade et le test est négatif.

M ∩ P

^est l'événement : l'individu est sain et le test est positif.

b

^{. Caluler}

p(M ∩ P )

^et

p(M ∩ P )

^.

p(M ∩ P ) = p(P /M).p(M ) = 0, 05 × 0, 03 = 0, 0015

^.

p(M ∩ P ) = p(P/M).p(M ) = 0, 97 × 0, 02 = 0, 0194

^.

c

^{. Quelleest la}probabilité que letest donneun résultatérroné?

les événements étant indépendants, on additionne les probabilités. On a don

une probabilité de

0, 0015 + 0, 0194 = 0, 0209 ≈ 2%.

3

^.

a

^{. Caluler}

p(M ∩ P )

^puis

p(P )

^.

p(M ∩ P ) = p(M ).p(P/M ) = 0, 03 × 0, 95 = 0, 0285

^.

p(P ) = p(P ∩ M ) + p(P ∩ M) = 0, 0285 + 0, 0, 0194 = 0, 0479

^.

b

^{. Calulerla} probabilitéqu'un individudont letest est positif soitsain.

p(M /P ) = p(P ∩ M )

p(P ) = 0, 0194

0, 0479 ≈ 0, 41

^.

c

^{. Au regard des frais médiaux très lourd engagés pour un individu à la suite}

d'untest positif,quelle peutêtre l'opiniondes responsablesnaniersàpropos

de e test?

Le test n'est pas assez able puisque trop de personne saine sont délarées

malades.

4

^.

a

^{. Caluler}

p(P )

p(P ) = 1 − p(P ) = 1 − 0, 0479 = 0, 9521

^{ou alors}

p(P ) = p(P ∩ M ) + p(P ∩ M) = 0, 0015 + 0, 97 × 0, 98 = 0, 9521

^.

b

^{. Calulerla} probabilitéqu'un individudont letest est négatif soitmalade.

p(M/P ) = M ∩ P

p(P ) = 0, 0015

0, 9521 = 0, 0016

^.

c

^{. Les} responsables de la santé auront-ils la même opinion que les responsables naniers?

Non, ar le test détete très bien les personnes malades ... le pb est qu'il les

detetemêmetropbienpuisqu'ildelaremaladedespersonnesquinelesontpas

mais i lvaut mieux guérir un personne saine que laisser une personne malade

en irulation.

7.12

^{Une pièe est usinée} suessivement par deux mahines M1 et M2, les résultats des deux usinages étant indépendants. Après passage dans la première mahine M1, 5%

des pièesprésentent un défaut. On note

A

l'événement : Lapièe est défetueuse après passagedansM1.AprèspassagedansladeuxièmemahineM2(etquelquesoitleurétat

après leur passage dans M1), 2% présentent un autre défaut. On note

B

l'événement : La pièe est défetueuse après passage dans M2. On extrait auhasard une pièe parmi

les pièes ayant subi les deux usinages.

1

^{. Donner les} probabilités de

A

^etde

B

^.

D'après l'énoné,

P (A) = ₁₀₀ ⁵

^et

P (B) = ₁₀₀ ²

^.

2

^{. Exprimer à l'aidedes événements}

A

^et

B

^{lesévénements suivants :}

• C

^{:la pièe est défetueuse pour lesdeux usinagespar M1 etM2;}

• D

^{: lapièe est défetueuse;}

• E

^{: lapièe ne présente auun défaut.}

On trouve

C = A ∩ B

^,

D = A ∪ B

^et

E = A ∪ B

^.

3

^{. Calulerles} probabilités des événements

C

^,

D

^et

E

^.

D'après l'énoné, lesévènements

A

^et

B

^sontindépendants,don

P (C) = P (A) × P (B) = ₁₀₀₀₀ ¹⁰ = ₁₀₀₀ ¹

^{. On sait ensuite que}

P (D) = P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = ₁₀₀₀ ⁶⁹

^{. Enn,}

P (E) = P (D) = 1 − P (D) = ₁₀₀₀ ⁹³¹

^.

4

^{. Sahant que la pièe extraite est} défetueuse, quelle est la probabilité que la pièe présente des défauts d'usinage par lesdeux mahines?

Il faut aluler

P (C|D) = ^P _P ^(C _(D) ^{∩ D)} = ^P _P ^(C) _(D) = ₆₉ ¹

^.

5

^{. Exprimer à l'aide de}

A

^et

B

l'événement : le défaut provient uniquement de la mahine M2,puis saprobabilité.Endéduirela probabilitéquele défautprovienne

uniquement de la mahine M2, sahantque la pièe est défetueuse.

Le premier évènement est

F = A ∩ B

^{. Comme}

A

^et

B

^sont indépendants, sa prob- abilité est

P (F ) = P (A) × P (B) = ₁₀₀₀₀ ¹⁹⁰ = ₁₀₀₀ ¹⁹

^{. La} probabilité demandée ensuite est don égale à

P (F |D) = ^P _P ^(F _(D) ^{∩ D)} = ^P _P ^(F _(D) ⁾ = ¹⁹ ₆₉

^.

7.13

^{On jetteun dé équilibré à six faes. Si lerésultat obtenu est 1,2 ou3 onjette un}

autre dé à six faes. Si le résultat du premier jet de dé est 4, 5 ou 6, on jette un dé à

quatrefaes(toujourséquilibré).Lerésultatde etteexpérieneestun ouplede nombres

entiers

(a; b)

^.

1

^{. Déterminer l'ensembledes résultats possibles gràe àun tableau.}

1 2 3 4 5 6

1

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

2

(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

3

(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

4

(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4)

5

(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4)

6

(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4)

Il y a don en tout 30 tirages possibles.

2

^{. Calulerla} probabilité des évènements suivants :

• A

^{: Lepremierhireest 3;}

• B

^{: Leseond hire est 5;}

• C

^{:Le premierhire est 6;}

• D

^{: Leseond hireest 2;}

• E

^{: Lepremierhireest 1,2 ou3.}

P (A) = ₃₀ ⁶ = ¹ ₅

^;

P (B) = ₃₀ ³ = ₁₀ ¹

^;

P (C) = ₃₀ ⁴ = ² ₅

P (D) = ₃₀ ⁶ = ¹ ₅

^;

P (E) = ¹⁸ ₃₀ = ³ ₅

^.

3

^. Existe-t-ildeuxévènementsinompatiblesparmilesinqpréédents?Sioui,lesquels?

Oui,les évènements

A

^et

C

^{dont évidemment}inompatibles, maisaussi

B

^et

C

^{, ar}

si on obtient un 6 ave lepremier dé on ne jette qu'un dé à 4 faes.

4

^. Existe-t-ildeuxévènementsindépendantsparmilesinqpréédents?Sioui,lesquels?

p(A∩B) = ₃₀ ¹ 6= p(A)×p(B )

^don

A

^et

B

^sontindépendants.On proèdedelamême façon pour les autres événements, mais d'une façon générale le laner du deuxième

dé étantlié au résultat du premier laner, lesévénementsne sontpas indépendants.

5

^{. Calulerla} probabilité de

A ∪ B

^.

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B ) = ₃₀ ⁶ + ₃₀ ³ − ₃₀ ¹ = ₁₅ ⁴

^.

6

^{. Calulerla} probabilité de

B ∪ C

^.

P (B ∪ C) = P (B) + P (C) − P (B ∩ C) = ₃₀ ³ + ₃₀ ⁴ − 0 = ₃₀ ⁷

^.

7

^{. Calulerla} probabilité de

C ∪ D

^.

P (C ∪ D) = P (C) + P (D) − P (C ∩ D) = ₃₀ ⁴ + ₃₀ ⁶ − ₃₀ ¹ = ₁₀ ¹

^.

8

^{. Calulerla} probabilité de

D

^sahant

E

^.

P (D|E) = ^P _P ^(D _(E) ^{∩ E)} = ₁₈ ³ = ¹ ₆

^.

9

^{. Calulerla} probabilité de

D

^sahant

E

^.

P (D|E) = ^P _P ^{(D ∩ E)}

(E ) = ₁₂ ³ = ¹ ₄

^.

10

^{. La formulesuivante est-ellevraie?}

P (D) = P (D|E) + P (D|E)

Cette formule estfausse.Laformule exatequi y ressembleest

P (D) = P (D ∩ E) + P (D ∩ E)

^.

7.14

^{Unmême typed'érou est fabriquépar troismahinesappelées}

M 1

^,

M 2

^et

M 3

^.Les

produtions journalières de haque mahine sont respetivement

m 1 = 2500

^,

m 2 = 1900

et

m 3 = 2200

^.

Les probabilités qu'un érou hoisi au hasard parmi la prodution journalière d'une des

trois mahines soit défetueuse sont respetivement

p 1 = 0, 09

^,

p 2 = 0, 05

^et

p 3 = 0, 06

^.

On hoisit un érouauhasarddans laprodutiond'une journée.On suppose quetous les

hoixsontéquiprobables.Calulerlavaleur approhée à

10 ^{− 3}

^{de la}probabilitéde haun des évènements suivants.

• A

^{: l'érouest défetueuxet provient de}

M 1

^;

• B

^{: l'érouest défetueuxet provient de}

M 2

^;

• C

^{:l'érou est défetueux et provientde}

M 3

^;

• D

^{: l'érouest défetueux;}

• E

^{: l'éroua été fabriqué par}

M 1

^{sahant qu'ilest défetueux;}

• F

^{:l'érou n'a pas été fabriqué par}

M 1

^{sahant qu'ilest défetueux.}

La prodution journalière totale est égale à

6600

^{. Les érous défetueux provenant de}

M 1

sont au nombre de

2500 × 0.09 = 225

^don

P (A) = ₆₆₀₀ ²²⁵ = 0.034

^{. Les érous défetueux}

provenant de

M 2

^{sont au nombre de}

1900 × 0.05 = 95

^don

P (B) = ₆₆₀₀ ⁹⁵ = 0.014

^.

Les érous défetueux provenant de

M 3

^{sont au nombre de}

2200 × 0.06 = 132

^don

P (C) = ₆₆₀₀ ¹³² = 0.02

^{. On en déduit que}

P (D) = P (A) + P (B) + P (C) = ₆₆₀₀ ⁴⁵² = 0.068

^.

Les deux derniers évènements mettent en jeu des probabilités onditionnelles :

P (E) = P (M ₁ |D) = ^{P (M} _{P (D)} ^{1 ∩ D)} = _P ^P _(D) ^(A) = ²²⁵ ₄₅₂ = 0.498

^et

P (E) = P (M ₁ |D) = ^{P (M} _{P (D)} ^{1 ∩ D)} =

P (M ² ∩ D)+ P (M ³ ∩ D)

P (D) = ^{P (B)+} _{P (D)} ^{P (C)} = ²²⁷ ₄₅₂ = 0.502

^.

5.3.

Dénombrement

7.15

^{Dans une pièe de théâtre , il y a six rles qui peuvent être tenus par n'importe}

lesquelles des vingtpersonnes de latroupe.Combien y a-t-ilde distributionspossiblesde

es rles?

L'ordre est important et il n'y a pas répétition. C'est un arrangement de 6 éléméents

hoisis parmi 20.

A ⁶ ₂₀ = 20 × 19 × 18 × 7 × 16 × 15 = 27 907 200

^.

7.16

^{Une suite de dix questions est proposée à un andidat qui doit répondre par oui}

ou par non à es questions. Dénombrer les façons diérentes dont on peut envisager de

répondre à l'ensembledes questions :

1

^{. en supposant quetoute question reçoit une réponse;}

Il y a 10 répétitionsde 2 hoix don

2 ¹⁰

possibilités.

2

^{. en supposant queertaines questionspeuvent être laissées sans réponse.}

Il y a 10 répétitionsde 3 hoix don

3 ¹⁰

possibilités.

7.17 45

^{personnespartiipentàune oursedontlestroispremierssontréompenséspar}

des prixde valeur dégressive. Combien ya-t-ilde palmarèsdiérentspossibles?

On hoisit 3 personnes lassées parmi 45 don

A ³ ₄₅ = 85 140

possibilités.

7.18

^{Sur trois étagères, on souhaite ranger inq livres de} mathématiques diérents, quatre livres de physique diérents, deux livres de himie diérents. Caluler le nombre

de rangements possibles en séparant lesmathématiques, laphysique et lahimie (l'ordre

des livressur les étagères est don important).

Il s'agit d'ordonner les matières sue les étagères. C'est une permutation de 3 éléments.

Il y a 3!=6 possibilités.

Si on onsidèrede plus l'ordre des livres sur haqueétagère,il y a

5!

^{façonsde ranger les}

livres de math,

4!

^{façons de ranger les livres de physiqueet}

2!

^{façons de ranger les livres}

de himie. Don au total, il y a

6! × 5! × 4! × 2! = 4 417 200

^{façons de ranger les livres}

sur les étagères.

7.19

^{Combieny a-t-ilde façons de remplir unegrillesimplede loto(on rappellequ'une}

grilleomporte quarante neufases numérotées de 1 à49 etqu'il fauten oher six )?

On hoisit 6 numéros non lassés parmi 49 :

C ₄₉ ⁶ = 49 × 48 × · · · × 44

6 × 5 × · · · × 1 = 13 983 816

^.

7.20

^{Dénombrer lesodesseretsde artebanaire àquatrehires. Ensupposantqu'il}

existe en Frans 10 millions de artes banaires en irulation, ombien de artes ont le

même ode seret.

Il y a 4 répétitions de 10 hoix don

10 ⁴ = 10 000

possibilités. Comme il y a

10 000 000

artes en irulations, il y a

1000

^{artes qui ont lemême numéro.}

7.21

^{On onsidère les deux signaux diérents du morse : le point}

•

^{et le trait}

−

^{. On}

appelle séquene d'ordre

n

^{, l'émissionde}

n

^{signaux (}

n ∈

^{N). Par exemple,}

− • − −

^est

une séquene d'ordre 4.

1

^{. Quel nombre de séquenes d'ordre}

n

^{diérentes peut-on ainsi émettre?}

Il y a

n

répétitions de

2

^{hoix don}

2 ⁿ

possibilités.

2

^{. Quellevaleurminimalefaut-ilattribuerà}

n

^{pourpouvoiroderenséquenes d'ordre}

n

^{lesvingt-sixlettres de l'alphabetfrançais plus lesdix hires?}

On veut que

2 ⁿ > 26 + 10

^{, don}

n

^{doit être au minimum égale à}

6

^puisque

2 ⁵ = 32

^.

7.22

^Eninformatique,lesouleurssontnotéesenmodebinaire,'estàdireparunesérie de 0etde 1.On ditqu'un ouleurest notéeen

n

^{bits sionla représente par une série de}

n

^{symboles 0 ou 1.}

1

^{. Combien de ouleur peut-onoder en utilisant1 bit, 2 bits, 4bits et8 bits?}

Il y a

n

répétitionsde

2

^{hoixdon 1bits :}

2 ¹ = 2

^{ouleurs;2 bits :}

2 ² = 4

^ouleurs;

4 bits :

2 ⁴ = 16

^{ouleurs; 8 bits :}

2 ⁸ = 256

^ouleurs

2

^{. Combien faut-ilde bits pour oder au moins 64000ouleurs?}

On veut que

2 ⁿ > 64000

^{, don}

n

^{doit être au minimum égale à}

16

^puisque

2 ¹⁵ = 32 768

^et

2 ¹⁶ = 65 536

^.

3

^{. On parle de ouleurs vraies quand plus de 16millions de ouleurs sont} disponibles.

Combien de bits faut-ilalors utiliserpour leodage?

On veut que

2 ⁿ > 16 000 000

^{, don}

n

^{doit être au minimum égale à}

24

^puisque

2 ²³ = 8 388 608

^et

2 ²⁴ = 16 777 216

^.

7.23

^{On appellemot de 3 lettres tout assemblage ordonné de 3 éléments que l'on peut}

former ave les symboles

a

^,

b

^,

c

^,

d

^et

e

^{(pouvant être utilisées plusieurs fois,} éventuelle- ment).

1

^{. Dénombrer les mots distintsde 3 lettres.}

Il y a

3

répétitions de

5

^hoixdon

5 ³ = 125

possibilités.

2

^{. Parmi eux,dénombrer :}

a

^{. Lesmots de 3lettres distintes.}

On hoisit

3

^{lettres lassées parmi}

5

^sans répétitionsdon

A ³ ₅ = 5 × 4 × 3 = 60

possibilités.

b

^{. Lesmots de 3lettres distintes dont lapremière lettreest}

a

^.

On hoisit

2

^{lettres lassées parmi}

4

^sans répétitions don

A ² ₄ = 4 × 3 = 12

possibilités.

7.24

^{Trois personnes peuvent s'asseoirsur trois haises} numérotées.

1

^{. Combien y a-t-ilde} possibilités?

On permute les

3

^{personnes don}

3! = 6

possibilités.

2

^{. Dénombrerles}possibilitéssilestroispersonnesontlehoixentre7haisesnumérotées.

On hoisit

3

^{haises lassées parmi}

7

^sans répétitions don

A ³ ₇ = 7 × 6 × 5 = 210

possibilités.

3

^{. Répondre aux questionspréédentes dans leas où leshaises ne sontpas diéren-}

iables.

Il y a une possibilités.

On hoisit

3

^{haises non lassées parmi}

7

^sans répétitions don

C ₇ ³ = 7 × 6 × 5

3! =

210

6 = 30

possibilités.

7.25

^{Lefoyerd'unlyéeomportequaranteadhérents,déterminerlenombredebureaux}

omprenantun président,un vie-président, un trésorier.

On hoisit

3

^{haises lassées parmi}

40

^sans répétitionsdon

A ³ ₄₀ = 40 × 39 × 38 = 59 280

possibilités.

7.26

^{Lestrentesept élèves d'unelasse(vingt lles etdix septgarçons) veulent élireun}

omité de trois membres.

1

^{. Combien y a-t-ilde omités possibles?}

On hoisit 3 personnes non lassées parmi 37 :

C ₃₇ ³ = 7 770

^{omités possibles.}

2

^{. Parmi eux-i, ombien ontiennent plus de lles que de garçons?}

Il y a soit 3 lles (

C ₂₀ ³ = 1 140

^{omités) soit deux lles (}

C ₂₀ ² × 17 = 3 230

^omités

don 4 370 omités qui ont plus de lles que de garçons.

7.27

^{Dans un} département français, le numéro minéralogique d'un véhiule était om- posé d'un nombre ompris entre 1 et 9999 suivi d'une ou deux lettres et du numéro du

ode du département. En e qui onerne le groupede lettres, on utilise en premier lieu

tout l'alphabet de A à Z, sauf les lettres I, O et W, puis on forme des groupes de deux

lettres AA,AB...en exluanttoujours l'utilisationdes lettresI etOet desombinaisons

TT etWW. MaisT etW peuvent être utiliséeshors de es ombinaisons.

Combien pouvait-on immatriuler de véhiules dans un même département avant de

hangerde mode de numérotation?

hires :

9999

^{hoix; lettres : 26-3=}

23

^{hoix et deuxlettres :}

24 × 24 − 2 = 574

^{. Il y avait}

don

9999 × (23 + 574) = 5 969 403

immatriulations possibles.

7.28

^{Quatre joueurs reçoivent haun sept dominos au hasard. Combien y a-t-il de}

distributions possibles distintes?

Il y a

7 ∗ 4 = 28

^dominos.

On hoisit d'abord7 dominosparmi 28pour lepremier joueur, puis7 dominosparmis les

21 restants pour le seond joueur, puis 7 dominos parmi 14 pour le troisième joueur. Le

dernier joueur a les 7 dominos restants. Il y a

C ₂₈ ⁷ × C ₂₁ ⁷ × C ₁₇ ⁷ = 472 518 347 558 400 7.29

^{Danslejeude MasterMind,unjoueurdoitdevinerunegureobtenueen plaçant}

des pions de six ouleurs diérentes, qui seront notéespar leur initiale,dans quatre trous

àraison d'unpionpar trou.Danse quisuit, unetelle gureseraassimiléeàune suitede

quatre éléments de l'ensemble

{J ; B; R; V ; O; N }

^{. Par exemple,}

(J ; B; R; J )

^{est la gure}

danslaquellelepremieretlequatrièmepionssontjaunes,ledeuxièmebleuetletroisième

rouge.

1

^{. Quel est lenombre de gures possibles?}

Il y a 4 répétitionsde 6 hoix possiblesdon

6 ⁴ = 1 296

possibilités.