II.4 ct II.5 utilisent

tcoue supÊnmunr

DEs scrENcts ÊcoNoMtQUEs ET

coMMERctALEs 1982

Errtlr.rt Èiya AlrdlrË! Sf,rati.u l-6t F, ^fEl.r

MATHEMATIQUES

zème épreuve (4 h)

Les deux parties du problèæ sont largeænt indêpendantes. Seules

les

^quêstlon§

II.4 ct II.5 utilisent

^des

Ésultats

obtenus dans

la ^partie I.

-I-

n

dêslgnant

m entier nrtur:l ,

^on

^note nntXl

^'l'e:pace

v"c:oriel

constitué ^des potyrOees

I

coefflclents

rtels

de degrè au plus

ê91 à n et

du polynôm nul

.

^tln

êléænt

de RntXl

?st notÉ

lndlffêrermnt P ou

^P(X).

ilk

{0slllk.

Vie 19,

l, ..., r) ^Lr,n(l) - _1r r, ,

₌ ^a.

@ rcntr".

Qæ (10,n

i ^Ll,o i ....i ^Ln,r) "tt

^{tme base}

^de

^nntX)

I -O ^ibntrer

Qrpr pour

tout entler k

ôppartqnônt

àr{0, l, ..., n}, {l

^existe

ur polynôn:

de nntxl,

unique, Lk,n

.

(-1)n-k

# rftot*-'tl,

satlsfalsant aux

condltlons

suivlntes:

Qr*lles sont les coordonnêes

d'm

^{polyt0æ P qælconque de}

^fintXl

^dans cettê _btse ?

En déduire

la forurle

*!O

t*,n

₌

I et la

dêcomPosition en élémnts sinples de

la fraction ratlonnelle ^I

x(x-l)

^(x-2).. .(x-n)

@ ^Soit n la

natrice de passaç de

la

base canonique

(1, X, ...,

^{xn) de}

nnlXl à Ia

base

(LO,n, Ll,n i ... i Ln,n).0n æ

demande pas d'êcrire

n nais de donner:

l)

'les élêncnts de

la

première ligne,

2) la

^somæ des êlémnts de toute autre

lige, 3) la

smrn des êléneàts des diffêrentes colonnes.

Ecrire

Ia matrice n-l

inræ"se de

I

2

-O ^tbntrer Q*

^(L0,0

i Ll,l i

^LZ,Z

i ... ;

^Ln,n)

"rt

^{une base}

^de

^en[X)

@ ^soit _^ ,iîli"îiilll,-r,r, ^'

^{L'imase d'un}

^{porvrôm P de}

^Rnrxl

par

À

, ^soit

^{a{P), sera notêe} plus sis?lenent ÀP

,

^dans

^la

^suite.

l{ontrer ^qtæ

l'appllcatlon ô

est linéa.ire. Ecrlre sa matrice dans

la

base

(Lo'0; Ll,l i -.- ; ^Ln,n).

^{En dêduire}

^Ie

^noyau

^{et l'imaç de}

^{Â .}

@on ^noæ o0 I'iêntltê sur nnlll et _Pour i ) I ^ôi

=

Ào oi-l . P

ôppôrtcnant

à nn[XI ,

^{montt€r qæ} sa déconposition sur

la

base

(Lo,o

; Lt,l, ... i

^Ln,n)

^s'êcrit ,

=

rlo.(akp) (o) ,k,*l-

.../...

-2-

3

-O f

^{dêsignant une} fonction rêe'tle de variable réel'le, on note dêsorrnais ôf

la

fonction dêfinie pour

tout x tel

^qræ

f(x+l) et f(x) existent,

^par

(af) (x) =f(x+l) -f(x),etparr€currence,pour i

^>

I ait=a(ai-lt).

0n convient enfin

que

oof ₌

f . Soit alors f

une fonction nrmÉriqtæ

àetint"

sur

I'intervalTe

[0,n1. !'lontr.er

qu'i1

existe un polytôm unique P, e nnlXl

tel

^{que :}

Ykc

{0, l, 2, ..., n} ^f(k) .

Pr131

O

uont"""qræ

: Yie{1, 2, ..., ^{o) ctYkc{0,} l, 2, ..., n-i}

1r1f)(k)-(Â1Pf)(k).

En dêduire qrp

: ^f(n)

=

,[o ,o*t, ⁽⁰⁾

^Lk,k(n)

@a

dêslgnantun

rtel tel ^que à> r,

^onposÊ

f(x) -*. ibntrerpar

rêcurrence que : Vke

{0, 1, ..., n}

1rkr11x1

'#

^.

€crire la rtlation (l) pour f et

en dêduir: que,

si tl est

un entier supêrieur ou égal à 2

et x ur rtel te'l qæ r

^>,

|l

^:

Iil Ïfirj:,{{+}=,îsi+h

- It -

Préliminaire

: l. Soit x

me variable aléatoire

à

va'leurs dans

tt ;

^{montrer que}

la sêrie I

^{e1x=n1un con\ærgs pour}

toi.rt ue[0,1] .

La fonction

'to'll--

est appelée fonction gênêratrice de

la

variabte

alêatoire x '-nl-o'(x-n)un

2.

i,lontrer qræ.

si

^X

^{et Y}

^{sont deux variables} alêatoires indêper- dantes à valeurs dans

x , ^la

fonct'ion gënëratrice de

Ia variable

X+Y est êgale au

produit des fonctions gÉnêratrices

de X et de

^Y

Dâns cette

pàrtie, N

dés{grte un

entier

supéùieur ou êgal

à

2. Une urne contient

N

boule§ ntnrèrotées de 1 à N. 0n effectue des

tiraçs

successifs "au ^hasard

et

avec remise" d'une bou'le de

cette

urne

€t'l

'on s'intër-Êsse ^au nr.rnêro marquê sur chôque boule

tirée.

Pour

tout entier n tel gue

1,<

n

.<

N-l , ^Xn

^désigne

^le

^{nonbre aléatoire de}

tiraçs

nêcessaires â

l'obtention de ⁽ⁿ⁺¹⁾

nunrêros

distincts, et I'on

note ^:

Yl=Xl -1,YZ-XZ Xl . -..,Yn-Xn

^Xn-1

0n remarquerd que

:

P(Yt =

0)

₌ ^P(YZ =

0)

=

...

= ^P(Yn =

0)

₌ 0.

I ^- O

^Quelle

^{est la}

probabilitê que

les k

(k >

2)

^premièr€s boules

tirées

^portent

'

_{Te rnême} nunÉro ?

O ^æt.*rner la'loi

^de probabilité de

la

variable alêatoire ^Y,

@

Oonn". I'espêrance mathêmatique,

la

variance

et la

fonction génêratrice ^de

( 1)

chacune des variab'les a'léatoires

Yl et

^Xl

-3-

2

- O ^{(p, n,'k). (n')3}

^{p >t n}

^à 2

Crlculer

la

probabllitê conditlonnelle, sâchant

gue In_l'p _,

de

l'êvêneænt

Yn o

k .

ûêpend-elle

de ç

^?

@ ^rn

^dêduire

^la loi

de

probabilitê

_de

la

variable alêatoire yn

r

^{son espêrance}

nathênatique, sa varlance

et sr

fonction gênêratrice.

3

-

Dêterniner I'espérance rnâthÉmatiqrre,

la

variance

et la

fonctlon gÉnÉratrlce

fn

de

la

variable

alêabire f,

^.

4 - O ^lbntrcr

^græ,

^pour

^{x >}

^l{

^:

'n{$-i{i:tffi+

@ Utltiser la

dêco4osition en êlÉmnts

slçles

obtene au

I-l-b

^pour mntrêr que

: ^{rn(u) .} {-r(*io,-r,"--+)

o ^rn

^dêduiru,

^pour

^le

^{rrl' ,}

^P(xn

^{- t).}

Qælle ^{nemrqræ peut-on}

faira,

à propos du

rêsultôt

obtenu ?

5

- O

^{ïrûuver, en}

utilisant I-3-c,

tne expression sinple

o. ili'rntr)

.

n=l

@ ^{C,*tt. est Ia}

probabilltê

d'obtenlr

au ^pème

tiraç

{p

,.21

un numéro non êncore

sorti

?

O ^tn

dêduire I'espérance nrathênatlgræ du norùrne aléatoire de nmÉrros distincts

sortls

en

n tirrçs

⁽ⁿ

_z l) et ^la linite

^de cette espêrance qurnd

n

^tend

'ver§ +

. ttait-ce prêvlsible

?

6 -

Âppligation

: ^(h

sr&pose dans cette question

guè 1{ et n

variables sont

liés par

t{

- a

(n+1}

où c

^{dêsigrre un}

rrtlonnel fixê,

supêrieur ou êgal

â

1.

lhntrcrqæ,sl orl,ry"try adættent,quand n

^tend

veni ⁺

-,

^de3

^llfiitÊs t(c) et v(c)

^que 1'on prêcisera.

lbnm les lin{tes L ^de t(c} et ^V & v(o)

^quand

c

tend

vers

+

-

ainsl'que

ès

équivalents

sinpler de t(c)-L et

^{v(c)-V .}

@

rcnt"e" _QrÉ,

si ^o - , , '(lnl .a'(]n)

^ændent

^vers

⁺

-

^{quand n}

tend

vers

⁺

- ..

^Oonner des êquivalents

de

E(Xn)

et

^{v(xn) lorscue}

n tend$er:+-(onadættrNgtæ,sl n ^tendrærs +- ,-tri.r,

êqulvalcnr

à Lo$ et

^que

,i, i

⁼

*

^,