Thermodynamique II-1/4

Thermodynamique II-1/4

Phs 2101

Automne 2001

http://www.crm.umontreal.ca/~physnum

Thermodynamique - PHS 2101

Jean-Marc Lina

Centre de Recherches Mathematiques, Univ. De Montréal contact: [email protected]

3. CHALEUR

Thermodynamique - PHS 2101

J.M. Lina

Dans la première partie du cours, nous avons introduit les variables thermodynamiques:

- indépendantes: la pression P, le volume V - dépendantes: la température T

On rappelle que la température a été définie à partir du

« principe zéro » de la thermodynamique: les températures de deux systèmes en contact thermique et en équilibre

sont égales.

Ainsi, dans l ’espace des états (P,V,T), l 'équilibre d ’un

système est représente par une surface. Cette surface est composée de surfaces plus spécifiques au comportement de la matière:

solide, liquide, gaz, solide-liquide, liquide-gaz,...

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J.M. Lina

( Surface d 'équilibre thermodynamique pour 1 kg de substance pure )

Les fonctions thermodynamiques sont des fonctions d 'état:

f(P,V,T)

Une fonction thermodynamique prend une valeur en un point (P,V,T)

Exemple: l 'énergie U

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( Surface d 'équilibre thermodynamique pour 1 kg de substance pure )

On s 'intéressera en particulier à la différence de certaines fonctions d 'état entre deux points:

A B U(A)

U(B)

∆

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( Surface d 'équilibre thermodynamique pour 1 kg de substance pure )

On introduit maintenant des quantités qui sont attachées à un chemin qui relie deux états:

ces quantités dépendent

A - du point initial A

B - du point final B

- du chemin A -> B

(évolution du système)

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J.M. Lina

État d 'équilibre initial Exemple:

Une masse

Un gaz parfait

Une paroi adiabatique

PV = constante

Un piston libre

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J.M. Lina

Nouvel état d 'équilibre On enlève la masse:

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J.M. Lina

h

s Surface: s

Force exercée sur le piston:

F = P . s où P est la pression qui règne dans le gaz.

Supposons que le déplacement est petit, dx:

le travail effectué par le piston est dW = F . dx

Pour le gaz (le système thermodynamique): le travail est dW = - F . dx = - P . s . dx = - P . dV

Ou dV est la variation de volume du système (ici positif): on trouve bien que dW<0, le gaz perd de l 'énergie.

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J.M. Lina

Travail élémentaire pour le gaz:

dW = - P . dV

−

=

>

=

−

B

A

V

V B

A

dW P dV

W .

Travail total pour le gaz: A -> B A

B

V_A V_B

V_A

V_B

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J.M. Lina

−

=

−

=

>

=

−

B

A

B

A

V

V

V

V B

A

dW P dV P dV

W . .

A

B

V_A V_B

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J.M. Lina

−

>

=

−

B

A

V

V B

A

P dV

W .

Cette quantité est le travail effectué par le gaz. C ’est le seul échange d 'énergie sous forme de travail

avec l 'extérieur au cours de ce processus adiabatique

A -> B: IL EST POSITIF SI LE SYSTEME GAGNE DE L ’ENERGIE ATTENTION, LA MASSE DE GAZ SEULE EST LE SYSTEME

THERMODYNAMIQUE QUE NOUS ETUDIONS!

Le piston fait partie de l 'extérieur.

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J.M. Lina

−

>

=

−

B

A

V

V B

A

P dV

W .

Remarque: en adoptant l 'écriture

nous précisons, par l interprétation du signe de cette quantité, l 'échange en jeu: si la valeur est positive, il s ’agit d ’un travail fourni au système; si la valeur est négative, c ’est le système qui libère de l 'énergie sous forme de travail (voir discussion page 64 de VWSD)

EXERCICE: No. 4.3, p.77

Soit le système illustre ci-dessous. Le volume initial à l ’intérieur du cylindre est de 100 litres et la pression y est de 100 kPa. Le

ressort touche le piston mais n ’y exerce aucune force. On chauffe ensuite le système, ce qui entraîne une détente de l ’air jusqu ’ à ce qu ’il double de volume. La pression intérieure est alors de 300 kPa.

A) Décrire l 'évolution sur un diagramme de Clapeyron B) Calculez le travail qu ’effectue le

système forme par l ’air dans le cylindre.

Quel pourcentage de ce travail contribue à comprimer le ressort?

État initial:

Pression due au piston seul: P

= 10

Pa Volume: V

= 10

m

État final:

Pression due au piston + contraction du ressort:

P

= 3.0 10

Pa

Volume: V

= 2 V

V

V

= 2V

P

P

Lorsque le ressort se contracte d ’une longueur dx, il exerce une force k.dx sur le piston, donc une pression

s dV dx k

s k

= 2

V

V

= 2V

P

P

s dV

dP = k₂

est donc l ’accroissement de pression dans

le gaz au cours de l 'évolution. Il s ’agit d ’un

accroissement linéaire.

V

V

= 2V

P

P

Travail reçu par le système (gaz): ⁻

∫

0

2

.

V V

V

dV P



 +

−

 =

 

 + −

− 2 2

).

( _{1 0 0 0 0 1 0}

0 0

V P V

P V

P V P

P

= - 2.0 10

J (négatif: le système fournit de l 'énergie)

Énergie accumulée dans un ressort comprimé d ’une longueur d:

2

2

1 k d Ec =

Mais d correspond au volume ajouté au gaz: V

= s . d

2 2 0

2

1 V

s Ec = k

D ’autre part, on a vu que

(

)

2 1 V

s V k

s V P k

P s V

P = k ∆ ⇒ − = − =

∆

donc (

)

2 0 0

0 1

2 1 2

1 V P P V

V P

Ec P − = −

=

Fraction d 'énergie pour la compression du ressort:

0 1

0 1

P P

P P

+

−

On trouve 50%

(

)

2

1 P P V Ec = −

(

)

2

1 P P V

E = − +

EXERCICE: No. 4.6, p.78

Un ensemble cylindre et piston contient de l ’eau

aux conditions initiales suivantes: 50 kPa, 100

C, 3 m

. On comprime l ’eau lentement en suivant la loi

PV = const. jusqu’ à ce qu ’elle atteigne une pression finale de 1 Mpa.

Calculez le travail qui s ’effectue au

cours de l'évolution.

P

= 0.5 10

Pa V

= 3 m

T

= 100

C

P

V 1.0 10

Pa

P V V

P

5 5

0 0

10 5 . 10 1

5 .

1 ⇒ =

=

Travail (système):

1 0 0

1 . ln

ln . .

.

1

0 P

const P V

const V V dV

const dV

P

V

V

−

=

−

=

−

=

∫

∫

(signe!)

EXERCICE: No. 4.8, p.78

Le cylindre représente a la fig.4.15 (p.79) contient 1 kg d ’eau

saturée à 30 ^oC. Le piston a une section de 0.065 m² et une masse de 40 kg; il repose sur des butées. Au départ, le volume est de 100 litres; la pression atmosphérique ambiante est de 94 kPa et l ’acc.

gravit. est de 9.75 m/s².

On fournit de la chaleur au système jusqu ’ à ce que le cylindre contienne de la vapeur saturée.

A) Quelle est la température de l ’eau au moment ou le piston commence à s 'élever au-dessus des butées ?

B) Calculez le travail accompli par l ’eau durant l évolution entière.

1 kg de mélange liqu-vap. a 30

C volume = 100 10

m

donc v = 0.1 m

/kg

A) Pour soulever le piston, il faut que la pression soit égale a

s g P_atm m.

. +

= 94 10

+ 6 10

= 1.0 10

Pa

Supposons qu ’au moment où le piston se soulève (i.e. P = 10⁵ Pa) nous soyons dans une phase de vapeur surchauffée:

Table A.1.3,p.697 : à cette pression, on constate que:

- Temp. de saturation = 99.63 ^oC

- Pour T > T_sat. ,le tableau indique que v > 1.69 m³/kg, autrement dit 1 kg d ’eau occupe un volume > 1.69 m³. Or, lorsque le piston

commence a se soulever, le volume est de 0.1 m³ !!

C ’est donc impossible!

Conclusion: nous sommes toujours dans un régime de vapeur saturée (mélange des deux phases liq-vap) au moment où le piston se soulève

.

Nous sommes donc en présence d ’une vapeur saturée, à la pression de 10

Pa:

Table A.1.2, p.694: T = 99.63

C (remarquez que c’est bien la température de saturation indiquée dans la la table A.1.3 pour cette pression)

On peut calculer le titre:

f g

f

v v

v x v

−

= − = 5.84 10

(

Le titre initial ? x = 3.01 10

Volume de vapeur initial: 9.89 10

m

: le volume de vapeur n ’a pas changée, mais la pression a augmenté pour atteindre 10

Pa.

Volume de vapeur: 5.84 10

. 1.694 = 9.89 10

m

Explication:

Première phase de l 'évolution: on chauffe la vapeur saturée à volume constant (c ’est le rôle des butées de maintenir un volume constant tant que le piston n ’est pas

soulevé). La pression augmente jusqu ’ à la valeur a laquelle le piston commence à se soulever.

Ici, changement de régime: le piston est en équilibre avec le système thermodyn.

Et les butées ne jouent plus aucun rôle: on évolue maintenant à pression constante et puisque nous sommes dans une vapeur saturée, la température devient constante (99.67 ^oC).

Deuxième phase:

Évolution à pression et température constante. Le volume du système (1 kg d ’eau) passe de 0.1 m³ à 1.69 m³ si nous vaporisons toute l ’eau.

Et si on continuait de chauffer? Le système évoluerait toujours à pression constante en vapeur surchauffée…

B) Il n ’y a du travail qu ’au cours de la seconde phase puisque la première se fait à volume constant. La variation d 'énergie du système par échange de travail est, dans la seconde partie de l 'évolution, à pression constante (10

Pa). Le volume

passe de 0.1 m

à 1.69 m

:

J V

V P

W = − _sat ( _f − _i ) = −1.610⁵

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