Thermodynamique II-4/4

Thermodynamique II-4/4

Phs 2101

Automne 2001

PREMIER PRINCIPE

application aux écoulements

Application de la Première Loi aux écoulements

La Première Loi exprime l'égalité entre la variation d'énergie contenue dans un système et l 'échange d'énergie a travers les

« parois » de ce système.

Variation et échanges peuvent se faire pendant un temps δt:

nous parlerons alors de taux de variation (pour l 'énergie totale) , de taux de transfert de chaleur et de puissance acquise par le système:

t Q t

W d

δ δ δ + δ dt =

E

•

W

•

Q

Unités: 1 J/s = 1Watt

m_t

Date t

δm₁

On considère le système fermé suivant:

Il est compose de deux sous-systèmes ouverts

m_t+δt

Date t+δt

δm₂ A la date t+δt:

le système fermé est composé du système

ouvert à volume constant plus un autre système ouvert:

m_t

m_t+δt

Date t

Date t+δt

δm₁

δm₂ masse:

m_t+δm₁

masse:

m_t+δt+δm₂

Question de masse:

La masse du système (fermé) reste la même:

1

2

m m

m

m

+ δ =

+ δ

Donc:

m

− m

= δ m

− δ m

ou, en divisant par δt: ^. _{1 2}

•

•

−

= m m dt

m

d

Débit entrée/sortie à la surface du volume de contrôle

Variation de la masse

dans le volume de contrôle (volume constant)

E_t

E_t+δt

Date t

Date t+δt

v₁ e₁ δm₁

P₁

v₂ e₂

δm₂ P₂ Énergie:

E_t+δm₁ e₁

Énergie:

E_t+δt+δm₂ e₂

Question d ’énergie:

Donc, la variation d 'énergie est

1 1

2

2 e m e

m _t

ät

t ₊ + − −

Qu ’en est-il de l 'échange d 'énergie sous forme de travail ?

On vide cette partie:

W₁= -P₁ (0 - v₁ δm₁ )

= P₁ v₁ δm₁

Et on remplit celle-la:

W₂= -P₂ (v₂ δm₂ - 0)

= - P₂ v₂ δm₂ δWvol. Const.

Donc, la variation d 'énergie due au travail est:

2 2 2

1 1 1

.

. m P v m P v

W _{vol const} + −

Q v

P m

v P m

W

e m

e m

const vol

t ät

t

+

− +

=

−

−

+

+

2 2 2

1 1 1

. .

1 1

2

2

E

E

et la première loi donne ainsi:

Donc,

Q W

v P e

m v

P e

m

const vol

t ät

t

δ δ

δ δ

+

=

+ +

+

−

+

−

. .

2 2 2

2 1

1 1

E

E

gZ h

Pv e

gZ u

e = + v

+ ⇒ + = + v

+ 2

1 2

mais

1

Donc, finalement

Q W

gZ h

m gZ

h m

const vol

t ät

t

δ δ

δ δ

+

=

 

 



 + +

 −



 



 + +

+

+

−

. .

1 1

1 2

2

2

2

1 2

1

1 2

2

v

v E

E

On peut écrire cette équation sous la forme d ’une variation par unité de temps:

t Q t

W

gZ t h

gZ m t h

m t

const vol

t ät

t

δ δ δ

δ

δ δ δ

δ δ

+

=

 

 



 + +

 −



 



 + +

− +

+

. .

1 1

1 2

2 2

2 1 2

1

1 2

2

v

E v E

•

•

•

•

+

=

 

 



 + +

 −



 



 + +

+

Q W

gZ h

m gZ

h dt m

d

v.c

2 1 2

2

v.c

v v

E

1 1

1 2

2

2

2

1 2

1

Résultat:

•

•

•

•

+

=

 

 



 + +

 −



 



 + +

+

Q W

gZ h

m gZ

h dt m

d

v.c

2 1 2

2

v.c

v v

E

1 1

1 2

2

2

2

1 2

1

Taux de variation de l ’énergie totale dans le volume de contrôle.

Débit massique sortant

Débit massique entrant

Puissance calorifique dans le vol. de contrôle

•

•

•

•

+

=

 

 



 + +

 −



 



 + +

+

Q W

gZ h

m gZ

h dt m

d

v.c

2 1 2

2

v.c

v v

E

1 1

1 2

2

2

2

1 2

1

2

. • 1 •

−

= m m dt

m

d

Résumons les équations obtenues:

(conservation de la masse)

(Premier principe)

•

•

•

•

 = +



 



 + +

 −



 



 h + + gZ m h gZ W Q

m

v

v

2

1 2

1

Cas particulier du Régime permanent:

les taux de variations dans le volume de contrôle sont nuls:

(Premier principe

en régime permanent) (conservation de la masse en régime permanent)

2 1

•

•

= m

m

EXERCICE:

De l ’argon à 280

K et 125 kPa circule dans une conduite circulaire de 100 mm de diamètre, à une vitesse uniforme de 3 m/s.

Calculez le débit massique du fluide.

Ce qu ’on cherche:

t m δ δ

t T R m

t x P s t T

R m t

P V T

R m V

P _{Ar Ar Ar}

δ δ δ

δ δ

δ δ

δ δ

δ = ⇒ = ⇒ =

( )

m 125 10 5010 3 5.0510 ₂ /

3

3 2

3 − −

=

= π

δ δ

T R

Ps t

T m t R m

Ps

Ar Ar

v = → = v

δ δ δ

vitesse δ

EXERCICE: No. 5.40, p.155

On chauffe de l ’air à l ’aide d ’un dispositif électrique dans un tube de diamètre constant au cours d ’une

évolution en régime permanent. A l entrée, l ’air est à 500 kPa et 20

C et à une vitesse de 10 m/s.

A la sortie, l ’air est à 475 kPa et 120

C.

Calculez la vitesse de l ’air à la sortie du tube.

Volume de contrôle.

Air a 500 kPa, 20 ^oC Air a 475 kPa, 120 ^oC

Régime permanent:

•

•

= m

m

Volume de contrôle.

Air a 500 kPa, 20 ^oC Air a 475 kPa, 120 ^oC

t m t

m

δ δ δ

δ

=

(s est la section du tube)

2 2

2 1

1 1 2

2 2 1

1 1

m m

t l s V m t

l s V m t

V V

m t

V V

m

δ δ

δ δ δ

δ δ

δ δ

δ δ

δ δ

δ δ

δ δ

δ = → =

2

1

v

v

2 2 1

1

V m V

m

δ δ δ

δ =

A l ’entrée: δ m

est à la pression P

= 500 kPa et à la température T

= 20

C

1 1

1

1

R T

P V

T m R

m V

P

air air

1 1

1

1

= ⇒ =

δ δ δ

δ

De même, à la sortie (P =475 kPa, T =120

C) :

ce qu’on cherche

1 2

1

2

v v v

v

1 2

2 1

2 2 1

1

T P

T P V

m V m

=

→

= δ δ δ δ Donc,

On trouve ainsi 14.12 m/s

(note: Attention aux unités de T !)

EXERCICE: No. 5.45, p.155

Le compresseur d ’une turbine à gaz de grandes

dimensions reçoit de l ’air du milieu ambiant a 95 kPa, 20

C et à faible vitesse. A la sortie du compresseur, la pression est de 1.14 MPa, la température de 380

C, et la vitesse de 110 m/s. La puissance d ’entrée au

compresseur est de 5000 kW.

Calculez le débit massique de l ’air.

W

air:

95 kPa 20 ^oC

air:

1.14 MPa 380 ^oC 110 m/s

Premier Principe (en écoulement permanent):

•

•

•

•

 = +



 



 + +

 −



 



 h + + gZ m h gZ W Q

m

v

v

2

1 2

1

2 1

•

•

= m

m

•

•

•

•

 = +



 



 + +

 −



 



 h + + gZ m h gZ W Q

m

v

v

2

1 2

1

2 1

•

•

= m

m

•

•

 =



 



 h − h + v

W

m 2

1

1 2

2

mais on a h

− h

= C

( T

− T

)

( )

v.c 2

v.c

1

2

1

+

= − +

= −

•

•

W

W

m = 13.61 kg/s

donc:

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