Probabilités discrètes
Exercice 1 :
Les quatre questions sont indépendantes.
1. Dans un lycée donné, on sait que 55 % des élèves sont des filles.
On sait également que 35 % des filles et 30 % des garçons déjeunent à la cantine.
On choisit, au hasard, un élève du lycée.
Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ?
2. Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 20 et 1/5.
a. Calculer la probabilité que Y soit égale à 6. Donner une valeur approchée du résultat à 10−3.
b. Calculer la probabilité que Y soit supérieure ou égale à 2. Donner une valeur approchée du résultat à 10−3.
3. Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts.
On appelle A l’évènement « l’appareil présente un défaut d’apparence » et F l’évènement « l’appareil présente un défaut de fonctionnement ».
On suppose que les évènements A et F sont indépendants.
On sait que la probabilité que l’appareil présente un défaut d’apparence est égale à 0,02 et que la probabilité que l’appareil présente au moins l’un des deux défauts est égale à 0,069.
On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l’appareil présente le défaut F ? 4. On considère l’algorithme :
A et C sont des entiers naturels C prend la valeur 0
Répéter 9 fois
A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7.
Si A > 5 alors C prend la valeur de C + 1 Fin Si
Fin répéter Afficher C.
Dans l’expérience aléatoire simulée par l’algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeur C affichée.
Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres.
Exercice 2 :
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de trois questions indépendantes.
Pour chacune d’elles, une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.
1. Dans un stand de tir, la probabilité pour un tireur d’atteindre la cible est de 0,3. On effectue tirs supposés indépendants. On désigne par la probabilité d’atteindre la cible au moins une fois sur ces tirs.
La valeur minimale de pour que soit supérieure ou égale à 0,9 est :
a. 6 b. 7 c. 10 d. 12
2. Un joueur dispose d’un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. À chaque lancer, il gagne s’il obtient 2, 3, 4, 5 ou 6; il perd s’il obtient 1.
Une partie est constituée de 5 lancers du dé successifs et indépendants. La probabilité pour que le joueur perde 3 fois au cours d’une partie est :
a. b. c. d.
3. Soient et deux évènements indépendants d’un même univers Ω tels que () = 0,3 et ( ∪ ) = 0,65. La probabilité de l’évènement est :
a. 0,5 b. 0,35 c. 0,46 d. 0,7
Exercice 3 :
Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.
A et B sont deux évènements liés à une même épreuve aléatoire qui vérifient : (A) = 0,4, ( B ) = 0,7 et B = 0,1.
Proposition : La probabilité de l’évènement A sachant que l’évènement B est réalisé est égale à .
Exercice 4 :
Au cours d’une séance, un joueur de tennis s’entraîne à faire des services.
Pour tout entier naturel non nul, on note l’évènement « le joueur réussit le n-ième service » et l’évènement contraire.
Soit ! la probabilité de et " celle de .
La probabilité qu’il réussisse le premier service est égale à 0,7.
On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées :
- si le joueur réussit le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant vaut 0,8;
- si le joueur ne réussit pas le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant vaut 0,7.
1. On s’intéresse aux deux premiers services de l’entraînement.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de services réussis sur ces deux premiers services.
(a) Déterminer la loi de probabilité de X. (On pourra utiliser un arbre de probabilité) (b) Calculer l’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
2. On s’intéresse maintenant au cas général.
(a) Donner les probabilités conditionnelles #$%( &) et #$%( &).
(b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul , on a : !& = 0,1!+ 0,7. 3. Soit la suite (() définie pour tout entier naturel non nul par ( = 9!− 7.
(a) Montrer que la suite (() est géométrique et exprimer ( puis ! en fonction de , pour tout entier naturel non nul.
(b) En déduire la limite de la suite (!).
