A NNALES DE L ’I. H. P., SECTION C
A HMAD E L S OUFI A LBERT J EUNE
Indice de Morse des applications p-harmoniques
Annales de l’I. H. P., section C, tome 13, n
o2 (1996), p. 229-250
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Indice de Morse
des applications p-harmoniques
Ahmad EL SOUFI et Albert JEUNE
Laboratoire de Mathematiques,
Universite de Tours, Parc de Grandmont, 37200 Tours, France.
Vol. 13, n° 2, 1996, p. 229-250. Analyse non linéaire
Dans cet
article,
nous nous interessons a l’estimation et aucalcul de l’ indice de Morse des
applications p-harmoniques,
ou p E[2, +oo[.
Nous y traitons notamment le cas de
l’application identite,
ainsi que celui desapplications
definies sur desspheres
ou a valeurs dans desspheres.
Lesresultats que nous obtenons
generalisent
ungrand
nombre de ceux obtenuspour les
applications harmoniques (p
=2)
dans[2], [3]
et[9].
ABSTRACT. - In this paper, we
investigate
estimates and calculation of the Morse indexof p-harmonic
maps, with p E[2, +oo[.
Moreparticularly,
we deal with the
identity
map and maps from or tospheres.
Our resultsextend those obtained for harmonic maps
(case
p =2)
in[2], [3]
and[9].
INTRODUCTION ,
Dans cet article nous nous interessons aux
points critiques,
ditsapplications p-harmoniques,
de la fonctionnellep-energie Ep,
p E[2, +oo[,
definie surl’espace
desapplications
differentiables d’une variete riemanniennecompacte (M, g)
a valeur dans une variete riemannienneCe travail a ete partiellement soutenu par le contrat CEE GADGET SC1-0105-C.
Annales de l’Institut Henri Poincaré - Analyse non linéaire - 0294-1449
230 A. EL SOUFI ET A. JEUNE
(N, g’ ) .
Cette notiond’application p-harmonique
est unegeneralisation
naturelle de celle bien connue
d’application harmonique qui correspond
iciau cas p = 2.
Une bonne
partie
des resultats de cet articleporte
sur l’indice de Morse desapplications p-harmoniques.
Cetinvariant,
que l’on noteIndp (~)
pourune
application p-harmonique ~,
mesure en fait ledegre
d’instabilite dupoint critique ~~. L’application ~
est ditep-stable
siIndp (~)
= 0.Les
premiers
resultats concernant la stabilite et l’indice de Morse desapplications harmoniques
ont ete obtenus par Mazet[9]
et Smith[11].
Lecas
particulier
de l’application
identite futlargement
etudie par ces auteurs.Au
paragraphe
II dupresent
article nous nous interessonsegalement
a cecas et nous montrons
(theoreme 1)
que, si(M, g)
est une varietecompacte
orientable de dimension m,
alors,
pour tout p > m, l’identitéIM
de Mminimise la
p-energie Ep
sur l’ensemble desapplications
dedegre
non nulde M dans M. Nous en deduisons que
IM
estp-stable
pour tout p > m.Dans le cas p m = dim
M,
nousgeneralisons
au casp-harmonique
les
arguments
de Smith pour montrer que(theoremes
2 et3) :
(i) Indp
est minore par la codimension del’espace
deschamps
deKilling
dans celui deschamps
conformes de(M, g).
(ii)
Si(M, g )
estd’Einstein,
alorsIndp (1M)
estegal
au nombre devaleurs propres de
(M, g )
que contientl’intervalle ]0,
2me/(m + p - 2)[,
ou me est la courbure scalaire de
(M, g).
Une classe
particuliere d’applications p-harmoniques
est constituee par les immersions minimaleshomothetiques.
Auparagraphe
III de cet articlenous montrons
(theoreme 4)
que,si (~ : (M, g)
-~(N, g’)
est une telleapplication,
alorset que,
si ~
est totalementgeodesique,
alorsou
Indy (~)
est 1’indicede ~
pour la fonctionnelle Volume.Ces resultats
permettent
le calcul de l’ indice d’ un nombre nonnegligeable d’ applications p-harmoniques
dontl’injection canonique 1m, n
de lasphere canonique
de dimension m dans et 1’ immersioncanonique jm
dedans
l’espace projectif complexe (cf.
corollaires 2 et3).
Le
paragraphe
IV est consacre au cas ou la variete source est lasphere canonique Rappelons
que Xin[13]
avait montre que, pour touteapplication harmonique §
de3,
dans une variete(N, g’),
onlinéaire
a
Ind2 (~)
> 1. Ce resultat fut ameliore par lepremier
auteur dans[3]
oul’on trouve la minoration
optimale : Ind2 (~) >
m -f-1. Aussi bien dans[13]
que dans
[3],
Fidee de base est de calculer la variation seconde del’énergie
dans la direction des
champs
dutype d~ (V),
ou Vest unchamp
conformede
Cependant,
les deux demarches sont differentes. Eneffet,
la preuve de Xin est fondee sur la formulegénérale
de la variationseconde,
alors que le resultat de[3]
decoule du calcul de la variationpremiere
en toutpoint,
le
long
du groupe a unparametre engendre
par lechamp
conforme V.Dans le cas de la
p-energie
et desapplications p-harmoniques,
la formulegenerale
de la variation seconde(cf. (3))
devient tres peumaniable,
ce
qui
rend tres difficile lageneralisation
desarguments
de Xin. Par contre, la methodedeveloppee
par lepremier
auteur dans[2]
et[3]
presente l’avantage
de s’etendrc de maniere naturelle a cetype
de fonctionnelle etpermet
d’obtenir enparticulier
la minorationoptimale
suivante
(theoreme 5) :
valable pour toute
application p-harmonique
non constante1,
avec p m, de ~m dans( N, g’ ) .
Cette methode
presente
un deuxiemeavantage.
Eneffet,
outre le calcul de la variation seconde dans la direction deschamps
conformes et la minoration del’indice,
ellepermet
d’avoir le resultatglobal
suivant(theoreme 6) :
siG
(m)
est le groupe desdiffeomorphismes
conformes de alors touteapplication p-harmonique 1 :
~"2 --~(N, g’)
vérifieDe
plus, si 03C6
est non constante etp ~
m, alorsl’égalité Ep (03C6 o-y)
=EP (03C6)
n’ a lieu que
si 03B3
est une isometrie.Le dernier
paragraphe
traite du cas ou la variete but est unesphere.
Nousy faisons une étude
parallele
a celledeveloppee
auparagraphe
IV. Nous y montrons enparticulier
que touteapplication p-harmonique
non constante~ : (M, g )
--~ S" verifie(theoreme 7) :
De
plus,
sous unehypothese
depositivite
sur le tenseur dep-energie-
impulsion
de03C6,
nous montrons que(theoremes
8 et9) :
232 A. EL SOUFI ET A. JEUNE
Ces resultats sont une
generalisation
de ceuxobtenus,
pour p =2,
par lepremier
auteur dans[2].
Noter que le cas desapplications harmoniques
avaleurs dans une
sphere
avait d’abord ete etudie parLeung [8].
I.
PRELIMINAIRES
Dans toute la suite de cet
article,
ondesignera
par(M, g )
et( N, g’ )
deux varietes riemanniennes connexes de dimensions
respectives
m et n.La variete M sera
supposee compacte.
Lesproduits
scalaires associesà 9
et
g’
seront tousnotes ( , ).
Soit §
uneapplication
differentiable de M dans N. Pour tout reelp > 2,
on
appelle p-energie de ~
laquantite :
ou dv est 1’ element de volume riemannien associe a g, et
of d~ ~
est lanorme de Hilbert-Schmidt de
d(~ :
si a eta’
sont deux 1-formes sur M a valeurs dans~* T N, alors,
{
i etant une baseg-orthonormée
deTx
M.Soit r
( ~) l’espace
deschamps
de vecteurs lelong
de~,
i. e. les sections du fibre~*
TN. Ondesigne respectivement
par D et V les connexionscanoniques
de(M, g)
et(N, g’),
et par~~
la connexion induite surcp* TN
par V.La variation
premiere
de lap-énergie en 03C6
dans la direction d’ unchamp
V E r
(~)
est donnee par la formule :ou est une famille d’
applications
differentiables telle que~o = ~
et-
= V.L’ application 03C6
sera ditep-harmonique
si( V )
= 0pour tout V E r
(03C6).
Le cas p = 2correspond
a celuioù 03C6
estharmonique.
linéaire
L’extension naturelle de
V~
aux k-formes a a valeurs dans1*
T N estdonnee par :
On
appelle p-tension de 03C6
lechamp
Tp donne par :designe
legradient de
dans(M, g) . Apres
uneintegration
parparties
la formule de la variationpremiere
ci-dessus devient :11 en decoule
que ~
estp-harmonique
si et seulement si Tp( ~)
= 0.Notons que
d’ apres (1), si
est constante,alors,
pour tout p >2, (~
estp-harmonique
si et seulement si elle estharmonique.
Soit
RN
le tenseur de courbure de(N, g’).
On pose, pour tousV,
W Ef(jJ),
La variation seconde de
Ep en 03C6 p-harmonique
dans la direction de Vet West alors donnee par
(voir
parexemple [7]) :
On
appelle p-indice
de03C6,
et on le noteIndp (03C6),
la dimension des sous-espaces maximaux de
h (~)
surlesquels
la formequadratique Ht
estdéfinie
negative,
i. e.234 A. EL SOUFI ET A. JEUNE
Indp (03C6)
=Sup {dim E;
E c h(03C6) t.q. Hp
est définienegative
surE }.
L’application 03C6
sera ditep-stable
siIndp (03C6)
= 0.Nous déduisons directement de la formule
(3)
lespropositions
suivantes : PROPOSITION 1. - Soit(N, g’)
une variété a courbure sectionnellenegative
ou nulle. Alors toute
application p-harmonique,
p >2,
d’une variété riemanniennecompacte (~l, g)
dans(N, g’)
estp-stable.
Dans le cas
particulier
desapplications harmoniques
a densitéd’ énergie
constante, on a la
PROPOSITION 2. -
Soit c/>
uneapplication harmonique
d’une variétécompacte (M, g)
dans une variété(N, g’).
Si est constante,alors,
pour tout p >2, ~
estp-harmonique
etl’application
p -~Indp (~)
estdécroissante sur
[2,
Preuve. - Soient p > q > 2 deux reels.
Comme
est constante, la formule(3)
nous donne pour tout V E r(~),
Le
résultat
en découle immédiatement.II. INDICE DE
L’IDENTITÉ
Dans ce
paragraphe
nous allons nous intéresser al’ application
identité Ide
(M, g) qui
est évidemmentp-harmonique
pour tout p.Pour p > m, nous avons le
THÉORÈME 1. - Soit
(M, g)
une variété riemannienne compacte orientable de dimension m et soit p E-~-oo ~.
Pour touteapplication ~ :
M -~ Mde
degré
non nul on aofi,
pour p > m(resp.
p =m), l’égalité
a lieu si et seulementsi 03C6
est uneisométrie
(resp.
unetransformation conforme)
de(M, g).
Enparticulier,
I est
p-stable
pour tout p > m.Annales de l’Institut Henri Poincaré -
Preuve. -
D’ apres [12],
si l’on note V la fonctionnelleVolume,
on aou
l’égalité
a lieu si et seulement estconforme, i.e., 03C6*
g = g.Or,
on aV (03C6) = | deg 03C6|V (M).
D’oucar = m.
Pour tout p > m on a
(inegalite
deHolder) :
ou,
si p > m,I’ égalité
a lieu si et seulementsi d~ ~ 2
est constante. D’ ouL’ egalite Ep (03C6)
=Ep (I)
entrfine doncque 03C6
est conforme dedegré ±1
et,si p > m,
que
est constanteegale
a m. On en deduit immediatementle resultat.
La formule de la variation seconde devient dans le
cas (~
= I :ou
RicM
est la courbure de Ricci de(M, g)
et ou 8V est ladivergence
deV. Ici V et W sont des
champs
de vecteurs sur M. Les formulesintegrales classiques
donnent(cf
parexemple [14]) :
ou
Lv g
est la derivee de Liede g
parrapport
a V. D’ ou236 A. EL SOUFI ET A. JEUNE
En
effet,
dans une baseorthonormée {ei} qui diagonalise Lv g
en unpoint x
deM,
on a :De
plus, l’égalité |Lv g|2 = 4 ( bV ) 2
entraîneq u’ en
toutpoint
x EM
lesm
Lv
g(ei, ei)
sont touségaux,
c’est-à-dire queLv
g estproportionnel
a g et donc que lechamp
Vest conforme. On en déduit laproposition
suivante :PROPOSITION 3. - Soit
(M, g)
une variété riemannienne compacte de dimension m. Pour tout p > m, l’identité I de M estp-stable
et le noyau deHP
est donne parou C est
l’espace
deschamps conformes
et ou K estl’espace
deschamps
de
Killing
de(M, g).
Preuve. -
L’hypothèse
p > m entraîned’après (6) qu’ on
a, pour toutchamp
de vecteurs V surM, Hp ( V, V)
> 0 et quel’égalité Hp ( V, V)
= 0n’ a
lieu
que si Vest conforme et si(p - m)
bV = 0. D’ou,
I estp-stable
etReciproquement,
1’ invariance deEp
sous 1’ action du groupe d’ isometries(resp.
du groupe conforme pour p =m)
entrfine immediatementqu’on
aK c Ker
Hp (resp.
C c Ker D’où le résultat.Remarque. -
Il estclair, d’ apres (5),
que siRicM
estnon-positif,
alorsI est
p-stable
pour tout p > 2.Une autre
consequence
de(6)
est leTHEOREME 2. - Soit
(M, g)
une variété riemanniennecompacte
de dimension m. Pour tout p E[2,
on aPreuve. - Pour tout
champ
conforme V sur M on aEn
remplagant
dans(6)
on obtient(avec
pm) :
ou
l’égalité Hp (V, V)
= 0 a lieu si et seulement si 8V =0, c’ est-a-dire,
si V est unchamp
deKilling.
On en deduit queHp
est définienegative
sur le
complementaire orthogonal C’
de K dans C et donc queOn
identifie,
au moyen de lametrique
g, leschamps
de vecteurs auxchamps
de 1-formes sur M et on note D*l’adjoint
de D pour leproduit
scalaire
L2.
La formule(5) peut
alors s’écrireou
Le
p-indice
de I est alorsegal
au nombre de valeurs propres(multiplicite comprise)
strictementnegatives
deJ;.
Si l’on note0~ _ - (db
+8d)
lelaplacien
deHodge,
on a alors(formule
deBochner-Weitzenböck) :
et donc
Dans le cas
particulier
ou(M, g)
estd’Einstein,
cette formule va nouspermettre
derelier,
pour p m, lep-indice
de I auspectre
de(M, g ) .
En
effet,
pour tout r >0,
onnote A(r)
le nombre de valeurs propres(multiplicite comprise)
duLaplacien A
de(M, g) (agissant
sur C°°(M))
strictement
comprises
entre 0 et r. On a alors leTHÉORÈME 3. - Soit
(M, g)
une variété d’Einstein de dimension m telle queRic~
= cg avec c > 0. Pour tout p E[2, m[,
on a238 A. EL SOUFI ET A. JEUNE
Preuve. -
L’espace A~ (M)
des 1-formes sur M sedecompose,
par le theoreme deHodge
deRham,
en la somme des deux sous-espacesorthogonaux
1m d= ~ df ; f
EC°° (M) ~
et Ker 8= ~ a
ebcx =
0 ~.
Dans le caspresent
ou la variete(M, g)
estd’Einstein,
cesdeux sous-espaces sont stables par
l’opérateur Jj
=(p-2) m
d8 - 2 c(verification immediate).
Lespectre
de est donc la reunion desspectres
respectifs
desoperateurs J;
=JIp/Imd
etJllp
=Or,
laformule
(6)
nous dit que la formeH:
estpositive
sur Ker8,
et donc quetoutes les valeurs propres de
~TP
sontnon-negatives.
D’ ouIndp (I) = #Spec (~IP )n ~ -
oo,0[ = #Spec (J;)n ] -
oo,0[.
Pour toute
forme df
EIm d,
on aOn en
deduit,
sachant quef peut toujours
etre choisied’integrale
nullesur
M,
que1’ application
est une
bijection
deSpec (0)~{ 0 }
surSpec (JT,) (bijection qui
conserveles
multiplicites).
Enconclusion,
on aUne
consequence
immediate du théorème 3 est leCOROLLAIRE l. - Le
p-indice
de l’identite de lasphere canonique
~"2est donne par
En
effet,
sur on a c = m - 1 et 1’ intervalle0, 2 m (m - 1)
,J
,m~p-2 ’
contient pour p m, une
unique
valeur propre de~1
= m, dont lamultiplicite
est m + 1.III. INDICE DES APPLICATIONS
HOMOTHETIQUES
Dans le cas ou
1’ application ~
esthomothetique (i. e.
=k2 g,
ouk G
R),
lap-tension
ou p G[2, +oo[,
estproportionnelle
a lacourbure moyenne de
~.
Parsuite, 1’ application ~
estp-harmonique
si etseulement si elle est minimale.
Or,
une immersion minimale est unpoint critique
de la fonctionnelle volume.A
cetitre,
ellepossede
un autre indicede Morse note
Indv (~).
THEOREME 4. -
Soit cp
une immersionhomothétique
minimale d’une variété riemanniennecompacte (M, g)
dans une variété(N, g’).
Pour tout p > 2on a
ou I est l’identité de M. De
plus, si 03C6
est totalementgéodésique (i.e. ~03C6 d03C6
=0),
alors on aPreuve. -
Comme
esthomothetique,
est constante et on a(cf. (3))
pour tous
V,
W E r(~),
Notons
rT (~)
le sous-espace de F(~)
forme deschamps d~ (X),
où Xest un
champ
de vecteurs sur M. La restriction deHZ
arT (~)
est donneepar
(voir
parexemple [3],
lemme2.5) :
où k est la constante telle que
03C6* g’ = k2
g. Deplus,
on acar,
comme §
esthomothetique,
la forme~~ d~ prend
ses valeursdans
lefibre normal de
~).
Lereport
de(11)
et(12)
dans(10)
donneVol. 2-1996.
240 A. EL SOUFI ET A. JEUNE
On en deduit
immediatement
lapremiere
insertion du theoreme.Supposons maintenant ~
totalementgeodesique
et notonsrN (~) l’ espace
des
champs
normaux lelong
de~.
On a alors r(~)
=TT rN
Nous allons montrer que, pour tout
d~ (X)
ErT (~)
et tout V ErN (~),
on a
En
effet, comme §
est totalementgeodesique,
on a, pour tousX, Y,
Zchamps
de vecteurs surM,
et donc par
consequence,
Par
ailleurs,
la formule de Weitzenbock[1] ]
donne dans le cas totalementgeodesique
Le report ae ( t 5), (10) et
(17)
dans(3)
donne(14).
Lapropriete d’ orthogonalite
pourHp qu’exprime (14)
entrmne :ou Ind
(HP ) (resp.
Ind(H~ ))
est l’ indice de la restrictionHP (resp. Hy )
de la forme
rT (~) (resp.rN (~)). Or,
on vient de voir(d’apres (13))
que
D’autre
part,
la formeHp
=(d~)
estproportionnelle,
dans le cas totalement
geodesique,
a la variation seconde du volume en~ (cf [10]).
D’ouLa seconde assertion decoule alors de
(18), (19)
et(20)..
Annales de l’Institut Henri Poincaré -
Notons
l’injection canonique
de ~m danssn,
ou m n. Simonsmontre dans
[ 10]
queIndv (I~, n )
= n - m. La combinaison de ce resultatavec ceux du theoreme 4 et du corollaire 1 donne le COROLLAIRE 2. - On a
Soit : I~ C P"2 l’immersion
canonique
de ~"~ dansl’ espace projectif complexe
C P’n de dimension reelle 2 m. Cette immersion esthomothetique
et totalementgeodesique
et on a(cf [3])
D’ ou le
COROLLAIRE 3. - On a
IV. APPLICATIONS
p-HARMONIQUES
DE LASPHERE
Soit
G (m)
le groupe desdiffeomorphismes
conformes deL’espace
C des
champs
conformes de S’n est la somme directe del’espace K
deschamps
deKilling
et del’espace
A deschamps gradients
despremieres harmoniques spheriques :
pour tout a e on note a legradient
dansde la
fonction x ~ ~ x,
=a - ~ ~, a ) x),
on a alorsSoit §
uneapplication p-harmonique
de ~~ dans une variete riemannienne(N, g’ ) .
Dans ceparagraphe,
nous allons nous interesser a la restriction de lap-energie Ep
a la sous-varieteGm (?~) }
dontl’espace tangent en ~
est(C) (K) (A)
c r(~).
Le
premier
resultat que nous obtenons conceme la derivee seconde de cette fonction. Comme(K)
faitpartie
du noyau de la variation secondeHi
deEp,
il suffit de determiner la restriction deHi
ad03C6 (A).
Celle-ciest donnee par le
Vol. 13, n° 2-1996.
242 A. EL SOUFI ET A. JEUNE
THÉORÈME 5. -
Soit cP
uneapplication p-harmonique
non constante deSm dans une variété
(N, g’ ).
Pour tout a E on aEn
particulier,
(i)
si p m, alorsH03C6p
estdéfinie negative
sur(A)
et on a(ii)
si p m, alorsHp
estdéfinie positive
surd03C6 (A).
Il decoule de ce theoreme que, si p m
(resp.
p >m),
alors la restriction deEp
aGm (~~)
admet un maximum local(resp.
minimumlocal)
en~.
Le resultat suivant nous dit que ce maximum
(resp.
ceminimum)
est en faitglobal.
THEOREME 6. -
Soit cP
uneapplication p-harmonique
non constante deSm dans une variété
( N, g’ ) .
De
plus, l’égalité Ep
=Ep
n’a lieu quesi q
est une isométrie.(ii)
Si p > m, alors on aDe
plus, l’égalité Ep (03C6)
=Ep (03C6
o03B3)
n’a lieu quesi q
est une isométrie.Pour p = m,
Em
est constant surGm (~) (ceci peut
se voir commeapplication
de la formule dechangement
devariable).
La preuve de ces théorèmes nécessite les lemmes suivants :
LEMME l. -
Si q
est undiffeomorphisme conforme
d’une variété riemannienne(M, g),
alors pour tout p >2,
on aou a est
la fonction
telle que~y*
g =cx2
g.Preuve. -
Comme ,
est conforme on am a2
et donc(cf (1))
Si l’on note D la connexion de Levi-Civita
de 9
=cx2
g, alors on a(car,
est undiffeomorphisme isometrique
de(M, g)
sur(M, g)).
Ona donc
et, dans un
repere
orthonormelocal {
e2~i,
Or,
on aOn en deduit
D’ ou le lemme
1..
LEMME 2. - Si
(M, g), (N, g’)
et(P, g")
sont trois variétés riemannienneset M ~ N : N ~ P sont des
applications différentiables,
alorsCe lemme s’ obtient sans difficulte a
partir
de(2)
et del’expression
deT2 donnee dans
[ 1 ] .
Une
application
des deux lemmesprecedents
est leLEMME 3. - Soient
(M, g)
et(N, g’)
deux variétés riemanniennes,:
: M ~ N uneapplication différentiable
et q undifféomorphisme conforme
de(M, g).
Pour tout p > 2 on aou a est telle que
244 A. EL SOUFI ET A. JEUNE
Preuve. - i est un
repere
orthonorme local auvoisinage
d’unpoint
xEM,
i est unrepere
orthonorme local auvoisinage
On a donc(lemme 2),
et
Le
report
de la formule du lemme 1 dans(21)
donne le résultat..Pour tout a E on
designe
par le groupe a 1parametre
dediffeomorphismes
conformesengendre
par lechamp
a sur On noteat
la fonction telle que(03B3at )*
can =(cxt ) 2
can, of can est lamétrique canonique
deD’ apres [5],
on aLEMME 4. -
Soit 03C6
uneapplication p-harmonique (p
>2)
de Sm dans unevariété riemannienne
(N, g’ ).
Pour tout a ERm+1/{ 0}
et toutto
ER,
on aPreuve. - La formule de la variation
premiere (2)
donne :Or,
on aLe lemme 3 nous donne
donc,
avec Tp(~)
=0,
linéaire
le resultat en decoule immediatement.
Preuve du théorème 5. - On a
Il suffit donc de deriver en
to
= 0 le membre de droite de la formule du lemme 4. Lapresence
de shto
rend ce calcul immediat :Il est clair que si p m
(resp.
p >m),
alorsHt
est définienegative
(resp.
définiepositive)
sur(A).
Pour p m on a doncOr, d’ apres [3],
on sait que, pour touteapplication §
non constante, on adim
d~ (A)
= dim A = m + 1. NPreuve du théorème 6. - Dans la formule du lemme
4,
le membre de droite ne s’ annule que sito
= 0 ou si d(a)
= 0.Mais, d’après [3],
cette dernière condition
entraine, pour a ~ 0, que 03C6
o(et
donc03C6)
est constante.
Comme §
est non constante on en deduit que, si p m(resp. p m), alors,
pour tout a E(~"2+1 ~ ~ 0 ~,
la fonction t ~--~Ep
est strictement decroissante
(resp.
strictementcroissante)
sur l’intervalle[0, +oo [
et on a, pour tout t >0,
(resp. Ep (1
>Ep (~)). Or,
on a(cf [4])
On en deduit que, si p m
(resp.
p >m), alors,
pour tout ~y = EG (m),
on a(resp. Ep (03C6 o 03B3)
>Ep (03C6)).
Deplus, l’égalité Ep (03C6
o03B3)
=Ep (03C6)
n’a lieuRemarque. -
Onpeut
vérifier tres facilement que le theoreme 6 reste valable sousl’hypothèse plus
faible suivante : en toutpoint x
de(x)
estorthogonal
a Noter que cettehypothèse
est vérifiée en
particulier
par toutes les immersionshomothetiques (dans
cecas Tp
(~)
estproportionnel
a la courburemoyenne).
246 A. EL SOUFI ET A. JEUNE
V. APPLICATIONS
p-HARMONIQUES
A VALEURS DANS SnSoit §
uneapplication p-harmonique
d’une varietecompacte (M, g)
dans Dans ce
paragraphe,
nous nous interessons a la restriction de lap-energie
a la sous-varieteGn (~~ _ ~ ~y
o~;
q EG (n) ~
dont1’espace
tangent en ~
estC~ = I~~
0A~
c r(~)
ouK~ _ ~ X
o~;
Xet
A~ _ ~ a
o~~;
a E(~n+1 ~ (les
notations sont celles duparagraphe precedent).
Laaussi,
le sous-espaceK~
faitpartie
du noyau deHt.
Larestriction de
Ht
aA~
est donnee par laPROPOSITION 4. -
Soit 03C6
uneapplication p-harmonique
non constante(p
>2)
d’une variété riemanniennecompacte (M, g)
dans Pour touta E on a
ou
03C6a = a ).
Enparticulier, si 03C6 (M)
est contenue dans unesphere
totalement
géodésique
de dimensionk, alors,
Par un raisonnement
identique
a celui utilise dans[2],
théorème2.4,
nous en déduisons le
THÉORÈME 7. - Toute
application p-harmonique
non constante(p
>2)
d’une variété
compacte (M, g)
dans Snvérifie
De
plus,
sil’égalité
alieu, alors § (M)
est contenue dans unesphere
totalement
géodésique
de dimension p.L’ optimalite
de cette minoration decoule du corollaire 2.Pour avoir des resultats du meme
type
que ceux duprecedent paragraphe,
nous sommes amenes a nous restreindre au cas des
applications
dont letenseur de
p-energie-impulsion
estpositif.
Ce tenseur, noteSp (~),
estdonne par
Pour tout x on pose
Le tenseur
Sp ( ~~)
est ditpositif (resp.
definipositif)
aupoint x
siAnnales de l’Institut Henri Poincaré - linéaire
Notons que:
(I) trg Sp (§)
=(Tn - p) ]d§[P /p.
Parsuite,
si p>
Tn, alorsSp (§)
n’ estjamais
définipositif.
(ii)
Si§
esthomothétique,
alorsSp (§) = (1 p - 1 m) ]d§]P
est définipositif
pour tout p Tn.(1 p - 1 m)
(iii)
Si§
esthorizontalement
conforme(cf [I]),
alors on aS§ (§)
=(1 p - 1 n) ]d§[P et Sp (§)
est défini positif
si et seulement si p n
THÉORÈME 8. - Soit
§
uneapplication p-harmonique (p > 2)
d’unevariété riemannienne compacte
(M, g)
dans Sn. Si le tenseur dep-énergie- impulsion
de§
estdéfini positif
surM,
alorsH)
estdéfinie négative
surA~#
et on aIl découle de ce théorème que, si
Sp (03C6)
est définipositif,
alors larestriction de
Ep
aGn (03C6)
admet un maximum local en03C6.
Le résultatsuivant nous dira que ce maximum est en fait
global.
THÉORÈME 9. -
Soit p
uneapplication p-harmonique (p > 2)
d’unevariété riemannienne compacte
(M, g)
dans Si le tenseur dep-énergie- impulsion Sp (03C6) de 03C6
estpositif
surM,
alorsDe
plus, si Sp
estdéfini positif,
alorsl’égalité Ep (03B3
o03C6) = Ep
n’alieu que est une isométrie.
La preuve de ces résultats nécessite le lemme suivant :
LEMME 5. - Soient
(M, g)
et(N, g’)
deux variétésriemanniennes, cp
uneapplication différentiable
de M dans Net q
undiffeomorphisme conforme
de
(N, g’).
Pour tout p > 2 on aoli a telle que
~y* g’ = c~2 g’.
Preuve. - On a, dans un
repere
orthonormelocal {
de M :Vol. 13, n° 2-1996.
248 A. EL SOUFI ET A. JEUNE et
(cf
preuve du lemme1)
Le
report
de(22)
et(23)
dans la formule du lemme 2 donne le résultat.Avec les notations du
paragraphe precedent
on a :LEMME 6. -
Soit cp
uneapplication p-harmonique
d’une variétécompacte
(M, g)
dans Pour tout a E et toutto
E R on a :Preuve. - La formule de la variation
premiere
donne :car
D’ apres
le lemme5,
et comme Tp(~)
=0,
on aOr,
on aet, dans un
repere
orthonormelocal { ei }i
deM,
Le
report
de(25)
et(26)
dans(24)
donne le résultat.Preuve de la
proposition
4. - En dérivant ento
= 0 la formule du lemme 6 on obtientMaintenant, si ~ (M)
est contenue dans unek-sphere,
alors il existe unsous-espace E de dimension k +1 de tel
qu’on ait ~ (M)
c E. Pourtout a E
complementaire orthogonal
deE,
on a~~
= 0 et doncD’ ou, Ht
est définienegative
sur leE| }.
Comme 1
est non constante on a dim c = dimE~-
= n - k(en effet, 1’ application
linéaire 03B1 ~ 03B1o 03C6
de dans r( 1)
estinjective
car a nes’annule sur ~n
qu’aux
Parsuite,
on aPreuve du théorème 8. - Par un raisonnement
identique
a celui utilise dans la preuve du theoreme 2.5 de[2]
onpeut
montrer queLe
report
de(27)
dans la formule de laproposition
3 montre que, sousFhypothese « Sp (~)
définipositif », Hp
est definienegative
sur lesous-espace
~4~
et doncqu’on
aVol. 13, n° 2-1996.
250 A. EL SOUFI ET A. JEUNE
Preuve du théorème 9. - Le
report
de(27)
dans la formule du lemme 6 montre que, sous1’ hypothese « Sp ( ~) positif » (resp. « Sp ( ~)
definipositif »)
la fonction t ~Ep
o~)
est decroissante(resp.
strictementdecroissante)
sur[0, +oo[ [
et doncqu’ on
a, pour tout et tout t >0,
Ep (,
o4) Ep (4) (resp. Ep (,
0Ep
Ceci suffit pour montrer le theoreme 9
(cf
preuve du theoreme6)..
REFERENCES
[1] J. EELLS et L. LEMAIRE, Selected topics in harmonic maps, C.B.M.S. Regional Conf.
Ser. 50, A.M.S., Providence, 1983.
[2] A. EL SOUFI, Applications harmoniques, immersions minimales et transformations conformes de la sphère, Compositio Math., vol. 85, 1993, p. 281-298.
[3] A. EL SOUFI, Indice de Morse des Applications harmoniques de la sphère, Compositio Math., vol. 95, 1995, p. 343-362.
[4] A. EL SOUFI et S. ILIAS, Immersions minimales, première valeur propre du Laplacien et
volume conforme, Math. Ann., vol. 275, 1986, p. 257-267.
[5] A. EL SOUFI et S. ILIAS, Une inégalité du type « Reilly » pour les sous-variétés de l’espace hyperbolique, Comment. Math. Helv., vol. 67, 1992, p. 167-181.
[6] A. EL SOUFI et A. JEUNE, Indice de Morse des Applications p-harmoniques, C. R. Acad.
Sci. Paris, t. 315, série I, 1992, p. 1189-1192.
[7] A. JEUNE, Thèse, Université de Tours, 1993.
[8] P. F. LEUNG, On the stability of harmonic maps, Lecture Notes in Math. n° 949, 1982, p. 122-129.
[9] E. MAZET, La formule de la variation seconde de l’énergie etc., J. Diff. Geom., vol. 8, 1973, p. 279-296.
[10] J. SIMONS, Minimal varieties in Riemannian manifolds, Ann. of Math., vol. 88, 1968, p. 62-105.
[11] R. T. SMITH, The second variation formula for harmonic mappings, Proc. Amer. Math.
Soc., vol. 47, 1975, p. 229-236.
[12] K. UHLENBECK, Minimal Spheres and other conformal Variationnal problems, Seminar on
Minimal Submanifolds, Princeton University press, 1983, p. 169-176.
[13] Y. L. XIN, Some results on stable harmonic maps, Duke Math. J., vol. 47, 1980, p. 609-613.
[14] K. YANO et S. BOCHNER, Curvature and Betti numbers, Ann. of Math. Studies, n° 32, Princeton Univ. press, 1953.
(Manuscrit reçu le 16 juin 1994;
version révisée reçue le 23 janvier 1995. )
Annales de l’Institut Henri Poincaré - linéaire