Unités elliptiques, indice et <span class="mathjax-formula">$\mathbf{Z}_p$</span>-extensions

BLAISE PASCAL

Hassan Oukhaba

Unités elliptiques, indice et Z_p-extensions Volume 16, n^o1 (2009), p. 165-188.

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Clermont-Ferrand — France

cedram

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Unités elliptiques, indice et Z

-extensions

Hassan Oukhaba

Résumé

Cet article rend compte de résultats sur les unités elliptiques prouvés récem- ment par l’auteur concernant l’indice des groupes engendrés par ces unités et son comportement dans lesZp-extensions.

1. Introduction

Cet article est consacré aux unités elliptiques. Lesquelles, rappelons le, interviennent de manière critique dans l’arithmétique des courbes ellip- tiques à multiplication complexe. Nous présentons ci-dessous deux résul- tats importants, à savoir le Théorème 2.8 et le Théorème 3.16. Le Théo- rème 2.8 donne l’indice du groupe de Kubert-Lang défini au paragraphe 2. Signalons que dans le cas des corps de rayon on peut prouver des ré- sultats nettement plus précis. Voir [4], [5] et [6]. Dans le Théorème 3.16 on rend compte du comportement dans les Zp-extensions du quotient de la p-partie de l’indice des unités elliptiques de Rubin, cf. Définition 3.1, par lap-partie du nombre de classes d’idéaux. On exhibe ainsi un certain µ∞-invariant qui contrôle ce comportement. On donne une condition suf- fisante, portant sur les groupes de décomposition, pour que cet invariant µ∞ s’annule.

Notation 1.1. Tous nos corps sont supposés plongés dans le corps des nombres complexes C. On fixera k, un corps quadratique imaginaire et on notera H son corps de classe de Hilbert. Le degré [H :k]sera noté h.

Soit F une extension abélienne finie de k. Alors on noteraO_F (resp.O^×_F) l’anneau des entiers (resp. le groupe des unités) deF. Le groupe des racines de l’unité de F sera notéµ_F, son ordre w_F. Soit a un idéal fractionnaire de k. Alors on notera ¯a l’image de a par la conjugaison complexe. Si a est entier alors on notera ˆa le produit des idéaux premiers de O_k qui

Mots-clés :Unités elliptiques, indice,Zp-extensions.

Classification math. :11G16, 11R23.

divisenta. Siaest premier au conducteur deF/kalors on notera(a, F/k) l’automorphisme de F/k associé à a par l’application d’Artin. Souvent on aura recours à la notation GF pour désigner le groupe Gal(F/k). Le groupe d’inertie dansF/kd’un idéal premierpdeO_ksera notéT_p(F). Soit m un idéal deO_k. Alors nous noterons km le corps de rayon de kmodulo m. On noteraN(m)(resp.e_m) le cardinal de l’idéalO_k/m(resp.Z/Z∩m).

Le nombre de racines de l’unité de k qui sont équivalents à 1 modulo m sera notérm. SiX est un ensemble fini alors nous noterons aussi bien#X ou |X|son cardinal.

2. Le groupe des unités elliptiques de Kubert-Lang

Dans ce qui suit nous allons introduire et étudier un groupe d’unités elliptiques de F que nous noterons Ω_F. Bien que légèrement distinct du groupe introduit par D. Kubert et S. Lang dans [3], page 314 nous l’ap- pelons groupe de Kubert-Lang puisque c’est cette référence qui nous a inspiré pour définir ΩF.

2.1. Le groupe Ω_F

Comme ingrédient important nous utiliserons les quotients de discrimi- nants. Rappelons que le discriminant d’un réseauL de Cest

∆(L) =g2(L)³−27g3(L)², discriminant de l’équation

℘⁰(z, L)² = 4℘(z, L)³−g₂(L)℘(z, L)−g₃(L),

satisfaite par la fonction ℘(z, L) de Weierstrass et sa dérivée ℘⁰(z, L). Il est facile de vérifier que pour tout λ∈C^× on a∆(λL) =λ⁻¹²∆(L). La théorie de la multiplication complexe permet de montrer que pour tout idéal fractionnaire ade k le quotient

∆(O_k)

∆(a) ∈H, (2.1)

et engendre l’idéal a¹²O_H. De plus, si τ ∈Gal(H/k) alors on a ∆(O_k)

∆(a) τ

= ∆(b)

∆(ab),

oùbest un idéal fractionnaire quelconque deksatisfaisant(b, H/k) =τ⁻¹. Remarquons qu’étant donnés σ ∈Gal(H/k),a idéal fractionnaire dek et x∈ktels que (a, H/k) =σ⁻¹ et a^h=xO_k, alors le nombre

ϕ₍₁₎(σ) =x¹²∆(a)^h,

ne dépend que deσ. Ces invariants nous serviront plus loin. Quant aux in- variants de Ramachandra, leur construction nécessite l’introduction, pour tout réseau L de C, de la fonction σ(z, L) de Weierstrass ainsi que la fonction f(z, L) de Klein. Par définition

σ(z, L) =z ^Y

ω∈L

(1− z

ω)e^ωz+12(ωz)2.

On obtient ainsi une fonction holomorphe surC, avec des zéros simples aux points du réseauL. De plus, pour toutλ∈C^×on aσ(λz, λL) =λσ(z, L).

Sa dérivée logarithmique ζ(z, L)est appelée fonction zeta de Weierstrass.

Elle est égale à la somme infinie ζ(z, L) = dlog(σ(z, L))

dz = 1 z +^X

ω∈L

( 1 z−ω + 1

ω + z ω²)

qui converge absolument et uniformément sur tout compact deC−L, défi- nissant ainsi une fonction méromorphe surC. Ses pôles forment l’ensemble L et sont tous simples. On a aussi la relation

dζ(z, L)

dz =−℘(z, L).

Comme ℘(z, L) est elliptique de réseau L, il exist un homomorphisme de groupes η(., L) :L−→C, tel que on a

η(ω, L) =ζ(z+ω, L)−ζ(z, L),

pour tout ω∈L et tout z∈C−L. D’où l’on peut déduire l’identité σ(z+ω, L) =ψ(ω)e^{η(ω,L)(z+12ω)}σ(z, L),

où ψ(ω) = 1 si ω ∈2L etψ(ω) =−1 sinon. Prolongeons η(., L) au corps C de manière à obtenir une application R-linéaire de Cdans lui-même, et considérons ensuite la fonction

f(z, L) =e^{−η(z,L)z/2}σ(z, L). (2.2)

De ce qui précède on peut déduire la loi de transformation de la fonction de Klein, c’est à dire, pour tout ω∈Let tout z∈C−Lon a

f(z+ω, L) =ψ(ω)e(Im(zω/2M(L)))f(z, L),¯

où e(x) = e^2πix etM(L) est la mesure du tore C/L. Si (ω1, ω2) est une base deLalorsM(L) =|Im(ω₁ω¯₂)|. Enfin, considérons la fonctionϕ(z, L) définie de la façon suivante

ϕ(z, L) =f(z, L)¹²∆(L). (2.3) Vue ce qui précède on a la propriété d’homogénéité ϕ(λz, λL) = ϕ(z, L).

Soit m6= (1) un idéal propre de O_k. Soient σ ∈Gal(k_m/k) et a un idéal de O_k premier à m, tels queσ = (a, km/k)alors le nombre

ϕm(σ) =ϕ(1,a⁻¹m)^em

est non nul et ne dépend que de σ. On l’appelle l’invariant de Ramachan- dra. Grâce à la théorie de la multiplication complexe on peut montrer que

ϕ_m(σ)∈ O_km et ϕ_m(σ)^σ0 =ϕ_m(σσ⁰),

pour tousσ, σ⁰∈Gal(k_m/k). Dans [9], G. Robert montre que les fonctions ϕ(z, L) vérifient des relations de distribution très remarquables puis en déduit, grâce notamment aux propriétés énumérées ci-dessus, les formules de norme suivantes. Soit qun idéal premier de O_k. Alors on a

N_kmq/km(ϕ_mq(1))

rm rmq =























ϕm(1)

emq

em , siq|m

[ϕm(1)]

emq

em(1−(q,km/k)⁻¹)

, siq-metm6= (1)

∆(O_k)

∆(q) eq

, sim= (1).

(2.4) Vu que les invariants de Ramachandra sont des entiers algébriques les formules de normes ci-dessus permettent de déduire que ϕ_m(1) est une unité dekm simest divisible par au-moins deux idéaux premiers. Dans le cas où m=q^e,qun idéal premier de O_k, alors

ϕ_m(1)O_km =q^u_m, (2.5)

où q_m est le produit des idéaux premiers de k_m qui divisent q et u :=

12 w_krmem.

Les deux formules limites de Kronecker peuvent s’énoncer comme suit.

Posons h_m =h si m= (1)eth_m= 1 sinon. Soitχ un caractère complexe non trivial de Gal(km/k). Alors on a

L⁰(0, χ) =− 1 12rmemhm

X

σ∈Gm

χ(σ) log(|ϕ_m(σ)|²), (2.6) où Gm= Gal(km/k)ets7−→L(s, χ)est la fonctionLassociée àχ, définie pour les nombres complexess tels queRe(s)>1, par le produit Eulérien

L(s, χ) =^Y

l-m

1−χ(l)N(l)^−s−1,

où ldésigne tous les idéaux premiers de O_k qui ne divisent pasm. cf. [2].

Soit fle conducteur de l’extensionF/k. Si f6= (1)alors pour tout idéal g6= (1) de O_k qui divise fon pose

ϕF,g =N_kg/kg∩F(ϕg(1))^e(f,g), e(f,g) = wkef

rgeg

. (2.7)

Définition 2.1. Nous noterons Q le sous-groupe de H^× engendré par tous les quotients

∆(a)

∆(b),

où a etb désignent deux idéaux fractionnaires quelconques dek.

Définition 2.2. Posons Q_F = N_H/H∩F(Q)^ef. Alors, le sous-module ga- loisien de F^× engendré par µ_F,Q_F et par tous les ϕ_F,g (g|f et g 6= (1)) sera noté P_F. De plus on posera

Ω_F =P_F ∩ O_F^×

2.2. L’indice [O^×_F : Ω_F]

Afin d’aller plus loin nous devons décrire l’image deP_F par l’application logarithme l_F :F^× −→ R[G_F], où R[G_F]est l’anneau de groupe de G_F sur le corps des nombres réels, définie pour x∈F^× par

lF(x) =− ^X

σ∈GF

log(|x^σ|²)σ⁻¹.

L’application lF est unGF-homomorphisme vérifiant kerlF ∩ O^×_F =µF.

Associons à tout caractère complexe χde G_F l’idempotent eχ= 1

|G_F| X

σ∈G_F

χ(σ)σ⁻¹ ∈C[GF].

Soient f_χ le conducteur de χ, et χpr le caractère primitif de Gal(kfχ/k) déterminé par χ. Si χ est non trivial alors la fonction L(s, χ_pr) admet un prolongement analytique à tout le plan complexe, avec 0 comme zéro simple, cf. [16] Proposition 3.4, page 24. On posera

ω_F = 12w_ke_f ^X

χ6=χ₀

L⁰(0,χ¯_pr)e_χ∈R[G_F] et l_F^∗ = (1−e_χ0)l_F,

où χ0 est le caractère trivial de GF. Posons RF = Z[GF]. Nous allons introduire maintenant un certain R_F-sous-moduleU_F de Q[G_F]. Celui-ci est intimement lié au groupe P_F. Son étude est un point clef de toutes nos investigations sur les unités elliptiques. Mais fixons d’abord quelques notations. Si Dest un sous-groupe de G_F alors on pose

s(D) = ^X

σ∈D

σ ∈R_F.

Soit p un idéal premier deO_k. Alors on pose (p, F) =F_p⁻¹s(Tp(F))

#T_p(F) ,

oùFpest un automorphisme de Frobenius associé àpdansF/k. On posera T₍₁₎(F) = {1} et pour tout diviseur r 6= (1) de f on note T_r(F) le sous- groupe de G_F engendré par les groupes d’inertie T_p(F),p|r.

Définition 2.3. Soit s un diviseur de ˆf. Si s 6= (1) alors on note U_s ou Us,F le RF-sous-module deQ[GF]engendré par les éléments

α(r,s) =s(T_r(F))^Y

p|^s

r

(1−(p, F)), r|s.

De plus on pose U₍₁₎ =U_(1),F =R_F etU =U_F =U_ˆf,F.

Le lien entre les différents objets que nous venons d’introduire est donné par la proposition suivante où pour tout R_F-module M on a noté M0 le noyau dansM de la multiplication pars(G_F)

Proposition 2.4. On a l^∗_F(P_F) =ω_FU0.

Démonstration. Il est possible de montrer un résultat plus précis. En effet, soient u etv deux diviseurs de f premiers entre eux et tels queuv=f. Si u 6= (1)alors on a

l_F^∗(ϕ_F,u) =ω_Fα(ˆv,ˆf).

En effet, cela revient à vérifier l’identité

l^∗_F(ϕ_F,u)e_χ=ω_Fα(ˆv,ˆf)e_χ, (2.8) pour tout caractère complexe de GF. Ceci est évident pour le caractère trivialχ₀. Supposonsχ6=χ₀. Siχn’est pas trivial surT_v(F) = Gal(F/F∩ k_u)alors on a nécessairementl^∗_F(ϕ_F,u)e_χ=ω_Fα(ˆv,ˆf)e_χ= 0. Siχest trivial sur ce groupe alors on peut voirχcomme caractère deGal(ku/k). D’après (2.6) on a

l^∗_F(ϕ_F,u)eχ= 12w_ke_fL⁰(0,χ)[F¯ :F ∩ku]eχ. Or par définition on a

ωFα(ˆv,ˆf)eχ= 12wkefL⁰(0,χ¯pr)[F :F∩ku]^Y

p|u

(1−χ¯pr(p))eχ.

L’égalité (2.8) découle maintenant de la relation L⁰(0,χ) =¯ ^Y

p|u

(1−χ¯pr(p))L⁰(0,χ¯pr).

De même on vérifie l’identité l_F^∗(N_H/F∩H ∆(a)

∆(O_k))^ef=ω_Fα(ˆf,ˆf)(τ_a−1) =ω_Fs(Gal(F/F∩H))(τ_a−1), (2.9) où aest un idéal fractionnaire dek etτ_a est un prolongement quelconque de (a, H/k) à F. Et ceci complète la preuve de la proposition.

Notre formule d’indice pour le groupeΩF fait intervenir la notion d’in- dice généralisé de Sinnott que nous allons rappeler ci-dessous. Soit ` un nombre premier et soit v<sub>`</sub> la valuation normalisée associée à`(v<sub>`</sub>(`) = 1).

Soit F un corps choisi parmi Q, Q_{`</sub> ou R. Posons o = Zsi F est égal à Q ou R et o=Z<sub>`} siF=Q_`. Soit E un F-espace vectoriel de dimension finie d. Rappelons qu’un réseau Λ de E est un sous-o-module libre de E, de rang d et tel que le F-espace vectoriel engendré par Λ est égal à E.

Étant donné deux réseaux M etN de E, on définit l’indice (M :N) =

(|det(γ)| siF=Q ouR

`<sup>v`(det(γ))</sup> siF=Q`,

où γ est un endomorphisme du F-espace vectoriel E tel que γ(M) =N. Nous renvoyons le lecteur à [14] où sont démontrées les propriétés les plus remarquables de cette notion. Ici on est concerné par lesRF-modulesUs,F. On peut montrer, exactement comme dans [14] Lemma 5.1, que U_s,F est un réseau de Q[GF]. De plus, siq est un idéal premier deO_k qui divise f mais ne divise pas s alors l’indice (U_s,F :U_sq,F), qui est donc bien défini, est un entier dont l’ensemble des diviseurs premiers est inclus dans celui de #Tq(F). Ainsi, si on note s₀, . . . ,s_t les idéaux définis par les relations s₀= (1)ets_i+1=s_ip_i+1, oùp₁, . . . ,p_tsont les idéaux premiers qui divisent f, alors la décomposition

(R_F :U_F) =

t−1

Y

i=0

(U_si,F :U_si+1,F)

de (R_F : U_F) comme produit des indices (U_si,F : U_si+1,F) montre que (RF :UF)∈ N. De plus, si ` est un nombre premier tel que `|(R_F :UF) alors ` divise #Gal(F/F ∩H). Nous reviendrons plus loin sur l’indice (RF :UF) pour étudier son comportement dans desZp-extensions.

Proposition 2.5. U0 et ωFU0 sont des réseaux deR[GF]0. De plus, on a (U₀ :ω_FU₀) = (12w_Ke_f)^[F:k]−1 w_k

w_F

Reg(F)h_F

h , (2.10)

oùh_F (resp.Reg(F)) est le nombre de classes d’idéaux (resp. le régulateur) de F.

Démonstration. Il est clair que la multiplication par ωF est un isomor- phisme de R[G_F]₀. Aussi suffit-il de prouver que U₀ est un réseau de R[GF]0. En fait, il suffit de montrer que U0 est un réseau de Q[GF]0, ou encore, que son Z-rang est égal à [F : k]−1. Or U₀ est un R_F-module dont il est facile de vérifier que pour tout caractère complexe non trivial de G_F on aU0eχ6= 0. Ce qui prouve queU0 a le rang qu’il faut. De plus, on a

(U0:ωFU0) =|detωF|= ^Y

χ6=χ0

ωFeχ.

Il suffit maintenant de revenir à la définition de ω_F et d’utiliser la formule analytique pour le nombre de classes, c’est à dire

h_FReg(F) w_F = h

w_K Y

χ6=1

L⁰(0, χ_pr).

Définition 2.6. Nous posons d(F) = [P_F^wF ∩k :Q^w_F^F ∩k], et pour tout idéal premier p de O_k nous noteronskp^∞ l’extension abélienne maximale de k non ramifiée en dehors dep.

Théorème 2.7. On a l’identité

d(F)[l^∗_F(P_F) :l_F(Ω_F)] = [F∩H:k]^Y

p

[F ∩k_p^∞ :F∩H], (2.11) où p décrit l’ensemble des idéaux premiers de O_k. De plus, si H ⊂F ou F ⊂H alors d(F) = 1

Démonstration. Posons P⁰ = P_F^wF et Ω⁰ = Ω^w_F^F. Alors on a l’égalié des indices [l^∗_F(P_F) : l_F^∗(Ω_F)] = [l^∗_F(P⁰) : l^∗_F(Ω⁰)]. Posons aussi Q⁰ = Q^w_F^F et

∆⁰ =Q⁰∩ O_F^×. On a

Q⁰∩kerl^∗_F =Q⁰∩k et P⁰∩kerl^∗_F =P⁰∩k.

En conséquence on obtient le diagramme commutatif suivant

1 1 1



 y



 y



 y 1 −−−−→ Q⁰∩k −−−−→ Q⁰/∆^{0 l}

∗

−−−−→F l^∗_F(Q⁰)/l^∗_F(∆⁰) −−−−→ 1



 y



 y



 y 1 −−−−→ P⁰∩k −−−−→ P⁰/Ω^{0 l}

∗

−−−−→F l^∗_F(P⁰)/l_F^∗(Ω⁰) −−−−→ 1 dont les lignes et les colonnes sont exactes. Les colonnes correspondent à l’inclusion. Le lemme du serpent nous donne alors

[l^∗_F(P⁰) :l^∗_F(Ω⁰)]

[l^∗_F(Q⁰) :l^∗_F(∆⁰)] = [P⁰/Ω⁰ :Q⁰/∆⁰] [P⁰∩k:Q⁰∩k]. Posons s(F/F ∩H) =s(Gal(F/F ∩H)). D’après (2.9) on a

l^∗_F(Q⁰) =ωFs(F/F∩H)(RF)0 et l^∗_F(∆⁰) =ωFs(F/F∩H)(RF)²₀], d’où l’on déduit

[l^∗_F(Q⁰) :l^∗_F(∆⁰)] = [F∩H:k]

Calculons [P⁰/Ω⁰ : Q⁰/∆⁰]. Nous pouvons supposer f 6= (1). Soient alors p₁, . . . ,p_t les idéaux premiers de O_k qui divisentf, et fixonsp⁰₁, . . . ,p⁰_t des idéaux premiers de O_F choisis de sorte que p_i ⊂ p⁰_i. Alors, on obtient

un homomorphisme de groupes abéliens v_F :F^× −→Z^t, qui à x associe v_F(x) = (v₁(x), . . . , v_t(x)), où v_i est la valuation normalisée associée à p⁰_i. D’après (2.5) on a

v_F(P⁰) = 12e_fw_F[H :F∩H] e(F/F∩k_p^e1

1 )Z, . . . , e(F/F∩k_p^et

t )Z, où p^e_iⁱ est l’exacte puissance dep_i qui divisef ete(F/F∩k_pei

i )est l’indice de ramification en p_i dansF/F ∩k_pei

i . De même on a

v_F(Q⁰) = 12e_fw_F[H :F∩H] #T_p1(F)Z, . . . ,#T_pt(F)Z. De plus, comme on a P⁰∩v⁻¹_F (Q⁰) = Ω⁰Q⁰ on obtient

[P⁰/Ω⁰:Q⁰/∆⁰] =

t

Y

i=1

[F ∩k_pei

i :F∩H].

Ce qui complète la preuve de la première partie du Théorème. D’autre part si F ⊂ H alors P⁰ = Q⁰ et dans ce cas on a bien sûr d(F) = 1.

Supposons que H ⊂F. Soit x∈ P_F. On peut montrer (cette vérification est laissée au lecteur) qu’il existe une extension abélienne finie M de k, y ∈M etα∈ktels que

x=α^12efy^12wkef.

Si de plus on a x^wF ∈kalors on sait d’après Lemma 6 de [15] que y^12wkwFef=ζz^12wFef, avec ζ ∈µk et z∈k.

Remarquons que ζ ∈ µ_k∩F^wF = {1}. D’où x^wF ∈ (k^×)^12wFef ⊂ Q⁰. Le

théorème est maintenant entièrement démontré.

Nous arrivons maintenant au résultat principal de ce paragraphe Théorème 2.8. On a

[O_F^×: Ω_F] = (12w_ke_f)^[F:k]−1

wF

wk

h_F [H :H∩F]

Q

p[F ∩kp^∞ :F∩H]

[F :F∩H]

(R_F :U_F) d(F) . De plus, si H⊂F ou F ⊂H alors d(F) = 1.

Démonstration. Comme kerl_F ∩ O^×_F = µ_F on a [O_F^× : Ω_F] = [l_F(O^×_F) : lF(ΩF)]. PosonsR=RF etU =UF. On a

[lF(O^×_F) :lF(ΩF)] = (R₀ :U₀)

(R0 :l^∗_F(O^×_F))(U0:l_F^∗(PF))(l_F^∗(PF) :lF(ΩF)).

Il n’est pas difficile de vérifier l’identité(R0 :l_F(O^×_F)) = Reg(F). De plus, les indices(U₀ :l^∗_F(P_F))et(l_F^∗(P_F) :l_F(Ω_F))sont donnés par les formules (2.10) et (2.11). La formule d’indice pour [O^×_F : ΩF] découle maintenant de l’égalité (R : U) = [F :F ∩H](R0 : U0). Pour la deuxième partie du

Théorème se reporter au Théorème 2.7.

3. Indice et Z_p-extensions

Dans ce paragraphe on suppose que H ⊂F et on s’intéresse au groupe des unités elliptiques deF défini par K. Rubin dans [13]§1. Les éléments de ce groupe que nous noterons C_F interviennent directement dans la construction de systèmes d’Euler, principal ingrédient dans la démonstra- tion de Rubin de la conjecture principale de la Théorie d’Iwasawa pour les corps quadratiques imaginaires. Ces mêmes systèmes d’Euler apparaîssent dans le récent travail de W. Bley où il étend en particulier les résultats de Rubin au cas presque général afin de les appliquer à la conjecture équiva- riante sur les nombres de Tamagawa, cf. [1].

Dans ce qui suit nous allons utiliser le Théorème 2.8 pour étudier le comportement du quotient [O^×_F : C_F]/h_F de [O^×_F : C_F] par h_F, dans les Z_p-extensions. Mais nous devons d’abord rappeler la définition de C_F. 3.1. Le groupe CF

La définition la plus élégante du groupeC_F utilise la famille de fonctions elliptiques Ψ(. ;L, L⁰) : z 7−→ Ψ(z;L, L⁰) introduites par G.Robert dans [12] et [10], paramétrées par les couples de réseaux (L, L⁰) de C tels que L⊂L⁰ et[L⁰ :L]est premier à6. L’intérêt de ces fonctions s’explique en partie par les résultats suivants, cf. [12] et [11].

Soit m 6= (1) un idéal de O_k. Soit a un idéal de O_k premier avec 6m alors Ψ(1;m,a⁻¹m)∈km. De plus, on a

Ψ(1;m,a⁻¹m)^12em =ϕ_m(1)^{N(a)−(a,km/k)}. (3.1) Soit q un idéal premier de O_k et soit a un idéal de O_k premier à 6mq . Alors on a les formules de normes suivantes

N_kmq/km(Ψ(1;mq,a⁻¹mq))

rm rmq =







Ψ(1;m,a⁻¹m) siq|m

Ψ(1;m,a⁻¹m)^{1−(q,km/k)−1} siq-m.

De plus on a

N_kq/H(Ψ(1;q,a⁻¹q))^12wkrq =∆(O_k)

∆(q)

N(a)−(a,H/k)

. (3.2)

Nous disposons maintenant du matériel nécessaire à la définition de C_F. Pour tout idéalm6= (1)deO_k, notonsC_F,m le sous-groupe deO^×_F engendré par µ_F et par les normes

N_km/km∩F(Ψ(1;m,a⁻¹m))^σ−1,

oùσ ∈Gal(F/k)etaparcourt l’ensemble des idéaux entiers dekpremiers avec 6m. Alors on pose

Définition 3.1. On note C_F le sous-groupe de O^×_F engendré par tous les C_F,m,m6= (1). On posera V_F =µ_FC_F^12wkef, oùf est le conducteur deF.

Le théorème 2.8 du chapitre 2 peut être reformulé comme suit.

[O_F^×:C_F] =h_F Q

p[F∩kp^∞ :F ∩H]

[F :F ∩H]

(R_F :U_F) d(F)

[Ω_F :V_F]

wF

w_k

, (3.3)

puisque H ⊂ F et donc d(F) = 1. C’est cette formule d’indice que nous exploiterons pour étudier le comportement du quotient[O^×_F :C_F]/h_F dans les Z_p-extensions. Pour la convenance du lecteur nous allons tout d’abord énoncer un résultat analogue au Theorem 5.2 de [14]. Il s’agit de la pro- position 3.2 ci-dessous où nous noterons D (resp. ∆) le `-Sylow (resp. le sous-groupe des éléments d’ordre premier à`) deGal(F/k), de sorte qu’on a la décomposition Gal(F/k) = ∆×D.

Proposition 3.2. Soient F⁰ le corps fixe de ∆ et χ un caractère de ∆.

On peut voir χ comme caractère de Gal(F/k) trivial surD. Notons alors m(χ) le produit des idéaux premiersqdekqui se ramifient dansF⁰ et tels que χpr(q) = 1. Alors la puissance exacte de `qui divise (RF :UF) est le produit

Y

χ

Z[Gal(F⁰/k)] :U_m(χ),F⁰ (3.4) où χ parcourt tous les caractères multiplicatifs de∆.

Démonstration. Voir [7] Proposition 2.1.

Dans toute la suite de ce paragraphe on fixera p un nombre premier et F∞ une Z_p-extension de F abélienne surk. Si nest un entier naturel on noteraFnl’unique extension deF contenue dansF∞et de degrépⁿsurF.

On notera aussif_nle conducteur deFn. On sait qu’on peut décomposerf_n de manière unique f_n=hg_n, oùhest premier àg_net ne dépend pas de n etg_nest divisible uniquement par les idéaux premiers dekqui se ramifient dans F∞/F. Pour tous idéal premier pet tout entien non noteraT_p⁽ⁿ⁾ au lieu deT_p(F_n)le groupe d’inertie enpdansF_n/k. NotonsS_F,F∞l’ensemble des idéaux premiers de k qui divisent h, et pour tout q ∈ SF,F∞ notons D_q(F∞)le groupe de décomposition deqdansF∞/k. Nous dirons queF∞

vérifie l’hypothèse de décomposition si les groupes Dq(F∞), q ∈ SF,F∞, sont tous infinis.

3.2. La suite (R_Fn :U_Fn)

Posons R⁽ⁿ⁾ =R_Fn etU⁽ⁿ⁾=U_Fn. Dans cette section nous étudions la suite d’indices(R⁽ⁿ⁾:U⁽ⁿ⁾). A cette fin, pour tout nombre premier`nous noterons R<sup>(n)</sup><sub>`</sub> laZ`-algèbreZ`[Gal(Fn/k)]etU_{`</sub><sup>(n)</sup> leR<sup>(n)</sup><sub>`} -sous-module de Q_`[Gal(F_n/k)] engendré parU⁽ⁿ⁾.

Proposition 3.3. Supposons queF∞vérifie l’hypothèse de décomposition.

Alors pour tout `6=p la suite (R<sup>(n)</sup><sub>`</sub> :U_`⁽ⁿ⁾) ne dépend pas de n pour tout entier n assez grand.

Démonstration. La plus grande extension de kde degré une puissance de

`, contenue dans Fn ne dépend pas de n. Notons la F⁰. D’après la pro- position 3.2 on doit considérer les indices (Z[Gal(F⁰/k)] : U_m(χ),F⁰), où χ parcourt les caractères de Gal(Fn/F⁰). Par hypothèse il existen0 tel que Gal(F_n/F_n0), pourn≥n₀, est contenu dans tous les groupes de décompo- sition des idéaux premiers de kqui se ramifient dansF_n/k. En particulier si m(χ)6= (1)alors χest nécessairement trivial surGal(Fn/Fn0). D’où la formule

(R⁽ⁿ⁾_{`</sub> :U<sub>`}⁽ⁿ⁾) =^Y

χ

Z[Gal(F⁰/k)] :U_m(χ),F⁰, n≥n₀,

où χ parcourt tous les caractères deGal(Fn0/k).

Soit s un diviseur deˆf_n (qui est par définition le produit des idéaux premiers de O_k qui divisent f_n). Alors on pose Us⁽ⁿ⁾ = Us,Fn et on note Us,p⁽ⁿ⁾le sousR⁽ⁿ⁾p -module deQp[Gal(Fn/k)]engendré parUs⁽ⁿ⁾. Rappelons que Us,p⁽ⁿ⁾ est un réseau deQp[Gal(Fn/k)]. Si qest un idéal premier deO_k

qui divise f_nmais ne divise pas salors on a

v_p((U_s⁽ⁿ⁾:U_sq⁽ⁿ⁾)) =v_p((U_s,p⁽ⁿ⁾ :U_sq,p⁽ⁿ⁾))

Proposition 3.4. Soients ets⁰ deux diviseurs dehˆtels que ss⁰ = ˆh. Soit q un idéal premier deO_k qui divise s⁰. Alors il existe µ∈N et ν ∈Ztel que l’indice

(Us,p⁽ⁿ⁾:Usq,p⁽ⁿ⁾) =p^µpn+ν

pour tout entier n assez grand. De plus, si le groupe de décomposition de q dans F∞/k est infini alors on a µ= 0.

Démonstration. Posons

Λ = lim←−Z_p[Gal(F_n/F)], R^∞= lim←−R⁽ⁿ⁾_p et E= lim←−Q_p[Gal(F_n/k)]

Notons P_n la projection canonique E −→ Q_p[Gal(F_n/k)] et pour tout sous Λ-module A de E posons A⁽ⁿ⁾ = P_n(A) et A_n = A∩ker(P_n). On peut remarquer que R^∞ est une sous Λ-algèbre de E, libre de rang fini.

Comme base on peut prendre une partie quelconque de Gal(F∞/k) en bijection avecGal(F/k)par restriction des automorphismes. On en déduit l’identité R^∞_n =ω_nR^∞, où on a poséω_n=γ^pn−1,γ étant un générateur topologique deGal(F∞/F). D’autre part la limite inverse

U_s^∞= lim←−Us,p⁽ⁿ⁾

n’est autre que le sous R^∞-module deE engendré par les éléments de la forme

s(T^e_r)^Y

p|^s

r

(1−(p, F∞)), r|s,

où T^er est le sous-groupe (fini) de Gal(F∞/k) engendré par les groupes d’inertie T^ep dans F∞/k des idéaux premiers qui divisent r. Le symbol (p, F∞) est défini comme suit

(p, F∞) =λ⁻¹_p s(T^e_p)

|Te_p| ,

où λ_p est un Frobenius en p dans F∞/k. En particulier U_s^∞ est un Λ- module de type fini. De plus on a P_n(U_s^∞) =U_s,p⁽ⁿ⁾, si bien que

(U_s,p⁽ⁿ⁾:U_sq,p⁽ⁿ⁾) = [U_s,p⁽ⁿ⁾+U_sq,p⁽ⁿ⁾ :U_sq,p⁽ⁿ⁾] [Us,p⁽ⁿ⁾+Usq,p⁽ⁿ⁾ :Us,p⁽ⁿ⁾]

= [A⁽ⁿ⁾:C⁽ⁿ⁾]

[A⁽ⁿ⁾:B⁽ⁿ⁾], (3.5)

où A=U_s^∞+U_sq^∞,B =U_s^∞ etC =U_sq^∞.

Nous dirons qu’un sous-Λ-moduleX de E est admissible s’il existeu, v∈ N tels quep^u(R^∞)⊂X etp^v(X)⊂R^∞. Ceci entraîne en particulier que X⁽ⁿ⁾est un réseau deQ_p[Gal(F_n/k)]. SiY ⊂Xsont deux sous-Λ-modules admissibles de E alors il est facile de voir que l’invariant λ de X/Y est nul. De plus il est possible d’exprimer l’ordre du groupe fini X⁽ⁿ⁾/Y⁽ⁿ⁾ au moyen de l’invariant µ de X/Y. En effet, d’après la théorie des Λ- modules il existe X⁰ un Λ-module libre et un homomorphisme injectif f :X −→X⁰ tel que X⁰/f(X) est fini. Comme on a p^u+v(X_n) ⊂ω_nX le groupe (f(Xn) +ωnX⁰)/ωnX⁰ est fini puiqu’il est annulé à la fois par ωn

et par p^u+v. L’injection canonique

(f(X_n) +ω_nX⁰)/ω_nX⁰ −→X⁰/ω_nX⁰

et le fait que X⁰/ωnX⁰ est un Zp-module libre permettent de conclure à l’inclusionf(X_n)⊂ω_nX⁰. Le quotientω_nX⁰/f(X_n)est fini car, d’une part la multiplication par ωn donne une application surjective

X⁰/f(X)−→ω_nX⁰/f(X_n).

et d’autre partX⁰/f(X)est fini. D’ailleurs cette dernière propriété a pour autre conséquence l’inclusion ωnX⁰ ⊂ f(X), pour tout n assez grand.

Ainsi, pour tout nassez grandω_nX⁰/f(X_n)⊂f(X)/f(X_n). Mais comme f(X)/f(Xn) ' X/Xn ' X⁽ⁿ⁾ est un Zp-module libre, il vient f(Xn) = ω_nX⁰, pour toutn assez grand. Par la théorie d’Iwasawa on a

[(X⁰/f(Y)) :ω_n(X⁰/f(Y))] =p^µ0pn+ν0, pour toutnassez grand, où ν⁰ ∈Zetµ⁰ =µ(X⁰/f(Y))est l’invariant du Λ-moduleX⁰/f(Y). Pour déduire l’ordre de X⁽ⁿ⁾/Y⁽ⁿ⁾ il suffit de constater les isomorphismes

X⁽ⁿ⁾/Y⁽ⁿ⁾ 'X/(Xn+Y)'f(X)/(f(Xn) +f(Y)) X⁰/(ω_nX⁰+f(Y))'(X⁰/f(Y))/ω_n(X⁰/f(Y)),

et commef induit un quasi isomorphisme de X/Y dansX⁰/f(Y) il vient

#X⁽ⁿ⁾/Y⁽ⁿ⁾=p^µ1pn+ν1, pour toutnassez grand, (3.6) où ν₁ ∈ Z et µ₁ = µ(X/Y). Ainsi pour obtenir la formule pour (U_s,p⁽ⁿ⁾ : U_sq,p⁽ⁿ⁾) il suffit d’appliquer (3.6) aux couples de modules(A, B) et (A, C).

Les modulesA, BetCétant ceux introduits ci-dessus. Ils sont évidemment admissibles. Il suffit ensuite d’utiliser (3.5). On obtient alorsµ=µ(A/C)−

µ(A/B). Il nous reste à montrer l’identité µ(A/C) =µ(A/B) dans le cas

où le groupe de décomposition de qdans F∞/k est infini. Pour cela nous allons construire un quasi-isomorphisme de A/C dans A/B. Mais il est d’abord utile de remarquer la relation

U_sq^∞=U_s^∞(T^e_q) + (1−(q, F∞))U_s^∞,

où U_s^∞(T^eq) est le sous R^∞-module de E engendré par les éléments de la forme

s(T^erq)^Y

p|^s_r

(1−(p, F∞)), r|s.

De plus l’idempotente=s(T^e_q)/|Te_q|est tel que(1−e)U_sq^∞= (1−e)U_s^∞. Or le noyau de la multiplication par 1−e dans tout R^∞-moduleM est égal à son sous-module M^Teq, qui est par définition l’ensemble des éléments de M invariants sous l’action deT^eq. Par conséquent les injections naturelles

A^Teq/C^Teq −→A/C et A^Teq/B^Teq −→A/B

sont des isomorphismes. CommeC^Teq =U_s^∞(T^eq) + (1−λ⁻¹_q )B^Teq ⊂B^Teq on a un homomorphisme naturel A^Teq/C^Teq −→ A^Teq/B^Teq, qui est surjectif et dont le noyau est W =B^Teq/C^Teq. On sait déjà que ce groupe est annulé par une puissance de p. En effet, on a

|T^e_q|B^Teq ⊂s(T^e_q)B ⊂U_s^∞(T^e_q).

De plus, comme le groupe de décomposition D_q(F∞) de l’idéal q dans F∞/k est topologiquement engendré par T^eq et par λq, les relations (1− λ⁻¹_q )W = 0et(1−σ)W = 0, pour tout σ∈T^e_q entraînent(1−σ)W = 0, pour toutσ ∈Dq(F∞). OrDq(F∞) est infini par hypothèse. Il existe donc n un entier naturel tel que γ^pn ∈Dq(F∞). Par conséquenceωnW = 0. Le groupe W est donc fini. Ce qu’il fallait démontrer.

Corollaire 3.5. Soit s un diviseur de ˆh. Alors il existe µs ∈N et νs ∈Z tel que

(R⁽ⁿ⁾_p :Us,p⁽ⁿ⁾) =p^µspn+νs,

pour tout entier n assez grand. De plus, si les groupes de décomposition des idéaux premiers de k qui divisents sont infinis alors on a µ_s = 0.

Démonstration. Soient q₁, . . . ,q_d les idéaux premiers de O_k qui divisent s. Alors on a

(R⁽ⁿ⁾_p :Us,p⁽ⁿ⁾) =

d−1

Y

i=0

(Us⁽ⁿ⁾i,p:Us⁽ⁿ⁾i+1,p),

oùs₀ = (1)ets_i =q₁· · ·q_isii≥1. La proposition 3.4 permet de conclure.

Proposition 3.6. Posons a = ˆh et soit b le produit des idéaux premiers de k qui se ramifient dans F∞/F. Soient s un diviseur de b et q un idéal premier de k divisantb mais tel queq-s. Alors l’indice (U_as,p⁽ⁿ⁾ :U_asq,p⁽ⁿ⁾ ) ne dépend pas de n pour tout n assez grand.

Démonstration. Voir [7] Corollaire 3.4.

Théorème 3.7. Il existe µ∞∈N etν ∈Ztels que (R⁽ⁿ⁾_p :U_p⁽ⁿ⁾) =p^µ∞pn+ν,

pour toutnassez grand. De plus siF∞vérifie l’hypothèse de décomposition alors on µ∞= 0.

Démonstration. On peut décomposer (R⁽ⁿ⁾p :Up⁽ⁿ⁾) sous la forme (R⁽ⁿ⁾_p :U_p⁽ⁿ⁾) = (R⁽ⁿ⁾_p :Ua,p⁽ⁿ⁾)(Ua,p⁽ⁿ⁾ :U_ab,p⁽ⁿ⁾).

Il suffit maintenant d’appliquer le corollaire 3.5 et la proposition 3.6.

3.3. La suite des indices [Ω_Fn :V_Fn]

Dans ce § nous étudions la suite [Ω_Fn : V_Fn]. Par commodité nous supposerons que H ⊂ F. Posons Ln = Fn ∩kgn et L∞ = ^SLn. On a F∞=F L∞,F_n=F L_netL∞est uneZ_p-extension deL₀ abélienne surk.

En particulier on a Gal(F∞/L∞) 'Gal(Fn/Ln). De plus, l’égalité Fn = F Ln montre bien que pournassez grand, disonsn≥n0, le conducteur de L_n/kest égal àg_n. Nous allons commencer par étudier la suite des indices [ΩLn :VLn]. En cela nous utiliserons le groupe

P_L⁰_n =P_Ln/µ(Ln)(k^×)^12egn

qu’il est possible de représenter par générateurs et relations. Rappelons l’égalité x¹² = ∆(O_k)/∆(xO_k), pour tout x ∈ k^×, qui prouve que l’on a bien (k^×)^12egn ⊂ P_Ln. Il n’est pas difficile de vérifier que

P_Ln/ΩLn(k^×)^12egn

est un groupe fini. On en déduit que P_L⁰

n est de type fini comme groupe abélien, de même rang que ΩLn, c’est à dire [Ln :k]−1. On est dans un cas favorable puisque, comme on va le voir ci-dessous, les seules relations reliants les éléments deP_L⁰

n sont celles issues des formules de norme (2.4).

De manière formelle les choses se présentent comme suit. SoitAle groupe abélien libre de base la réunion disjointe

G

g∈Σ_n

Gal(L_n∩k_g/k),

où Σn = {(1),g_n} si g_n est divisible par un seul idéal premier et Σn = {(1),g_n,pⁱⁿ,¯p^jn}sig_n=pⁱⁿ¯p^jn.Aest naturellement un module galoisien.

De plus nous disposons d’un homomorphisme surjectif F : A −→ P_L⁰

n, défini pour σ∈Gal(L_n∩k_g/k) oùg∈Σ_n par

F(σ) =











la classe de (ϕ_Ln,g)^σ sig6= (1)

la classe de (^∆(a_∆(O⁻¹⁾

k))^egn sig= (1) et σ= (a, H/k).

Le noyau de F contient leZ-module Rengendré par les sommes S_g,g⁰(σ) = ^X

τ−→σ

τ −σ^Y

q|g⁰

(1−(q, L_n∩k_g/k)⁻¹),

où g,g⁰ ∈ Σ_n sont premiers entre eux et tels que g⁰ 6= (1). De plus σ appartient à Gal(Ln∩kg/k) et ^P_τ−→στ désigne la somme des éléments de Gal(L_n∩k_gg⁰/k)dont la restriction à L_n∩k_g est égal à σ. Le produit

Y

q|g⁰

(1−(q, Ln∩kg/k)⁻¹)

est pris sur les idéaux premiers qui divisent g⁰. Ces sommes S_g,g⁰(σ) sont en fait la formalisation des relations de norme citées ci-dessus.

On peut exhiber une Z-base de A qui nous permettra en même temps d’en déduire directement une base de A/R. En effet, pour tout (1) 6=

g ∈ Σn divisible par un seul idéal premier on fixe Xg ⊂ Gal(Ln∩kg/k) tel que la restriction des automorphismes est une bijection de X_g sur Gal(H/k). De plus, si g_n =pⁱⁿ¯p^jn alors pour tous σ₁ ∈Gal(L_n∩k_pin/k) et tout σ2 ∈Gal(Ln∩k¯p^jn/k) tels que σ1 et σ2 coincident sur H on fixe γ(σ1, σ2) ∈Gal(Ln/k) un automorphisme qui prolonge à la fois σ1 etσ2.

Posons alors

Xgn ={γ(σ₁, σ2), tel queσ1 ∈X_pin ou σ2 ∈X¯p^jn}.

Posons aussi X₍₁₎ = ∅ et pour tout g ∈ Σn introduisons l’ensemble Υg

défini comme suit

{S_g,g⁰(σ), tel queg⁰ ∈Σn est premier `a get σ ∈Gal(Ln∩k_g/k)−X_g}, où S_g,(1)(σ) =σ. Maintenant on peut montrer

Proposition 3.8. L’ensemble Υ = ^F_g∈ΣnΥg est une Z-base de A. En conséquence l’ensemble

G

g∈Σn

Gal(L_n∩k_g/k)−X_g

est une base de A/R.

Démonstration. Voir [7] Proposition 4.1.

NotonsA⁰⊂ A le noyau de l’homomorphisme deg :A −→Zdéfini par deg(σ) = 0 si σ ∈ Gal(Ln∩kg/k) avec (1) 6= g ∈ Σn et deg(σ) = 1 si σ ∈Gal(H/k). On constate queR ⊂ A⁰. De plus la restriction deF à A⁰, qu’on notera F⁰, est surjective. Or le rang deA⁰/Rest égal à[L_n:k]−1.

Ainsi on obtient, par factoristation de F⁰, un isomorphisme

A⁰/R ' P_L⁰_n. (3.7) Lemme 3.9. Il existe un entier κ tel que pour toutn le groupe ΩLn/VLn

a au plus κ générateurs.

Démonstration. Voir [7] Lemme 4.1

Définition 3.10. Pour toute extension abélienne finieKdekcontenenant H on pose

X_K = Q

p[K_p^∞ :H]

[K:H] .

où le produit est pris sur tous les idéaux premiers de O_k.

Nous sommes maintenant prêt à donner un premier résultat sur la suite Λ(L_n) = [Ω_Ln :V_Ln]X_Ln

w_Ln =^Y

`

`<sup>r(Ln,`)</sup>, où `parcourt tous les nombres premiers.