Estimations du type Nevanlinna pour les applications holomorphes de <span class="mathjax-formula">$\mathbb {C}^n$</span> dans <span class="mathjax-formula">$\mathbb {C}^n$</span>

A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.

M YRIAM O UNAIES

Estimations du type Nevanlinna pour les applications holomorphes de C

dans C

Annales scientifiques de l’É.N.S. 4^e série, tome 30, n^o6 (1997), p. 797-819

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4e série, t. 30, 1997, p. 797 à 819.

ESTIMATIONS DU TYPE NEVANLINNA POUR LES APPLICATIONS HOLOMORPHES DE C^ DANS (^

PAR MYRIAM OUNAIES

RÉSUMÉ. - Nous considérons des familles d'ensembles {Ea^ a e C" \ [z : nr=i ^ = 0}}' ^ul rencontrent l'image de toute application holomorphe F non dégénérée et nous montrons que la croissance asymptotique de F~l[Ea} H B(0,r) quand r tend vers l'infini est la même pour tout a ç C^ \ {z : ]~[r=i z^ = ^}-

ABSTRACT. - We consider familles of sets [Ea, a ç C" \ {z : n?=i ^ = 0}}, which intersect thé image of C"

by every non-degenerate holomorphic map and we show mat thé asymptotic growth of F~l(Ea) H B(0,r) when r tends to infinity is thé same for every a € C" \ {z : fl^i Zi = 0}.

Introduction

En une variable, on sait d'après le théorème de Picard que l'image d'une fonction méromorphe ne peut éviter plus de deux valeurs sur la sphère de Riemann.

On sait de plus, grâce à la théorie de Nevanlinna [13], que, en dehors d'un ensemble exceptionnel dénombrable, chaque valeur est prise avec la même fréquence asymptotique.

Si on s'intéresse maintenant à l'image d'une application holomorphe de C^ dans C72, pour n ^ 2, on se rend compte d'un phénomène différent.

On sait depuis longtemps que le théorème de Picard n'est plus vrai en plusieurs variables. Fatou (1922, [8]), puis Bieberbach (1933, [2], [3]) ont construit une application non dégénérée de C2 dans C2 dont l'image n'est pas dense dans C2. L'application construite par Bieberbach est de plus injective, à Jacobien identiquement égal à 1, et son image évite un ouvert de C². C'est ce qu'on appelle les applications de Fatou-Bieberbach et leur image est un domaine de Fatou-Bieberbach. (Voir [18] pour la généralisation de l'exemple de Bieberbach à n > 2) Plus récemment, J. Esterle et P. G. Dixon (1986, [7]) ont donné de nouvelles méthodes pour construire de telles applications, notamment, ils ont montré le résultat suivant :

THÉORÈME 1 [7]. - Pour tout e > 0, il existe une application holomorphe F : C2 dans C2 telle que

J^(z) / O V ^ ç C2,

^(C^nB^l-^e,

et pour tout u = (^1,^2) G ^e(C²),

Uï / 0 , ^2 / 0,

mf(|Hi|, 1^2 ^M) ^ 1 et mf(|^2 , H1-^!) ^ 1, inf0i|, |n2|) ^ 1 et mf(|ni , ^l) ->|n|-.oo 0.

J. P. Rosay et W. Rudin (1988, [16]) ont même construit une application dont le volume de l'image est fini :

THÉORÈME 2 [16]. - Soit e > 0 et K un cube de C71, il existe une application holomorphe de C71 dans C71 et un ouvert Z de volume < e tels que

JF = 1

FÇC^ C K U Z

Cette application n'est évidemment pas injective car, si F est injective, VolÇFÇC71) n B(0,r) tend vers oo quand r tend vers oo, B(0,r) étant la boule euclidienne de rayon r. Cependant, cette convergence peut être arbitrairement lente : Rosay et Rudin (1993, [17]) ont montré que quelque soit ^ : R^~ —» R4" avec lim^+oo /^(r) = oo, on peut trouver une application injective F à Jacobien identiquement égal à 1 telle que

- Vol ( F f C T n B r o . r ) )

lim ———————————— = 0. C'est la conséquence du théorème suivant :

r-^oo j j i [ r )

THÉORÈME 3 [17]. - Soit e > 0, Kj^j = 1,2,... des cubes unitaires fermés et disjoints de C^ II existe une application holomorphe injective de C71 dans Cn et un ouvert Z de volume < e tels que

JF = 1

i^C") C\JK,UZ j

Tous ces exemples montrent à quel point l'image d'une application holomorphe de t^ dans C71 peut être « petite ». Pourtant, il existe des ensembles que ces images ne peuvent pas éviter.

Par exemple, Al Vitter (1977, [19]) a montré que la réunion de n + 1 hyperplans est inévitable.

L. Gruman (1978, [9]) a exhibé des ensembles inévitables "plus petits". Ce sont des réunions finies d'ensembles de la forme {w ç C^K^w) = . . . = = ïig^Çw) = 0} où les gi sont des fonctions holomorphes.

J. P. Rosay et W. Rudin (1988, [16] ont montré l'existence d'ensembles inévitables encore plus petits : des ensembles discrets.

L. Gruman (1991, [9]) a montré qu'une condition suffisante pour qu'un ensemble discret soit inévitable est que ses points se resserrent à l'infini avec une certaine vitesse.

Soit C^ =Cn\ {z/ n^i^- = 0} et Mp(r) = sup^^r) 11^)11. Gruman [10] a construit explicitement une famille de tels ensembles, {Êa, a e C^}, inévitables pour la famille T des applications holomorphes dont le Jacobien est une constante non nulle.

De plus, il a montré que, pour F ç T, pour a ç C^ \ ^, où ^ est un ensemble pluripolaire dans C^ la fréquence asymptotique de F^^Ea) H B(0,r) est la même, de l'ordre de M^(r)4712.

De même, il a construit une famille {i?a, a G C^} d'ensembles inévitables pour la famille F des applications holomorphes non dégénérées. Il a montré là encore que, pour a ç C^ \ '0^, où ^F est un ensemble pluripolaire dans C71, la fréquence asymptotique de F-^Ea) nB(0,r) est de l'ordre de MF(r)^loëiogMF^²ⁿ~\

Nous montrons ici que, si F est dans la famille F, l'ensemble exceptionnel (j)p est en fait vide. Nous avons aussi montré que, pour F dans .F, l'ensemble ^p est vide, mais ce cas sera traité dans un travail ultérieur.

0. Notations et définitions

Nous désignerons par \\z\\ = (^1=1 \z^\ )1^2 et M = ^P^i...^ \zj\'

n

Si z = ( ^ i , . . . , Zn) et w = ( w i , . . . , Wn} sont dans C^ (^, w) = ^ ^ j w^.

.7=1

Nous noterons B(a,r) la boule euclidienne de (^ de centre a et de rayon r.

Soient

f3=^QQ\\z\\\ Pk=^\

a = i0\\z\\2 /\9\\z\\\ -f=ia0log\\z\\2. - w -\- w ^ w — w Si w est dans C, nous noterons ^w = ——— et ^w = ——-.—.

Zà ^l

Pour une application holomorphe F = ( / i , . . . , /n) ^ C⁷¹ —^ C⁷¹, nous notons J^(^) le Jacobien de 1^ au point z, pour a ç C71, F-l(a) l'image réciproque de a par F et

Mp(r)= sup ||F(^)|.

-zeB(0,r)

Nous utiliserons également les notations suivantes :

6^=(6^\...^)),

si N = ( M , . . . , N^) C în^ F(N)(z) = (f^z) + 27r7Vi,..., f^z) + 27r7Vj.

Si V : C^ —^ R est une fonction plurisousharmonique, nous notons

My(r) = sup \V(z)\, Y+(^) = max(V(z),0) et y-(^) = max(-y(^),0).

zçB{0,r)

Nous avons donc Y = V+ - Y- et \V\ = V+ + V-.

Si A est une matrice, nous notons ||A|| = sup^^i \\Au\\.

Nous noterons C^ = C71 \ ^/ JJ Zy: = 0 ^ .

1 j=i )

DÉFINITION 0.1. - Soit C = [C^\j == 1 , . . . , 2n - 1} une famille de In - \ vecteurs de C71. Nous dirons que les vecteurs de C sont en position générale si toute partie de n éléments de C forme un système linéairement indépendant. D

DÉFINITION 0.2. - Soient T une famille d'applications holomorphes de C^ dans C^ et E un ensemble de C71. Nous dirons que E est un ensemble essentiel pour T si pour tout F G F, pour tout r et r ' dans R⁴' nous avons

F ( { z / \z\\ > r}) n E H {z/\\z\\ > r7} ^ 0. D

Nous noterons T = {T : C⁷² —>• C^ holomorphe, àjacobien constant non nul}.

I. Résultats préliminaires sur les applications holomorphes 1.1. Injectivité locale

Nous savons que si le Jacobien d'une application F ne s'annule pas en un point, F est injective dans un voisinage de ce point : c'est le théorème d'inversion locale. Mais ici nous avons besoin d'une version quantitative de ce résultat. Autrement dit, nous voulons une estimation de la taille de ce voisinage. Pour cela, nous établissons le théorème suivant qui est une conséquence d'un théorème dû à I. Ono [15] :

THÉORÈME 1.1. - Soient F = ( / i , . . . , /n) une application holomorphe de C7^ dans C^, r > 0, r ' > r.

Soit ZQ ç B(0, r) tel que Jp^o) 7^ 0- Alors F est injective sur la boule B(zo^ S), où S^C^r'-rY^M^r'Y^JF^

De plus, l'image par F de B(zo, S) contient B(F(^o), 5") avec S ' = C^ (r' - r)2^^)-2^1)^^)!2. Les constantes Cn et C^ ne dépendent que de n. D

Démonstration. - On pose F(z) = F(ZQ — z) — F(zo).

Si z E B(0,r' - r), alors \\F(z)\\ < 2M^(r').

F\z^=————A^

J F ( ^ O )

où AZQ est la comatrice de F\ZQ). Ses coefficients sont donc des combinaisons linéaires de produits de n — 1 termes de la forme ——{zo}.

En utilisant les formules intégrales de Cauchy, chaque coefficient est majoré paràzk

M^r- 1 .

7———,—-. Donc (r1 - r)"-1

— C1 M frf\n-l

H^o)-

!! = HF^o)-

!! < , „ ^ , •

^

VFW\ (r' -r)71-1

Le résultat découle du théorème d'Ono.

1.2. Comparaison de mesures

Nous renvoyons à [11] ou [12] pour la théorie des courants positifs fermés.

LEMME 1.2.1. - Soit 6 un courant positif fermé de degré p < n— 1 à coefficients C°°. Soit h une fonction de classe C2. Nous noterons g = \\z\\2 — r2.

/ h0 M99g2/\l3r,-p-i = / Q2 %<9<9/iA6>A/^_p-i. D

JB(0,r) ^B(0,r)

Ce lemme est une conséquence directe de la formule de Stokes (appliquée deux fois) et du fait que 9g2 = g9g = 0 sur 6B(0,r).

LEMME 1.2.2. - Soient ^ i , - ' - , ^ , k < n des fonctions plurisousharmoniques et localement bornées sur B(0, r) \ K, K étant un compact dans 5(0, r).

Soit y == S^i aj ^j une combinaison linéaire réelle des fonctions ipj. Alors

r

- - r _

-

(i) / (^ A iOQ^j A i99g2 A 0n-k-i = / g2i99^ A A iQQ^pj A /3n-A-i.

•7B(0,r) ^\ ^B(0,r) ^

r ^k - - r ^k -

(ii) / y A %9(9(^ A z99^² A (3n-k-i < Sr^n - k) H /\ ^9^ A /?,_fc.

JB(0,r) ^-^1 JB(0,r) ^i

5'; (^i, • • • , ^pk sont bornées en module sur B(0, r), alors pour r ' > r

r

-

(iii) / A ^ ^ A ^ ^ C ^ ^ r ^ ^ - r ) - ^ nM^.^). D

^(0,r) ^i ^1

Démonstration. - (i) Vj G { ! , . . . , & } soient ^ des fonctions C⁰⁰ telles que

^ \^_,+oo ^Pj- D'après le lemme 1.2.1, pour tout v et pour tout l G {1, • • • , k}^

r

- - r -,

-

/ ^ A iOO^ A iOQg2 A ^_fe_i = / g^QQ^ A /\ zôô^ A /?n-fc-i.

JB(0,r) ^i JB(0,r) ^

Le courant (^^ A^=i ^<9(^ converge vers (^^ A^=i ^iQQ^j ^et ^^^F ^A A^Li ^^^ converge vers %9ô¹^^ A A^Li ^9^j (cf [6]). D'où le résultat (i) par passage à la limite.

(ii) Posons 6 = A^i i^Q^j- C'est un courant positif fermé.

i99g2 = 2i0g A 9g + 2i g99g = 2a + 2 g (3.

-^i ii n2 ^9<9|M|2 i9g/\9g 1 ^ z99log\\z\\² = ^ - ^ = ^[\z\\ (3 - a}.

II z II2/? — a est donc une forme positive.

/ ^0M^^g2^^_k-l=

JB(0,r)

= 2 [ ^6 A a A f3n-k-i - 2 / ^-0 A a A /^-i

^B(0,r) JB(0,r)

+ 4 ( n - f c ) / ^ + ( 9 A / ^ _ f c - 4 ( n - f c ) / Q^~Q l\fî^ <

^B(0,r) JB(0,r)

< 2 / ^ + 0 A a A / ^ - f c - i - 4 ( n - f c ) /l ^ ( ^ - 0 A / 3 , _ f c <

^B(0,r) JB(0,r)

Or^n-fc) / |(^|0A^_,.

JB(0,r)

y' — y»

(iii) Posons r^: = r + j—.—.

k , . k

1 /\^99^ A /?.-, < , ^ / (r2 - |H|2)2 /\ z^, A ^

^B(0,r)^i . ^ 1 - r ; ^B(0,ri) J^

-r.^—2^/ ^A^^Â^^-II^II

)^^-^

^ 1 7 J ^ B ( 0 , r i ) ^^

4 f^ _ ^ -L 1) ^2 /« fc-l _

• ^ ^2 ^2 1 M^ ( ^ ) / A^^^^-W

^ 1 - r ^ JB(Q.r} • \ Mvk\l iy / / \ ^^^j

/B(0,r) ^i

fc

« - ( ^ ^ ^ ( r ' - r ) - ^ n ^ M - j=i

/2n /<^ /^-2fc

La dernière ligne s'obtient après itération et en observant que / (în= ! (3n=7^n(n\)-lrf2n.

JB(0,r,,} JB(0.r'}/B(0,rfc) JBÇO,r')

LEMME 1.2.3. - Soit G une application holomorphe de C71 —> C^, Soient r > 0 , r' > r.

Posons g = \\z\\2 — r2.

// ^^;5'^ une constante C qui ne dépend que de n telle que 1 ^[(zôÔlogdIG^+l))--^^^]2)7 1] <

JBÇO,r)

< ç ^ n + 2 ^ , _ ^ _ 2 n + 2 p ^ ^ ^ 2 ^ ^ j n - l Q

Démonstration. - Nous avons d'après le Lemme 1.2.2,

/ ^[(z991og(||G||2 + 1))- - (u^log^G]2)71 JB(0,r)

^ / ^9[log(||G||2 + 1) - log^G^A

, n J B ( 0 , r )

^ ^ ^ i ^ ^ l l ^ l l -r -L^ — i^g [G] ]

^^B(0,r)

A (z991og(||G||2 + l))71"1"' A (zôôlog^C;]2^

E / [logdIG^+l)-^^]2]

^o ^l/B(^o'^r•)

(z9ôlog(||G||2 + i))71-1-^ A (^Blog^C]2^ A zô^2 <

71-1 f _

< Gi r2 y / (%991og(||G||2 + l))71-1-^ A (zôôlog^G]2^ A /? ^

^o ^(^^

< Gr'^V - r)-2n+2[log(M(,(r/)2 + l)]"-1.

LEMME 1.2.4. - Soient G une application holomorphe de C71 dans C71, r1 > r > 0, a Çz Cⁿ. On suppose que les z.éros de G — a sont isolés. Soit r]a une constante strictement positive. Alors il existe G (a) > 0 telle que

l ^[(îâôlogdiGH2 + 1))" - (i99log \\G - a||2)"] ^

JB(0,r)

^g/ f^+^H^)

^QJB(0,r)\ l l ^ - ^1! ! /

(zaôlog(||G||2 + l))""1"' A (iâOlog ||G - all2)^ /?. D

Démonstration. - 3Gi(a) > 0, 3G2(a) > 0 telles que

-G2(a) < log(||G||² + 1) - ^ I I G - a 1 1 2 ^ Gi(a).

^a

Nous avons avec le lemme 1.2.2,

/ ^[(z^log(||G||2 + I))71 - (zctôlog ||G - ail2)' JB(O^^/B(0,r)

I n-1n—l „

^ / ^^[logdiG^lp+^-logHG-ainA k=O^B^r)

A (z991og(||G||2 + l))71"1^ A (zôBlog ||G - a||2)' W - [ l o g d I G ^ l F + ^ - l o g I l G - a l l2]

fe=0 JB(o'r)

(z^log(||G||² + l))""¹"" A (z991og||G - a||²)' MQQg²

< 4 r2 V /l [G(a) + log+ —1——\

ÉA^)L 0 ||G-a||J

(z^log([|G||2 + l))71-1-' A (z09\og ||G - a||2)'.

1.3. Estimation de certaines intégrales

Soient F = ( / i , . . . , f^) une application holomorphe de C" dans C".

Soient h\,..., hn des fonctions entières sur C.

On pose G = ( ^ i , . . . , ^ ) avec

gj =exp(^-o^.), j = l , . . . , n et on notera pour J? > 0, Mh(R) = max^i^...^ sup |^j(w)|.

\w\^R

On prend a dans C^. Pour chaque j e { 1 , . . . , n}, on définit une branche du log sur C privé d'une demi-droite A^, passant par l'origine, ne contenant pas aj et faisant un angle 0a, avec la demi-droite réelle positive.

On choisit une constante r]a strictement positive assez petite pour que, si |w - dj\ < r]a, alors w est encore dans le complémentaire de Aa et

\w-dj >^ a ^ | | l o g w - l o g a j | . Dans ce paragraphe, nous voulons estimer l'intégrale suivante :

JB(o,r)n^\ \\G - a\\) ( z ^ l o g l l G - a l i y A ^ l o g d i G ^ + l ) ) ^ ^ ^ où SA est un ensemble sur lequel le Jacobien de F n'est pas trop petit, p est un réel positif, / et k des entiers tels que l 4- k < n-1.

Grâce au théorème d'Ono, nous pourrons dans ce cas écrire l'intégrale comme une somme d'intégrales portant sur des petites boules sur lesquelles F est injective tout en

contrôlant le nombre de ces boules. Ceci nous permettra d'effectuer le changement de variables ^ = F(z) et de nous ramener à des fonctions entières d'une variable, hj. En fait, nous aurons d'abord besoin du lemme suivant :

LEMME 1.3.1. - Soient R > 0 , R^ = 2 R, R^ = 3 R.

Soient / i i , . . . , hn des fonctions entières sur C.

Soient / 3 i , . . . , fîn des nombres complexes tels que

V j ç {!,..., n}, |/3,| ^M^.(Jîi).

Pour tout j G { 1 , . . . , n}, on note x^ les zéros de hj — /3j, dans la boule B(0, Jîi) et Mj le nombre de ces zéros comptés avec multiplicité.

Pour w G C on pose 6j(w) = min |w — x^\.

^=l,...,Mj

On note Mk(K) = .max (logM^.(^)).

Alors pour R assez grand, on a

(i) 3 C i > 0 / V j G { l , . . . , n } , M, ^ G i logM^.(J?2).

(ii) 3C72 > 0 ,3C73 > 0 / Vj e { 1 , . . . ,n} , V w G B(0,R),

log ———, < C2 log M^ (^2) max ( log R, log

i^(w)-^-i - - —^ —\——6,(w)r

1^)1

^^Jl^_^

I, / \ .Q | — ^ô -^^to ^^n,-, \-"^z/ ^^^. _ 5 ^ , .

l^-^)-^-! V^

J(

)

(iii) Soient p > 1 et un entier m < n — 1.

5<9fr ^r l'ensemble de tous les m-uplets J = (ji,...,J'm) / Ji ^ { l ? - - - ?7 7' } P^Mr z = 1 , . . . , m avec j i ^- jr si i / V..

Pour wi, W 2 , . . . , u>n dans C, soit

i Y

•n/ \ f i + 1 l J e J j ^ J

r ( w i , . . . , W « ) = 10g |..,,,.^..|2 ^" |^

EIIi^(^)i ²

E;=il^-(^)-^IV (E^il^(^)-^-

)"

A/or^ 3(7 = C'(n,p) > 0 fe//e que

/ • • • / r ( w i , . . . , W n ) d A ( u ; i ) . . . d A ( W n ) <

JB(O,R) JB(O,R)

S C [logAW)l-'(lo^).-m,^, '°«M>(^Oogflr^ ^

\ ri /

Démonstration. - Nous reprenons les notations de Nevanlinna [13].

Dans (i) et (ii) fixons j dans { 1 , . . . , n} et notons h = hj, M = M^ (3 = (3j, 6(w) = 6,(w).

(i) D'après Nevanlinna, M = n{R^,j—),

T{R^, h) = m(R^, h) + N(R<2, h) = m{R^, h), car h n'a pas de pôle, et m(R^h) = l [ log+ \h(R^ e'^dô < logM^).

27^ Jo

En utilisant le premier théorème fondamental, il existe une constante C > 0 telle que

N(R^ /——^< T(R^ T1-^} ^ W^ + ^ 1^1 + c

\ li P / \ li P /

^logM/^+log^l+C

<, C logMfa(J?2)i pour RÏ assez grand.

^rfr> 1 ^ f^ ( . 1 ^ dt ^ (R 2 ( 1 \ d* fR2

^ ^ "l'^-^

1 \ RÎ-RÏ

' h - 1 3 ) R^ '

^'/^Ho " ^ ^ T ^ À "^^T

>nfiîi,

Donc n^,^^ -^-N^^^C^M^.R2

(ii) D'après la formule de Poisson-Jensen,

vweB ^' ^ïoë w^~w\=i^

i ^ i r , i _ _ _ ^loë

^-n ² ^

E

... ..^i^-.

^'"^••ï.^^ S '°î

1 v ' / {!=!,...,M

+ E ^

R^ - x^w

Ri +

/x=l,...,M '

Là encore grâce au premier théorème fondamental,

^^ 7——^) ^

\ ⁿ p / \

^f ^ p /

<, C' logM/,(-Ri), pour Ri assez grand.

Regardons les autres termes.

|^ - ^ w\ R^+R^R _ V/,e {!,...,M}, < =3R.

Ri Ri

D'où V log ^"^ < Mlog(3A) < C, log(3Jî) logM^).

..-. ^ ^1

/ A = 1 , . . . , M

De plus, V log ———— < M log —— < Ci log M^) log —

z—^ \w—x,,\ n d i i } /iïz /^=1,...,M 1 '

•lus,

1 5(w) - Finalement, pour R assez grand et w ç. B(0,R), on a

5(w)'

^N^ ^ c72 logAW2) ""O ⁰ ^ ' ^{l o g} ^))-

Toujours d'après la formule de Poisson-Jensen mais après dérivation on a pour tout w ç B(0,R),

-^- = - riogiwe")-^ —^— <^

1 1 / ^ 1

+ E

Majorons d'abord en norme le premier terme.

^"IloglWe")-^ p^^ dé»<

9 R r / 1 \ 1

^Ti——^ m ^l'ï-^ +^W/»-/3)

- (Ri - R)

^ ^[TÇR^h} + log+ |/3| + C + ïog2Mh(Ri)} ^ (— logA4(2^

ri ri Regardons le deuxième terme.

RJ- \x^\2 (J?i-|^|)(J?i+|^|) Ri+\x^\ 2Jîi

V^ ^ • -M} - ^ — — ^ < < < =4.

\R^-x^w\ - R^-\x^\R R - R

7?1 1 /2 Ir IA 12 1

Donc ^ ^4M——<4C7ilogM^(JÎ2)

c)(w)

(w - rc^) (R^-x^w) ^(w)'

|^=1,...,M

Finalement, si w ç B(0,Jî), nous avons fa'(w)

^C^logM^)m^(1 , 1

^ ' W)' h(w)-(3

(iii) Soit J ç J . Quitte à renuméroter les variables, on peut supposer que J = ( 2 , . . . , m).

Pour k = 1,... ,n, posons pour alléger les écritures :

aj(w) = \hj(w) - f3j\2 pourj = l , . . . , n ,

k

5 f c ( w i , . . . , W f c ) = y^aj(wj), M(JÎ) = M^R\

Bk = B(0, R) H {w e C / |/ifc(w) - /3fc| < 1}.

Nous voulons majorer

ni^(^)i ²

1= /¹. . Y flog+————¹———^7—F²—————^dÀ(wi)...dÀ(wJ

7Bi JBm+k 5 ^ ( W i , . . . , W n ) y (5^(wi, . . . , W^

Nous avons les inégalités suivantes, (Rappelons que m < n — 1) (5,(wi,..., w,))7" > (5^-i(wi,..., w^+i))" ^

> ( S ' m ( w i , . . . , w^))^1 a^+i(w^+i) + a^(wi).

Par Fubini,

I< 1 (^———XjMdXÇw,) JB,\ aiWj

OÙ Ji(wi) == / |/^2(w2)|2^2(^l,^2)rfÀ(w2),

^Ba

Jï(w^W2}= \ ^{w^J^w^.w^.w^dXÇws), J B s

J ( \ [ l ^ m + l ^ m + l ) !2 ^, .

J ^ ( w i , . . . , w ^ ) = / ———.——————————dÀ(w^+i).

^+i (5m+l(^l, . . . , W^+l))m

Séparons B^+i en deux parties :

Bf={wçB^ I 8^(w)^R}

et Bff={wçB^ / 8 ^ ( w ) ^ R } . D'après les inégalités ci-dessus et (ii),

., f l^m+l(^m+l)|2 ^, .

Jm = / 7^——;—————————^d\(wm+i)

J B ' ( 5 ^ + i ( W i , . . . , W y n + i ) }

1 /1 |^+l(w)|2,,, .

< -——-———————-——- / ——-—-—— d\{w)

~ (Sm(w^..^Wm))rn~l JB' û^+i(w)

< ^ ^ \ ^-l^t1^^^)]2^ / ^W V^m^l? • • • ^m)) ri JB'

< (S fw, ' w ^-i^[logM(^)]^ > 3 ^ ^ W l , . . . , W » n ^ 2.

T// /' |fenz+l(^m+l)|2 ^ ^ Jm= Te———/•——————————^—^(^m+l)

JB" (•5m+l('Wl,-..,Wnt+l))"1

^ /• _______________^+l(^)12______________^.

- 7B,, am+i(w) (5^(wi,..., w^))"1-1 + aî"(wi)

. { \,c ( ..2 (5n.(wi___W^)"^1 ,^ R2 Y\^ ^

^ ^, [( m + l ( w ) ) GJ(logM(^))^ +(al(wl)) M(^j dA(w) M^+i

< E^-

^=1

Avec

T ( \\ ^ ,2 (^(^•••^m))7'1"1 , . . \\m p ?^ ~l ^( ^

'^h^r'^ -^OogM^)——^"-» MW\ ^dw-

M^+i

car (6m+i(.w))2 ^ ^ |w - a;^+i|2 et, sur B", ^nz+i(w) <, R.

^=1

On fait alors dans chaque 1^ le changement de variables w' = w - a^+i, on passe en coordonnées polaires puis on intègre. On obtient pour ^ = 1,..., Mm+i,

. (lQgM(fi2))2

" - ^(^(wi,...,^))"¹-¹

(log "^^(5m(w1' • • • ' wm))"l-l + (al(wl))m M^}+

' M(fii)2 1 \

l l o g .(ai(wi))-^j^

Si -Ra est assez grand, il existe une constante Cm telle que

,, < (logM(^))^ ^ ^ ^ ^ _ _ ^ V

"- (^(wi,...,^))" ¹ - ¹ ^ ai(^i)y

Finalement, on obtient :

J, ^ ^(logM(^))² max(logAW), log ^) ^^,.¹^^^-

Posons A(wi) = C7^ (logM(J?2))3 max( logM(J?i), log —,—- ]. Nous avons montré que

J^(W1, . . . , Wm) ^ A(wi)

Y ^ m Y ^ l ? ? ^m) )

Donc

Jm-i^A(w,) f . , ^lfem(w)l „ ,dA(w).

JB^ ( ^ m ( W l , • • • , W ^ ) )m-l

On recommence avec m — 1 puis m — 2, • • -, jusqu'à

/ / 1 x ^ Ji(wi) ^ A(wir < G^(logM(J^2))3m(max^logM(J^l), log ^^_^JJ .

Soient B = B i n { w e C / | / i i ( w ) - / ? i | > ,1- . } t M[Ri)) et B = B i n L e C / | / M ( w ) - / 3 i | < ^ — — l .

/ (lo^ ———Yj^w) d\(w) < C^ R2 (logM^))4^, JB \ û^wj/

ç / -. \ p . / -. \ p + m

/J ^ ——— Ji(w) d\(w) < C^ (logM^))3- ^ log ,, . . - , JB\ OL^W)} JB\ |fai(w)-Bi|/

Soient B' = B n ^ w /5i(w) ^ - ^

B ^ B n L / ^ H ^ ^ l

f / 1 x^771

/- ^log |. ^ . ? ! ^ ^(^ l^og^M(^JR2) logJ?)^⁷⁷¹,

j5/\ |/ii(w)-/îi|y

/» / 1 \ P + m /. , -. x m + p

/-

i/. r^ / ^ i ^

^W))^ ^ log ^-T rfÀ(w)

J B " \ |^l(^)-Pl|/ ^ B ^ V ôl [w) /

Mi f / 1 \ m+P

< (C, logM(J^2))m+J? ^ /, log ————„ dA(w).

^^1 ^B" \ ^ ~ xl \ /

Comme précédemment, on fait dans chaque intégrale le changement de variables w' = w — x^, puis on passe en coordonnées polaires. D'où,

r ( i V+m r-k / 1 \m+ p

/ log \h ( \ fi\ <C4M1 (log M(JR2))m+p / P log - dp JB'\ \hiW-Pi\} Jo \ P )

<, Ci(n^) (logM(J^2))m+p+l logJ^P+m ^.

On a finalement

^ C,(»,ri (l.gM(%))<^ n,.x^^ •^ï^^'^)

\ rL )

On somme ensuite sur J ç. J , sachant que cardinal U)= -,——'—— <. n\.n\

{n-m)\

On prendra C(n^p) = n\C^{n^p).

Nous pouvons maintenant montrer le résultat suivant qui est fondamental pour la suite.

LEMME 1.3.2. - Soient Z, k des entiers positifs tels que m=l-\-k<n— 1 et p > 1.

Soient f3 > 1, r > 0 et r7 = r + rpoglogM^r)]"^.

Soit A = A(r) > 1 pour r assez, grand. On note SA l'ensemble

LeC'VI./^l^l.

Alors il existe r? > 0 et C = C(a^n^p) tels que, si r > r?,

1 f^.i-^-^y^log ||C?-a||/A (^logdiGll^l))^/?^^ ^

7B(0,r)nEA\ \\^G~^a\\)}

4 SÉRIE - TOME 30 - 1997 - N 6

<-c ç^M^^M^r ¹ ^ ^btM ^).

où R = Mp{r'). D

Démonstration. - Si G(z) — a ^ 0, en posant m = / + k, J l'ensemble des m-uplets J = O'i> • • • Jn) tels que ji e { 1 , . . . , n} et ji ^ j[ si i ^ i ' ,

(iôOlog \\G(z) - a\\2)1 A (iaOlog(\\G(z)\\2 + l))* A /?„_„

^ — — ^ — — — E A ^ ^ A ^ ^ A / ^ .

N au J € ^ J € J

S, , , B(0,.), ^M 5 MF^, donc 9^- | r' — r

Y^ l\Qg,{z}/\Qg,{z) ^ Jej j e J

^^^En^-^i^^E^^^T-

Et si ||G'(z) - ffl|| <, 1,

(^ôlog ||G'(2) - a||2)' A (i99log(\\G(z)\\2 +1))^ ^_^

.Mf^^je^jeJ J ' ^

^ ^^(r'-r)^ \\G-a\\^ ^

Posons pour w G C71,

„ Eni^^)i ²

„ \ ^ f i +______!?"______^ J^JjeJ________

— — — — Y ^ E;=i|exp^-(w)-a,P; (E;=i|exp^(w)-a,P)-' II s'agit de majorer I = / ^> o .F(^) dÀ(^) .

</B(0,r)nSA

Si z G B(0,r) H SA» d'après le théorème 1.1, F est injective sur B{z^ S), où 5' = C^M^r')-⁷^' - rY^A-¹.

On peut donc recouvrir J3(0, r) H SA par |j B(^, 5), les ^ étant dans B(0, r) H SA et

ici

card Z ^ C7,^ ^ ^^(r' - r)-2"2-27^^)2712 A271.

I^A2^ ( ^oF^Wz^dXÇz)

^ J B Ç Z ^ S )

=A2y f (j){w) d\(w) < A2 V ( (f)(w) d\(w)

^ J F [ B ^ , S ) ) ^JB{QW

< ^2n^_^-2n2-2n^2n+2^^2n2 /> ^)rfA(w).

JBÇO,R)

On notera R^ = 2R, R^ = 3R.

I (/)(w)d\(w)= y / (/)(w)d\(w), JB{O,R) ^^ J B N

avec

BN = {w = ( w i , . . . ,wJ ç B{^R) I |e^^) - a,| < ^ et (9, < Qhj(wj) - 27rNj < Oa + STT Vj € { ! , . . . ,n}}.

Si BTV n'est pas vide, on a |27rA^| < (9a + 27T + |3^-(w^)| < Oa + 27r + Mh(R).

Autrement dit, le nombre de n-uplets N pour lesquels l'intégrale n'est pas nulle est plus petit que CaM^.R)^ où Ça ne dépend que de a et de n.

Si w e^st dans BN, alors loge^^ = hj(wj) - 2i7rNj et \eh3{w^ - aj\ < rfa donc j^(w,) _ ^ j ^ _ ^ |^(wj) - ^-1, avec (3j = 2%7r^- + loga^-.

^s

Finalement, si /? = (/3i... ,/?n). nous pouvons écrire que

, , , ,,,Eniwi ²

/„ ^^ •"C"'

A<o.> (•

N»)^) 'W-W

-

< C^M,.(R^'^(R\ 'ogM'•'fi^»'osfi'p+•°Y

\ R )

d'après le lemme 1.3.1. Ceci achève la démonstration.

II. Estimation de F-~\Êa) H 5(0, r)

L. Gruman a montré qu'une condition suffisante pour qu'un ensemble soit essentiel pour T est que ses points forment un réseau qui se resserre suffisamment à l'infini (cf [10]).

De plus, il a donné une construction explicite de tels ensembles. Nous en rappelons ici le procédé.

Soit C = {C^\j = 1, • • • , 2n - 1} une famille de vecteurs en position générale.

Soit £ l'ensemble de tous les yi-uplets A = (Ai, • • • , \n) où A i , . . . , \n sont des entiers distincts dans { 1 , . . . , 2n — 1}.

On considère un entier S > 0 et on définit sur C"^ l'application polynomiale G(A, 7V)(w) = «C^ w)^+ 27r7Vi,. • . , <G^\ w)^+ 27r7V,).

Pour tout a ç C^, on considère l'ensemble (JJ.l)

Êa= U {(expC^TY))-^)}

Ae/:

Ne^

= [j { w e C" / (C^^w)5 -loga,+27r7V,+2z7rA^ j = l,...,n}.

^N'ez"Aer

L. Gruman a montré le résultat suivant THÉORÈME 11.2 [10]. - Si S > 2n alors (i) Pour tout a ç C^, Ea est T-essentiel.

(ii) Soit F ç y. Pour tout e > 0, l'ensemble

( ^ ... cWF-^Ê^n^O.r) 1

^ ⁼ [ ^{a e c} ^ /^rj M.(.)^^-^- ^{? 7} < + ⁰⁰ }

^^^ pluripolaire dans C71. D

Le but de ce paragraphe est de montrer que l'ensemble (f)p est en fait vide.

Soit F un élément de F.

D'après une formule de E. Bedford [l], [4], si G est une application holomorphe de C71 dans C",

(zôâlogllGH2)" = W ^ deg^(w)^,

w/G(w)=0

avec degG(^) le degré de G en w et &^ la mesure de Dirac en w.

Nous notons

n^a)^^)-" V / (^^31og||exp(G(A,7V)oF(z))-a||2)n. Aer7 5^)

A^eA/' D'après la formule,

n^a)= ^ ^ deg^p^^(F(w))deg^(w) Aer weB(o,r)/F(w)e

NeA/' exp(G(A^))-l(a)

<C ^ degF(w)=ÔcardF-l(ÊJnB(0,r)., weB(o,r)/F(w)eêa

où C = ^C^^.i.

Nous définissons les termes suivants,

Â^(r,a)=(47r)-" Y f (r2 - \\z ^(iQOlog^ exp(G(A,N) o F(z)) - a||2)",

A 6 £ ^^O.'-) ArçA/"

^(r) = (27T)-" Y f (r2-||2||2)2(^log+[exp(G'(A,7V)o^))])",

A6£ JB(o'r)

Ne.V

Tp(r)= f (r

-!!.!!

)

!!^)!!

^-

^).

JB(0,r)

En écrivant Np(r^ a) comme une intégrale de Stieljes puis en intégrant par parties, Np(r, a) = 4 / t (r2 - ^2) ^(t, a) ^.

7o

A^(r, a) tient le rôle de la fonction de comptage dans la théorie classique de Nevanlinna et Tp(r) celui de la fonction caractéristique.

D'après Gruman (cf [10] p91), pour e > 0 fixé, on peut trouver une suite r^ /" +00 telle que, si ^ = r, + r,[loglogM^(r,)]-2, on a Tp{r^ > r^ M^)2^5-1)-6.

SpÇr) est un terme intermédiaire qu'on sait estimer. En effet, d'après Gruman [10], il existe des constantes Ci, 7?i, et D^ telles que :

(JJ.3)

^-1 f^) _ ^ ^\r - r)-2^-1) M^r7)25^-1) <

< SpÇr) ^

< Ci f^(r) + 2^2 r2n+2(r/ - r)-2^-1) M^^)25^-1),

Ci ne dépendant que de n, 5, C, D\ et ^2 ne dépendant que de n. Le but de ce paragraphe est de minorer la croissance asymptotique du cardinal de F'^Ea) D B(0, r) uniformément en a pour tout a ç C^. Dans le cas présent, nous obtenons aussi une majoration.

Pour estimer NpÇr^a), nous allons comparer ce terme à Sp(r). Dans cette perspective, commençons par établir un lemme intermédiaire qui est une conséquence du lemme (1.3.2).

Nous fixons A ç C et N ç. î^ et nous supposons qu'il existe une constante C-z (dépendant de a et de C) telle que \\N\\ < C^MpÇr)8.

Nous posons

F=(/I,...JJ avec /, =< C^\f >,

donc J y = d e t ( C 7( À l\ . . . , C 7( À r l )) / 0 et M^(r) < C(C) Mp(r) Vr > 0, pour w e C,hj(w) = w3 + 27rA^-, pour j = 1,... ,n, fa = ( f a i , . . . ,hn),

et G = exp(G(A, N) o F) = exp(/i o F) = ( ^ i , . . . ,^n) avec ^ = exp(/i^ o /^).

^ ^ l o g d l C Ï ^ + l ) , ^ = l o g | | G ( ^ ) - a | |2.

Appliquons le lemme (1.3.2) : Pour tout p > 1, il existe r? > 0 et une constante C4 = C^(a, n,C, 5, p) tels que, si r > r?, alors

(JJ.4) / f l o g ^1 .X(i9W A (iOOlog^ A /?,-,_, <

JB(0,r)\ 1 1 ^ - ^l)/

/2n

< (^ r_ _ _ _ _ _ ^ / /^2n2+2(fc+0+5+5n+2 - ^3 (^ _ y.)2(fc+0 ^^ ^

LEMME 11.5. - Pour tout e > 0, ;7 ^.m^ J^ constantes K^ et K^ strictement positives, dépendant de a, n, C, 5 ^ £, ;7 existe r^ tel que Vr > 7-g, ^ r' = r + r[log(log M^(r))]~2 , V f c / 0 < À ; < n - l ,

/ (i0a(log \\G - ail2))""1"' A (i0a(log ||G||2 + 1))" A (3 ^

JB(0,r)

^ 2n /^./\5(n-i)

^ ^ ( ^ - ^ ( n - l ) ^ ^ )

/ ^ ^^T (^(^ 11° - ^l

))

"

"'

(^^ë ll^ll

+

))'

f

^

JB(0,r) 1 1 ^ - ûll

^2n

< K^____MFfr')5^"1^^ D - ï (r' - r)2^-1) y ) '

Démonstration. - Les constantes Ci et Ci ne dépendront que de n , a , C , £ et 5. Soit

T1 -\- T

r " = ———. On fixe k ç { 0 , . . . , n}. Pour 0 < l < n — 1 — fc, posons

^

r; = r" - l r ~ r , , @i = (i99^1 A (iôOv)'1, n — 1 — k

II = f Ql A (3n-k-l^ îl= 1 ^ ————————Ql A /?n-fc-^.

JB(0,n) ^B(0,^) 11er - 0^11

Nous procédons par récurrence.

D'après le lemme 1.2.2, (iii), Jo < C^r'^^' - r^-^M^r')^

Soient p > ——————————, q > 1 tels que - + - = 1. L'inégalité de Hôlder donne e p q

î^\l (lo^ ————\\iQQ^^{3^ p 4.

UBÇO,r")\ 1 1e r- û l l / J /2n

En utilisant (11.4), Jo ^ Co _r.2fc+^ ^(r')5^^

/2n

Supposons que J,_i < Ci^ ^ ^Mp^)^1-^

et que ^_, ^ Q_, ^ ^^M^rT^-1)^,

II = f ©< A A._,_, < ¹ / {rf_, - |M|²)² 6, A ^_fc_,

JB(0,r,) ^ ; _ i - ^ ; J JB(0,r;_i)

=7-———^ I ^ e ^ A ^ r ^ - I M I ^ A A ^

(^;_1 - T^ ) J B ( o , r ; _ i )

<

^ . 2

-

^ / fiog^lG-fflii+^^—WlAA^+i

(,r;_i - rj JB(o,n_i)\ 1 1^{e r}- " I I /

< ^ (T^ [^M ⁵ ^-i + ^J '-!] < ^ (,, _ ^(^D M^r^.

Pour la deuxième intégrale, utilisons l'inégalité de Hôlder et (11.4),

'• ^< [/.„.„ ^(log+ w^y ⁸ ' ^{A A} - ^t -] ^{i7i ï c} - F^ ^{M^(r} ' ^)slt+ " ⁺ -

PROPOSITION 11.6. - Soit F dans T et a G C^.

Po^r tout e > 0, ?7 existe des constantes strictement positives C^ et C^ , dépendant de a,n,C,<? et e, C]_ ne dépendant que de n,S et C, telles que,

pour r > Te et r' = r + rpoglogMj^r)]""2,

C71 TF{T) - C^ r4 MpÇr')3^-^ <

' < N F ( ^ a ) <

< Ci T^(r) + C^ r⁴ M^r')^²"-¹^. D

Démonstration. - Les constantes 7^3 et ^4 et K^ ne dépendront que de a ^ n ^ C ^ e et 5.

Nous notons pour 7V = ( A ^ i , . . . , Nn) e Z72 et A = { A i , . . . , A^} e £, C=exp(G^r(A^)oF).

Si||A^|| < C{a,C) MF{rY,r > r^ et r ' = r+[log(logMF(r))]-2, d'après les lemme 1.2.4 et 11.5,

/ (r² - |M|²)² [(z991og(| G||² + 1))' - (^log ||G - ail²)'] <

JB(0,r)

^2n+2

< K^ ——r————Mpir}^-1^^2 - JL3L3 (^ _ ^ ) 2 ( n - l ) " -/ F^ ^

En utilisant le lemme 1.2.3, nous avons

{ ^-^^[(zaO^^r-ÇzOQlo^G-a^r] <.

JB(0,'r)

^ ^ (,. ^X-D ^(^r^-^ ⁵⁷² -

(r2 - ||^||2)2[(%991og+[G]2)n - (iOaiog\\G - a\

Nous sommons ensuite sur A G £ et N € Z". Remarquons que Support (^log^G])" c {|ff,| = I j = l , . . . , n } et Support (i99log \\G - a||²)" C {G - a = 0}.

La somme ne porte donc que sur N tel que \\N\\ < C{a^S^C)J\A^(rY. Nous obtenons alors (11.7) \W - N^r,a)\ <, K, ^ ^^M^r'^-W.

Nous en déduisons alors le résultat en utilisant la relation (11.3).

Nous arrivons enfin au théorème principal.

THÉORÈME 11.8. - Soit F dans T.

Il existe une constante C\ > 0 qui ne dépend que de C^n et S telle que, pour tout a ç C^,

(*) limsup^^fi-1,^) liminf^^^. D ,^+oo Tp(r) - 1 ' v 7 r^+œ Trir) ~

S — 2n

Démonstration. - Soit a ç. Cg- et soit e > 0, e < —.—. Il existe une suite T'y (cf [10]) telle que

TF(^) > ^M^)2"^-1)-", avec r', = r, + r,[loglogM^(r,)]-2. D'après la proposition précédente, si v est assez grand,

Np{r^ a) > Cf1 Ï^(r,) - C, ^ MpÇr'^2"-1^.

Divisons par î^(r,) : S0^0! > (7f1 - ^M^^)2"-^26. ÎF(^)

Pour avoir (*), on fait tendre v vers +00, le terme de droite tend vers 0. De même, nous avons

NF(r^a) ^ GA(r,) + C^M^)^2"-1^.

D'où ^dr^) ^ Ci + KMF^-^.

ÎF(^)

Le terme de droite tend vers 0 quand v tend vers +00.

COROLLAIRE 11.9. - Soit F £ T. Pour tout a G C^ et pour tout e > 0, cardF-^Ê^nB^r)

( 1 ) hm:l]op AMr)^-D-e = +00-

(2) liminf^^1^^0;^^. D

v 7 r^+oo -r2r^M^(r)2n(5-l)+£

Démonstration. - Supposons e < S — 2n et prenons e ' / 0 < e' < mî(S — 2n — e^ e).

Il existe une suite r/e / +00, associée à e1 avec

TF^) ^ ^M^)271^-1^ où r, = r, + ^[loglogM^^)]-2.

Si k est assez grand, NpÇrk.a) > C^Tp^k} - C^M^)^2"-1)-^. Rappelons que NpÇrk.a) = 4 / t (r² - t²) rip^t, a) dt < np^k, a) ( 'U^-t^dt

Jo Jo

=rî nF{rk,a) <: r^ Ôcard F~\Êa) H B(0,r/,).

D'où

CardF-^JnB^) ^-1.2n.. . ^ - s - ^ ^-l,. .,.2n-5+./+.

M^r/,)2^"1^ ^ ^ l0; ^ ^M^J - O s0 ^^Vj

D'où le résultat (1) par passage à la limite.

Pour montrer (2), utilisons la suite rj / +00 telle que

MpÇr^ <2MF(rj) pour ^ = r, + ^ r,[logM^(r,)]-². Posons r^ = r^- + -r^logM^^)]"².

^

^ /lr^ ri

NF^, a) = 4 / • ^ (r2 - ^2) ^(t, a) dt > 4 / ^ (r2 - ^2) n^(^ a) ^

JO J r j

= nr(r^a) (rf - r,2)2 > ^[logM^^.^^card F-1^) n B(0,r,).

Pour majorer TV^(r^a), utilisons la proposition 11.6. Si j est assez grand,

A^(r^a) < C.TF^) + ^^M^^;.)^271-1^ < K, r^ MpÇr,)2^-^.

Donc. pou, , .^z ^nd. ^^L0^' ï ^ M,(,,).'-.

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[16] J. P. ROSAY et W. RUDIN, Holomorphic mapsfrom C" to C" (Trans. Amer. math. Soc., vol. 310, 1988, p. 47-86).

[17] J. P. ROSAY et W. RUDIN, Growth of volume in Fatou-Bieberbach régions (Publ. RIMS, Kyoto Univ., vol. 29, 1993, p. 161-166).

[18] J. L. STEHLÉ, Plongements du disque dans C2 (Séminaire P. Leiong (Analyse) Lect. Notes Math., vol. 275, 1970, p. 119-130).

[19] A. VITTER, Thé lemma of thé logarithmic derivative in several complex variables {Duke Math. J., vol. 44, 1970, p. 89-104).

(Manuscrit reçu le 8 juillet 1996;

révisé le 29 avril 1997.)

M. OUNAIES Université Louis Pasteur,

UFR de mathématiques et d'informatique, 7, rue René Descartes, 67084 Strasbourg Cedex.

E-mail: ounaies@math.u-strasbg.fr

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE