L HUILIER
Solutions du premier des deux problèmes proposés à la page 196 de ce volume. Première solution
Annales de Mathématiques pures et appliquées, tome 2 (1811-1812), p. 270-279
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270
QUESTIONS
trois
preriiers
termes de chacune des deuxproportions
ci-dessus setrouvant connus, on pourra déterminer PG et
PH,
etconséquem-
ment les
points G ,
H parlesquels
menant desparallèles Cg
et Chaux droites
données,
cesparallèles
seront lesasymptotes
de lacourbe,
dont la
construction ,
parpoints
neprésentera plus
alors aucunedifficulté.
Solutions du premier des deux problèmes proposés à
la page I96 de
cevolume.
Première solution;
Par M. LHUILIER , professeur de mathématiques à l’académie impériale de Genève.
LE
cas danslequel
lepolygone proposé
est untriangle,
estde
première facilité ;
enparticulier
il se construit par fausseposition
dela manière la
plus simple.
Il n’en estplus
de mêmelorsque
lenombre des côtés du
polygone proposé
estplus grand
que trois.LEMME. Soient des droites données de
grandeur.
On demande decouper chacune d’elles en deux
parties ,
de manière que les rap-ports
de cesparties ,
deux àdeux,
soientdonnés,
sous les conditionssuivantes : on connaît le
rapport
d’unepartie
de lapremière
à une
partie
de laseconde ;
celui de l’autrepartie
de la secondea une
partie
de latroisième
celui de l’autrepartie
de la troisième à unepartie
de laquatrième ,
et ainsi desuite , jusqu’à
cequ’on parvienne
aurapport
de la secondepartie
de la dernière à la secondepartie
de lapremière.
Premier
exemple. Que-
les droites données soient au nombre de deux seulement. Soient AB et A’B’ deux droites données degrandeur
( fig. 6 ),
à couper en X etX’,
de manière que lesrapports
deAX à B’X’ et de A’X’ à BX
soient,
l’un. etl’autre, égaux
à desrapports
donnés.Que
lerapport
donné de AX à B’X’ soitégal
aurapport
deAB à
B’b’;
et soitporte
B’b’ sur B’A’ de B’ vers A’.On a
d’où
si donc on pose il viendra
on connait donc la différence A’b’
(
s’il y alieu )
et lerapport
des droites A’X’ etblXI ,
etconséquemment
cesdroites
sont l’une etl’autre déterminées.
Construction. Que
lerapport
donné de AX à B’X’ soitprésenté
sous la forme du
rapport
de AB àB’b’ ,
et soitportée
B’b’ sur B’A’.Que
lerapport
de A’X’ à BX soit aussiprésenté
sous la forme durapport
d’une droite L à AB. EnHn soient déterminées les droites A’X’ et b’X’ dont la différence A’b’ estdonnée,
et dont lerapport
est celui de L à AB.
Remarque. Pour
que leproblème
soitdéterminé ,
lespoints bl
et A’ ne doivent pas coïncider. En
effet ,
si lerapport
de AX à fi/XIest donné
égal
aurapport
de AB àA’B’ ,
lerapport
de BX à A’X’se trouve déterminé à être
égal
au mêmerapport ,
et laquestion proposée
demeure indéterminée. Cettequestion
estimpossible ,
si lerapport
de AX à B/X/ étant donnéégal
aurapport
de AB àA’B’ ,
le
rapport
de BX à AIXI n’est pas donnéégal
au mêmerapport.
Second
exemple. Que
les droites données soient au nombre de trois. SoientAB, A’B’ , A’’B’’ , ( fig. 7 )
troisdroites ,
données degrandeur ,
à couper enX, XI X" , respectivement ,
de manière que chacun des troisrapports
AX :B’X’ ,
A’X’ :B"X" ,
A"X" : BXsoient
égaux
à desrapport
donnés.Que
lerapport
de AX à B’X’ soitégal
aurapport
de AB àB’a’ ;
et soitporté
B’a’ sur B’A’ de BI vers A’.0,.i a AX : B’X’=AB:
B’a’ ,
272 O U E S T I O N S d’où
posant
dontil viendra
Soit en outre
donc
et
posant
donc il viendra enfinOn connait donc la somme A’b’ et le
rapport
des droitesA’X’
et
b’X’ ;
donc ces droites sont l’une et l’autre connues.Troisième
exemple. Que
les droites données soient au nombre dequatre.
SoientAB , A’B’ , A’’B’’, A’’’B’’’ ( fig. 8 ) , quatre
droites données degrandeur,
à couperen X, X’ , X’’, X’’’,
demanière que chacun des
quatre rapports
AX :B’X’ ,
A’X’ :B’’X’’,
A’’X’’ :
B’’’X’’’ , A’’’X’’’:BX,
soientégaux
à desrapports
donnerSoit fait d’où
posant
donc il viendraSoit encore
d’où
et
conséquemment posant
doncil viendra
Partant,
onconnaît,
degrandeur,
les droites A’b’ etA’’B’’ ,
etles
rapports
AIXI :B’’X’’,
A’’X’’ :b’X’ ;
donc laquestion proposée
sur
quatre
droites est ramenée à laquestion correspondante
sur deuxdroites.
Et,
comme cette dernière estsusceptible
d’indéterminationet
d’impossibilité ,
aussi laquestion proposée
surquatre
droites estsusceptible
d’indétermination etd’impossibilité.
On montrera
précisément,
de la mêmemanière,
que laquestion
proposée
273
proposée
surcinq
droites est ramenée à laquestion correspondante
sur trois
droites;
etpartant
laquestion
esttoujours possible,
dé-terminée et
susceptible d’une
seule solution. Onmontrera
aussi que laquestion proposée
sur six droites est ramenée à laquestion
corres-pondante
surquatre droites,
etpartant qu’elle
estsusceptible
d’im-possibilité
et d’Indétermination.En général,
laquestion
étantproposée
sur un nombrequelconque
de droites
( plus grand
quedeux ) ,
elle esttoujours
ramenée à laquestion correspondante
sur des droites dont le nombre est inférieur de deux unités. Si donc le nombre des droites données estimpair,
le
problème
est finalement ramené à trouver deux droites dont on connaît la difference et lerapport.
Afin donc que, dans ce cas, leproblème
soitpossible
etdéterminé,
la différence ne doit pas éva-nouir,
et lerapport
donné ne doit pas être unrapport d’égalité.
Sila différence
évanouit,
lerapport
est déterminé à être celuid’égalité,
et alors la
question
est Indéterminée.Remarque.
On résout sensiblenment de la même manière les casdans
lesquels
lcs droites données sont, en tout ou cnpartie,
desdifférences des droites cherchées. Le nombre des droites données étant
quelconque, pair
ouimpair,
si le nombre de cellesauxquelles
ré-pond
une somme estpair,
laquestion
estsusceptible
d’indétermina- tion oud’impossibilité.
PROBLÈME . A
unpolygone donné, inscrire
unpolygone
de mêmenom, dont les côtés soient
respectivement paralleles à
des droites données cleposition ?
Solution. Dans chacun des
triangles
retranchés par les côtés dupolygone inscrit, lesquels
ont pour bases les cotés de cepolygone
et pour sommets les sommets
corrcspondans
dupolygone donné;
dans ces
triangles, dis-je,
lesangles
sontdonnés; partant,
ces trian-gles
sont donnésd’espèce,
et enparticulier
lesrapports
de ceux deleurs cotés
qui
fontpartie
des côtes dupolygone proposée
sont donnes.Delà la
question
est Immédiatement ramenée au lemmequi
yientde nous occuper.
Tom. II. 38
274 OUESTIONS
Savoir : désignons
parA, AI A’’, .... A N-I, AN ,
les sommetsdu
polygone donné,
et parX, X’, X’’,....XN-I, XN,
les som-mets du
polygone cherchée
de manière que le sommet X soit surANA,
le sommet XI surAA’,
et ainsi de suite. On connaît les droitesANA, AA’, A’A’’, ....AN_IAN,
et lesrapports AX:XA’, A’X’:X’A’’, A’’X’’:X’’A’’’, .... ANXN:XNA
de leursparties.
Puisque
cetteInscription
est ramenée a notreme,
elle est pos-sible et
unique, lorsque
le nombre des côtés dupolygene proposé
est
impair;
elle estsusceptible d’impossibilité
oud’indetermination ,
lorsque
le nombre des cotes de cepolygone
estpair.
Je crois devoir éclaircir
1’indétermination,
si eUe alieu,
parquel-
(lues
exemples.
Premier
exemple.
Soit unquadrilatère AA’A’’A’’’, ( fig.9 ) dont
AA’’et A’A’’’ soient les
diagonales.
A ladiagonale
A’A’’’ soit menée arbi- trairement uneparallèle,
se terminant en X et X’’’ aux côtés AA’et AA’’’ de ce
quadrilatère.
Par lespoints
X et X’’’ soient menées à l’autrediagonale
AA’’ desparallèles,
se terminant en X’ et XII auxcôtés A’’A’ et
A’’A’’’,
et soit enfin menée X’X’’. J’affirme que cette droite sera, commeXX’’’ , parallèle a
ladiagonale A’A’’’;
etpar-
tant que le
quadrilatère
XX’X’’X’’’ est unparallélogramme.
On a, en
effet ,
parconstruction ,
donc
donc X’X’’ est
parafe
àA’A’’’.
Ou
bien,
lesrapports X’A’:A’X, XA:AX’’’, X’’’A’’’:A’’’X’’
étant
respectivement
egaux auxrapports A’’A’:A’A, A’A:AA’’’ , AA’’’:A’’A’’’,
lerapport
A’’X’:A’’X’’ est déterminé à êtreégal
aurapport
A’’A’:A’’A’’’: et le nombre dospolygones équiangles
ins-criptibles
auquadrilatère proposé
est illimité.Second
exemple. Soit AA’A’’A’’’
A’’’’Av unhexagone. ( fige. I0 )
SoientRÉSOLUES. 275
menées les
diagonales AA’’,A’A’’’,A’’A’’’’,A’’’Av, A’’’’A, qui
retran-chent deux côtés. Par un
point X, pris
arbitrairement sur l’un AA’ descôtes y
soit menée à ladiagonale
AA’’ uneparallèle
terminée en X’au côté
A’A’’;
par X’ soit menée à ladiagonale
A’A’’’ uneparallèle
terminée en X’’ au côté
A’’A’’’ ;
soient de même menées X’’X’’’parallèle
àA’’A’’’’,
X’’’X’’’’parallèle
àA’’’Av ,
X’’’’Xvparallèle
àA’’’’A,
et soit enfin menée
XvX ; j’affirme
que cette dernière droite estparallèle
à ladiagonale
A’Av.On a, en
effet ,
par constructiondonc
donc la droite XXv est
parallèle
à ladiagonale
A’Av.Partant,
lesrapports XA’:A’X’ ,
A’X’ :X’’A’’’ ,
X’’A’’’ :A’’’X’’’ , A’’’X’’’:X’’’’Av,
X’’’’Av:XvAv étantrespectivement égaux aux
rap-ports
AA/:A’A’’ ,
A/A’’ :A’’A’’’ ,
A’’A’’’ :A’’’Av,
A’’’A’’’’ :A’’’’Av ,
A’’’’Av :
AAv ,
lerapport
XA" : XvAv se trouve déterminé à êtreégal
au
rapport
AA’ : AAv ou encore , dans lepolygone XX’X’’X’’’X’’’’Xv ,
les côtes
XX’ , X’X’’, X’’X’’’, X’’’X’’’’,
X’’’Xv étantrespectivement parallèles
auxdiagonales AA’’ , A’A’’’ , A’’A’’’’ , A’’’Av, A’’’’A,
lecôté restant XvX se trouve déterminé à être
parallèle
à ladiagonale
AvA’ ;
et le. nombre deshexagones , équiangles
entre eux,inscrip-
tables à
l’hexagone proposé ,
sous les conditionsdonnées ,
demeureillimité.
Cette
propriété
s’étend à tous lespolygones
d un nombre de cotéspair ,
en menant desparallèles
auxdiagonales qui joignent
lesextrémités des côtés des
angles
dupolygone
donné.Scholie. Le
problème proposé
trouve uneapplication qui
mérite276 QUESTIONS
d’être mentionnée.
Qu’on
demande d’inscrire à unpolygone
donnè unpolygone de
même nom dont le contour soitle plus petit ?
Il estaisé de démontrer que les deux côtés de chacun des
angles
dupoly-
gone cherché doivent faire des
angles égaux
avec le coté dupoly-
gone donne sur
lequel,
est situé le sommet de cetangle (*).
Si lepolygone proposé
a un nombreimpair
decotés,
cesangles
sontdétermines par les
anales
dupolygone proposé)
etl’inscription
deman-dec est
unique
et déterminée.Mais ,
si lepolygone
propose a un nombrepair
de cotés, pour que leproblème
soitpossible ,
la somme desangles
de rangpair
dupolygone proposé,
àpartir
de l’unquelcon-
que, doit être
égale
à la somme de sesangles
de rangimpair (**).
Cette
égalité
étantsupposée,
le nombre despolygones
à inscrire estillimité;
et ils ont tous le mêmeplus petit
contour. Cetteapplication remarquable
faitl’objet
d’une dissertationqui
est a la suite de monouvrage intitulé : De relatione mutua
capacitatis et
terminorumfigurarum.
(*)
Voyez
le tome I des Annates , page375,
lemme I.(**)
Cetteproposition
revient à la suivante: si entre n inconnues xI, x2 , x 1 ; ...xn-I , xn, on a ra
équations
dela forme
et que n soit un nombre
impair ,
ces inconnues seront déterminées. Si , au contraire,n est
pair ,
leproblème
ne serapossible
que sous certaine relation entre les don-nées ; relation qui , si elle a lieu , rendra ce
problème
indéterminé.On a, en effet, I.° dans le cas de n
impair
2.° Dals le cas de n
pair.
équation
de condition qui, suivantqu’elle
aura ou n’aura pas lieu , rendra le pro-blème indéterminé ou
impossible,
( Notes des éditeurs. )
La différence que
présentent ,
àl’egard
dusujet
de cemémoire ,
les
polygones rectilignes ,
suivant que le nombre de leurs côtés estpair
ouimpair ,
n’est pas la seulequi distingue
ces deux classes depolygones.
Je vais encore en donner deuxexemples.
Qu’oa
demande d’inserire à un cercle donné unpolygone
dontles
angles
soient donnes. Cette condition suffit pour déterminer lepolygone cherché , lorsque
le nombre de ses cotes estimpair ,
demanière que
l’inscription
esttoujours possible.
Aucontraire ,
lenombre des côtés étant
pair , l’inscription
estpossible seulement lorsque
la somme desangles
donnés de rangpair
estégale
à celledes
angles
donnés àe rangimpair. Légalité
entre ces deux sommesayant
lien eneffet,
le nombre despolygones inscriptibles,
sous lesconditions
données
demeureillimité ;
et , pour que leproblème
soitdeterminé,
on doitajouter quelque
conditionindépendante
de la connais-sance des
angles,
etqui soit,
parexemple ,
relative au contourou à la surface.
De même,
qu’on
demande de circonscrire à un cercle donné unpolygone (
dont le nombre des côtés estplus grand
quetrois ) avant
des côtésdonnés;
ceproblème
estsusceptible
d’une seulesolution ,
si le nombre des côtés du
polygone
à construire estimpair.
Mais ?que le nombre des côtés de ce
polygone
soitpair ,
une conditionessentielle,
pour que leproblème
soitpossible ,
est que la somme descôtés de rang
pair
soitégale
à la somme des côtés de rangImpair.
Cette
égalité
étantsupposée
leproblème
estsusceptible
d’un nom-bre illimité de solutions.
Le
procédé
quej’ai
suivi pour résoudre leproblème proposé,
consiste à diminuer successivement de deux unités le nombre des côtes
du à construire ,
etpartant
a réduire finalement laquestion proposée à l’inscription
d’untriangle, ,
d’unepart,
pour lespolygones impairs,
et à celle duquadrilatère
pour lespolygones pairs.
Onpeut
aussi traiterchaque polygone
immédia-tement ,
sans ramener laquestion
à unpolygone
d’un moindre nombre de côtés, il me suffirad exposer
ceprocédé
sur unquadrilatère.
278 QUESTIONS
Soit
AA’A’’A’’’
unquadrilatère auquel
on doit inscrire un autrequadrilatère XX’X’’X’’’,
dont les côtés soientrespectivement paral-
lèles à des droites données
Que
lesangles
dupremier quadrilatère
soientdésignés
par AA’, A’’, A’’’
et soient faitssoit enfin
XA’=x,
on auraCette dernière
équation
donned’où on tire
279
Le
problème
estimpossible si,
entre lesdonnées,
on a laseule
équation
Sin.03B1.Sin.03B1’.Sin.03B1’’.Sin.03B1’’’.=Sin.03B2.Sin.03B2’.Sin.03B2’’.Sin.03B2’’’.
Mais si l’on a , en outre ,
le
problème
est indéterminé.Si ,
enparticulier ,
on ala
première
condition est d’elle-mêmesatisfaite,
et la secondedevient
Il faut donc alors que cette condition soit
remplie
pour que le pro-blème
soitpossible ;
et , si elle l’est eneffet ,
ceproblème
demeureindéterminé.
Le
procède
est exactement le même pour lespolygones
d’unplus graud
nombre decôtes
et ne diffère de celui-ci que pour lalongueur.
Lorsque
le nombre des côtés dupolygone propose
estimpair ,
ledénominateur
de la fractionqui exprime
la valeurde x ,
au lieud’être la différence de deux
produits ,
en est la somme ; et consé-quemment
iln’y
a lieu alors ni aimpossibilité
ni à indétermination.Scholie. On
peut réunir ,
sous un mêmeénoncé ,
leproblème qui
fait
l’objet
de cemémoire,
et celuiqui
est résolu à lapage n5
dece
volume ,
comme il suit : A unpolygone donné ,
inscrire unpolygone
de même nom dontquelques-uns
des côtéspassent
pardes points
donnés deposition ,
et dont los autres soientparallèles
à des droites données de