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Solutions du premier des deux problèmes proposés à la page 196 de ce volume. Première solution

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Texte intégral

(1)

L HUILIER

Solutions du premier des deux problèmes proposés à la page 196 de ce volume. Première solution

Annales de Mathématiques pures et appliquées, tome 2 (1811-1812), p. 270-279

<http://www.numdam.org/item?id=AMPA_1811-1812__2__270_1>

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(2)

270

QUESTIONS

trois

preriiers

termes de chacune des deux

proportions

ci-dessus se

trouvant connus, on pourra déterminer PG et

PH,

et

conséquem-

ment les

points G ,

H par

lesquels

menant des

parallèles Cg

et Ch

aux droites

données,

ces

parallèles

seront les

asymptotes

de la

courbe,

dont la

construction ,

par

points

ne

présentera plus

alors aucune

difficulté.

Solutions du premier des deux problèmes proposés à

la page I96 de

ce

volume.

Première solution;

Par M. LHUILIER , professeur de mathématiques à l’académie impériale de Genève.

LE

cas dans

lequel

le

polygone proposé

est un

triangle,

est

de

première facilité ;

en

particulier

il se construit par fausse

position

de

la manière la

plus simple.

Il n’en est

plus

de même

lorsque

le

nombre des côtés du

polygone proposé

est

plus grand

que trois.

LEMME. Soient des droites données de

grandeur.

On demande de

couper chacune d’elles en deux

parties ,

de manière que les rap-

ports

de ces

parties ,

deux à

deux,

soient

donnés,

sous les conditions

suivantes : on connaît le

rapport

d’une

partie

de la

première

à une

partie

de la

seconde ;

celui de l’autre

partie

de la seconde

a une

partie

de la

troisième

celui de l’autre

partie

de la troisième à une

partie

de la

quatrième ,

et ainsi de

suite , jusqu’à

ce

qu’on parvienne

au

rapport

de la seconde

partie

de la dernière à la seconde

partie

de la

première.

Premier

exemple. Que-

les droites données soient au nombre de deux seulement. Soient AB et A’B’ deux droites données de

grandeur

( fig. 6 ),

à couper en X et

X’,

de manière que les

rapports

de

(3)

AX à B’X’ et de A’X’ à BX

soient,

l’un. et

l’autre, égaux

à des

rapports

donnés.

Que

le

rapport

donné de AX à B’X’ soit

égal

au

rapport

de

AB à

B’b’;

et soit

porte

B’b’ sur B’A’ de B’ vers A’.

On a

d’où

si donc on pose il viendra

on connait donc la différence A’b’

(

s’il y a

lieu )

et le

rapport

des droites A’X’ et

blXI ,

et

conséquemment

ces

droites

sont l’une et

l’autre déterminées.

Construction. Que

le

rapport

donné de AX à B’X’ soit

présenté

sous la forme du

rapport

de AB à

B’b’ ,

et soit

portée

B’b’ sur B’A’.

Que

le

rapport

de A’X’ à BX soit aussi

présenté

sous la forme du

rapport

d’une droite L à AB. EnHn soient déterminées les droites A’X’ et b’X’ dont la différence A’b’ est

donnée,

et dont le

rapport

est celui de L à AB.

Remarque. Pour

que le

problème

soit

déterminé ,

les

points bl

et A’ ne doivent pas coïncider. En

effet ,

si le

rapport

de AX à fi/XI

est donné

égal

au

rapport

de AB à

A’B’ ,

le

rapport

de BX à A’X’

se trouve déterminé à être

égal

au même

rapport ,

et la

question proposée

demeure indéterminée. Cette

question

est

impossible ,

si le

rapport

de AX à B/X/ étant donné

égal

au

rapport

de AB à

A’B’ ,

le

rapport

de BX à AIXI n’est pas donné

égal

au même

rapport.

Second

exemple. Que

les droites données soient au nombre de trois. Soient

AB, A’B’ , A’’B’’ , ( fig. 7 )

trois

droites ,

données de

grandeur ,

à couper en

X, XI X" , respectivement ,

de manière que chacun des trois

rapports

AX :

B’X’ ,

A’X’ :

B"X" ,

A"X" : BX

soient

égaux

à des

rapport

donnés.

Que

le

rapport

de AX à B’X’ soit

égal

au

rapport

de AB à

B’a’ ;

et soit

porté

B’a’ sur B’A’ de BI vers A’.

0,.i a AX : B’X’=AB:

B’a’ ,

(4)

272 O U E S T I O N S d’où

posant

dont

il viendra

Soit en outre

donc

et

posant

donc il viendra enfin

On connait donc la somme A’b’ et le

rapport

des droites

A’X’

et

b’X’ ;

donc ces droites sont l’une et l’autre connues.

Troisième

exemple. Que

les droites données soient au nombre de

quatre.

Soient

AB , A’B’ , A’’B’’, A’’’B’’’ ( fig. 8 ) , quatre

droites données de

grandeur,

à couper

en X, X’ , X’’, X’’’,

de

manière que chacun des

quatre rapports

AX :

B’X’ ,

A’X’ :

B’’X’’,

A’’X’’ :

B’’’X’’’ , A’’’X’’’:BX,

soient

égaux

à des

rapports

donner

Soit fait d’où

posant

donc il viendra

Soit encore

d’où

et

conséquemment posant

donc

il viendra

Partant,

on

connaît,

de

grandeur,

les droites A’b’ et

A’’B’’ ,

et

les

rapports

AIXI :

B’’X’’,

A’’X’’ :

b’X’ ;

donc la

question proposée

sur

quatre

droites est ramenée à la

question correspondante

sur deux

droites.

Et,

comme cette dernière est

susceptible

d’indétermination

et

d’impossibilité ,

aussi la

question proposée

sur

quatre

droites est

susceptible

d’indétermination et

d’impossibilité.

On montrera

précisément,

de la même

manière,

que la

question

proposée

(5)

273

proposée

sur

cinq

droites est ramenée à la

question correspondante

sur trois

droites;

et

partant

la

question

est

toujours possible,

dé-

terminée et

susceptible d’une

seule solution. On

montrera

aussi que la

question proposée

sur six droites est ramenée à la

question

corres-

pondante

sur

quatre droites,

et

partant qu’elle

est

susceptible

d’im-

possibilité

et d’Indétermination.

En général,

la

question

étant

proposée

sur un nombre

quelconque

de droites

( plus grand

que

deux ) ,

elle est

toujours

ramenée à la

question correspondante

sur des droites dont le nombre est inférieur de deux unités. Si donc le nombre des droites données est

impair,

le

problème

est finalement ramené à trouver deux droites dont on connaît la difference et le

rapport.

Afin donc que, dans ce cas, le

problème

soit

possible

et

déterminé,

la différence ne doit pas éva-

nouir,

et le

rapport

donné ne doit pas être un

rapport d’égalité.

Si

la différence

évanouit,

le

rapport

est déterminé à être celui

d’égalité,

et alors la

question

est Indéterminée.

Remarque.

On résout sensiblenment de la même manière les cas

dans

lesquels

lcs droites données sont, en tout ou cn

partie,

des

différences des droites cherchées. Le nombre des droites données étant

quelconque, pair

ou

impair,

si le nombre de celles

auxquelles

ré-

pond

une somme est

pair,

la

question

est

susceptible

d’indétermina- tion ou

d’impossibilité.

PROBLÈME . A

un

polygone donné, inscrire

un

polygone

de même

nom, dont les côtés soient

respectivement paralleles à

des droites données cle

position ?

Solution. Dans chacun des

triangles

retranchés par les côtés du

polygone inscrit, lesquels

ont pour bases les cotés de ce

polygone

et pour sommets les sommets

corrcspondans

du

polygone donné;

dans ces

triangles, dis-je,

les

angles

sont

donnés; partant,

ces trian-

gles

sont donnés

d’espèce,

et en

particulier

les

rapports

de ceux de

leurs cotés

qui

font

partie

des côtes du

polygone proposée

sont donnes.

Delà la

question

est Immédiatement ramenée au lemme

qui

yient

de nous occuper.

Tom. II. 38

(6)

274 OUESTIONS

Savoir : désignons

par

A, AI A’’, .... A N-I, AN ,

les sommets

du

polygone donné,

et par

X, X’, X’’,....XN-I, XN,

les som-

mets du

polygone cherchée

de manière que le sommet X soit sur

ANA,

le sommet XI sur

AA’,

et ainsi de suite. On connaît les droites

ANA, AA’, A’A’’, ....AN_IAN,

et les

rapports AX:XA’, A’X’:X’A’’, A’’X’’:X’’A’’’, .... ANXN:XNA

de leurs

parties.

Puisque

cette

Inscription

est ramenée a notre

me,

elle est pos-

sible et

unique, lorsque

le nombre des côtés du

polygene proposé

est

impair;

elle est

susceptible d’impossibilité

ou

d’indetermination ,

lorsque

le nombre des cotes de ce

polygone

est

pair.

Je crois devoir éclaircir

1’indétermination,

si eUe a

lieu,

par

quel-

(lues

exemples.

Premier

exemple.

Soit un

quadrilatère AA’A’’A’’’, ( fig.9 ) dont

AA’’

et A’A’’’ soient les

diagonales.

A la

diagonale

A’A’’’ soit menée arbi- trairement une

parallèle,

se terminant en X et X’’’ aux côtés AA’

et AA’’’ de ce

quadrilatère.

Par les

points

X et X’’’ soient menées à l’autre

diagonale

AA’’ des

parallèles,

se terminant en X’ et XII aux

côtés A’’A’ et

A’’A’’’,

et soit enfin menée X’X’’. J’affirme que cette droite sera, comme

XX’’’ , parallèle a

la

diagonale A’A’’’;

et

par-

tant que le

quadrilatère

XX’X’’X’’’ est un

parallélogramme.

On a, en

effet ,

par

construction ,

donc

donc X’X’’ est

parafe

à

A’A’’’.

Ou

bien,

les

rapports X’A’:A’X, XA:AX’’’, X’’’A’’’:A’’’X’’

étant

respectivement

egaux aux

rapports A’’A’:A’A, A’A:AA’’’ , AA’’’:A’’A’’’,

le

rapport

A’’X’:A’’X’’ est déterminé à être

égal

au

rapport

A’’A’:A’’A’’’: et le nombre dos

polygones équiangles

ins-

criptibles

au

quadrilatère proposé

est illimité.

Second

exemple. Soit AA’A’’A’’’

A’’’’Av un

hexagone. ( fige. I0 )

Soient

(7)

RÉSOLUES. 275

menées les

diagonales AA’’,A’A’’’,A’’A’’’’,A’’’Av, A’’’’A, qui

retran-

chent deux côtés. Par un

point X, pris

arbitrairement sur l’un AA’ des

côtes y

soit menée à la

diagonale

AA’’ une

parallèle

terminée en X’

au côté

A’A’’;

par X’ soit menée à la

diagonale

A’A’’’ une

parallèle

terminée en X’’ au côté

A’’A’’’ ;

soient de même menées X’’X’’’

parallèle

à

A’’A’’’’,

X’’’X’’’’

parallèle

à

A’’’Av ,

X’’’’Xv

parallèle

à

A’’’’A,

et soit enfin menée

XvX ; j’affirme

que cette dernière droite est

parallèle

à la

diagonale

A’Av.

On a, en

effet ,

par construction

donc

donc la droite XXv est

parallèle

à la

diagonale

A’Av.

Partant,

les

rapports XA’:A’X’ ,

A’X’ :

X’’A’’’ ,

X’’A’’’ :

A’’’X’’’ , A’’’X’’’:X’’’’Av,

X’’’’Av:XvAv étant

respectivement égaux aux

rap-

ports

AA/:

A’A’’ ,

A/A’’ :

A’’A’’’ ,

A’’A’’’ :

A’’’Av,

A’’’A’’’’ :

A’’’’Av ,

A’’’’Av :

AAv ,

le

rapport

XA" : XvAv se trouve déterminé à être

égal

au

rapport

AA’ : AAv ou encore , dans le

polygone XX’X’’X’’’X’’’’Xv ,

les côtes

XX’ , X’X’’, X’’X’’’, X’’’X’’’’,

X’’’Xv étant

respectivement parallèles

aux

diagonales AA’’ , A’A’’’ , A’’A’’’’ , A’’’Av, A’’’’A,

le

côté restant XvX se trouve déterminé à être

parallèle

à la

diagonale

AvA’ ;

et le. nombre des

hexagones , équiangles

entre eux,

inscrip-

tables à

l’hexagone proposé ,

sous les conditions

données ,

demeure

illimité.

Cette

propriété

s’étend à tous les

polygones

d un nombre de cotés

pair ,

en menant des

parallèles

aux

diagonales qui joignent

les

extrémités des côtés des

angles

du

polygone

donné.

Scholie. Le

problème proposé

trouve une

application qui

mérite

(8)

276 QUESTIONS

d’être mentionnée.

Qu’on

demande d’inscrire à un

polygone

donnè un

polygone de

même nom dont le contour soit

le plus petit ?

Il est

aisé de démontrer que les deux côtés de chacun des

angles

du

poly-

gone cherché doivent faire des

angles égaux

avec le coté du

poly-

gone donne sur

lequel,

est situé le sommet de cet

angle (*).

Si le

polygone proposé

a un nombre

impair

de

cotés,

ces

angles

sont

détermines par les

anales

du

polygone proposé)

et

l’inscription

deman-

dec est

unique

et déterminée.

Mais ,

si le

polygone

propose a un nombre

pair

de cotés, pour que le

problème

soit

possible ,

la somme des

angles

de rang

pair

du

polygone proposé,

à

partir

de l’un

quelcon-

que, doit être

égale

à la somme de ses

angles

de rang

impair (**).

Cette

égalité

étant

supposée,

le nombre des

polygones

à inscrire est

illimité;

et ils ont tous le même

plus petit

contour. Cette

application remarquable

fait

l’objet

d’une dissertation

qui

est a la suite de mon

ouvrage intitulé : De relatione mutua

capacitatis et

terminorum

figurarum.

(*)

Voyez

le tome I des Annates , page

375,

lemme I.

(**)

Cette

proposition

revient à la suivante: si entre n inconnues xI, x2 , x 1 ; ...

xn-I , xn, on a ra

équations

de

la forme

et que n soit un nombre

impair ,

ces inconnues seront déterminées. Si , au contraire,

n est

pair ,

le

problème

ne sera

possible

que sous certaine relation entre les don-

nées ; relation qui , si elle a lieu , rendra ce

problème

indéterminé.

On a, en effet, I.° dans le cas de n

impair

2.° Dals le cas de n

pair.

équation

de condition qui, suivant

qu’elle

aura ou n’aura pas lieu , rendra le pro-

blème indéterminé ou

impossible,

( Notes des éditeurs. )

(9)

La différence que

présentent ,

à

l’egard

du

sujet

de ce

mémoire ,

les

polygones rectilignes ,

suivant que le nombre de leurs côtés est

pair

ou

impair ,

n’est pas la seule

qui distingue

ces deux classes de

polygones.

Je vais encore en donner deux

exemples.

Qu’oa

demande d’inserire à un cercle donné un

polygone

dont

les

angles

soient donnes. Cette condition suffit pour déterminer le

polygone cherché , lorsque

le nombre de ses cotes est

impair ,

de

manière que

l’inscription

est

toujours possible.

Au

contraire ,

le

nombre des côtés étant

pair , l’inscription

est

possible seulement lorsque

la somme des

angles

donnés de rang

pair

est

égale

à celle

des

angles

donnés àe rang

impair. Légalité

entre ces deux sommes

ayant

lien en

effet,

le nombre des

polygones inscriptibles,

sous les

conditions

données

demeure

illimité ;

et , pour que le

problème

soit

determiné,

on doit

ajouter quelque

condition

indépendante

de la connais-

sance des

angles,

et

qui soit,

par

exemple ,

relative au contour

ou à la surface.

De même,

qu’on

demande de circonscrire à un cercle donné un

polygone (

dont le nombre des côtés est

plus grand

que

trois ) avant

des côtés

donnés;

ce

problème

est

susceptible

d’une seule

solution ,

si le nombre des côtés du

polygone

à construire est

impair.

Mais ?

que le nombre des côtés de ce

polygone

soit

pair ,

une condition

essentielle,

pour que le

problème

soit

possible ,

est que la somme des

côtés de rang

pair

soit

égale

à la somme des côtés de rang

Impair.

Cette

égalité

étant

supposée

le

problème

est

susceptible

d’un nom-

bre illimité de solutions.

Le

procédé

que

j’ai

suivi pour résoudre le

problème proposé,

consiste à diminuer successivement de deux unités le nombre des côtes

du à construire ,

et

partant

a réduire finalement la

question proposée à l’inscription

d’un

triangle, ,

d’une

part,

pour les

polygones impairs,

et à celle du

quadrilatère

pour les

polygones pairs.

On

peut

aussi traiter

chaque polygone

immédia-

tement ,

sans ramener la

question

à un

polygone

d’un moindre nombre de côtés, il me suffira

d exposer

ce

procédé

sur un

quadrilatère.

(10)

278 QUESTIONS

Soit

AA’A’’A’’’

un

quadrilatère auquel

on doit inscrire un autre

quadrilatère XX’X’’X’’’,

dont les côtés soient

respectivement paral-

lèles à des droites données

Que

les

angles

du

premier quadrilatère

soient

désignés

par A

A’, A’’, A’’’

et soient faits

soit enfin

XA’=x,

on aura

Cette dernière

équation

donne

d’où on tire

(11)

279

Le

problème

est

impossible si,

entre les

données,

on a la

seule

équation

Sin.03B1.Sin.03B1’.Sin.03B1’’.Sin.03B1’’’.=Sin.03B2.Sin.03B2’.Sin.03B2’’.Sin.03B2’’’.

Mais si l’on a , en outre ,

le

problème

est indéterminé.

Si ,

en

particulier ,

on a

la

première

condition est d’elle-même

satisfaite,

et la seconde

devient

Il faut donc alors que cette condition soit

remplie

pour que le pro-

blème

soit

possible ;

et , si elle l’est en

effet ,

ce

problème

demeure

indéterminé.

Le

procède

est exactement le même pour les

polygones

d’un

plus graud

nombre de

côtes

et ne diffère de celui-ci que pour la

longueur.

Lorsque

le nombre des côtés du

polygone propose

est

impair ,

le

dénominateur

de la fraction

qui exprime

la valeur

de x ,

au lieu

d’être la différence de deux

produits ,

en est la somme ; et consé-

quemment

il

n’y

a lieu alors ni a

impossibilité

ni à indétermination.

Scholie. On

peut réunir ,

sous un même

énoncé ,

le

problème qui

fait

l’objet

de ce

mémoire,

et celui

qui

est résolu à la

page n5

de

ce

volume ,

comme il suit : A un

polygone donné ,

inscrire un

polygone

de même nom dont

quelques-uns

des côtés

passent

par

des points

donnés de

position ,

et dont los autres soient

parallèles

à des droites données de

position ?

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