Solutions globales des équations d’Einstein-Maxwell

ANNALES

DE LA FACULTÉ DES SCIENCES

Mathématiques

JULIEN LOIZELET

Solutions globales des équations d’Einstein-Maxwell

Tome XVIII, n^o3 (2009), p. 495-540.

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Annales de la Facult´e des Sciences de Toulouse Vol. XVI, n^◦3, 2009 pp. 495–540

Solutions globales des ´ equations d’Einstein-Maxwell

Julien Loizelet⁽¹⁾

R^´ESUM´E.— En adaptant une m´ethode de Lindblad et Rodnianski, on prouve l’existence de solutions globales pour les ´equations d’Einstein- Maxwell en dimension d’espacen3. Les donn´ees initiales consid´er´ees sont lisses, asymptotiquement euclidiennes et suffisamment petites. On utilise la jauge harmonique et la jauge de Lorenz.

ABSTRACT.— Adapting a method of Lindblad and Rodnianski, we prove existence of global solutions for the Einstein-Maxwell equations in space dimensionn3. We consider small enough smooth and asymptotically flat initial data. We use harmonic gauge and Lorenz gauge.

Table des mati` eres

1 Introduction . . . .496

2 Th´eor`eme d’existence globale. . . .500

3 Construction des donn´ees initiales . . . .501

4 Estimations faibles de d´ecroissance . . . .505

5 Jauge harmonique et jauge de Lorenz . . . .509

6 Estimations fortes de d´ecroissance . . . .514

7 Th´eor`eme d’estimations fortes d’´energie. . . .519

8 Compl´etude g´eod´esique . . . .524

9 Annexes . . . .528

10 Notations . . . .535

Bibliographie . . . .539

(∗) Re¸cu le 17 d´ecembre 2007, accept´e le 31 octobre 2008

(1) Laboratoire de Math´ematiques et Physique Th´eorique (UMR CNRS 6083) Facult´e des Sciences et Techniques, Universit´e Fran¸cois Rabelais, Parc de Grandmont 37200 Tours, France

Julien.Loizelet@lmpt.univ-tours.fr

1. Introduction

On constate un int´erˆet croissant pour l’´etude des solutions asympto- tiquement euclidiennes des ´equations d’Einstein en dimensions sup´erieures, cf.[1, 5, 6, 7]. Les premiers travaux sur le sujet de Christodoulou et Klain- erman [4] prouvant la stabilit´e non lin´eaire de l’espace de Minkowski `a quatre dimensions utilisent les ´equations de Bianchi et, de ce fait, ne se g´en´eralisent pas de fa¸con ´evidente pour des dimensions plus grandes que quatre. L’existence globale surR<sup>n+1</sup> avecn4 pour des donn´ees initiales suffisamment petites de solutions de syst`eme d’´equations d’ondes quasi- lin´eaires du type des ´equations d’Einstein en coordonn´ees harmoniques a ´et´e prouv´ee dans [9, 15], voir aussi [3] pourn5 impair, avec des conditions de d´ecroissance des donn´ees initiales incompatibles avec les ´equations de contraintes. Dans [14], H. Lindblad et I. Rodnianski ont prouv´e l’existence de solutions globales des ´equations d’Einstein coupl´ees `a un champ scalaire, quandn= 3, pour des donn´ees initialesC<sup>∞</sup>suffisamment petites et asymp- totiquement euclidiennes, en choisissant de travailler avec la jauge har- monique (1.4). Le but de ce travail est de montrer, en utilisant `a la fois la jauge harmonique (1.4) et la jauge de Lorenz (1.5), l’existence de solu- tions globales des ´equations d’Einstein - Maxwell avec des donn´ees initiales petites, en dimension d’espacen3 :

R_µν−¹₂g_µνR= 8πT_µν ,

DµF^µν= 0. (1.1)

Ces ´equations donnent une relation entre le tenseur gravitationnel Gµν = Rµν − ¹₂gµνR (exprim´e en fonction de la courbure de Ricci Rµν

et de la courbure scalaire R = g^µνRµν d’une m´etrique Lorentzienne gµν

inconnue) et le tenseur ´energie-tension Tµν = _4π¹ (FµλF_ν^λ− ¹₄gµνF^λρFλρ) d’un champ ´electromagn´etique Fµν =∂µAν−∂νAµ , A´etant une 1-forme (4-potentiel ´electromagn´etique). Ces ´equations sont une g´en´eralisation di- recte des ´equations en dimensionn+ 1 = 4.

On consid`ere alors le probl`eme de Cauchy suivant : on se donne une vari´et´e Σ₀ (de dimension n) avec une m´etrique Riemannienne g₀, un 2- tenseur sym´etrique k₀ et des donn´ees initiales (A⁰ =A⁰_idxⁱ, E⁰ =E_i⁰dxⁱ) pour le champ ´electromagn´etique. On veut trouver une vari´et´eM(de dimen- sionn+ 1) avec une m´etrique Lorentzienneget un potentiel ´electromagn´e- tique A qui v´erifient (1.1) telle que Σ0 soit plong´e dans M, g0 soit la re- striction degsur Σ0 ,k0soit la seconde forme fondamentale de Σ0dansM et que (A⁰, E⁰) soit la restriction sur Σ0 du potentiel vectorielAidxⁱ et du

«champ ´electrique» Eidxⁱ=F0idxⁱ.

On suppose les conditions initialesC^∞ et asymptotiquement euclidiennes : i.e. pour r=|x| →+∞,α >0 etM la masse ADM on a :

∀i, j= 1, ..., n

















 g0ij=

(1+ ^2M_r )δij+O(r^−1−α), pourn= 3, δij+O(r^{1−n2 −α}), pourn4,

A⁰=O(r^{1−n2 −α}), k0ij =O(r^{−n+12 −α}), E⁰=O(r^{−n+12 −α}).

(1.2)

De plus, on impose que les donn´ees initiales v´erifient les ´equations de con- traintes :

∀i, j= 1, ..., n







R0−k_0jⁱ k^j_0i+kⁱ_0ik_0j^j = 2F0iF₀ⁱ+FijF^ij ,

∇^jk_0ij− ∇ik^j_0j=F0jF_i^j ,

∇iF⁰ⁱ= 0.

(1.3)

o`uR0d´esigne la courbure scalaire deg0et ∇la d´eriv´ee covariante par rap- port `ag0.

Enfin, on choisit de travailler avec deux jauges particuli`eres : la jauge de coordonn´ees harmoniques

∂µ

g^µν

|detg| = 0 ∀ν = 0, ..., n (1.4) et la jauge de Lorenz

∂µ

|detg|A^µ = 0. (1.5)

1.1. ´Ecriture sous la forme d’un syst`eme quasi-lin´eaire

Dans cette section, on utilise les conditions de jauge pour transformer le syst`eme de d´epart (1.1) en un syst`eme quasi-lin´eaire de forme ad´equate pour le reste de l’argumentation.

L’´equationDµF^µν = 0 de (1.1) entraˆıne¹ : 0 = ∂_µ

|detg|g^νβg^µα(∂_αA_β−∂_βA_α)

= g^νβ∂_µ(

|detg|g^µα∂_αA_β)−g^νβ∂_µ(

|detg|g^µα∂_βA_α) + (∂_µg^νβ) (1.6) |detg|g^µα(∂_αA_β−∂_βA_α)

(1) On note ˜g =g^αβ∂α∂β.

= g^νβ

|detg|˜gA_β+g^νβ∂_µ(

|detg|g^µα)∂_αA_β−g^νβ∂_µ(

|detg|g^µα)∂_βA_α

=0 dapr`es (1.4)

−g^νβg^µα

|detg|∂µ∂_βA_α

(I)

+(∂_µg^νβ)

|detg|g^µα(∂_αA_β−∂_βA_α)

.

Or , d’apr`es (1.5) : 0 = ∂β∂µ(

|detg|g^µαAα)

= ∂β



∂µ(

|detg|g^µα)Aα

=0 dapr`es (1.4)

+

|detg|g^µα∂µAα



 (1.7)

=

|detg|g^µα∂β∂µAα+∂β

|detg|g^µα ∂µAα.

Ainsi :

(I) = g^νβ∂β

|detg|g^µα ∂µAα (1.8)

= g^νβ 1

2

|detg|g^λτ(∂βgλτ)g^µα+

|detg|∂βg^µα ∂µAα. On obtient donc :

0 = g^νβ˜gA_β+1

2g^νβg^λτ∂_βg_λτg^µα∂_µA_α

=0 dapr`es (1.4) et (1.5)

(1.9)

+g^νβ(∂_βg^µα)∂_µA_α+g^µα(∂_µg^νβ)(∂_αA_β−∂_βA_α). Finalement, on trouve :

˜gAσ=g^µαg^νβ(∂µgνσ)(∂αAβ−∂βAα)−(∂σg^µα)∂µAα (1.10)

= m^νβm^µα∂_µh_νσ(∂_αA_β−∂_βA_α) +m^ρµm^λα∂_σh_ρλ∂_µA_α +O(|h| |∂h| |∂A|).

Maintenant, prenant la trace de l’´equation dans (1.1 ) :Rµν−¹₂gµνR= 2(F_µ^αFνα−¹₄gµνFστF^στ), on obtient :

R(1−n+ 1

2 ) = 2FστF^στ(1−n+ 1

4 ). (1.11)

InjectantRainsi trouv´e dans (1.1), on a : Rµν = 2F_µ^αFνα− 1

n−1gµνFστF^στ . (1.12)

Et on calcule que

2F_µ^αFνα−_n−¹₁gµνFστF^στ = 2m^αβ(∂µAβ−∂βAµ)(∂νAα−∂αAν) (1.13)

− 1

n−1m_µνm^ασm^βτ(∂_σA_τ−∂_τA_σ)(∂_αA_β−∂_βA_σ) +O(|h| |∂A|²).

Ainsi, en supposant (1.4) et (1.5) v´erifi´ees, on peut ´ecrire (1.1) sous la forme du syst`eme d’´equations d’ondes quasi-lin´eaires :





























˜gh_µν = F_µν(h)(∂h, ∂h)

−4m^αβ(∂µAβ−∂βAµ)(∂νAα−∂αAν)

(1.14.1 ) +_n−1² mµνm^ασm^βτ(∂σAτ−∂τAσ)(∂αAβ−∂βAσ) +O(|h| |∂A|²),

˜gAσ = m^νβm^µα∂µhνσ(∂αAβ−∂βAα) +m^ρµm^λα∂σhρλ∂µAα

(1.14.2) +O(|h| |∂h| |∂A|),

(1.14) o`uFµν(h)(∂h, ∂h) est d´efini dans le lemme 3.2 de [13] ethµν =gµν−mµν. Plus pr´ecis´ement,

F_µν(h)(∂h, ∂h) =P(∂_µh, ∂_νh) +Q_µν(∂h, ∂h) +G_µν(h)(∂h, ∂h), (1.15) o`u

P(∂µh, ∂νh) = 1

4m^αα∂µhααm^ββ∂νhββ−1

2m^ααm^ββ∂µhαβ∂νhαβ , (1.16) Q_µν(∂h, ∂h) = ∂_αh_βµm^ααm^ββ∂_αh_βν

−m^ααm^ββ

∂αhβµ∂βhαν−∂βhβµ∂αhαν

+m^ααm^ββ

∂µhαβ∂αhβν−∂αhαβ∂µhβν

+m^ααm^ββ

∂νhαβ∂αghβµ−∂αhαβ∂νhβµ

+ 1

2m^ααm^ββ

∂_βh_αα∂_µh_βν−∂_µh_αα∂_βh_βν + 1

2m^ααm^ββ

∂_βh_αα∂_νh_βµ−∂_νh_αα∂_βh_βµ (1.17)

est une forme nulle et Gµν(h)(∂h, ∂h) est une forme quadratique en ∂h avec des coefficients lisses d´ependant dehet s’annulant quandhs’annule : Gµν(0)(∂h, ∂h) = 0.

Rappelons que ˜g=g^αβ∂_α∂_β, on est alors amen´e `a ´etudier le syst`eme : ˜g

h¹_µν A_σ

=

F_µν+ ˜F_µν F_σ^A

FM

−

˜gh⁰_µν 0

, (1.18)

o`uhµν =h¹_µν+h⁰_µν avech⁰_µν(t) =

χ(r/t)χ(r)^2M_r δµν pour n= 3, 0 pour n4,

χ∈C^∞, χ(s) valant 1quands3/4 et 0 quands1/2 et :

F˜µν(h)(∂A, ∂A) = −4m^αβ(∂µAβ−∂βAµ)(∂νAα−∂αAν) (1.19)

+ 2

n−1mµνm^ασm^βτ(∂σAτ−∂τAσ)(∂αAβ−∂βAσ) +O(|h| |∂A|²),

F_σ^A(h)(∂h, ∂A) = m^νβm^µα∂_µh_νσ(∂_αA_β−∂_βA_α) (1.20) +m^ρµm^λα∂σhρλ∂µAα

+O(|h| |∂h| |∂A|).

2. Th´eor`eme d’existence globale

Le th´eor`eme suivant est le r´esultat principal de ce travail. Cette section ne contient qu’une esquisse de la preuve, les d´etails ´etant pr´esent´es dans les sections suivantes.

Th´eor`eme 2.1 (Th´eor`eme d’existence globale). — Soient (Σ0, g0, k0, A⁰, E⁰) les donn´ees initiales du syst`eme d’´equations d’Einstein- Maxwell(1.1). Supposons queΣ0soit diff´eomorphe `aRⁿ, que(g0, k0, A⁰, E⁰) soientC^∞ et v´erifient les conditions(1.2)et(1.3).

SoitN un entier naturel tel que N 2[ⁿ⁺²₂ ] + 6. Soitg0=δ+h⁰₀+h¹₀ o`u h⁰_0ij=

χ(r)^2M_r δ_ij pour n= 3,

0 pourn4, avec χ∈C^∞ valant1 pourr3/4et 0 pourr1/2. Posons

E_N,γ(0) =

0|I|N

(1+r)^1/2+γ+|I|∇∇^Ih¹₀²

L²+(1+r)^1/2+γ+|I|∇^Ik₀²

L²

+(1+r)^1/2+γ+|I|∇∇^IA⁰²

L²+(1+r)^1/2+γ+|I|∇^IE⁰²

L² .(2.1) Il existe alors une constante ε0>0 telle que, pour toutes donn´ees initiales v´erifiant

E_N,γ(0) +M ε₀, sin= 3 (2.2) EN,γ(0)ε0, sin4

pour un certainγ >0, le probl`eme de Cauchy pour le syst`eme(1.1)poss`ede une solutionC<sup>∞</sup> globale(g, A)avec (R<sup>n+1</sup>, g)g´eod´esiquement compl`ete.

Id´ee de la preuve :

Il est standard de montrer (cf. section 3) que toute solutionh¹du syst`eme (1.18) avec des donn´ees initiales v´erifiant (1.3), (1.4) et (1.5) d´efinit une solu- tiong=m+h<sup>1</sup>+h<sup>0</sup>du syst`eme (1.1). Et puisqu’on peut toujours construire des donn´ees initiales v´erifiant (1.3), (1.4) et (1.5) `a partir des donn´ees ini- tiales du th´eor`eme 2.1(cf. section 3), on est ramen´e `a chercher des solutions globales de (1.18). De plus, on sait que si les donn´ees initiales v´erifient (1.3), (1.4) et (1.5) alors il existe une solution locale en temps (h, A) de (1.18) telle que g =m+h et A v´erifient (1.4) et (1.5) pour toutt dans un intervalle maximal d’existence [0, T0]. On note queT0peut ˆetre caract´eris´e par le fait queEN(t)→ ∞quand t→T₀⁻.

SoitE_N^{M axwell}(t) d´efinie par (10.10), soit 0< δ < ¹₄ et soit T < T₀ le temps maximal tel que l’in´egalit´e

E_N^{M axwell}(t)2CNε²(1+t)^2δ (2.3) soit vraie pour 0tT. (Les hypoth`eses du th´eor`eme d’existence globale font que T > 0). Le th´eor`eme 7.1permet de montrer que, pour ε > 0 suffisamment petit, l’in´egalit´e (2.3) entraˆıne la mˆeme in´egalit´e avec 2CN

remplac´ee par CN pour 0 t T. Puisque E_N^{M axwell} est une fonction continue, cela contredit la maximalit´e deT et donc que (2.3) est vraie pour 0T T0. De plus, puisque l’´energieE_N^{M axwell}(t) est maintenant finie en t=T0, on peut ´etendre la solution (hµν, Aσ) au del`a deT0, contredisant ainsi la maximalit´e de T0 et montrant que T0 = +∞. Ceci a pour cons´equence que la solution est globale.

3. Construction des donn´ees initiales 3.1. Construction

Dans ce paragraphe, on v´erifie qu’`a partir des donn´ees initiales (g0, k0, A⁰, E⁰), on peut construire (gt=0, ∂tg|t=0, A|t=0, ∂tA|t=0) satisfaisant (1.4) et (1.5).

Soitχ∈C^∞ valant 1pourr3/4 et 0 pourr1/2. On a suppos´e g0=δ+h⁰₀+h¹₀o`uh⁰_0ij=

χ(r)^2M_r δ_ij pour n= 3, 0 pour n4,

et on veut

g|t=0=m+h⁰|t=0+h¹|t=0 o`uh⁰_µν|t=0=

χ(r)^2M_r δ_µν pour n= 3, 0 pour n4.

Soita²=

(1−^2M_r χ(r)) pourn= 3, 1pourn4.

On pose tout d’abord :

gij|t=0=g0ij, g00|t=0=−a², g0i|t=0= 0, (3.1)

∂_tg_ij|t=0=−2ak0ij . (3.2) Il reste `a d´eterminer ∂<sub>t</sub>g<sub>0α</sub>. Pour cela, on cherche `a satisfaire la condition de coordonn´ees harmoniques ´ecrite sous la forme :

g^αβ∂αgβµ= 1

2g^αβ∂µgαβ. En prenantµ= 0, on obtient :

1

2g⁰⁰∂_tg₀₀=−g^βi∂_ig_0β+1

2g^ij∂_tg_ij , et donc

∂tg00|t=0= 2a³g₀^ijk0ij . (3.3) Si on prend cette foisµ=i, on obtient :

g⁰⁰∂tg0i=−g^βj∂jgiβ+1

2g^µν∂igµν , d’o`u

∂tg0i|t=0=a²g^kj₀ ∂jg0ki−1

2a²g₀^kj∂ig0kj−a∂ia . (3.4) Enfin, il faut construireA|t=0 et∂tA|t=0.

Pour cel`a, on choisit A0|t=0 = 0, on poseAi|t=0=A⁰_i et ∂tAi|t=0=E_i⁰ et on calcule∂tA0|t=0en utilisant que (D^µAµ)|t=0= 0.

3.2. ´Equivalence du syst`eme r´eduit et du syst`eme initial On a construit (A|t=0, ∂tA|t=0) tel que :

DµA^µ|t=0= 0. (3.5)

On impose queA^ν soit solution de l’´equation d’´evolution

gA^ν =R_σ^νA^σ, (3.6)

avecAµ|t=0 et∂tAµ|t=0 pr´ecedemment construites pour donn´ees initiales.

On note que (3.6) vient de :

0 =DµF^µν =Dµ(D^µA^ν−D^νA^µ) (3.7)

=−D_µD^νA^µ+D_µD^µA^ν

=gA^ν−DµD^νA^µ

=gA^ν−g^βν(R^µ_σµβA^σ+DβDµA^µ

=0

)

=gA^ν−R_σ^νA^σ

Etant donn´´ ee une solutionAµdu syst`eme r´eduit (1.14) v´erifiant (3.6), on veut montrer queAµsatisfait la condition de LorenzDµA^µ= 0 et l’´equation de MaxwellDµF^µν = 0 pour toutt.

Dans ce but, on d´efinit :

Λ :=DµA^µ (3.8)

et on veut montrer que Λ = 0 pour tout t. Par construction des donn´ees initiales, on a Λ = 0 ent= 0. On calcule que

DµF^µν= −D^νΛ +gA^ν−R_σ^νA^σ

= −D^νΛ, (3.9)

d’apr`es (3.6). Ceci montre que∂tΛ = 0 sur Σ0 si et seulement si on impose l’´equation de contrainte de Maxwell

DiFⁱ⁰|t=0= 0. (3.10)

En supposant cette ´equation de contrainte v´erifi´ee, on obtient d’apr`es (3.9) : 0 =DνDµF^µν =−gΛ.

Ici, on a utilis´e que le membre de gauche de la derni`ere ´equation est iden- tiquement nul carF<sup>µν</sup> =D<sup>µ</sup>A<sup>ν</sup>−D<sup>ν</sup>A<sup>µ</sup>. Il s’en suit que Λ satisfait l’´equation d’onde homog`ene :

gΛ = 0.

Or, par (3.5), on a Λ = 0 sur Σ₀ et on a∂_tΛ = 0 sur Σ₀ d’apr`es l’´equation de contrainte (3.10). Ainsi, Λ≡0 sur tout d´eveloppement globalement hy- perbolique de Σ<sub>0</sub>. On voit alors, d’apr`es (3.9), que D_µF^µν = 0 pour tout t, montrant que le champ A_µ satisfait `a la fois l’´equation de Maxwell et la jauge de Lorenz pour toutt.

Maintenant, ´etant donn´ee une solutiong du syst`eme r´eduit (1.1 4) , on va montrer queg=m+hsatisfait la condition de jauge harmonique (1.4) et l’´equation d’EinsteinRµν−¹₂gµνR= 8πTµν pour toutt.

Soit g la solution des ´equations d’Einstein r´eduites (1.14) , on peut ´ecrire (avec la notation Γ^λ=g^αβΓ^λ_αβ) :

R_µν−1

2(D_µΓ_ν+D_νΓ_µ) =Nµν (3.11) o`u Nµν est une certaine fonction donn´ee de g, ∂g, A et ∂A. En effet ( en notant Γ_{µ ν}^λ = ¹₂g^λδ(∂_µg_δν+∂_νg_δµ−∂_δg_µν)), on a :

R_µν =∂_βΓ_{µ ν}^β −∂_νΓ_{µ β}^β

A

−Γ_{ρ ν}^β Γ_{µ β}^ρ

B

+ Γ_{ρ β}^β Γ_{µ ν}^ρ

C

(3.12)

A=−1

2g^αβ∂α∂βgµν+1

2g^αβ(∂ν∂βgαµ+∂µ∂βgαν−∂ν∂µgαβ) (3.13) +1

2(∂βg^αβ)(∂µgαν+∂νgαµ−∂αgµν)−1

2(∂νg^αβ)(∂µgαβ) B = 1

4(∂νg^αβ)(∂µgαβ) (3.14)

C= −ΓµανΓ^α−1

2(∂βg^αβ)(∂µgαν+∂νgαµ−∂αgµν) (3.15) De plus

1

2(D_νΓ_µ+D_µΓ_ν) = 1

2(∂_νΓ_µ+∂_µΓ_ν)−Γ_µανΓ^α (3.16)

= 1

2g^αβ(∂_ν∂_βg_αµ+∂_µ∂_βg_αν−∂_ν∂_µg_αβ) +1

2(∂_µg^αβ)Γ_ανβ+1

2(∂_νg^αβ)Γ_αµβ−Γ_µανΓ^α On trouve alors :

R_µν = 1

2(D_νΓ_µ+D_µΓ_ν)−1

2g^αβ∂_α∂_βg_µν (3.17)

− 1

2(∂_µg^αβ)Γ_ανβ−1

2(∂_νg^αβ)Γ_αµβ

−1

4(∂_νg^αβ)(∂_µg_αβ) := 1

2(D_νΓ_µ+D_µΓ_ν)−1

2g^αβ∂_α∂_βg_µν+N1(g, ∂g). Commeg est solution des ´equations r´eduites (1.14), on a :

−1

2g^αβ∂α∂βgµν =N2(g, ∂g, A, ∂A). (3.18) On se ram`ene donc bien `a (3.11).

Pour prouver que Γ^λ= 0, on part de (3.11) et on utilise l’identit´e de Bianchi contract´eeD^νRµν= ¹₂DµR :

0 = 2(D^νRµν−¹₂DµR) (3.19)

= D^νDµΓν+D^νDνΓµ+ 2D^νNµν−DµD^νΓν−DµN^ν_ν

= D^νD_νΓ_µ+R_µγΓ^γ+ 2D^νNµν−D_µN^νν.

Ainsi Γ^λ v´erifie une ´equation d’onde avec condition initiale Γ^λ_t=0 = 0. La th´eorie des ´equations hyperboliques nous dit que si, en plus, DtΓ^λ_t=0 = 0 alors Γ^λ = 0 pour tout t. Et en utilisant les ´equations de contraintes (1.3), on peut montrer qu’effectivementD_tΓ^λ_t=0= 0 (cf [2]).

4. Estimations faibles de d´ecroissance

Cette section pr´esente les premi`eres estimations que l’on obtient lorsque l’on utilise l’in´egalit´e de Klainerman-Sobolev `a poids de la proposition 9.6.

Ces estimations dˆıtes faibles seront am´elior´ees (pour n = 3) dans la sec- tion 6.

Soient δ et γ tels que 0 < δ < 1/4 et δ < γ. Supposons (2.3) v´erifi´ee pour tT.

Corollaire 4.1 (Estimations faibles de d´ecroissance). — Soit 0 t T. Soient (h¹, A) v´erifiant (2.3) et h⁰ d´efini par (10.13). Pour i= 0,1 avec δ =δ sii= 0 etδ =γ > δ sii= 1, on a :

∂Z^IA(t , x)+∂Z^Ihⁱ(t , x)

Cε(1+t+|q|)^{1−n2 +δ}(1+|q|)^−1−δ, q >0,

Cε(1+t+|q|)^{1−n2 +δ}(1+|q|)^−1/2, q <0, |I|N− n+ 2

2

, (4.1)

De plus,

Z^IA(t , x)+Z^Ihⁱ(t , x)

Cε(1+t+|q|)^{1−n2 +δ}(1+|q|)^−δ, q >0,

Cε(1+t+|q|)^1−2n+δ(1+|q|)^1/2, q <0,|I|N− n+ 2

2

, (4.2) et

∂Z¯ ^IA(t , x)+¯∂Z^Ihⁱ(t , x)

Cε(1+t+|q|)^{−1−n2 +δ}(1+|q|)^−δ, q >0,

Cε(1+t+|q|)^{−1−n2 +δ}(1+|q|)^1/2, q <0,|I|N− n+ 2

2

−1. (4.3)

Preuve : Comme les hypoth`eses sur A et h<sup>1</sup> sont les mˆemes, il suf- fit d’adapter la preuve du corollaire 9.3 de [14], l’outil fondamental ´etant l’in´egalit´e de Klainerman-Sobolev `a poids de la proposition 9.6.

On ne prouvera les estimations que pouri= 1, celles pouri= 0 d´ecoulant d’un calcul direct s’appuyant sur la forme deh⁰.

Commen¸cons par montrer (4.1). D’apr`es la proposition 9.6, il existe une constanteC telle que pour toute fonctionu∈C₀^∞(Rⁿ), on ait

(1+|t|+|x|)ⁿ⁻²¹[(1+|q|)w(q)]¹²|u(t , x)|

C

|I|[ⁿ⁺²₂ ]

w(q)¹²Z^Iu(t , .)

L². (4.4)

Prenantu=∂Z^J h¹

A

, on a pour tout|J|N− n+ 2

2

:

(1+|t|+|x|)ⁿ⁻¹² [(1+|q|)w(q)]¹² ∂Z^J

h¹ A

(t , x)

(4.5)

C

|I|[ⁿ⁺²₂ ]

w(q)¹²Z^I∂Z^J h¹

A

(t , .)

L²

C

|K|N

w(q)¹²∂Z^K h¹

A

(t , .)

L²

dapr`es (2.3)

Cε(1+t)^δ.

D’o`u :

∂Z^IA(t , x)+∂Z^Ih¹(t , x)

Cε(1+t+|q|)¹⁻ⁿ² (1+|q|)^−1−γ(1+t)^δ, q >0,

Cε(1+t+|q|)¹⁻ⁿ² (1+|q|)^−1/2(1+t)^δ, q <0, |I|N− n+ 2

2

. (4.6) Ceci entraˆıne (4.1) et on note aussi que, pourt= 0, on a :

∂Z^IA(0, x)+∂Z^Ih¹(0, x)Cε(1+|x|)^{−1−n2 −γ}, |I|N− n+ 2

2

. (4.7) D’apr`es les hypoth`eses (1.2),

lim inf

|x|→+∞h¹(0, x) +A(0, x)→0. (4.8) On a alors

|x|→+∞lim Z^I

h¹ A

(0, x)

→0, |I|N− n+ 2

2

. (4.9)

En effet, pour|I|= 0, cela d´ecoule de (4.8) et si|I|1, cela vient de (4.1) puisque |Zφ|C(1+t+|x|)|∂φ|.

On peut alors montrer (4.2) en t = 0. Soit |X| >> 1, on a, pour tout

|I|N−_n+2

2 :

Z^I h¹

A

(0,|x|ω)

Z^I h¹

A

(0,|X|ω) +

! _|X|

|x|

∂Z^I h¹

A

(0, ρω) dρ

dapr`es (4.7)

Z^I h¹

A

(0,|X|ω) +

! _|X|

|x| Cε(1+|ρ|)^{−1−n2 −γ}dρ

Z^I h¹

A

(0,|X|ω)

+Cε(1+|x|)^{1−n2 −γ} .

(4.10) Faisant tendre|X|vers +∞, on obtient (4.2) ent= 0, en utilisant (4.9).

On a mˆeme : Z^I

h¹ A

(0, x)

Cε(1+|x|)^1−2n−γ . (4.11)

Pour montrer (4.2) quandt0, on ´etudie s´epar´ement le cas o`urtet le casr < t. Dans les deux cas, on int`egre (4.1) depuis l’hyperplant= 0 le long de lignes o`u t+r etω= _|x|^x sont fix´es :

• cas o`urt ; on a|q|=r−tet t+|q|=r: Z^I

h¹ A

(t , rω)

(4.12)

! _t+r

r

∂Z^I h¹

A

(t+r−ρ, ρω) dρ+

Z^I h¹

A

(0,(t+r)ω)

par (4.1) et (4.11)

Cε

! t+r r

(1+ρ)^{1−n2 +δ}(1+ρ−t+ρ−r)^−1−γdρ+Cε(1+t+r)^{1−n2 −γ}

ρr

Cε

! t+r r

(1+r)^{1−n2 +δ}(1+ρ−t)^−1−γdρ+Cε(1+t+r)^{1−n2 −γ}

Cε(1+r)^{1−n2 +δ}

−1

γ(1+ρ−t)^−γ t+r

r

+Cε(1+t+r)^{1−n2 −γ} Cε(1+ r

=t+|q|

)^{1−n2 +δ}(1+r −t

=|q|

)^−γ+Cε(1+t+r)^{1−n2 −γ} Cε(1+t+|q|)^{1−n2 +δ}(1+|q|)^−γ .

• cas o`ur < t ; on a|q|=t−ret t+|q|= 2t−r: Z^I

h¹ A

(t , rω)

! t+r r

∂Z^I h¹

A

(t+r−ρ, ρω) dρ

(I)

+ Z^I

h¹ A

(0,(t+r)ω)

(II)

.(4.13)

(II)

par (4.11)

Cε(1+t+r)^{1−n2 −γ} (4.14)

1+t+r=¹₂(2+2t+2r)¹2(1+2t−r)¹2(1+t+|q|)

Cε(1+t+|q|)^{1−n2 +δ}(1+|q|)^1/2.

(I)

! ^t+r₂

r

∂Z^I h¹

A

(t+r−ρ, ρω) dρ

(I1)

+

! t+r

t+r 2

∂Z^I h¹

A

(t+r−ρ, ρω) dρ

I2

. (4.15)

(I2) Z^I

h¹ A

(0,(t+r)ω) +

Z^I h¹

A

(t+r 2 ,t+r

2 ω)

. (4.16)

En utilisant (4.14) et (4.2) pourq= 0, on obtient

(I2)Cε(1+t+|q|)^1−2n+δ(1+|q|)^1/2. (4.17) Enfin, on a :

(I1)

par (4.1)

! ^t+r₂

r

Cε(1+ 2(t+r)−3ρ)^{1−n2 +δ}(1+t+r−2ρ^−1/2)dρ (4.18) Cε(1+t+|q|^1−2n+δ)

−(1+t+r−2ρ)^1/2

t+r 2

r

Cε(1+t+|q|)^{1−n2 +δ}(1+|q|)^1/2. On a donc bien :

Z^I h¹

A

(t , rω)

Cε(1+t+|q|)^{1−n2 +δ}(1+|q|)^1/2. (4.19) Finalement, les estimations (4.3) suivent de (4.2) puisque

∂φ¯ C

|I|=1

Z^Iφ/(1+t+|q|).

5. Jauge harmonique et jauge de Lorenz

La section 3 nous assure que les conditions de jauge de Lorenz et de jauge harmonique se propagent dans le temps. Ces jauges vont nous permet- tre d’obtenir des estimations plus fines sur certains composants de het A (cf lemme 5.1et proposition 5.3).

Commen¸cons par noter que, siAetg v´erifient (1.4) et (1.5), alors

g^µν∂_µA_ν= 0. (5.1)

(5.1) entraˆıne le lemme suivant :