1.4 Exercice 742 page 485

(1)

1 Chapitre 14 : Matrices et déterminants

1.1 Exercice 735 page 484

1.

µ2 1 −3 1 3 −2

¶ +

µ1 3 −1 3 2 −3

¶

=

µ2 + 1 1 + 3 −3−1 1 + 3 3 + 2 −2−3

¶

=

µ3 4 −4 4 5 −5

¶

2. 3

⎛

⎝ 3 −1 √

√ 2

3 1 0

2 3 −1

⎞

⎠−2

⎛

⎝ 4 −1 3√ 2 2√

3 0 1

3 −1 2

⎞

⎠=

⎛

⎝ 3·3−2·4 3·(−1)−2·(−1) 3·√

2−2·3√ 2 3·√

3−2·2√

3 3·1−2·0 3·0−2·1 3·2−2·3 3·3−2·(−1) 3·(−1)−2·2

⎞

⎠=

⎛

⎝ 1 −1 −3√ 2

−√

3 3 −2

0 11 −7

⎞

⎠

3.

µ 2 1

−1 3

¶ µ1 −2 3 −1

¶

=

µ2·1 + 1·3 2·(−2) + 1·(−1)

−1·1 + 3·3 −1·(−2) + 3·(−1)

¶

4. ¡

3 1 −2¢⎛

⎝1 2 3 −1 4 0

⎞

⎠=¡

3·1 + 1·3−2·4 3·2 + 1·(−1)−2·0¢

=¡

−2 5¢

5.

⎛

⎝ 2 −1 2

1 0 1

−1 3 4

⎞

⎠

⎛

⎝ 1 2

−1

⎞

⎠=

⎛

⎝ 2·1−1·2 + 2·(−1) 1·1 + 0·2 + 1·(−1) (−1)·1 + 3·2 + 4·(−1)

⎞

⎠=

⎛

⎝−2 0 1

⎞

⎠

6.

µ1 −2 3 2 −1 1

¶⎛

⎝1 2

−1 3 4 −1

⎞

⎠−3

µ1 −2 4 −1

¶ µ−1 3 2 −1

¶

= µ1·1−2·(−1) + 3·4 1·2−2·3 + 3·(−1)

2·1−1·(−1) + 1·4 2·2−1·3 + 1·(−1)

¶

−3

µ1·(−1)−2·2 1·3−2·(−1) 4·(−1)−1·2 4·3−1·(−1)

¶

=

µ15 −7

7 0

¶

−3

µ−5 5

−6 13

¶

=

µ15−3·(−5) −7−3·5 7−3·(−6) 0−3·13

¶

=

µ30 −22 25 −39

¶

7.

⎛

⎝ 1 2 −1

−3 1 2

4 0 1

⎞

⎠

⎛

⎝2 −1 3 1 −2 −2 3 −1 1

⎞

⎠=

⎛

⎝ 1·2 + 2·1−1·3 1·(−1) + 2·(−2)−1·(−1) 1·3 + 2·(−2)−1·1

−3·2 + 1·1 + 2·3 −3·(−1) + 1·(−2) + 2·(−1) −3·3 + 1·(−2) + 2·1 4·2 + 0·1 + 1·3 4·(−1) + 0·(−2) + 1·(−1) 4·3 + 0·(−2) + 1·1

⎞

⎠=

⎛

⎝1 −4 −2 1 −1 −9 11 −5 13

⎞

⎠

8.

⎛

⎝ 2 −1 3

1 4 5

−1 2 −3

⎞

⎠

tµ

2 −1 2

3 2 2

¶

=

⎛

⎝ 2 −1 3

1 4 5

−1 2 −3

⎞

⎠

⎛

⎝ 2 3

−1 2 2 2

⎞

⎠

⎛

⎝ 2·2−1·(−1) + 3·2 2·3−1·2 + 3·2 1·2 + 4·(−1) + 5·2 1·3 + 4·2 + 5·2

−1·2 + 2·(−1)−3·2 −1·3 + 2·2−3·2

⎞

⎠=

⎛

⎝ 11 10 8 21

−10 −5

⎞

⎠

9.

µ3 −1 2 1

¶ µ2 −1 3 1

¶ µ1 −2 3 −1

¶

=

µ3·2−1·3 3·(−1)−1·1 2·2 + 1·3 2·(−1) + 1·1

¶ µ1 −2 3 −1

¶

= µ3 −4

7 −1

¶ µ1 −2 3 −1

¶

=

µ3·1−4·3 3·(−2)−4·(−1) 7·1−1·3 7·(−2)−1·(−1)

¶

=

µ−9 −2 4 −13

¶

10. ¡

3 −1 2¢⎛

⎝ 1 2 −1 3 −1 2

−1 5 −1

⎞

⎠

⎛

⎝ 1 2

−3

⎞

⎠=

¡3−3−2 6 + 1 + 10 −3−2−2¢⎛

⎝ 1 2

−3

⎞

⎠=¡

−2 17 −7¢⎛

⎝1 2

−3

⎞

⎠=−2 + 34 + 21 = 53

1.2 Exercice 737 page 484

µ 2 −1 a

−2 b 1

¶⎛

⎝a 1 0 b

−1 3

⎞

⎠=

µ 1 4b

−3 2a

¶

(2)

⇐⇒

µ2a−0−a 2−b+ 3a

−2a+ 0−1 −2 +b²+ 3

¶

=

µ 1 4b

−3 2a

¶

⇐⇒

µ a 2−b+ 3a

−2a−1 1 +b²

¶

=

µ 1 4b

−3 2a

¶ Cette égalité de deux matrice2×2est un système de4équations :

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

a= 1 2−b+ 3a= 4b

−2a−1 =−3 1 +b²= 2a Le système n’est pas linéaire puisqu’il y a leb² .

Dans la première ligne on trouvea= 1ce qui, substitué dans la deuxième donne −b+ 5 = 4bdoncb= 1.

Il faut vérifier la compatibilité du système en vérifiant les deux dernières lignes :

−2·1−1 =−3et1 + 1²= 2·1donc, vérifié.

L’ensemble des solutions est donc :S(737) ={(a= 1;b= 1)}

1.3 Exercice 740 page 484

det (A) =|A|=

¯¯

¯¯2 −1 4 3

¯¯

¯¯= 2·3−4·(−1) = 10

det (B) =|B|=

¯¯

3 9 −4

4 7 5

8 −1 2

¯¯

¯¯ 3 9 4 7 8 −1

SARRU S

= 42 + 360 + 16 + 224 + 15−72 = 585

det (C) =|C|=

¯¯

1

2 0 −1

0 ¹₃ −1

−1 0 1

¯¯

1ière colonne

= +¹₂

¯¯

1 3 −1 0 1

¯¯

¯¯−0

¯¯

¯¯0 −1 0 1

¯¯

¯¯+ (−1)

¯¯

¯¯0 −1

1 3 −1

¯¯

¯¯= ¹₂·¹₃−0−1· ¹₃ =−¹₆

det (D) =|D|=

¯¯

√2 −1 4

0 √

2 1

−√

2 0 1

¯¯

¯¯ opération élémentaire : L₃=L₁+1·L₃suivi de la méthode 1ière colonne

|D|=

¯¯

√2 −1 4

0 √

2 1 0 −1 5

¯¯

¯¯=√ 2¡

5√ 2 + 1¢

= 5·2 +√

2 = 10 +√ 2

1.4 Exercice 742 page 485

"En utilisant de préférence les propriétés des déterminants" signifie :

— Si une colonne (ligne) s’exprime comme combinaison des deux autres, alors le déterminant est nul

— On peut mettre un facteur commun dans une ligne (une colonne) en évidence

— On peut faire deux opérations sur les lignes et ensuite développer selon la colonne avec les zéros.

— On peut transposer la matrice du déterminant 1.

¯¯

2 0 0 0 2 0 0 0 2

¯¯

¯¯= 2·2·2 = 8 (développement selon la 1re colonne)

2.

¯¯

2 0 0

4 −1 0

5 6 3

¯¯

¯¯= 2·(−1)·3 =−6 (développement selon la 3e colonne)

3.

¯¯

4 3 10 2 3 8 2 7 16

¯¯

¯¯= 0car on constate que la 3ième colonne est égale à2·deuxième+première

Méthode alternative : opérations élémentaires sur lignes :L2´−L1+2·L2 etL3´−L1+2·L3

¯¯

4 3 10 2 3 8 2 7 16

¯¯

¯¯= ¹₂¹₂

¯¯

4 3 10

0 3 6

0 11 22

¯¯

¯¯=¹₂· ¹2·4·(66−66) = 0

(3)

4.

¯¯

24 50 74 30 50 80 8 −12 4

¯¯

¯¯6= 0car la 3ième colonne n’estpasla somme des deux autres.

Méthode alternative : opérations élémentaires sur les lignes : L2´−5L1+4·L2 etL3´−L1+3·L3

¯¯

24 50 74 30 50 80 8 −12 4

¯¯

¯¯=¹₄¹₃

¯¯

24 50 74 0 −50 −50 0 −86 −62

¯¯

¯¯= ₁₂¹ ·24·(3100−4300) = 2·(−1200) =−2400

5.

¯¯

a a−2d d b b−2e e c c−2f f

¯¯

¯¯= 0 car le deuxième colonne est égale à la première−2·la troisième.

6.

¯¯

a a 5−a b 1 −b c 1 −c

¯¯

¯¯transposition suivie d’une opération ligne :L3´L1+1·L3

ensuite on eﬀectue un développement selon la 3ième ligne.

¯¯

a a 5−a b 1 −b c 1 −c

¯¯

¯¯=

¯¯

a b c

a 1 1

5−a −b −c

¯¯

¯¯=

¯¯

a b c a 1 1 5 0 0

¯¯

¯¯= 5·(b−c) = 5b−5c

7.

¯¯

sin²α cos²α 1 sin²β cos²β 1 sin²γ cos²γ 1

¯¯

¯¯= 0car on constate que la troisième colonne est la somme des deux autres à cause de la formule trigonométrique de Pythagore :∀x∈R: cos²x+ sin²x= 1

8.

¯¯

cosαcosβ cosαcosγ cosβcosγ sinαsinβ sinαsinγ sinβsinγ cos (α+β) cos (α+γ) cos (β+γ)

¯¯

¯¯= 0car, la troisième ligne est égale à la diﬀérence :L1−L2 à cause de la formule d’addition des cosinus :∀x, y∈R: cos (x+y) = cosxcosy−sinxsiny

1.5 Exercice 743 page 485

La méthode est celle du "REMPLACER LA PREMIERE LIGNE PAR LES NOMS DE COLONNES" ! 1.

¯¯

1 3 4

2 1 3

−3 2 −1

¯¯

¯¯donne :

¯¯

C1 C2 C3

2 1 3

−3 2 −1

¯¯

¯¯et le développement selon la première colonne donne :

¯¯

C₁ C₂ C₃

2 1 3

−3 2 −1

¯¯

¯¯= +C₁

¯¯

¯¯1 3 2 −1

¯¯

¯¯−C₂

¯¯

¯¯2 3

−3 −1

¯¯

¯¯+C₃

¯¯

¯¯ 2 1

−3 2

¯¯

¯¯=−7C₁−7C₂+ 7C₃=−7 (C₁+C₂−C₃)

Maintenant, on vérifie que :C₁+C₂−C₃=

⎛

⎝ 1 2

−3

⎞

⎠+

⎛

⎝3 1 2

⎞

⎠−

⎛

⎝ 4 3

−1

⎞

⎠=

⎛

⎝0 0 0

⎞

⎠

Mais, il faut dire que l’on peut constater tout de suite sans calculs queC3=C1+C2 . Conséquence :

¯¯

1 3 4

2 1 3

−3 2 −1

¯¯

¯¯= 0

2.

¯¯

2 1 7

1 2 8

−3 1 −3

¯¯

¯¯donne :

¯¯

C₁ C₂ C₃

1 2 8

−3 1 −3

¯¯

C1 C2 C3

1 2 8

−3 1 −3

¯¯

¯¯=−14C1−21C2+ 7C3=−7 (2C1+ 3C2−C3)

Maintenant, on vérifie que :2C₁+ 3C₂−C₃= 2

⎛

⎝2 1

−3

⎞

⎠+ 3

⎛

⎝1 2 1

⎞

⎠−

⎛

⎝ 7 8

−3

⎞

⎠=

⎛

⎝0 0 0

⎞

⎠. Mais il faut dire que l’on peut constater tout de suite sans calculs queC₃= 2C₁+ 3C₂ Conséquence :

¯¯

2 1 7

1 2 8

−3 1 −3

¯¯

¯¯= 0

3.

¯¯

4 −1 5

3 2 1

2 5 −3

¯¯

¯¯donne :

¯¯

C₁ C₂ C₃

3 2 1

2 5 −3

¯¯

(4)

¯¯

C₁ C₂ C₃

3 2 1

2 5 −3

¯¯

¯¯=−11C1+ 11C2+ 11C3=−11 (C1−C2−C3)

Maintenant, on vérifie que :C1−C2−C3=

⎛

⎝4 3 2

⎞

⎠−

⎛

⎝−1 2 5

⎞

⎠−

⎛

⎝ 5 1

−3

⎞

⎠=

⎛

⎝0 0 0

⎞

⎠. Mais il faut dire que l’on peut constater tout de suite sans calculs queC1=C2+C3 . Conséquence :

¯¯

4 −1 5

3 2 1

2 5 −3

¯¯

¯¯= 0

1.6 Exercice 744 page 485

DEFINITION

Une matrice est singulière si son déterminant est nul.

Une matrice est régulière si son déterminant n’est pas nul.

1.

¯¯

¯¯ 1 2

−4 5

¯¯

¯¯= 5 + 8 = 13 matrice régulière.

2.

¯¯

1 3 −4 2 1 0 1 3 −1

¯¯

¯¯=−2

¯¯

¯¯3 −4 3 −1

¯¯

¯¯+ 1

¯¯

¯¯1 −4 1 −1

¯¯

¯¯−0

¯¯

¯¯1 3 1 3

¯¯

¯¯=−15 matrice régulière

3.

¯¯

3 −1 5

4 0 3

1 2 3

¯¯

¯¯=−(−1)

¯¯

¯¯4 3 1 3

¯¯

¯¯+ 0

¯¯

¯¯3 5 1 3

¯¯

¯¯−2

¯¯

¯¯3 5 4 3

¯¯

¯¯= 31 matrice régulière.

1.7 Exercice 745 page 485

VOCABLES :

Lesmineurssont les petits déterminants utilisés lors du développement

Lescofacteurssont ces mineurs avec le signe du tableau (jeu d’échec) des signes.

Dans un élément notéa_i,j le premier indice indique toujours la ligne et le deuxième la colonne.

(Rappelez-vous simplement la règle du produit de matrices : "ligne fois colonne". Ligne précède colonne.

Dans la matriceA=

⎛

⎝2 −1 −3 1 −2 4 3 −4 5

⎞

⎠ 1. voici les mineurs relatifs :

àa21:

¯¯

¯¯−1 −3

−4 5

¯¯

¯¯=−17àa31:

¯¯

¯¯−1 −3

−2 4

¯¯

¯¯=−10àa23:

¯¯

¯¯2 −1 3 −4

¯¯

¯¯=−5àa33:

¯¯

¯¯2 −1 1 −2

¯¯

¯¯=−3 2. voici les cofacteurs relatifs :

Si i+j est impair, le cofacteur dea_ij est −le mineur.

Si i+j est pair, le cofacteur dea_ij est+le mineur.

àa12:−

¯¯

¯¯1 4 3 5

¯¯

¯¯= 7àa13: +

¯¯

¯¯1 −2 3 −4

¯¯

¯¯= 2àa32:−

¯¯

¯¯2 −3 1 4

¯¯

¯¯=−11àa22: +

¯¯

¯¯2 −3 3 5

¯¯

¯¯= 19 3. En référence à la matrice¯¯¯¯2 −1 A je nomme :

1 −2

¯¯

¯¯mineur dea33 −

¯¯

¯¯−1 −3

−4 5

¯¯

¯¯cofacteur dea21

−

¯¯

¯¯2 −1 1 −2

¯¯

¯¯opposé du mineur dea₃₃

¯¯

¯¯2 −3 3 5

¯¯

¯¯mineur dea₂₂

1.8 Exercice 746 page 485

DEFINITION

La matriceadjointede la matriceAest lamatrice transposée des cofacteurs.

1. A=

µ4 −1 2 1

¶

etdet (A) =

¯¯

¯¯4 −1 2 1

¯¯

¯¯= 4 + 2 = 6 Lesmineurssont :

pour4:

¯¯

¯¯◦/ ◦/

◦/ 1

¯¯

¯¯= 1pour 2 :

¯¯

¯¯◦ −/ 1

◦/ ◦/

¯¯

¯¯=−1pour(−1) :

¯¯

¯¯◦/ ◦/ 2 ◦/

¯¯

¯¯= 2 et pour1 :

¯¯

¯¯4 ◦/

◦/ ◦/

¯¯

¯¯= 4

(5)

La matrice descofacteursest donc :

µ +1 −2

−(−1) +4

¶

=

µ1 −2 1 4

¶

La matrice adjointe est alors la matrice transposée des cofacteurs :adj(A) =

µ 1 1

−2 4

¶ Vérification :

A·adj(A) =

µ4 −1 2 1

¶ µ1 1

−2 4

¶

=

µ4·1−1·(−2) 4·1−1·4 2·1 + 1·(−2) 2·1 + 1·4

¶

= µ6 0

0 6

¶

= det (A)· E adj(A)·A=

µ 1 1

−2 4

¶ µ4 −1 2 1

¶

= µ6 0

0 6

¶

= 6· µ1 0

0 1

¶

= det (A)· E

2. A=

⎛

⎝1 2 3 0 1 2 0 0 1

⎞

⎠etdet (A) =

¯¯

1 2 3 0 1 2 0 0 1

¯¯

¯¯= 1·1·1 = 1 Lesmineurssont :

poura₁₁ :

¯¯

◦/ ◦/ ◦/

◦/ 1 2

◦/ 0 1

¯¯

¯¯= 1poura₁₂:

¯¯

◦/ ◦/ ◦/ 0 ◦/ 2 0 ◦/ 1

¯¯

¯¯= 0poura₁₃:

¯¯

◦/ ◦/ ◦/ 0 1 ◦/ 0 0 ◦/

¯¯

¯¯= 0

poura₂₁ :

¯¯

◦/ 2 3

◦/ ◦/ ◦/

◦/ 0 1

¯¯

¯¯= 2poura₂₂:

¯¯

1 ◦/ 3

◦/ ◦/ ◦/ 0 ◦/ 1

¯¯

¯¯= 1poura₂₃:

¯¯

1 2 ◦/

◦/ ◦/ ◦/ 0 0 ◦/

¯¯

¯¯= 0

poura31 :

¯¯

◦/ 2 3

◦/ 1 2

◦/ ◦/ ◦/

¯¯

¯¯= 1poura32:

¯¯

1 ◦/ 3 0 ◦/ 2

◦/ ◦/ ◦/

¯¯

¯¯= 2poura33:

¯¯

1 2 ◦/ 0 1 ◦/

◦/ ◦/ ◦/

¯¯

¯¯= 1

⎛

⎝+1 −0 +0

−2 +1 −0 +1 −2 +1

⎞

⎠=

⎛

⎝1 0 0

−2 1 0 1 −2 1

⎞

⎠

⎛

⎝1 −2 1 0 1 −2

0 0 1

⎞

⎠ Vérification :

A·adj(A) =

⎛

⎝1 2 3 0 1 2 0 0 1

⎞

⎠

⎛

⎝1 −2 1 0 1 −2

0 0 1

⎞

⎠=

⎛

⎝1 0 0 0 1 0 0 0 1

⎞

⎠= 1· E = det (A)· E

adj(A)·A=

⎛

⎝1 −2 1 0 1 −2

0 0 1

⎞

⎠

⎛

⎝1 2 3 0 1 2 0 0 1

⎞

⎠=

⎛

⎝1 0 0 0 1 0 0 0 1

⎞

⎠= 1· E = det (A)· E

3. A=

⎛

⎝1 1 1 2 1 2 3 2 3

⎞

⎠etdet (A) =

¯¯

1 1 1 2 1 2 3 2 3

¯¯

¯¯=

¯¯

1 1 1

0 −1 0 0 −1 0

¯¯

¯¯= 1·0 = 0 Lesmineurssont :

poura₁₁ :

¯¯

◦/ ◦/ ◦/

◦/ 1 2

◦/ 2 3

¯¯

¯¯=−1pour a₁₂:

¯¯

◦/ ◦/ ◦/ 2 ◦/ 2 3 ◦/ 3

¯¯

¯¯= 0pour a₁₃:

¯¯

◦/ ◦/ ◦/ 2 1 ◦/ 3 2 ◦/

¯¯

¯¯= 1

poura21 :

¯¯

◦/ 1 1

◦/ ◦/ ◦/

◦/ 2 3

¯¯

¯¯= 1poura22:

¯¯

1 ◦/ 1

◦/ ◦/ ◦/ 3 ◦/ 3

¯¯

¯¯= 0poura23:

¯¯

1 1 ◦/

◦/ ◦/ ◦/ 3 2 ◦/

¯¯

¯¯=−1

poura31 :

¯¯

◦/ 1 1

◦/ 1 2

◦/ ◦/ ◦/

¯¯

¯¯= 1poura32:

¯¯

1 ◦/ 1 2 ◦/ 2

◦/ ◦/ ◦/

¯¯

¯¯= 0poura33:

¯¯

1 1 ◦/ 2 1 ◦/

◦/ ◦/ ◦/

¯¯

¯¯=−1

⎛

⎝+ (−1) −0 +1

−1 +0 −(−1) +1 −0 + (−1)

⎞

⎠=

⎛

⎝−1 0 1

−1 0 1 1 0 −1

⎞

⎠

⎛

⎝−1 −1 1

0 0 0

1 1 −1

⎞

⎠ Vérification :

A·adj(A) =

⎛

⎝1 1 1 2 1 2 3 2 3

⎞

⎠

⎛

⎝−1 −1 1

0 0 0

1 1 −1

⎞

⎠=

⎛

⎝0 0 0 0 0 0 0 0 0

⎞

⎠= 0· E = det (A)· E

(6)

adj(A)·A=

⎛

⎝−1 −1 1

0 0 0

1 1 −1

⎞

⎠

⎛

⎝1 1 1 2 1 2 3 2 3

⎞

⎠=

⎛

⎝0 0 0 0 0 0 0 0 0

⎞

⎠= 0· E = det (A)· E

1.9 Exercice 747 page 485

Une matriceAadmet une matrice inverseA⁻¹ si et seulement si elle est régulière (detA6= 0) Dans ce cas,

A⁻¹:= 1

det (A)·adj(A) Propriété pour la vérification des calculs :

A·A⁻¹=A⁻¹·A=E 1. A=

µ−1 2 3 1

¶

etdet (A) =

¯¯

¯¯−1 2 3 1

¯¯

¯¯=−1−6 =−76= 0matrice régulière.

Lesmineurssont :

¯¯

¯¯◦/ ◦/

◦/ 1

¯¯

¯¯= 1

¯¯

¯¯◦/ ◦/ 3 ◦/

¯¯

¯¯= 3

¯¯

¯¯◦/ 2

◦/ ◦/

¯¯

¯¯= 2

¯¯

¯¯−1 ◦/

◦/ ◦/

¯¯

¯¯=−1

µ+1 −3

−2 + (−1)

¶

=

µ 1 −3

−2 −1

¶

µ 1 −2

−3 −1

¶

La matrice inverse deA estA⁻¹= _det(A)¹ adj(A) = ¹

−7

µ 1 −2

−3 −1

¶

=

µ−¹₇ ²₇

3 7

1 7

¶

Vérification : ₋¹₇

µ1 −2

−3 −1

¶ µ−1 2 3 1

¶

=₋¹₇

µ−7 0 0 −7

¶

= µ1 0

0 1

¶

2. A=

µ−1 3

1 2 −3

2

¶

et det (A) =

¯¯

¯¯−1 3

1 2 −3

2

¯¯

¯¯= 0matrice singulière ! Cette matrice n’a pas d’inverse.

3. A=

⎛

⎝ 1 −1 1

−1 0 −1 1 −2 1

⎞

⎠etdet (A) =

¯¯

1 −1 1

−1 0 −1 1 −2 1

¯¯

¯¯= 0 matrice singulière. ! Cette matrice n’a pas d’inverse.

4. A=

⎛

⎝2 −1 2

0 4 3

0 0 1

⎞

⎠etdet (A) =

¯¯

2 −1 2

0 4 3

0 0 1

¯¯

¯¯= 2·4·1 = 8 matrice régulière.

(7)

Lesmineurssont :

¯¯

◦/ ◦/ ◦/

◦/ 4 3

◦/ 0 1

¯¯

¯¯= 4

¯¯

◦/ ◦/ ◦/ 0 ◦/ 3 0 ◦/ 1

¯¯

¯¯= 0

¯¯

◦/ ◦/ ◦/ 0 4 ◦/ 0 0 ◦/

¯¯

¯¯= 0

¯¯

◦ −/ 1 2

◦/ ◦/ ◦/

◦/ 0 1

¯¯

¯¯=−1

¯¯

2 ◦/ 2

◦/ ◦/ ◦/ 0 ◦/ 1

¯¯

¯¯= 2

¯¯

2 −1 ◦/

◦/ ◦/ ◦/ 0 0 ◦/

¯¯

¯¯= 0

¯¯

◦ −/ 1 2

◦/ 4 3

◦/ ◦/ ◦/

¯¯

¯¯=−11

¯¯

2 ◦/ 2 0 ◦/ 3

◦/ ◦/ ◦/

¯¯

¯¯= 6

¯¯

2 −1 ◦/ 0 4 ◦/

◦/ ◦/ ◦/

¯¯

¯¯= 8

⎛

⎝ +4 −0 +0

−(−1) +2 −0 + (−11) −6 +8

⎞

⎠=

⎛

⎝ 4 0 0

1 2 0

−11 −6 8

⎞

⎠

⎛

⎝4 1 −11 0 2 −6

0 0 8

⎞

⎠

La matrice inverse deA estA⁻¹= _det(A)¹ adj(A) = ¹₈

⎛

⎝4 1 −11 0 2 −6

0 0 8

⎞

⎠=

⎛

⎝

1 2

1 8 −¹¹8

0 ¹₄ −³4

0 0 1

⎞

⎠

Vérification :¹₈

⎛

⎝4 1 −11 0 2 −6

0 0 8

⎞

⎠

⎛

⎝2 −1 2

0 4 3

0 0 1

⎞

⎠=¹₈

⎛

⎝8 0 0 0 8 0 0 0 8

⎞

⎠=E

5. A=

⎛

⎝ 1 −1 1

−1 0 −1 1 −2 1

⎞

⎠etdet (A) =

¯¯

1 −1 1

−1 0 −1 1 −2 1

¯¯

¯¯= 0 matrice singulière. ! Cette matrice n’admet pas d’inverse !

6. A=

⎛

⎝

√2 −1 0

0 √

2 1

−√

2 0 1

⎞

⎠et det (A) =

¯¯

√2 −1 0

0 √

2 1

−√

2 0 1

¯¯

¯¯= 2 +√

26= 0 matrice régulière.

(8)

Lesmineurssont :

¯¯

◦/ ◦/ ◦/

◦/ √ 2 1

◦/ 0 1

¯¯

¯¯=√ 2

¯¯

◦/ ◦/ ◦/ 0 ◦/ 1

−√

2 ◦/ 1

¯¯

¯¯=√ 2

¯¯

◦/ ◦/ ◦/

0 √

2 ◦/

−√

2 0 ◦/

¯¯

¯¯= 2

¯¯

◦ −/ 1 0

◦/ ◦/ ◦/

◦/ 0 1

¯¯

¯¯=−1

¯¯

√2 ◦/ 0

◦/ ◦/ ◦/

−√

2 ◦/ 1

¯¯

¯¯=√ 2

¯¯

√2 −1 ◦/

◦/ ◦/ ◦/

−√

2 0 ◦/

¯¯

¯¯=−√ 2

¯¯

◦ −/ 1 0

◦/ √ 2 1

◦/ ◦/ ◦/

¯¯

¯¯=−1

¯¯

√2 ◦/ 0 0 ◦/ 1

◦/ ◦/ ◦/

¯¯

¯¯=√ 2

¯¯

√2 −1 ◦/

0 √

2 ◦/

◦/ ◦/ ◦/

¯¯

¯¯= 2

⎛

⎝ +√

2 −√

2 +2

−(−1) +√ 2 −¡

−√ 2¢ + (−1) −√

2 +2

⎞

⎠=

⎛

⎝

√2 −√ 2 2

1 √

2 √

2

−1 −√ 2 2

⎞

⎠

⎛

⎝

√2 1 −1

−√ 2 √

2 −√ 2

2 √

2 2

⎞

⎠

La matrice inverse deA estA⁻¹= _det(A)¹ adj(A) = ²⁻₂^√²

⎛

⎝

√2 1 −1

−√ 2 √

2 −√ 2

2 √

2 2

⎞

⎠

Vérification :²⁻₂^√²

⎛

⎝

√2 1 −1

−√ 2 √

2 −√ 2

2 √

2 2

⎞

⎠

⎛

⎝

√2 −1 0

0 √

2 1

−√

2 0 1

⎞

⎠= ²⁻₂^√²

⎛

⎝ 2 +√

2 0 0

0 2 +√

2 0

0 0 2 +√

2

⎞

⎠=E

1.10 Exercice 748 page 485

Théorème :L’inverse du produit de plusieurs matrices est égal au produit des matrices inversesdans l’ordre inverse .

A=

⎛

⎝ 1 2 −1

−1 1 0 1 −2 1

⎞

⎠etdet (A) =

¯¯

1 2 −1

−1 1 0 1 −2 1

¯¯

¯¯= 2 matrice régulière.

Calculons l’inverse de la matriceApar la méthode de la matrice-compagnon (voir exercice 778 !) avec la matrice super-augmentée :

M-SAU :

⎛

⎝1 2 −1 1 0 0

−1 1 0 0 1 0 1 −2 1 0 0 1

⎞

⎠

⎛

⎝1 2 −1 1 0 0

−1 1 0 0 1 0 1 −2 1 0 0 1

⎞

⎠ L₂´L₁+1L₂ L₃´−L₁+1L₃

⎛

⎝1 2 −1 1 0 0 0 3 −1 1 1 0 0 −4 2 −1 0 1

⎞

⎠

⎛

⎝1 2 −1 1 0 0 0 3 −1 1 1 0 0 −4 2 −1 0 1

⎞

⎠ L₃´4L₂+3L₃

⎛

⎝1 2 −1 1 0 0 0 3 −1 1 1 0

0 0 2 1 4 3

⎞

⎠

⎛

⎝1 2 −1 1 0 0 0 3 −1 1 1 0

0 0 2 1 4 3

⎞

⎠ L₂´L₃+2L₂ L1´L3+2L1

⎛

⎝2 4 0 3 4 3 0 6 0 3 6 3 0 0 2 1 4 3

⎞

⎠

(9)

⎛

⎝2 4 0 3 4 3 0 6 0 3 6 3 0 0 2 1 4 3

⎞

⎠ L1´−2L2+3L1

⎛

⎝6 0 0 3 0 3 0 6 0 3 6 3 0 0 2 1 4 3

⎞

⎠ On divise les lignes par le facteur de la diagonale et on obtient :

A⁻¹=

⎛

⎝

1 2 0 ¹₂

1 2 1 ¹₂

1 2 2 ³₂

⎞

⎠

Vérification : ¹₂

⎛

⎝1 0 1 1 2 1 1 4 3

⎞

⎠

⎛

⎝ 1 2 −1

−1 1 0 1 −2 1

⎞

⎠= ¹₂

⎛

⎝2 0 0 0 2 0 0 0 2

⎞

⎠=E

B=

⎛

⎝−1 2 −1 1 −2 −1 3 −1 0

⎞

⎠etdet (B) =

¯¯

−1 2 −1 1 −2 −1 3 −1 0

¯¯

¯¯=−10 matrice régulière.

Calculons l’inverse de la matriceB par la méthode de la matrice-compagnon (voir exercice 778 !) avec la matrice super-augmentée :

M-SAU :

⎛

⎝−1 2 −1 1 0 0 1 −2 −1 0 1 0 3 −1 0 0 0 1

⎞

⎠

⎛

⎝−1 2 −1 1 0 0 1 −2 −1 0 1 0 3 −1 0 0 0 1

⎞

⎠ L₂´L₁+1L₂ L₃´3L₁+1L₃

⎛

⎝−1 2 −1 1 0 0 0 0 −2 1 1 0 0 5 −3 3 0 1

⎞

⎠

⎛

⎝−1 2 −1 1 0 0 0 0 −2 1 1 0 0 5 −3 3 0 1

⎞

⎠ L₂¿L₃

⎛

⎝−1 2 −1 1 0 0 0 5 −3 3 0 1 0 0 −2 1 1 0

⎞

⎠

⎛

⎝−1 2 −1 1 0 0 0 5 −3 3 0 1 0 0 −2 1 1 0

⎞

⎠ L2´−3L3+2L2

L1´−L3+2L1

⎛

⎝−2 4 0 1 −1 0 0 10 0 3 −3 2 0 0 −2 1 1 0

⎞

⎠

⎛

⎝−2 4 0 1 −1 0 0 10 0 3 −3 2 0 0 −2 1 1 0

⎞

⎠ L₁´−2L₂+5L₁

⎛

⎝−10 0 0 −1 1 −4

0 10 0 3 −3 2

0 0 −2 1 1 0

⎞

⎠ On divise les lignes par le facteur de la diagonale et on obtient :

B⁻¹=

⎛

⎝

1

10 −₁₀¹ ²₅

3

10 −₁₀³ ¹₅

−¹₂ −¹₂ 0

⎞

⎠

Vérification : ₁₀¹

⎛

⎝ 1 −1 4 3 −3 2

−5 −5 0

⎞

⎠

⎛

⎝−1 2 −1 1 −2 −1 3 −1 0

⎞

⎠=₁₀¹

⎛

⎝10 0 0 0 10 0 0 0 10

⎞

⎠=E Le produitB⁻¹A⁻¹ :

B⁻¹A⁻¹=

⎛

⎝

1 10 −10¹

2 3 5

10 −10³ 1 5

−¹2 −¹2 0

⎞

⎠

⎛

⎝

1 2 0 ¹₂

1 2 1 ¹₂

1 2 2 ³₂

⎞

⎠=

⎛

⎝

1 5

7 10

3 1 5

10 1 10

3 10

−¹2 −¹2 −¹2

⎞

⎠ Le produitAB:

AB=

⎛

⎝1 2 −1

−1 1 0 1 −2 1

⎞

⎠

⎛

⎝−1 2 −1 1 −2 −1 3 −1 0

⎞

⎠=

⎛

⎝−2 −1 −3 2 −4 0

0 5 1

⎞

⎠ Calcul de(AB)⁻¹ à l’aide des cofacteurs :

(10)

AB=

⎛

⎝−2 −1 −3 2 −4 0

0 5 1

⎞

⎠etdet (AB) =

¯¯

−2 −1 −3 2 −4 0

0 5 1

¯¯

¯¯=−206= 0 matrice régulière.

Rappel d’une formule générale :

∀A, Bmatrices : det (AB) = det (A)·det (B) Lesmineurssont :

¯¯

◦/ ◦/ ◦/

◦ −/ 4 0

◦/ 5 1

¯¯

¯¯=−4

¯¯

◦/ ◦/ ◦/ 2 ◦/ 0 0 ◦/ 1

¯¯

¯¯= 2

¯¯

◦/ ◦/ ◦/ 2 −4 ◦/ 0 5 ◦/

¯¯

¯¯= 10

¯¯

◦ −/ 1 −3

◦/ ◦/ ◦/

◦/ 5 1

¯¯

¯¯= 14

¯¯

−2 ◦ −/ 3

◦/ ◦/ ◦/ 0 ◦/ 1

¯¯

¯¯=−2

¯¯

−2 −1 ◦/

◦/ ◦/ ◦/ 0 5 ◦/

¯¯

¯¯=−10

¯¯

◦ −/ 1 −3

◦ −/ 4 0

◦/ ◦/ ◦/

¯¯

¯¯=−12

¯¯

−2 ◦ −/ 3 2 ◦/ 0

◦/ ◦/ ◦/

¯¯

¯¯= 6

¯¯

−2 −1 ◦/ 2 −4 ◦/

◦/ ◦/ ◦/

¯¯

¯¯= 10

La matrice descofacteurs est donc :

⎛

⎝+ (−4) −2 +10

−14 + (−2) −(−10) + (−12) −6 +10

⎞

⎠=

⎛

⎝−4 −2 10

−14 −2 10

−12 −6 10

⎞

⎠

La matrice adjointe est alors la matrice transposée des cofacteurs :adj(AB) =

⎛

⎝−4 −2 −12

−2 −2 −6 10 10 10

⎞

⎠

La matrice inverse deABest (AB)⁻¹=_det(AB)¹ adj(AB) = ₋₂₀¹

⎛

⎝−4 −2 −12

−2 −2 −6 10 10 10

⎞

⎠=

⎛

⎝

1 5

1 10

3 1 5

10 1 10

3 10

−¹2 −¹2 −¹2

⎞

⎠ On constate donc :

(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹

1.11 Exercice 749 page 485

R=

⎛

⎝1 0 2 0 1 3 0 0 1

⎞

⎠ etC=

⎛

⎝ 1 −1 0

−1 2 −2 0 −2 3

⎞

⎠

Le déterminant deRvaut :det (R) =

¯¯

1 0 2 0 1 3 0 0 1

¯¯

¯¯= 16= 0 donc,Rest une matrice régulière.

Détermination de la matrice inverse deRpar la méthode de la matrice-compagnon Matrice super-augmentée M-SAU :

⎛

⎝1 0 2 1 0 0 0 1 3 0 1 0 0 0 1 0 0 1

⎞

⎠

⎛

⎝1 0 2 1 0 0 0 1 3 0 1 0 0 0 1 0 0 1

⎞

⎠ L₂´−3L₃+1L₂ L₁´−2L₁+1L₁

⎛

⎝1 0 0 1 0 −2 0 1 0 0 1 −3 0 0 1 0 0 1

⎞

⎠

(11)

On obtient :

R⁻¹=

⎛

⎝1 0 −2 0 1 −3 0 0 1

⎞

⎠ La matrice transposée deR⁻¹ est :

tR⁻¹=

⎛

⎝ 1 0 0

0 1 0

−2 −3 1

⎞

⎠ On obtient alors :

tR⁻¹CR⁻¹ =

⎛

⎝ 1 0 0

0 1 0

−2 −3 1

⎞

⎠

⎛

⎝ 1 −1 0

−1 2 −2 0 −2 3

⎞

⎠

⎛

⎝1 0 −2 0 1 −3 0 0 1

⎞

⎠

=

⎛

⎝ 1 0 0

0 1 0

−2 −3 1

⎞

⎠

⎛

⎝ 1 −1 1

−1 2 −6 0 −2 9

⎞

⎠

=

⎛

⎝ 1 −1 1

−1 2 −6 1 −6 25

⎞

⎠

1.12 Exercice 781 page 490

La matriceAest inversible si et seulement si elle est régulière c’est-à-dire si son dénominateur est non-nul.

det (A)6= 0 ⇐⇒

¯¯

2 −3 −1

1 5 7

−1 2 x

¯¯

¯¯6= 0

⇐⇒ −1

¯¯

¯¯−3 −1

5 7

¯¯

¯¯−2

¯¯

¯¯2 −1 1 7

¯¯

¯¯+x

¯¯

¯¯2 −3 1 5

¯¯

¯¯6= 0

⇐⇒ −1 (−16)−2·15 +x·136= 0

⇐⇒ −14 + 13x6= 0

13

ª

2 Chapitre 15 : Systèmes linéaires

2.1 Exercice 786 page 491 : méthode de substitution

1. Redressement d’une faute de frappe à la deuxième ligne : au lieu de2xil faut lire 2z.

On propose donc le système :

⎧⎨

⎩

2x−3y+z= 1 (P₁) x−y+ 2z= 3 (P₂) 3x−2z= 5 (P3)

Il y a 3 inconnuesx,yetz.On fera une interprétation dans l’espace.

Les 3 plans sont 2 à 2 non parallèles car les coeﬃcients des formes linéaires ne sont pas proportionnels (a) On transforme avec une opération ligne le système formé par les 2 premières équations.

½ 2x−3y+z= 1

x−y+ 2z= 3 L₂´−L₁+ 2L₂

½ 2x−3y+z= 1 y+ 3z= 5 (b) Les inconnuesxety sont principales, la variablez est libre et on pose :z:=a∈R

½ 2x−3y= 1−a

y= 5−3a : a∈R

(c) La résolution en cascade donne la droite d’intersection des deux plans(P1)et (P2): x= (1−a+ 3 (5−3a))/2 = (16−10a)/2 = 8−5a

D={(8−5a; 5−3a;a) :a∈R}

(12)

(d) On recherche le point d’intersection de cette droiteDavec le troisième plan(P3)par substitution: (P3) : 3x−2z= 5

3 (8−5a)−2a= 5⇐⇒24−17a= 5 ⇐⇒ −17a= 5−24 =−19 ⇐⇒ a= 19 17

(e) On remplace le paramètre a ainsi déterminé dans la droite D ce qui donne les coordonnées du point d’intersection :

x= 8−5a= 8−5·19 17 = 41

17 y= 5−3a= 5−3·19

17 =28 17 z=a=19

17

(f) La solution du système est un singleton (point d’intersection de 3 plans) : S=

½µ41 17;28

17;19 17

¶¾

2. On propose le système :

⎧⎨

⎩

x−y+z= 1 (P₁) 3x+ 3y= 4 (P₂) 3x+ 4y−z= 3 (P₃)

½ x−y+z= 1

3x+ 3y= 4 L2´−3L1+L2

½ x−y+z= 1 6y−3z= 1 (b) Les inconnuesxety sont principales, la variablez est libre et on pose :z:=a∈R

½ x−y= 1−a

6y= 1 + 3a : a∈R

(c) La résolution en cascade donne la droite d’intersection des deux plans(P1)et (P2): x= 1−a+1 + 3a

6 =7−3a 6 D=

½µ7−3a

6 ;1 + 3a 6 ;a

¶ :a∈R

¾

(d) On recherche le point d’intersection de cette droiteDavec le troisième plan(P3)par substitution: (P3) : 3x+ 4y−z= 3

3·7−3a

6 + 4· 1 + 3a

6 −a= 3⇐⇒25−3a= 18 ⇐⇒ a= 7 3

x=7−3a 6 = 0 y= 1 + 3a

6 =8 6 =4

3 z=a=7

3

½µ 0;4

3;7 3

¶¾

(13)

3. Redressement d’une faute de frappe à la deuxième ligne : au lieu de2xil faut lire 2z.

On propose donc le système :

⎧⎨

⎩

x−y+z= 2 (P1) 3x−6y+ 2z= 4 (P2) 2x−5y+ 3z= 3 (P3)

Il y a inconnues x,y etz.On fera une interprétation dans l’espace.

½ x−y+z= 2

3x−6y+ 2z= 4 L2´−3L1+L2

½ x−y+z= 2

−3y−z=−2 (b) Les inconnuesxety sont principales, la variablez est libre et on pose :z:=a∈R

½ x−y= 2−a

−3y=−2 +a : a∈R

(c) La résolution en cascade donne la droite d’intersection des deux plans(P1)et (P2): x= 2−a+2−a

3 =8−4a 3 D=

½µ8−4a 3 ;2−a

3 ;a

¶ :a∈R

¾

(d) On recherche le point d’intersection de cette droiteDavec le troisième plan(P₃)par substitution: (P₃) : 2x−5y+ 3z= 3

2·8−4a

3 −5·2−a

3 + 3a= 3⇐⇒6 + 6a= 9 ⇐⇒ a=1 2

x=8−2 3 = 2 y= 2−¹2

3 = 1 2 z=a=1

2

½µ 2;1

2;1 2

¶¾

⎧⎨

⎩

2x−4y−2z= 4 (P1) x−2y−z= 2 (P2)

−3x+ 6y+ 3z= 6 (P3)

Les 3 formes linéaires ont des coeﬃcients proportionnels ! Les 3 plans sont 2 à 2 parallèles ! (a) On transforme avec une opération ligne le système formé par les 2 premières équations.

½ 2x−4y−2z= 4

x−2y−z= 2 L2´−L1+ 2L2

½ x−y+z= 2 0x+ 0y+ 0z= 0 Conséquence : les plans(P1)et(P2)sont confondus.

On peut supprimer la première ligne puisqu’elle est un multiple de la deuxième ligne.

Il ne reste plus que le système :

½ x−2y−z= 2 (P2)

−3x+ 6y+ 3z= 6 (P₃)

(14)

(b) On le transforme avec une opération ligne :

½ x−2y−z= 2

−3x+ 6y+ 3z= 6 L2´3L1+L2

½ x−2y−z= 2 0x+ 0y+ 0z= 12 La deuxième ligne ainsi obtenue est impossible.

Le plan(P3)est strictement parallèle au plan(P1) = (P2).

Les 3 plansP1, P2 etP3 n’ont aucun point commun. Le système proposé est impossible.S =∅. 5. On propose le système :

⎧⎨

⎩

x−2y= 3 (D₁) 2x+y= 1 (D₂) 3x−y= 4 (D₃)

Remarque : Il n’y a que deux inconnues,xety dans ces équations.

Il s’agit donc de trois équations de droite. On fera une interprétation dans le plan.

(a) On transforme avec une opération ligne le système formé par les 2 premières équations.

½ x−2y= 3

2x+y= 1 L2´−2L1+L2

½ x−2y= 3 5y=−5 (b) Les deux inconnuesxety sont toutes deux principales.

La résolution en cascade donne le point d’intersection des droites(D1)et(D2): y=−1;x= 3 + 2y= 3−2 = 1

P ={(1;−1)}

(c) On vérifiepar substitutionsi la troisième droite contient ce même point d’intersection : (D₃) : 3x−y= 4

3·1−(−1) = 4 vérifié !

(d) Le système est compatible. Les trois droites sont concourantes au point d’intersection communP(1;−1). (e) La solution du système est un singleton (point d’intersection de 3 droites concourantes) :

S ={(1;−1)}

⎧⎨

⎩

3x−2y= 5 (D1) 2x+y= 1 (D2) 4x+ 3y= 5 (D3)

Remarque : Il n’y a que deux inconnuesxety dans ces équations.

Il s’agit donc de trois équations de droite. On fera une interprétation dans le plan.

(a) On transforme avec une opération ligne le système formé par les 2 premières équations.

½ 3x−2y= 5

2x+y= 1 L₂´−2L₁+ 3L₂

½ 3x−2y= 5 7y=−7 (b) Les deux inconnuesxety sont toutes deux principales.

La résolution en cascade donne le point d’intersection des droites(D₁)et(D₂): y=−1;x= (5−2)/3 = 1

P ={(1;−1)}

(c) On vérifiepar substitutionsi la troisième droite contient ce même point d’intersection : (D3) : 4x+ 3y= 5

4·1 + 3·(−1) = 16= 5 raté ! (d) Le système est incompatible.

Les trois droites ne sont pas concourantes en un point unique.

(e) Le système est impossible :S =∅.

(15)

2.2 Exercice 787 page 491

⎧⎨

⎩

3x−2y+z= 7 (P1) 2x+ 2y−z=−2 (P2) 4x−y+ 2z= 9 (P3)

Il y a 3 inconnues dans le système. On fera une interprétation dans l’espace.

Les 3 plans sont 2 à 2 non parallèles car les formes linéaires n’ont pas des coeﬃcients proportionnels.

Lamatrice augmentée étant : ⎛

⎝3 −2 1 7 2 2 −1 −2 4 −1 2 9

⎞

⎠ Avec3opérations élémentaires sur lignes en deux étapes,

L2´−2L1+ 3L2

L3´−4L1+ 3L3 :

⎛

⎝3 −2 1 7 0 10 −5 −20

0 5 2 −1

⎞

⎠puisL3´−L2+ 2L3:

⎛

⎝3 −2 1 7 0 10 −5 −20

0 0 9 18

⎞

⎠ on obtient le système équivalent : ⎧

⎨

⎩

3x−2y+z = 7 10y−5z = −20

9z = 18 dont la résolution en cascade donne :

⎧⎨

⎩

z = 2

y = (−20 + 10)/10 =−1 x = (7 + (−2)−2)/3 = 1 La solution du problème :

S={(x= 1;y=−1;z= 2)}

Interprétation dans l’espace : Les 3 plans sont 2 à 2 non parallèles et se coupent en un point unique.

⎧⎨

⎩

y−3z=−5 (P₁) 2x+y−2z=−9 (P₂) 3x−y+ 5z=−20 (P₃)

Puisque xn’est pas inconnue principale dans l’équation de la première ligne, on permute les lignes : E1¿E2 E2¿E3

Le nouveau système s’écrit :

⎧⎨

⎩

2x+y−2z=−9 (P₂) 3x−y+ 5z=−20 (P₃) y−3z=−5 (P1)

Les 3 plans sont 2 à 2 non parallèles car les coeﬃcients des formes linéaires ne sont pas proportionnels.

⎝2 1 −2 −9 3 −1 5 −20 0 1 −3 −5

⎞

L2´−3L1+ 2L2:

⎛

⎝2 1 −2 −9 0 −5 16 −13 0 1 −3 −5

⎞

⎠puisL3´L2+ 5L3:

⎛

⎝2 1 −2 −9 0 −5 16 −13 0 0 1 −38

⎞

⎠ on obtient le système équivalent : ⎧

⎨

⎩

2x+y−2z = −9

−5y+ 16z = −13 z = −38 dont la résolution en cascade donne :

⎧⎨

⎩

z = −38

y = (−13−16·(−38))/(−5) =−119 x = (−9−(−119) + 2 (−38))/2 = 17

(16)

La solution du problème :

S={(x= 17;y=−119;z=−38)}

Interprétation dans l’espace : Les 3 plans sont 2 à 2 non parallèles et se coupent en un point unique.

⎧⎨

⎩

x1−4x2−x3= 1 (P1) 2x1−5x2+ 2x3= 2 (P2) 6x1−18x2+ 2x3= 6 (P3)

Les 3 plans sont 2 à 2 non parallèles car les coeﬃcients des formes linéaires ne sont pas proportionnels.

⎝1 −4 −1 1 2 −5 2 2 6 −18 2 6

⎞

L2´−2L1+L2

L3´−6L1+L3 :

⎛

⎝1 −4 −1 1

0 3 4 0

0 6 8 0

⎞

⎠puis:

µ1 −4 −1 1

0 3 4 0

¶

On a supprimé la dernière ligne qui n’était qu’un multiple de la deuxième ligne.

On obtient le système équivalent : ½

x1−4x2−x3 = 1 3x2+ 4x3 = 0

Les deux inconnuesx₁ etx₂ sont principales,x₃ est variable libre et on pose :x₃:=a∈R. La résolution en cascade donne :

½ x₂ = −4a/3 = ⁻₃⁴a x1 = 1 + 4¡₋₄

3 a¢

+a= 1−¹³3a : a∈R La solution du problème :

S=

½µ3−13a 3 ;−4a

3 ;a

¶ :a∈R

¾

Interprétation dans l’espace : Les 3 plans sont 2 à 2 non parallèles mais ils se coupent selon une droite commune.

⎧⎨

⎩

x₁+ 2x₂−5x₃= 8 (P₁) 4x1+ 6x2−2x3= 5 (P2) x1+x2+ 4x3= 2 (P3)

Les 3 plans sont 2 à 2 non parallèles car les coeﬃcients des formes linéaires ne sont pas proportionnels Lamatrice augmentée étant : ⎛

⎝1 2 −5 8 4 6 −2 5

1 1 4 2

⎞

L₂´−4L₁+L₂ L₃´−L₁+L₃ :

⎛

⎝1 2 −5 8 0 −2 18 −27 0 −1 9 −6

⎞

⎠puisL₃´−L₂+ 2L₃:

⎛

⎝1 2 −5 8 0 −2 18 −27

0 0 0 15

⎞

⎠ La troisième ligne montre que le système n’a pas de solution.

Interprétation dans l’espace : Les 3 plans sont 2 à 2 non parallèles mais ils se coupent 2 à 2 selon trois droites strictement parallèles. Ils n’ont donc aucun point commun : S=∅.

⎧⎨

⎩

4u+ 3v+ 6w= 1 (P₁) 8u+ 6v+ 12w= 2 (P₂) 20u+ 15v+ 30w= 5 (P₃)

Les 3 plans sont parallèles car les coeﬃcients des formes linéaires forment des listes de nombres proportionnels.

Les 3 plans sont confondus car les termes constants forment les mêmes rapports que les listes.

⎝4 3 6 1 8 6 12 2 20 15 30 5

⎞

⎠

(17)

On supprime les deux dernières lignes qui ne sont que des multiples de la première :

¡4 3 6 1¢ On obtient l’équation équivalente qui est l’équation du plan :

4u+ 3v+ 6w= 1 (P₁)

L’inconnueuest principale,v etw sont deux variables libres et on pose :v:=a∈R, . w:=b∈R. La résolution donne :

u= (1−3a−6b)/4 : a, b∈R La solution du problème :

S=

½µ1−3a−6b 4 ;a;b

¶

:a, b∈R

¾

Interprétation dans l’espace : Les 3 plans confondues. Il s’agit du plan passant par¡₁

4; 0; 0¢

avec les vecteurs directeurs :

⎛

⎝−³₄ 1 0

⎞

⎠et

⎛

⎝−⁶₄ 0 1

⎞

⎠.

½ 2x₁+x₂−6x₃= 1 (P₁) x₁−3x₂+ 2x₃= 2 (P₂)

Les 2 plans ne sont pas parallèles car les coeﬃcients des formes linéaires ne sont pas proportionnels.

Lamatrice augmentée étant : µ

2 1 −6 1 1 −3 2 2

¶

Avec uneopération élémentaire sur lignes :

L2´−L1+ 2L2:

µ2 1 −6 1

0 −7 10 3

¶ on obtient le système équivalent : ½

2x1+x2−6x3= 1

−7x2+ 10x3= 3

Les deux inconnuesx₁ etx₂ sont principales,x₃ est variable libre et on pose :x₃:=a∈R. La résolution en cascade donne :

( x₂ = ³⁻^10a

−7

x1 = ¹⁻

3−10a

−7 +6a

2 =^5+16a₇ : a∈R La solution du problème :

S=

½µ5 + 16a

7 ;−3 + 10a 7 ;a

¶ :a∈R

¾ Interprétation dans l’espace : Les 2 plans se coupent selon la droite par ¡₅

7;⁻₇³; 0¢

et le vecteur directeur :

⎛

⎝

16 107 7

1

⎞

⎠.

½ 2x+y−3z= 4 (P1)

−4x−2y+ 6z= 2 (P2)

Les 2 plans sont parallèles car les coeﬃcients des formes linéaires sont proportionnels : ₋²₄ = ₋¹₂ =⁻₆³ . Ils sont même strictement parallèles car le rapport des termes constants n’est pas ⁻₂¹.

Lamatrice augmentée étant : µ

2 1 −3 4

−4 −2 6 2

¶

Avec uneopération élémentaire sur lignes :

L2´2L1+L2:

µ2 1 −3 4

0 0 0 10

¶

La dernière ligne du système montre :S=∅.

Interprétation dans l’espace : Les 2 plans sont disjoints.

(18)

⎧⎨

⎩

2x−y= 4 (D₁) 4x+y=−1 (D₂) 2x+y= 0 (D₃)

Remarque : Il n’y a que deux inconnues dans ces équations.

On fera une interprétation dans le plan. Ce sont 3 équations de droite.

On transforme avec une opération ligne le système formé par les 2 premières équations.

½ 2x−y= 4

4x+y=−1 L₂´−2L₁+L₂

½ 2x−y= 4 3y=−9 Les deux inconnuesxetysont toutes deux principales.

La résolution en cascade donne le point d’intersection des droites(D₁)et(D₂): y=−3;x= (4−3)/2 = 1

2 P =

½µ1 2;−3

¶¾

On vérifiepar substitutionsi la troisième droite contient ce même point d’intersection : (D3) : 2x+y= 0

2·1

2+ (−3) =−26= 0 raté !

Le système est incompatible. Les trois droites ne sont pas concourantes en un point unique.

Le système est impossible : S=∅.

2.3 Exercice 797 page 492

1. Le système :

⎧⎨

⎩

x+y−z= 1 2x+ 3y+az= 3

x+ay+ 3z= 2

:a∈Rdécrit sous sa forme matricielle :

⎛

⎝1 1 −1 2 3 a 1 a 3

⎞

⎠

⎛

⎝x y z

⎞

⎠=

⎛

⎝1 3 2

⎞

⎠:a∈R

Résolution par la méthode des déterminants de Cramer.

Le déterminant principal :det (A) =

¯¯

1 1 −1 2 3 a 1 a 3

¯¯

¯¯=−a²−a+ 6 C’est un trinôme du second degré, avec les racines2et−3. Les déterminants particuliers :

Dx=

¯¯

1 1 −1 3 3 a 2 a 3

¯¯

¯¯=−a²−a+ 6

D_y =

¯¯

1 1 −1 2 3 a 1 2 3

¯¯

¯¯= 2−a

D_z =

¯¯

1 1 1 2 3 3 1 a 2

¯¯

¯¯= 2−a Discussion selona∈R:

(a) Sia∈R\ {−3; 2}alorsdet (A)6= 0 et le système admet une solution unique : S =

½µ 1; 1

a+ 3; 1 a+ 3

¶¾

(b) Sia=−3, alorsdet (A) = 0etDy= 56= 0 . Le système est impossible :S=∅.

(19)

(c) Sia= 2,les 4 déterminants sont zéros et le système s’écrit :

⎧⎨

⎩

x+y−z= 1 2x+ 3y+ 2z= 3

x+ 2y+ 3z= 2 La matrice augmentée s’écrit : ⎛

⎝1 1 −1 1

2 3 2 3

1 2 3 2

⎞

⎠ Après deux opérations élémentaires sur les lignes :

L2´−2L1+L2

L3´−L1+L3

⎛

⎝1 1 −1 1

0 1 4 1

⎞

⎠ et donc :

µ1 1 −1 1

0 1 4 1

¶

On peut supprimer la dernière ligne qui est égale à la deuxième.

Les inconnuesxety sont principales, la variablez est libre et on pose :z:=m∈R.On obtient : S={(5m; 1−4m;m) :m∈R}

2. Le système :

⎧⎨

⎩

ax+y−z= 1 x+ay−z= 1

−x+y+az= 1

⎛

⎝a 1 −1 1 a −1

−1 1 a

⎞

⎠

⎛

⎝x y z

⎞

⎠=

⎛

⎝1 1 1

⎞

⎠:a∈R

Résolution par la méthode des déterminants de Cramer.

¯¯

a 1 −1 1 a −1

−1 1 a

¯¯

¯¯=a³−a=a(a−1) (a+ 1) C’est un polynôme du troisième degré, avec les racines0,1et−1.

Les déterminants particuliers : D_x=

¯¯

1 1 −1 1 a −1 1 1 a

¯¯

¯¯=a²−1

Dy =

¯¯

a 1 −1 1 1 −1

−1 1 a

¯¯

¯¯=a²−1

Dz =

¯¯

a 1 1 1 a 1

−1 1 1

¯¯

¯¯=a²−1 Discussion selona∈R:

(a) Sia∈R\ {0,−1; 1}alorsdet (A)6= 0et le système admet une solution unique : S=

½µ1 a;1

a;1 a

¶¾

(b) Sia= 0,alorsdet (A) = 0etDx=−16= 0. Le système est impossible :S =∅. (c) Sia= 1,les 4 déterminants sont zéros et le système s’écrit :

⎧⎨

⎩

x+y−z= 1 x+y−z= 1

−x+y+z= 1 La deuxième ligne qui est égale à la première est supprimée.

La matrice augmentée s’écrit : µ

1 1 −1 1

−1 1 1 1

¶

(20)

Après une opération élémentaire sur les lignes : L2´L1+L2

µ1 1 −1 1

0 2 0 2

¶

Les inconnuesxety sont principales, la variablez est libre et on pose :z:=m∈R.On obtient : S={(m; 1;m) :m∈R}

(d) Sia=−1, les 4 déterminants sont zéros et le système s’écrit :

⎧⎨

⎩

−x+y−z= 1 x−y−z= 1

−x+y−z= 1 La troisième ligne qui est égale à la première est supprimée.

La matrice augmentée s’écrit : µ

−1 1 −1 1 1 −1 −1 1

¶

Après une opération élémentaire sur les lignes : L2´L1+L2

µ−1 1 −1 1 0 0 −2 2

¶

Les inconnuesxetz sont principales, la variabley est libre et on pose :y:=m∈R.On obtient : S={(m;m;−1) :m∈R}

3. Le système :

⎧⎨

⎩

4x−ay= 3 2x+y= 2

x+y= 5

⎛

⎝4 −a 2 1 1 1

⎞

⎠µ x y

¶

=

⎛

⎝3 2 5

⎞

⎠:a∈R

Une résolution par la méthode des déterminants de Cramer n’est pas possible car la matrice des coeﬃcients n’est pas carrée..

Le système formé par les équations2et3donne :

½ 2x+y= 2

x+y= 5 ⇐⇒ (x=−3;y= 8)

Pour vérifier la compatibilité, il faut substituer cette solution unique dans la première équation : 4·(−3)−a·8 = 3

a = −15 8 Conclusion :

(a) Sia6=⁻₈¹⁵ alors le système n’est pas compatible.S=∅

(b) Sia=⁻₈¹⁵ alors le système est compatible et il admet la solution unique :S={(−3; 8)}

2.4 Exercice 798 page 492

1. Le système :

½ (m+ 1)x−2y= 4

(m−1)x−3y= 5 :m∈R, s’écrit sous forme matricielle : µ m+ 1 −2

m−1 −3

¶ µx y

¶

= µ4

5

¶

: m∈R Il n’a que deux inconnuesxety et on peut l’interpréter dans le plan.

¯¯

¯¯ m+ 1 −2 m−1 −3

¯¯

¯¯=−m−5. Les déterminants des inconnues :

D_x=

¯¯

¯¯ 4 −2 5 −3

¯¯

¯¯=−2 et D_y =

¯¯

¯¯ m+ 1 4 m−1 5

¯¯

¯¯=m+ 9