Probl ˜ A¨me.

MPSI A - MPSI B 2011-2012 DS Commun 2 13 septembre 2017

Probl ˜ A¨me.

L’objet de ce probl ˜A¨me¹ est le nombre de Mahler²dont le d ˜A cveloppement d ˜A ccimal est obtenu en pla ˜A§ant bout ˜A bout l’ ˜A ccriture d ˜A ccimale de chaque entier naturel non nul. Ce nombre est not ˜A c M

M= 0.123456789101112131415· · ·

Les notations suivantes sont valables dans tout le probl ˜A¨me. Pour toutk∈N^∗ : dk= 9k10^k−1=k 10^k−10^k−1

Dk =d1+d2+· · ·+dk

m_k =

10^k−1

X

i=10^k−1

i10^{k(10k−i−1)}

µ_k=m₁10^−D1 +m₂10^−D2 +· · ·+m_k10^−Dk

Question pr ˜A climinaire

Soit n un entier naturel non nul et x un r ˜A cel qui n’est pas ˜A cgal ˜A 1.

Montrer que

n

X

j=1

jx^j−1 =xⁿnx−n−1

(x−1)² + 1 (x−1)²

Partie I. Autour des d_k.

1. Quel est le plus grand entier ˜A kchiffres en ˜A ccriture d ˜A ccimale ? Quel est le nombre d’entiers non nuls ayant exactementkchiffres ?

2. Pr ˜A csenter dans un tableau les valeurs dedk etDk pourk= 1,2,3.

3. Montrer queD_k = (k−¹₉)10^k+¹₉.

4. Montrer queD_k = 10D_k−1+ 10^k−1 pourk≥2.

Partie II. Autour des m_k.

Dans toute cette partie,kd ˜A csigne un ˜A cl ˜A cment non nul deN.

1d’apr ˜A¨sMaking Transcendance TransparentE.B. Burger & R. Tubbs (Springer)

2connu aussi sous le nom de nombre deChampernowne

1. a. Montrer que

10^k−1

X

i=10^k−1

10^k(10k−i)= 10^k

10^k−1 10^dk−1 b. Montrer que 10^dk−1< m_k.

c. Montrer que

mk< 10^k−1 10^k

10^k−1

X

i=10^k−1

10^k(10k−i)

En d ˜A cduirem_k <10^dk.

2. Montrer les ˜A ccritures d ˜A ccimales suivantes : m₁= 123456789 m2= 101112· · · 979899

On admettra que cette forme est valable pour tous les k c’est ˜A dire que m_k est le nombre dont l’ ˜A ccriture d ˜A ccimale est obtenue en pla ˜A§ant de gauche ˜A droite les ˜A ccritures d ˜A ccimales de tous les nombres ˜A k chiffres.

m3= 100101102· · · 997998999 ...

Quel est le nombre de chiffres dans l’ ˜A ccriture dem_k?

3. a. ´Ecrire l’expression demk obtenue en posantj= 10^k−idans la somme le d ˜A cfinissant.

b. Montrer qu’il existe un entierak et un rationnelrk ∈ 0,¹⁰₉

tels que

∀k≥2, mk = 10^dk ak

(10^k−1)² −rk.

Partie III. Autour des µk.

On consid ˜A¨re la suite (µ_k)_k∈

N^∗. Il pourra ˜A^atre utile de remarquer que ¹⁰₉ <

1 +₁₀².

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1 S1106E

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1. Soitk≥2 etl > k. Montrer que

m_k10^−Dk+m_k+110^−Dk+1+· · ·+m_l10^−Dl< 10

9 10^−Dk−1

2. Montrer que la suite (µk)_k∈N∗est convergente et que, en notantMsa limite, M −µk≤ 10

9 10^−Dk En d ˜A cduireM ≤0.1234567902.

On admet que le nombre M ainsi d ˜A cfini est bien le nombre de Mahler indiqu ˜A cau d ˜A cbut de l’ ˜A cnonc ˜A c.

3. Pour k≥2, on note qk = 10^Dk−1(10^k−1)². Montrer qu’il existepk ∈N tel que

M −p_k qk

≤ 10 9×10^Dk Montrer que, pour tout r ˜A celγ <10,

M − pk

q_k

≤ 1 q^γ_k

Partie IV. Le th ˜A cor ˜A¨me de Liouville

Dans cette partie, on identifie un polyn ˜A´me avec sa fonction polynomiale associ ˜A ce.

SoitP un polyn ˜A´me ˜A coefficients dansZ, de degr ˜A cd, sans racine dansQet admettant une racine r ˜A celleα(donc forc ˜A cment irrationnelle).

On noteM = sup_{[α−1,α+1]}|P⁰|

1. PourquoiM est-il strictement positif ? On poseC= _M¹. 2. Montrer que

P(^p_q)

≥ _q¹d pour toutp∈Zet pour toutq∈N^∗.

3. Th ˜Aor ˜c A¨me de Liouville. Montrer que |α−^p_q| ≥ _q^Cd pour tout p∈ Z et pour toutq∈N^∗ tels que|α−^p_q| ≤1.

4. On admet que M est irrationnel. Montrer qu’il n’est racine d’aucun po- lyn ˜A´me ˜A coefficients entiers et de degr ˜A cinf ˜A crieur ou ˜A cgal ˜A 9.

Exercice 1.

Dans cet exercice, E est un espace vectoriel sur un corpsK. On rappelle que les applications lin ˜A caires deEdansKsont aussi appel ˜A cesformes lin ˜Aairesc et que leur ensemble peut ˜A^atre not ˜A cE^∗.

On admet que pour tout ˜A cl ˜A cment non nul a ∈ E, il existe des formes lin ˜A cairesα∈ L(E,K) =E^∗ telles queα(a)6= 0K.

Pour toutu∈E et toutα∈E^∗, on d ˜A cfinit une fonctionfα,u par :

fα,u:

(E→E x7→α(x)u

On consid ˜A¨re un sous-espace vectoriel fix ˜A cAdeEqui n’est ni{0E}ni E. On noteAl’ensemble des endomorphismes deEdont l’image est incluse dans A.

∀f ∈ L(E),(f ∈ A ⇔Imf ⊂A)

1. V ˜A crifier queAest stable pour l’addition, la multiplication par un ˜A cl ˜A cment deKet la composition.

2. a. Soitu∈E etα∈E^∗, montrer quefα,u∈ L(E). Siu6= 0E etα6=OE^∗, quels sont lesv∈Eet β∈E^∗ tels quefα,u=fβ,v.

b. Soitu et v dansE, αet β dansE^∗. D ˜A cterminerγ ∈ E^∗ et w ∈E tels quefα,u◦fβ,v=fγ,w.

c. Dans quel cas fα,u appartient-il ˜A A? En d ˜A cduire que A ne se r ˜A cduit pas ˜A la fonction nulle.

3. Supposons qu’il existe un ˜A cl ˜A cment neutre e pour la composition dans A.

a. Montrer que kereet Imesont suppl ˜A cmentaires dansE.

b. Montrer que Ime=A.

c. Montrer que kere⊂kerf pour toutf ∈ A.

d. Soitaun ˜A cl ˜A cment non nul deAetbun vecteur non nul dans kere.

Il existe alorsα∈E^∗ telle que α(b)6= 0K. Montrer quefα,a∈ A. Que peut-on en conclure ?

4. Supposons qu’il existe un suppl ˜A cmentaireB deA et notons A⁰ la partie deAd ˜A cfinie par :

∀f ∈ L(E),(f ∈ A⁰⇔Imf ⊂AetB⊂kerf)

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2 S1106E

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a. Montrer que A⁰ admet un ˜A cl ˜A cment neutre pour la composition.

Pr ˜A cciser la nature de cette application.

b. Montrer queA⁰ est un anneau pour l’addition et la composition. Est-il un sous-anneau deL(E) ?

Exercice 2.

Pour toutn∈N, on d ˜A cfinit les polyn ˜A´mesP_n et L_n deR[X] par : Pn= (X²−1)ⁿ, Ln =P_n⁽ⁿ⁾

Les polyn ˜A´mesLn sont appel ˜A cs lespolyn ˜A´mes de Legendre.

1. Degr ˜A c, coefficient dominant et parit ˜A c a. ExpliciterL0, L1et L2.

b. Pour tout n ∈ N, d ˜A cterminer le degr ˜A c, ainsi que le coefficient dominant du polyn ˜A´meLn.

c. Pourn∈N, ˜A ctudier la parit ˜A cdeL_n. (on dit qu’un polyn ˜A´me est pair quand il est conserv ˜A cpar substitution deX par−X et qu’il est impair quand il est chang ˜A cen son oppos ˜A c)

2. Valeurs deL_n(1) et de L_n(−1).

a. A l’aide de la formule de Leibniz, donner, pour n ∈N, le polyn ˜A´me L_n sous forme d’une somme de polyn ˜A´mes.

b. En d ˜A cduire les valeurs deL_n(1) et de L_n(−1).

3. Racines deL_n

a. Pour toutn∈N^∗ et pour tout entierk∈ {0, . . . , n−1}, d ˜A cterminer les valeurs dePn^(k)(−1) etPn^(k)(1).

b. Montrer que, pour toutn∈N, le polyn ˜A´meL_nest scind ˜A cA racines˜ simples et que toutes ses racines sont dans ]−1,1[.

4. Relation entre les polyn ˜A´mes de Legendre

a. Former une relation entre P_n+1⁰ et P_n pour n ∈ N, puis une relation entreP_n+1⁰⁰ , P_n et P_n−1 pourn∈N^∗.

b. A l’aide de ces deux relations, d ˜A cterminer une relation liant Ln+2, Ln+1 et Ln pourn∈N.

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