Chapitre n°2 : Fonctions : continuité, limite.partie 1/2 Objectifs :
Niveau a eca n
C2.a 1 Savoir déterminer des limites finies ou infinies d'une
fonction à l'infini.
C2.b 1 Savoir déterminer des limites infinies d'une fonction en
un point.
C2.c 2 Savoir déterminer des asymptotes.
C2.d 2 Savoir déterminer les limites d'une somme, d'un produit
ou d'un quotient de fonctions.
C2.e 1 Calculer la limite de fonctions composées
C2.f 1 Calculer la limite de fonctions en utilisant les théorèmes
de comparaison
C2.g 1 Savoir utiliser le théorème des valeurs intermédiaires
Activité d'approche n°1 : limites de fonctions Sur la figure ci-contre , A est fixe, de coordonnées
(1;2) . H est le projeté orthogonal de A sur l'axe des ordonnées. I est le projeté orthogonal de A sur l'axe des abscisses. M est un point mobile sur l'axe des abscisses, d'abscisse x strictement supérieure à 1 . P
est le point d'intersection de la droite (AM) avec l'axe des ordonnées. On note f(x) l'aire du triangle HAP . 1. En utilisant un logiciel de géométrie, indiquer approximativement l'évolution de l'aire du triangle
HAP en fonction de x .
2. Conjecturer les valeur de lim
x
→
+1f ( x) et lim
x
→+∞ f ( x) .
lim
x
→
+1f ( x)=... . et lim
x
→+∞ f ( x)=... .
3. Calculer l'aire du triangle HAP en fonction de x .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
4. Retrouver les conjectures de la question 2 en étudiant les variations de f . ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Cours n°1 : limites de fonctions
I) Limites de fonctions
Définition n°1 : limite finie en l'infini
Dire que lim
x
→+∞ f ( x)=l signifie que quelque soit l'intervalle contenant l que l'on se fixe, il existe toujours une valeur x
0…...…
...…...…
...…..
Remarque :
Un énoncé similaire permet d'interpréter lim
x
→−∞ f ( x )=l
Définition n°2 : limite finie en a
Dire que lim
x
→ a f ( x )=l signifie que quelque soit l'intervalle contenant l que l'on se fixe, il existe toujours une valeur x
0…...
…...
…...
…...
Définition n°3 : limite infinie en l'infini
Dire que lim
x
→+∞ f ( x)=+∞ signifie que quelque soit l'intervalle ]A;+ ∞ [ ( A nombre réel positif) que l'on se fixe, il existe toujours une valeur x
0...
...
...
…...
Remarque :
Un énoncé similaire existe pour lim
x
→ ... f ( x )=... lim
x
→ ... f ( x )=... et lim
x
→... f ( x)=...
Définition n°4 : limite infinie en a
Dire que lim
x
→ a f ( x )=+∞ signifie que quelque soit
l'intervalle ]A;+ ∞ [ ( A nombre réel positif) que l'on se fixe, il existe toujours une valeur x
0suffisamment proche de a
pour laquelle
...
…...
…...
Remarque :
Lorsque x tend vers le réel a par valeur inférieure, o note : …...
et on parle de l... …...
Lorsque x tend vers le réel a par valeur supérieure, o note : …...
et on parle de l... …...
Exemple n°1 :
Déterminer lim
x
→+∞
1 x :
Intuitivement, on peut conjecturer que lim
x
→+∞
1 x =... .
Soit a un nombre réel positif quelconque et l'intervalle ]–a;+a[ . Alors, si x>..., on a 1 x
….... Ce qui confirme que lim
x
→+∞
1
x =... . puisque l'on peut prendre a aussi petit que l'on veut.
Exercice n°1 Ex.1 p.54 Exercice n°2
Ex.34 p.56 Exercice n°3
Ex.8 p.54
Cours n°2 : Asymptotes
II) Asymptotes
Définition n°5 : asymptote horizontale
Soit f une fonction. Si lim
x
→+∞ f ( x)=l , c'est que la
courbe représentative de f s'approche progressivement, à l'infini, d'une droite horizontale d'équation …... . Cette droite s'appelle alors
…...
Définition n°6 : asymptote verticale Soit f une fonction. Si lim
x
→
af ( x)=+∞ , c'est que la
courbe représentative de f s'approche progressivement
en a d'une droite verticale d'équation …... . Cette droite s'appelle alors
…...
Exemple n°2 :
Soit f la fonction inverse. Donner les équations des asymptotes.
…...
...
...
Se tester – Test.n°2 Ex.1 [/6] :
Soit f la fonction définie par : f(x) = /f{/t{1;-1};x/t{-µ;+µ}}+µ
1. Déterminer la limite en $/calc{0-(#2)}^{-`}$
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
2. Déterminer la limite en $/calc{0-(#2)}^{+`}$
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
3. Déterminer la limite en $/t{+ ∞;- ∞}$
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
4. En déduire deux asymptotes dont on donnera les équations.
...
...
...
...
...…
Interrogation n°2 Objectifs
C2.a_Niv1 :Savoir déterminer des limites finies ou infinies d'une fonction à l'infini.
C2.b_Niv1 :Savoir déterminer des limites infinies d'une fonction en un point.
C2.c_Niv2 :Savoir déterminer des asymptotes.
Exercice n°4 Ex.6 p.54 Exercice n°5
Ex.36 p.56 Exercice n°6*
Ex.63 p.58 Exercice n°7**
Ex.7 et 8 p.54
Cours n°3 : Opérations sur les limites
III) Limite des fonctions usuelles Propriété n°1
a. lim
x
→−∞ x
2=... . et lim
x
→+∞ x
2=...
b. lim
x
→−∞ x
3=... . et lim
x
→+∞ x
3=...
c. Si n est pair : lim
x
→−∞ x
n=... . et lim
x
→+∞ x
n=...
d. Si n est impair : lim
x
→−∞ x
n=... . et lim
x
→+∞ x
n=... .
e. lim
x
→−∞
1
x =... . et lim
x
→+∞
1
x =... . , lim
x
→
0x<0
1
x =... et lim
x
→
0x>0
1 x =... . f. lim
x
→+∞ √ x=... .
Propriété n°2
Si a est un nombre réel : lim
x
→
a1
x =... . pour a ≠ 0 lim
x
→
aP ( x )=... . si P est un polynôme.
lim
x
→
a√ x=... . pour a0.
IV) Opérations sur les limites Propriété n°3 : Somme lim
x→a
( f ( x)+ g ( x )) lim
x→a
f ( x ) → lim
x→a
g ( x ) ¯
L + ∞ – ∞
L' ... ... ...
+ ∞ ... ... ...
– ∞ ... ... ...
Propriété n°4 : Produit lim
x→a
f ( x )×g ( x) lim
x→af ( x ) →
lim
x→ag ( x ) ¯
L<0 L>0 L=0 + ∞ – ∞
L'<0 ... ... ... ... ...
L'>0 ... ... ... ... ...
L'=0 ... ... ... ... ...
+ ∞ ... ... ... ... ...
– ∞ ... ... ... ... ...
Propriété n°5 : Quotient lim
x→a
f ( x) g ( x)
lim
x→a
f ( x ) → lim
x→ag ( x )
L<0 L>0 L=0 + ∞ – ∞
¯
L'<0 ... ... ... ... ...
L'>0 ... ... ... ... ...
L'=0 ... ... ... ... ...
+ ∞ ... ... ... ... ...
– ∞ ... ... ... ... ...
Exemple n°3 :
Déterminer lim
x
→+∞ ( 1 + 1 x ) x
2:
...
...
...
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Exemple n°4 :
Déterminer lim
x
→+∞
1 x
2+1 :
...
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...
Exemple n°5 :
Déterminer lim
x
→
−2x +1 x + 2 :
...
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...
Exemple n°6 :
Déterminer lim
x
→−∞
x
3−1 x
2+1
...
...
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Exemple n°7 :
Déterminer lim
x
→+∞
x +1 2 x +1 :
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Exemple n°8 :
Déterminer lim
x
→−∞
5 x
2+ 3 x +1
−2 x+1 :
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Exemple n°9 :
Déterminer lim
x
→
−2x
2+6 x+ 8
−2 x−4 :
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Se tester – Test n°3 Ex.1 [/1,5] :
Déterminer /lim{x;+infinity;(/t{+;-}µ+{µ}over{x} ) x^2} :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.2 [/1] :
Déterminer /lim{x;+infinity;{/t{µ ;-µ}}over{x^2+µ}} :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.3 [/1,5] :
Déterminer /lim{x; 3^{"+"} ;{-x+/t{1;2;4;5;6;7;8;9}}over{x-3}} :
...
...
...
...
...
...
Ex.4 [/2] :
Déterminer /lim{x;+infinity;{x^/t{2;3;4;5}+µ}over{x^/t{2;3;4;5}+µ}}
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.5 [/2] :
Déterminer /lim{x;+infinity;{x+µ}over{µx+µ}} :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.6 [/2] :
Déterminer /lim{x;-2;§[{x^2 +/calc{2+µ}x+/calc{2*#22}}over{x+2}]§} :
...
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...
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Interrogation n°3 Objectifs
C2.d_Niv2 :Savoir déterminer les limites d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de fonctions.
Exercice n°8 Ex.10 p.54 Exercice n°9
Ex.15 p.54 Exercice n°10*
Ex.21 p.55 Exercice n°11*
Ex.22 p.55 Exercice n°12
Ex.47 p.56
Cours n°4 : Fonctions composées
V) Fonctions composées Définition n°7
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, soit J l'ensemble de toutes les valeurs
f(x) où x appartient à I , et soit g une fonction définie au moins sur J . On appelle fonction composée f suivie de g la fonction h définie par :
…...
On note cette composée : h = …...
Exemple n°9 :
Soit h la fonction définie par h( x)= ( x+ 2 x 3 )3 . É crire h comme composée de deux fonctions :
...
...
...
...
...
...
Propriété n°6 : limite de fonctions composées
Si lim
x
→
af ( x)= b et si lim
x
→
bg ( x)=c alors lim
x
→
a...=.. .
Remarque :
Cette propriété est aussi valide en +∞ et –∞ .
Exemple n°10 :
Déterminer la limite en - ∞ de la fonction h de l'exemple précédent.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester – Test n°4 Ex.1 :
1 (/2) . Soit h la fonction définie par §[(/f{¤x;¤x+µ})^¤]§. Écrire h comme composée de deux fonctions :
...
...
...
……….
2 (/4) . Déterminer la limite en -∞ de la fonction h de l'exemple précédent.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…..……....……...……...…...
……...…...…....………..
Interrogation n°4 Objectifs
C2.e_Niv1 :Calculer la limite de fonctions composées Exercice n°13
Ex.24 p.55 Exercice n°14*
Ex.78 p.59
Cours n°5 : Limites par comparaison VI) Calcul de limites par comparaison
Propriété n°7 (Théorème des gendarmes)
Soient a et L deux réels, et s oient f , g et h trois fonctions définies sur un intervalle contenant a telles que l'on ait :
- Au voisinage de a : f(x)g(x)h(x)
- lim
x
→
af ( x)= lim
x
→
ah ( x )= L
Alors …...
…...
Remarque :
Cette propriété est aussi valide en +∞ et –∞ . Exemple n°11 :
Déterminer lim
x
→+∞
cos ( x) x :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Propriété n°8 (Théorème de comparaison)
Soient a et L deux réels, et s oient f et g deux fonctions définies sur un intervalle contenant a telles que l'on ait, au voisinage de a : f(x)g(x)
Alors : Si lim
x
→
af ( x)=+∞ alors …...
Si lim
x
→
ag ( x )=−∞ alors …...
Exemple n°12 :
Soit f la fonction définie par : f(x)=x+1+cos(x) . Déterminer lim
x
→+∞ f ( x) :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester – Test n°5 Ex.1 [/3] :
Déterminer : /lim{x;+infinity;{µ cos x}over{µx}+µ}
...
...
...
...
...
...
…...
...
...
Ex.2 [/2] :
Soit f la fonction définie par : f(x) = /t{µ;-µ}x+µ - µcos(x) . Déterminer /lim{x;
+infinity;f(x)} :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Interrogation n°5 Objectifs
C2.f_Niv1 : Calculer la limite de fonctions en utilisant les théorèmes de comparaison Exercice n°15
Ex.28 p.55 Exercice n°16
Ex.89 p.60 Exercice n°17*
Ex.83 p.59 Exercice n°18**
Ex.86 p.60
Activité d'approche n°2 : Partie entière et continuité
On définit la fonction, appelée « partie entière », notée E de la façon suivante : à tout nombre réel x , on fait correspondre l'unique entier relatif n tel que n x<n+1.
1. Calculer E(-2,7) et E(4,57) .
...
...
2. Représenter la fonction E sur le graphique ci-dessous :
3. Conjecturer les limites suivantes sur le graphique : lim
x
→
3 x<3E ( x) et lim
x
→
3 x>3E ( x ) ...
...
4. La fonction E admet-elle une limite en 3 ? Pourquoi ?
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Cours n°6 : Continuité, théorème des valeurs intermédiaires VII) Continuité d'une fonction – théorème des valeurs intermédiaires
Définition n°8
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de cet intervalle.
f est dite continue en a si …... =...
…...
f est dite continue sur I si elle est continue en tout nombre de l'intervalle I .
Remarque :
Une fonction continue sur un intervalle I est une fonction dont la représentation graphique sur cet intervalle se trace sans lever le crayon.
Exemple n°13 :
La fonction partie entière est discontinue à chaque …...
…...
La fonction carrée est …... sur …...
Propriété n°9 (admis)
Les fonctions dérivables sur un intervalle sont continues sur cet intervalle.
Remarque :
Les fonctions rencontrées jusqu'à présent sont très souvent continues sur leur ensemble de définition.
Propriété n°10 : théorème des valeurs intermédiaires (admis) Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a;b] .
Alors, quelque soit le réel k de l'intervalle [ f(a) ; f(b) ] , il existe au moins un nombre
c de l'intervalle [a;b] tel que …...
Remarque :
Autrement dit, si f est une fonction continue, l'équation f(x)=k admet au moins une solution dans l'intervalle [a;b] .
Exemple n°14 :
Soit la fonction f définie par f ( x )= x
3+5
x
2+3 . L'équation f(x)=2 admet-elle au moins une solution sur IR ? Justifier.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Propriété n°11 : Théorème de la bijection (admis)
Si f est une fonction continue strictement monotone sur un intervalle [a;b] , alors pour tout réel k de l'intervalle [ f(a) ; f(b) ] ,il existe exactement un unique nombre c de l'intervalle [a;b] tel que …...
Remarques :
1. Ce théorème est une conséquence (=corollaire) du théorème des valeurs intermédiaires.
2. Si k n’appartient pas à l’intervalle [ f(a) ; f(b) ] , l’équation n’a pas de solution.
Exemple n°15 :
Soit la fonction f définie par f ( x )= 5
x
2+3 . L'équation f(x)=1 admet-elle une solution sur IR
+? Cette solution est-elle unique ? Justifier.
...
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Se tester – Test n°6 Ex.1 (/3,5) :
Soit la fonction f définie par f(x) = /f{µx^3+µ;µx^2+µ}. L'équation f(x)=2 admet-elle au moins une solution sur IR ? Justifier.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.2 (/4,5)
Soit la fonction f définie par f(x) = /f{/t{5;6;7;8;9};µx^2+/t{1;2;3;4}} L'équation f(x)=1
admet-elle une solution sur IR ? Cette solution est-elle unique ? Justifier.
...
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Interrogation n°6 Objectifs
C2.g_Niv1 : Savoir utiliser le théorème des valeurs intermédiaires Exercice n°19*
Ex.32 p.55 Exercice n°20*
Ex.105 p.61 Exercice n°21*
Ex.106 p.61 Exercice n°22*
Démontrer qu'il existe une fonction qui coupe toutes les droites du plan.
Exercice n°23****
Sujet A p.69 Exercice n°24**
Sujet D p.70 Exercice n°25***
Asymptotes obliques p.65 Exercice n°26**
Ex.146 p.71 Exercice n°27**
Ex.152 p.72 Exercice n°28**
Ex.153 p.73
Exercice n°29****
Ex.154 p.73
Résultats ou indices
Ex. n°1-Ex.1 p.54- x>5 ; x>50 ; lim
x
→
+∞f ( x)=−∞
Ex. n°2-Ex.34 p.56- 1. lim
x
→
2 x>2f ( x )=−∞ 2. lim
x
→
+∞f ( x)=0
Ex. n°3-Ex.8 p.54- Dans tous les cas : lim
x
→
+∞f ( x)=+∞ et lim
x
→
+∞g ( x)= 0 1.
lim
x
→
+∞f ( x)× g ( x)= 1 2. lim
x
→
+∞f ( x)× g ( x)= 0 3. lim
x
→
+∞f ( x)× g ( x )=+∞ 4.
lim
x
→
+∞f ( x)× g( x)=−∞
Test.1 :1. /si{#c4=Tirage du bloc n°1;- ∞;+ ∞ } 2. /si{#c4=Tirage du bloc n°1;+ ∞;- ∞ } 3.
#3 4. x=#2 et y = #3 . Ex. n°4-Ex.6 p.54-
1. (d
1) a pour équation x = -2. (d
2) a pour équation x = 1. (d
3) a pour équation y = -1. 2.
lim
x
→
−∞f ( x)=−1 , lim
x
→
+∞f ( x)=−1 ,
lim
x
→
−2 x<−2f ( x)=+∞ lim
x
→
−2 x>−2f ( x)=−∞
lim
x
→
1x<1
f ( x)=+∞ lim
x
→
1x>1
f ( x)=+∞ 3.
Ex. n°5-Ex.36 p.56- 1.
2. Si x<-1 ou x>1, c est
strictement au dessus de (d
3) . Si -1<x<1, c est strictement en dessous de (d
3) . Ex. n°6*-Ex.63 p.58- 1. lim
x
→
−∞f ( x)=+∞ lim
x
→
+∞f ( x)=3 asymptote : y=3 en +∞ 2.b.
lim
x
→
−∞g ( x)=0 lim
x
→
+∞g ( x)= 1
3 2.c. asymptote y=0 en - ∞ et asymptote y= 1
3 en + ∞ Ex. n°7**-Ex.7p.54- Dans tous les cas, lim
x
→
+∞f ( x)=+∞ et lim
x
→
+∞g ( x)=−∞ Cas n°1 : lim
x
→
+∞f ( x)+ g ( x )= 5 ; cas n°2 : lim
x
→
+∞f ( x)+ g ( x )=0 ; cas n°3 : lim
x
→
+∞f ( x)+ g ( x)=+∞ ; cas n°4 : lim
x
→
+∞f ( x)+ g ( x )=−∞ -Ex.8p.54- Dans tous les cas, lim
x
→
+∞f ( x)=+∞ et
lim
x
→
+∞g ( x )=0 ; cas n°1 : lim
x
→
+∞f ( x)× g ( x)= 1 ; cas n°2 : lim
x
→
+∞f ( x)× g ( x)= 0 ; cas n°3 :
lim
x
→
+∞f ( x)× g ( x )=+∞ ; cas n°4 : lim
x
→
+∞f ( x)× g ( x )=−∞
Test.3 : Ex1 : /si{#c9=Tirage du bloc n°1;+ ∞;- ∞ } Ex2 : 0 Ex3 : /si{#14<3; - ∞ ; + ∞ }
Ex4 : /si{#17<#18; 0 ; /si{#17=#18;1;+ ∞ }} Ex5 : /f{1;#20} Ex6 : /calc{-2+#22}
Ex. n°8-Ex.10 p.54- a. lim
x
→
−∞f ( x)=−∞ et lim
x
→
+∞f ( x)=+∞ b. lim
x
→
−∞g ( x)=−∞ et
lim
x
→
+∞g ( x)=+∞ c. lim
x
→
−∞h ( x)=−∞ et lim
x
→
+∞h ( x)=+∞
Ex. n°9-Ex.15 p.54- a. lim
x
→
−∞f ( x)=−∞ b. lim
x
→
−∞g ( x)=−∞ c. lim
x
→
−∞h( x )=−∞ d.
lim
x
→
−∞k ( x)=+∞
Ex. n°10*-Ex.21 p.55- 1. Si x<3, 3 – x>0 ; Si x>3, 3 – x<0 2.a. lim
x
→
3x>3
f ( x)=−∞ 2.b.
lim
x
→
3 x>3g ( x)=+∞ 2.c. lim
x
→
3 x>3h( x)=+∞ 3.a. lim
x
→
3 x<3f ( x)=+∞ 3.b. lim
x
→
3 x<3g ( x )=−∞ 3.c.
lim
x
→
3x<3
h( x)=−∞
Ex. n°11*-Ex.22 p.55- 1.a. lim
x
→
1 x>1f ( x)=+∞ 1.b. lim
x
→
1 x>1g ( x)=−∞ 1.c. lim
x
→
1 x>1h ( x)=−∞ 2.a.
lim
x
→
1 x<1f ( x)=−∞ 2.b. lim
x
→
1 x<1g ( x )=+∞ 2.c. lim
x
→
1 x<1h ( x)=+∞
Ex. n°12-Ex.47 p.56- a. lim
x
→
−∞f ( x)=−∞ et lim
x
→
+∞f ( x)=+∞ b. lim
x
→
−∞g ( x)=+∞ et
lim
x
→
+∞g ( x )=−∞ c. lim
x
→
−∞h( x)=+∞ et lim
x
→
+∞h( x)=+∞ d. lim
x
→
−∞k (x)=−∞ et
lim
x
→
+∞k (x)=−∞
Test.4 : Ex1.1 : h1(x)=/f{#23x;#24x+#26} et h2(x)=$x^#25$ 2 : /f{/calc{#23^#25};/calc{#24^#25}}
Ex. n°13-Ex.24 p.55- lim
x
→
+∞f ( x)=+∞ , lim
x
→
+∞g ( x)=+∞ et lim
x
→
+∞h( x)=+∞
Ex. n°14*-Ex.78 p.59- lim
x
→
1x>1
f ( x)=+∞ et lim
x
→
3x<3
f ( x)=+∞
Test.5 : Ex1 : #29 Ex2 : /si{#c34=Tirage du bloc n°1;+ ∞; - ∞ }.
Ex. n°15-Ex.28 p.55- lim
x
→
+∞f ( x)=+∞
Ex. n°16-Ex.89 p.60- lim
x
→
+∞g ( x )=+∞ et lim
x
→
−∞g ( x)=−∞
Ex. n°17*-Ex.83 p.59- 1. La droite d d'équation y=1 est une asymptote à c
fen - ∞ et + ∞. c
fest strictement en dessous de d. 2.
3. Pour x> √ 199 , la distance entre le point de c
f, d'abscisse x et le point de d d'abscisse x est
strictement inférieure à 0,01 .
Ex. n°18**-Ex.86 p.60- 2. La droite d d'équation y=-3 est une asymptote à c
fen - ∞ et + ∞. Si x< 5
2 c
fest au-dessus de d. Si x> 5
2 c
fest en dessous de d. 3.
Test.6 : Ex1 : Oui Ex2 : /si{#41>#40 ; 2 solutions ; /si{#41=#40;1 solution ; Pas de solution}}
Ex. n°19*-Ex.32 p.55- 3. 1,3< <1,4 .
Ex. n°20*-Ex.105 p.61- 1. f est strictement croissante sur R. 2. Théorème des valeurs intermédiaires 3. 1,121< <1,122.
Ex. n°21*-Ex.106 p.61- 1. 4.
-0,79<
1<-0,78 et
-0,79<
2<-0,78.
Ex. n°23****-Sujet A p.69- P.A.1.
lim
x
→
+∞g ( x )=−∞ P.A.3.
P.A.4.b.3,09 3,10. P.A.5.Sur [0;α[, g(x)<0 et sur ]α;+∞[,
g(x)>0.P.B.1.A'(x)=2g(x) P.B.2. Sur [0; [ , A est strictement croissante.
Sur [;+∞[, A est strictement décroissante. P.C.2. Oui.
Ex. n°24**-Sujet D p.70- 1.b.2.b.3.c.4.c.
Ex. n°25***-Asymptotes obliques p.65-
>Dans le triangle MHP rectangle en H, la longueur de l’hypoténuse est supérieure à celle des autres côtés donc MH …. MP.
> 0 MHMP. Or MH=u(x) ...0 u (x) f (x) – (1 + x ). /lim{x;+infinity;f(x)-(1+x)=0} est une condition suffisante.
Ex. n°26**-Ex.146 p.71- 1. f° affine. 2.a. lim
x
→
−∞f
m( x )=−∞ et lim
x
→
+∞f
m( x)=+∞ 2.b. Si m<0,
lim
x
→
0x<0
f
m( x)=+∞ et lim
x
→
0x>0
f
m( x)=−∞ , Si m<0, lim
x
→
0x<0
f
m( x)=−∞ et lim
x
→
0x>0
f
m( x)=+∞
3. f
m' (x)= x
2−m
x
2est du signe de x
2– m. Si m<0 f
mest croissante sur ]-∞;0[ et sur ]0;+ ∞[. Si m>0 :
4. La courbe bleue est celle de f
1et la courbe rouge est celle de f
-1. Ex. n°27**-Ex.152 p.72- 2. 0,8< <0,9
Ex. n°28**-Ex.153 p.73- P.A.1. x=4 et x=8. 4000 unités et 8000 unités. 2. Au-dessous de 200€.
P.B.1. lim
x
→
+∞f ( x)=0 : les consommateurs sont prêts à acheter une quantité très, très grande de produit lorsque le prix est très proche de 0. P.B.2.c.455€.
Ex. n°29****-Ex.154 p.73- P.A.1. lim
x
→
−∞g ( x)=−∞ et lim
x
→
+∞g ( x )=+∞ P.A.2.g'(x)=9x
2– ….
P.A.3
.P.A.4.
1,7<<1,71 P.A.5.
Si x< , g(x)<0.
Si x> , g(x)>0.
P.B.1. lim
x
→
−∞f ( x)=−∞ et lim
x
→
+∞f ( x)=+∞ , lim
x
→
0 x<0f ( x)=+∞ et lim
x
→
0 x>0f ( x)=+∞ . L'axe des ordonnées est une asymptote à c'.
P.B.3.
P.B.4.a. Si -1 x<0 ou x>0 , c' est au-dessus de d . Si -1x, c' est en-dessous de d.
P.B.4.b. lim
x
→
−∞d ( x)=0 et lim
x
