Chapitre + Probabilités discrètes

(1)

Probabilités discrètes

I. Espace probabilisé

Soit un ensemble qu'on appellera l'univers. Ses parties sont les évènements.

, \ ( )

Une tribu sur : famille de sous-ens de tq : , ,

n

n n n

A A A A



 F   F   F F F  F

( , )

( ) { , , , }

( ) , , \

est appelé espace probabilisable

est une tribu. Si , est la tribu engendrée par

n n

n

A A A A

A A A B A B





    

     

F P

F F F F

, sont dits incompatibles si

A BF A  B

( , ) : [0,1] ( ) 1 ( ) ( ) ( )

( ) 1 ( ) 0

Une probabilité sur : tq , et si 2 à 2 disjoints, "presque sûr" "presque impossible"

n n n n

P P A P A P A

P A A P A

     

   



F F F

( , , ) ( ) 0

( ) ( ) ( \ ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )

est appelé espace probabilisé et

P P

A B P A P B P B A P B P A P A P A

  

      

F

( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim ( )

Continuité séquentielle :

n n

n n n n n n

A P A P A A P A P A

 

F   F  

( ) ( ) ( )

Sous-additivité (inégalité de Boole) : _{n n} _n _n

n n

A P A P A



^F 



II. Conditionnement et indépendance

( , , ) espace probabiliséF P

( )

( ) 0, ( ) ( | )

tq _B P A( )B est la proba conditionnelle de sachant

B P B A P A P A B A B

P B

F  F   

[0,1]

( ) 0 : ( , )

tq _B ( ) est une probabilité sur

B

B P B P

A P A

 

   



F F F

1 1 2 1 1 1

( ... ) ( ) ( | )... ( | ... )

Formule de Bayes séquentielle : P A  A_n P A P A A P A A_n  A_n_ :

( ) ,

Un système complet dénombrable d'évènements est une partition dénombrable de

tq et

n n i j n

A _ i j A A A



      

0

( ) , ( ) ( | ) ( )

Loi des probas totales : _n sys complet d'evts

k

n k k

E B P B P B E P E





  



( ) ( ) 1

Marche aussi si on a seulement : E_n 2 à 2 disjoints tels que P E_n  ( ) ( | ) ( | )

( ) P A P B A P A B

 P B ( ) ( | )

( ) ( ) 0 ( | )

( ) ( | )

Formule de Bayes : _n sys cpt d'evt, tq , _k ^k ^k

n n

n

P E P B E

E B P B k P E B

P E P B E



     

F



(2)

)

, ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) (

sont indépendants si

deux à deux indépendants si , et sont indépendants mutuellement ind. : finie,

i j

i I n n

n n i i

i I

A B P A B P A P B

A i j A A

A I P A P A



  

 

  



F

, indépendants Si ( ) 0, ( | ) ( ) et sont indépendants

A B  P A  P B A P B A B

III. Variable aléatoire discrète

1 1

( , ) :

( ) , ({ }) ({ }) ( )

ensemble. Une variable aléatoire discrète sur à val dans est une application tq :

fini ou dénombrable On note " "

E E X E

X x E X^ x X^ x X x

  

    

F F

: ( ) { | ( )}, 1( ) "( )

( )

vad. , est noté "

est un sys cpt d'evt

n i j

n n I

X E X x n I x x A E X A X A

X x





          



F

1 : 1 0 est une vad, la variable aléatoire indicatrice de si , sinon

A A A

  A

 

F  

: vad, : : ( ( )) est une variable aléatoire discrète notée ( )

X  E f E F f X  f X  f X

, . Un couple de variables aléatoires discrètes à valeurs dans est une vad :

E F E F X   E F

1 2 1 2

( , ) .

: , : : ( ( ), ( ))

couple de vad à val dans Alors (resp ) est une vad à val dans (resp )

vad. Alors est un couple de vad.

X X X E F X X E F

X E X F X  X  X 

 

   

: ( ( )) ( ).

( ( ), ) : ( )

vad. est une tribu sur La loi de probabilité est la probabilité sur définie par :

X X

X E X X P

X P A P X A

    

 

T P

T ( , )

Deux vad et sur X Y ET sont équiréparties (ont la même loi) si P_X P_Y

{ } ( ) 1 ( , ) , ( )

Germe de proba : vad sur à val dans X  x_n _n_ . p_{n n}_ tq



p_n   P sur ^F tq n P X x_n  p_n

1 2 1 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

( , )

( ) ( ) ( ) , ( ( , )) ( , )

couple de vad. La loi conjointe de et est la loi de , qui est entièrement déterminée par :

, notée _X

X X X X X X

X X X x X x X P X x x P x x



        

1 2

( , ) ( ) {( , ) | , } ,

( ) ( , ) ( ) ( , )

couple de vad. où et et deux à deux disctincts.

, , sont les lois marginales

i j i i

i X i j j X i j

j J i I

X X X X x y i I j J I J x y

i I P X x P x y j J P X y P x y

 

      

   



   



Loi conjointelois marginales MAIS PAS L'INVERSE

, ( , , ), ( ) ( ) 0, ( ( ))

( | ) ( ( ), ) ( )

vad sur tq

est une proba sur , la loi conditionnelle de sachant

X Y P x X P X x Y

A P Y A X x Y Y X x

      

   

F T P

T

: ( )

vad réelle. _X est la fonction de répartition de

X F x P X x X

lim ( ) 0, lim ( ) 1

( ) ( ) ( )

est croissante, continue à droite sur .

X X X

x x

X X

F F x F x

a b P a X b F b F a

   

      

, vad sur et sont indépendantes si . ( ), ( ), (( ) ( )) ( ) ( ) X Y  X Y  x X  y Y  P X  x Yy P X x P Y y

(3)

( , )

, indpdts _{X Y} ( , ) _X( ) _Y( ) càd loi conjointe = produit des lois marginales X Y P x y P x P y

( ), ( ), (( ) ( )) ( ) ( )

et vad sont indépendantes

X Y   A X    B Y P X  A Y B P XA P YB

1... _n vad : mutuellement indpdtes si , _i _i( ) (, 1 1)...( _n _n) sont mut. indpdts X X   i x X  X x X x

(X_{n n}) _ suite de vad indépendantes si  I finie non vide, les (X_{i i I})_ sont mut. indptes , vad indpdtes. , def sur ( ), ( ) ( ) et ( ) vad indpdtes

X Y f g X  Y   f X g Y

IV. Espérance et variance

0

{ } ( )

( ) ( )

vad réelle à val dans a une espérance finie si est ABSOLUMENT convergente

Dans ce cas, est l'espérance de

n n n n

n n

n

X x x P X x

E X x P X x X







 



( ) 0 Une vad réelle est centrée si elle a une espérance finie telle que E X 

1

( ) ( ) ( )

vad à val dans . Elle admet une espérance finie cv. Dans ce cas,

n

X ssi P X n E X P X n





  

 

0

{ } , , : . ( ) ( ) ( )

( ( )) ( ) ( )

Thm du transfert : vad dans avec a une esp finie

alors

n n i j n n

n n

n

X E x x x f E f X ssi f x P X x

E f X f x P X x







   

 



, , ( ) ( ) ( )

( ) 0 , ( ) ( ) ( ) ( )

vadr à esp finie, existe et est égale à à val dans

X Y a b E aX bY aE X bE Y

X ^ E X  X  Y  E X E Y

   

      

, vadr esp finie, indépendantes ( ) ( ) ( )

X Y E XY E X E Y

Réciproque fausse. Généralisable à n variable mut. indpdtes

2

( ) (( ( )) )2 0 ( ) ( )

vadr tq a une esp finie ("a un moment d'ordre 2") aussi,

et est la variance de est l'écart-type de

X X X

V X E X E X X  X V X X



   

2 2 2

( ) ( ) ( ) , , ( ) ( )

V X E X E X a b V aX b a V X

( ) 0

( ) ( )

( )

vadr mmt 2, . est d'écart-type, c'est la variable réduite associée à est la variable centrée réduite associée à

X X X X

X X E X

X X

 







, ( ( ))( ( ))

cov( , ) [( ( ))( ( ))]

vadr esp finie. Si admet une esp finie, est la covariance de est

X Y X E X Y E Y

X Y E X E X Y E Y X Y

 

  

2 2 2

, ( ) ( ) ( )

Cauchy-Schwarz : X Y vadr mmt 2, alors XY a une espérance finie et E XY E X E Y

2 2

0 0 0

( _n),( ),(_n _n) den, _n 0, | _{n n}| _n _n _n _n _n

n n n

a b p p a b p a p b p

  

  

 





 

(4)

, vadr mmt 2 cov( , ) ( ) ( ) ( ) X Y   X Y E XY E X E Y

La covariance est un opérateur bilinéaire symétrique

, vadr mmt 2, indpdtes cov( , ) 0 ("non corrélées") RECIPROQUE FAUSSE

X Y  X Y 

( 1 ... _n) ( _i) 2 cov( _i, _j)

i i j

V X X V X X X



  







cov( , )

, ( ) 0, ( ) 0 ( , )

( ) ( )

vadr mmt 2, X Y est le cof de corrélation

X Y X Y X Y

X Y

  

 

  

, vadr mmt 2 | cov( , ) | ( ) ( ) ( si ,| ( , ) | 1)

X Y X Y  X  Y    X Y 

( ) 1

0, ( ) ( ( ))

Inégalité de Markov : v.a. dans E X et en particulier,

X a P X a P X kE X

a k

       

2

0, (| ( ) | ) ( )

Inégalité de Bienaymé-Chebychev : v.a. réelle : V X

X a P X E X a

     a

V. Variables aléatoires à valeurs entières

0

, { | ( :

( ) ( )

vad à val dans ^X)}. _X _X _n est la fonction génératrice de

n

D

X D t E t G X

t E t P X n t





 

     





( ) | | 1, ( )

vad Le rayon de CV de ⁿ est 1. ^X

X



P X n t    t E t

( )

2

. , ( ) (0) ( ) 1, ( ) '(1)

!

( ) 1, ''(1) ( ( 1)) ( ) ''(1) '(1) '(1)

vad dérivable en alors

deux fois dérivable en alors et

k X

X X

X X X X X

X k P X k G E X G E X G

k

V X G G E X X V X G G G

      

      

même loi de proba

X Y

G G 

, vad INDEPENDANTES _{X Y} _X _Y (généralisable à n mut indpdtes)

X Y G _ G G

VI. Lois usuelles

1. Loi géométrique

Loi géométrique : succession d'épreuves de Bernouilli (pile ou face) iid., premier succès ?

]0,1[ ( ~ ( )) ( ) * *, ( ) (1 ) 1

suit une loi géométrique de paramètre si et ^k

X p X G p X    k P X k p p ^

2

1 1 1

. : 1 ( ) ( ) ( )

1 1 (1 )

vad loi géom Rayon de _X _X pt p

X p G R G t E X V X

p p t p p

     

  

, 0, ( | ) ( )

vad *. Loi géom (loi sans mémoire)

X  n k P X  n k X n P X k

(5)

2. Loi de Poisson

0 ( ~ ( )) ( ) , ( )

suit une loi de Poisson de paramètre si et !

k

X X X k P X k e

k

 

 P        ^

( 1)

0 : ( ) ( ) ( )

vad loi Poisson Rayon de _X _X ^t

X  G R  G t e^ ^ E X   V X

, vad Poisson , indpdtes suit une loi de Poisson de paramètre

X Y    X Y  

VII. Résultats asymptotiques

( ) ( , ) 0 , lim ( )

suite de vad loi bin de param tq !

k

n n n n n

n

X n p np k P X k e

k

 

 ^

        

*

1 1

( )

*, ( ). 0, lim 0

Loi faible des grands nombres : suite de vadr 2 à 2 indpdtes, de même loi, mmt 2.

on note et Alors

n n n

n

n k

k n

X

n S X m E X P S m

 n 



 

 

         

 