Probabilités discrètes - Corrigé
Exercice 1 :
1. Notons F l’événement : « L’élève interrogé est une fille » et C : « l’élève mange à la cantine » 55 % des élèves sont des filles : = 0,55
35 % des filles déjeunent à la cantine : = 0,35 30 % des garçons déjeunent à la cantine : = 0,30
On utilise la partition ; et on applique la formule des probabilités totales : = × + × = 0,55 × 0,35 + 0,45 × 0,30 = 0,3275 On en déduit que ̅ = 1 − 0,3275 = 0,6725
2. Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 20 et 1/5.
a. = 6 = 206 1 5
!4
5
"#
≈ 0,109
b. ≥ 2 = 1 − < 2 = 1 − ) = 0 + = 1* = 1 − 4 5
+,− 20 1 5
"
4 5
"-
≈ 0,931 3. On suppose que les évènements A et F sont indépendants donc . ∩ = . ×
La probabilité que l’appareil présente un défaut d’apparence est égale à 0,02 : . = 0,02 La probabilité que l’appareil présente au moins l’un des deux défauts est égale à 0,069 : . ∪ = 0,069
Or : . ∪ = . + − . ∩ ⇔ 0,069 = 0,02 + − . ×
⇔ − 0,02 × = 0,069 − 0,02 ⇔ 0,98 × = 0,049 ⇔ =0,049
0,98 = 0,05 La probabilité que l’appareil présente un défaut de fonctionnement est donc de 0,05.
4. L’algorithme consiste à répéter 9 fois une expérience aléatoire dont le succès est « obtenir 6 ou 7 » La variable C compte le nombre de fois où les nombres 6 et 7 apparaissent.
La probabilité d’obtenir 6 ou 7 est de +3.
Il est clair que les expériences répétées 9 fois sont des expériences de Bernoulli identiques et indépendantes : la variable C suit donc une loi binomiale de paramètres 9 et +3.
Exercice 2 :
1. On considère la variable aléatoire 45 donnant le nombre de tirs, sur les 6, atteignant la cible.
Les tirs sont supposés indépendant, on est donc en présence d’un schéma de Bernoulli dont la probabilité de succès est 0,3 : 45 ↪ ℬ6; 0,3.
On en déduit que : 5 = 945 ≥ 1 = 1 − 945 = 0 = 1 − 0,75
5 ≥ 0,9 ⇔ 1 − 0,75 ≥ 0,9 ⇔ 0,75 ≤ 0,1 ⇔ 6 ln 0,7 ≤ ln 0,1 ⇔ 6 ≥ln 0,1
ln 0,7 ⇒ 6 ≥ 7 C’est donc la réponse b.
2. Notons X la variable aléatoire égale au nombre de fois où le joueur perd sur les 5 lancers.
Les lancers étant indépendants, il est clair que 4 ↪ ℬ 5;"!. 94 = 3 = 53 × 1
6
>× 5 6
+ = 10 × 1
216 ×25
36 = 250
7 776 = 125 3 888 C’est donc la réponse a.
3. On sait que . ∪ ? = . + ? − . ∩ ?
Or, . et ? sont indépendants donc . ∩ ? = . × ? On en déduit que :
. + ? − . × ? = 0,65 ⇔ 0,3 + ? − 0,3 × ? = 0,65 ⇔ 1 − 0,3? = 0,65 − 0,3 Et donc ? =,,>@,,3 = 0,5. C’est encore la réponse a.
Exercice 3 :
A et B sont deux évènements liés à une même épreuve aléatoire qui vérifient : A = 0,4, B B = 0,7 et B ) B * = 0,1.
On reporte les informations sur un arbre de probabilités :
D A =A ∩ B
B = A × B B
A × B B + )A* × B B = 0,4 × 0,7
0,4 × 0,7 + 0,6 × 0,9 =0,28 0,82 =28
82 =14 41 La proposition est vraie.
Exercice 4 :
1. (a) Sur deux services, il peut en réussir 2 ou 1 ou aucun : 4 peut donc prendre trois valeurs : 0, 1 ou 2 E+
E"
E+
E+
E"
E+
94 = 0 = 9)E"∩ E+* = 9)E"* × 9FG)E+* = 1 − 0,7 × 1 − 0,7 = 0,09 94 = 2 = 9E"∩ E+ = 9E" × 9FGE+ = 0,7 × 0,8 = 0,56
94 = 1 = 1 − 94 = 2 − 94 = 0 = 1 − 0,56 − 0,09 = 0,35 car les événements H4 = 0I, H4 = 1I et H4 = 2I forment une partition de l’univers des possibles.
On peut aussi calculer 94 = 1 = 9)E"∩ E+* + 9)E"∩ E+* = 9E" × 9FG)E+* + 9E" × 9FG)E+* = ⋯ On peut regrouper les valeurs obtenues dans un tableau :
M 0 1 2
94 = M 0,09 0,35 0,56
(b) 4 = 0 × 0,09 + 1 × 0,35 + 2 × 0,56 = 1,47 .
2. (a) D’après l’énoncé : 9FNE5O" =0,8 et 9FNE5O" = 0,7. (b)
E5O"
E5
E5O"
E5O"
E5
E5O"
0,4
0,6 0,9
0,7 0,3
0,1 A
A
B B
B B
0,7
0,3 0,7
0,8 0,2
0,3
0,8 0,2 0,7 0,3 P5
1 − P5
Pour tout entier naturel non nul 6, en utilisant la partition )E5, E5*, d’après la formule des probabilités totales : 9E5O" = 9E5 × 9FNE5O" + 9)E5* × 9FNE5O" = 9E5 × 0,8 + 9)E5* × 0,7
On obtient alors : P5O"= 0,8P5+ 0,71 − P5 = 0,8P5+ 0,7 − 0,7P5 = 0,1P5+ 0,7 3. Soit la suite Q5 définie pour tout entier naturel non nul par Q5= 9P5− 7.
(a) Pour tout entier naturel non nul, Q5O"= 9P5O"− 7 = 90,1P5+ 0,7 − 7 = 0,9P5+ 6,3 − 7 Finalement : Q5O"= 0,9P5− 0,7 = 0,19P5− 7 = 0,1Q5.
La suite Q5 est donc géométrique de raison 0,1 et de premier terme Q"= 9P"− 7 = 9 × 0,7 − 7 = −0,7 On en déduit que : pour tout entier naturel 6 non nul, Q5= −0,7 × 0,15R"
Puis : P5=Q5+ 7
9 =−0,7 × 0,15R"+ 7
9 =7
9 − 7
90 0,15R"
(b) −1 < 0,1 < 1 donc lim0,15R"= 0 et par suite : limP5= 3-≈ 0,78 Sur un grand nombre de services, le taux de réussite se rapproche de 78 % .
