Chap 25 : Groupe orthogonal
Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 1
Chap 25 : Groupe orthogonal
ev euclidien de dim 1
E n
I. Généralités
1
1
2 2
1 1 1 1
( , | )
( ... )
( ... )
Si bon de , est un isomph d'eve
n
n i i i i i i i
n n n n
can
i i i i n
e e E x e y e x x x E
x x x
y
2 2 2
( ) { ( ) } ( (
( ) ( ) ( , ) ( ) | ( ) |
), )
, on a équivalence entre : , ,
Dans ce cas, est un endomorphisme orthogonal. orthogonal est un ss-gpe ed
u E x E u x x x y E u x u y x
E u E
y GL E u
L L
dim 1
( )
( )
det( ) ( 1) ( )
tq (involution orth) sev de tq est la sym p/r de dir
hyperplan est notée , réflexion d'hypp H F , F
F F
H u F
u E u u Id F E u s F F
H s r H s u E u s u s
O
O ( ( )) {homothéties} (avec réflexions, u( ) Schur)
om E a a
C O
( ) laisse stable laisse stable
u E Fu F
1 1
( ) ( ... )p réflexions ( ) tq ... p (Rec, u( ) ou non...+ )
uO E r r pn ur r x x
(
) )
(E . E u transforme une BON en BON u transforme toute BON en BON
uL u
( ), ( ) dim dim
, sev de E u F
F G E u G F G
II. Matrices orthogonales
( ) ( )
( )
:
[ ]
On a équivalence entre : les col. de sont une BON de can
les lignes... est orthogonale dans can
est la mat. de passage d'une BON à une BON
t n
t
f e
n n
n A
A AA I ie A
A A ie f X AX
A a u
M
( ) ( ) ( )
( , ) ( ) { ( ) / }
, et BON est alors une matr
o ice orthogonal
ù
e n n t n
E e f
A n A AA I
u
M
) ( )
|| ( ) det { 1;1}
[ ]
( ) { ( ) / det 1}
( / ( )
)
) (
est un isomph de gpes (idem (
Le gpe spécial orth est un ss-gpe disingué d
) e
n
n
n
n n
can
n
E S
A u
u u O E
SO A A
, 2
1 1
1,
( ( , ) ( ... )
( ) | ( , )| , | . .. )
n A n
i j
n n
u f A i j
A A i j n u CS
O
( n) possède un sev stable de dim ou 1 2 uL u
1
... 2 , ( )( ) 0 2( ) ( ) ( , ( ))
Si pas vp réelle : uP Pr où irred, deg Pi i a tq P u ai u a u a avect a u a stable ( ), ses seules vp réelles sont1 1
Si u E ou
1 ( )
/ / 3/ /
( ).
cos sin
sin c
( ) [ ] os
\
en dim
BON de tq : où
i i
HP i
i
m i
p e
k i
I A
E e E u I A A
A A
u
Chap 25 : Groupe orthogonal
Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 2 ( ) est compact (fermé : °), non connexe (det), ( ) compact connexe (thm +var)
n
t
n
n S
A I O
A A C
O
3 1
1 1 2
( )
2 3
2
1
) ( ) [ ] cos sin 2 ker( )
sin cos
tr 1 2cos [ , , ( )] ( )s
(
in
BON de tq Axe (si ) : =
Angle : Signe : choisi orientation, signe
SO e E u e A Id e
A e e x u x x x
III. Géométrie d’un espace euclidien
1 1 ,
( ... ) ( ... ) [ | ] ( ) det( ( ) )
La matrice de Gramm de x xp Ep est G x xp x xi j i j, le dét. de Gramm DG xi i G xi i
1 )
1 1 (
( ...x xp) est libre ssi G x( ...xp) est inv, et DG x( ...xp)0(si libre,( )e BON de vect x( )i , P[ ]xi e :G tPP)
2
1 1
1
1
( , .
, ( , ... )
.. )
( ... ) ( ) ( , )
( ... )
libre, , p ( dvt ds + liée)
p i
i p
p
DG a x x
x x F Vect x a E d a F a u v G u x x
DG x x
1 1 1
( ...x xn ) vects normés tq : i j x x, i| j 0 ( ... )x xn libre, 1 (avec Gramm, nb de vp)
n
~ ( )) ( )
1. ( ) ( ) (( ) det[ ] 0
ev de dim finie et bases de ont la même orientation lorsque e
E n e f E e f f
~ est une relation d'équivalence possédant deux classes.
Orienter Echoisir l'une des classes (ce sont les bases positives ou directes)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) . det det ( ) ( ) det det
, et BON de e f si et ont la même orientation, e f sinon
E eve e f E e f
( ) 1
det [ ... ]
Si est orienté, E e ne dépend pas de la BON directe choisie, on l'appelle produit mixte sur , noté E x xn
2
1 1
[ ... ]x xn G x( ... )xn
1 ( )
1
( ... ) | [ ... ] |1
Inégalité d'Hadamard : n n (det dans BON de Schmidt...)
n n I
i
x x E x x xi
( ) ! ( ), ! 0
Iwasawa : A GL n , O On T triang sup à diag tq AOT (chgt base Schmidt...)
1
1 1
1 1
1 1
1 1
( ... ) , ! | [ ... , ]
... ...
eve orienté. tq ,
est le produit vectoriel de , noté n
n
n n
n
E x x E x E z E x z x x z
x x x x x x
1 1
1
2 2 2
1 1
1
2 1
...
...
: ( ... ) ( 1) ( ) 0 ( )
( ... ) || 3
|
est lin, alternée, et libre
BON directe Par dvt p/r colonne formule usuelle en dim
n n
n
i n
i i
n
x x x n x x
e e e e
X
x
e
Y X Y X Y
3 2
) ( ) ( )
) )
( ( , ) ( (
can. , y u x
E uL E x y E u x u y uSO E
