Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 3 (12/10 – 16/10)
Vous pouvez interroger à nouveau sur le chapitre 4, notamment sur les manipulations de coefficients binomiaux, et la formule du binôme, pour lesquels les élèves n’avaient pas beaucoup d’entraînement la semaine dernière.
Nous n’aborderons les exercices du chapitre 5 qu’en fin de semaine, les élèves auront donc très peui de pratique sur les relations, notamment en début de semaine (lundi, mardi). Cela ne vous empêche pas de donner des exercices simples sur le sujet, mais attendez-vous à devoir les guider davantage
Chapitre 4 : Sommes
1. Manipulation des signesř etś
‚ Définition intuitive des signeř etś
sur un ensemble d’indices quelconque, lorsque la somme et le produit sont associatifs et commutatifs (l’associativité et la commutativité généralisées sont admises intuitivement pour l’instant, pour justifier l’indépendance vis-à-vis de l’ordre de sommation).
‚ Cas de la somme et du produit sur un ensemble d’entiers consécutifs ; notation.
‚ Somme vide, produit vide.
‚ Changement d’indice. Cas d’une translation sur des indices entiers.
‚ Additivité par rapport aux bornes.
‚ ÿ
iPI\J
ai“ÿ
iPI
ai`ÿ
iPJ
ai (I etJ disjoints)
‚ Sommation par groupements de termes (somme sur une partition à parts éventuellement vides)
‚ Linéarité du symboleř.
‚ Somme de termes constants
‚ Sommes télescopiques. Calcul d’une somme télescopique.
‚ Sommes multiples, coupes d’un sous-ensemble deIˆJ, interversion de signesř
sur un sous-ensemble de IˆJ
‚ Cas particuliers importants : somme sur un pavé, somme sur un triangle.
‚ Produit de deux sommes.
‚ Distibutivité généralisée 2. Sommes classiques
‚ Sommes de puissances d’entiersSppnq “
n
ÿ
i“0
ip. Formules pourp“0,1,2,3à connaître. Méthode de calcul de proche en proche à connaître. Illustration géométrique des casn“1 etn“3.
‚ Somme des entiers impairs consécutifs. Illustration géométrique.
‚ Sommes géométriques.
‚ Factorisations dean´bn etan`bn (Bernoulli).
‚ Coefficients binomiaux (aspect algébrique, pas de combinatoire). Symétrie, comité-président, Pascal. Triangle de Pascal.
‚ Formule du binôme de Newton.
Comme dit plus haut, enn début de semaine, les élèves auront peu de pratique sur le chapitre 5.
Chapitre 5 : Relations
1. Définitions générales
‚ Relation binaire.
‚ Exemple : relation fonctionnelle.
‚ Représentation sagittale d’une relation deE àF; représentation par un graphe d’une relation surE.
‚ Reflexivité, antireflexivité (ou irréflexivité), symétrie, antisymétrie, transitivité, asymétrie 2. Relations d’équivalence
‚ Définition. Classes d’équivalence.
‚ Les classes d’équivalences forment une partition deE.
‚ (HP) Ensemble quotient.
‚ (HP) Passage au quotient d’une applicationf :EÑF (factorisation)
‚ (HP) Notion de congruence (relation respectant une opération). Passage au quotient des opérations.
‚ Définition deZ{nZet des lois d’addition et multiplication.
3. Relations d’ordre
‚ Relation d’ordre large, relation d’ordre strict.
‚ Relation d’ordre strict associé à une relation d’ordre large et inversement.
‚ Ordre total, ordre partiel.
‚ Exemples à bien connaître : ordres usuels sur N, Z etc., divisibilité dans N˚, inclusion dans PpEq, ordre produit surEˆF, ordre lexicographique surEˆF.
‚ Restriction d’une relation d’ordre.
‚ Minimum, maximum, borne supérieure, borne inférieure.
‚ (HP) Élément minimal, maximal. Même si ces notions sont théoriquement hors programmes, n’hésitez pas à vous en servir dans les exercices.
‚ (HP) Ensemble inductif.
‚ (HP) Lemme de Zorn (admis). Equivalence entre le lemme de Zorn et l’axiome du choix (admis). Propriétés évoquées à titre purement culturel.
