Chapitre 4

Introduction 4.1

Dans ce chapitre et à l'aide de l’outil Matlab, nous testons les performances des méthodes proposées pour la transmission sécurisée des données.

La conception d'un système de communication peut être décomposée en trois étapes, à savoir le choix de l'émetteur, choix du récepteur, et la mise au point du processus de transmissions de la donnée. Dans notre travail, nous considérons que le canal est idéal, sans retard dans la transmission et non bruité. Nous simulons les différentes parties du système afin d’en arriver à la fin aux résultats de l’envoi sécurisé d’une donnée obtenue par la variation de l’inductance du circuit Chua.

4.2 Résultats de simulation de circuit Chua

L'émetteur est un circuit du Chua en temps continu qui est détaillé en chapitre1. Les paramètres du circuit du Chua sont L=18,8mH , C₁=10nF , ^C2=100nF , avec le reste des paramètres donné par la table 1.1.

4.2.1 Résultats de simulation pour la résistance non linéaire

Les résultats de simulation pour caractéristique tension- courant de la résistance non linéaire (1.10), avec la tension ^V1=5Volts est présenté dans la Fig.4.1.

-6 -4 -2 0 2 4 6 -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5x 10^-3

v1

f(v1)

Fig.4.1- Caractéristique tension-courant de la résistance non linéaire.

A partir de cette figure la résistance non linéaires est une résistance linéaire par morceaux est obtenu avec deux résistances négative reliées en parallèle chaque résistance est décomposé de cinq segments . 4.2.2 Résultats de simulation pour comportement du circuit Chua Dans le circuit de Chua, nous prenons la résistance R comme paramètre de bifurcation, nous avons effectué des simulations en faisant varier le paramètre R de 5k Ω à 0 avec un pas d'itération de

0.01 .

0

1 2

3 4

5 6

-1 -0.5 0 0.5 1 -8 -6 -4 -2 0 2 4

v2 v1

i3

Fig.4.2- Régime de Chua en régime périodique: R=1900Ω .

0 2

4 6

-1 -0.5 0 0.5 1 -8 -6 -4 -2 0 2 4

v2 v1

v3

0 2

4 6

-1 -0.5 0 0.5 1 -8 -6 -4 -2 0 2 4

v2 v1

v3

Fig.4.3-Circuit de Chua en régime double périodique : R=1880Ω .

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

v1

v2

Fig.4.4-Attracteur chaotique de Rossler: R=1808Ω.

-4 -2

0 2

4

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

v2 v1

i3

-20 -10

0 10

20

-40 -20 0 20 40

0 10 20 30 40 50

v2 v1

i3

Fig.4.5 –(a)Attracteur de Chau's: R=1740Ω , (b)-Attracteur de Lorenz.

-4 -2

0 2

4

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

-3 -2 -1 0 1 2 3

v2 v1

i3

-2 -1

0 1

2

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

-3 -2 -1 0 1 2 3

v2 v1

i3

(b) (a)

Fig.4.6 –(a)Cycle limite 1: R=1510Ω , (b)-Cycle limite 2 : R=1490Ω .

Chaque régime dynamique du système est associé une forme d'attracteur différente. En effet, l'attracteur associe à un régime de point équilibre stable est un point. Lorsque le système évolue vers un régime périodique ce après diminuer la valeur de la résistance R , la forme de l’attracteur change et devient une courbe fermée. L’évolution de l'attracteur du circuit de Chua en régime périodique est présenté à la Fig.4.2.

Un régime périodique plus complexe peut être obtenu en diminuant le paramètre R . Nous remarquons la présence de deux fréquences qui correspondent à un attracteur différent. En effet, cet attracteur prend une forme proche de celle d’un ’8’ relier sur lui-même ou double périodique comme l’illustre la Fig.4.3.

En diminuant encore le paramètre R du circuit de Chua, nous pouvons atteindre les régimes quasi-périodique de Rossler, comme montré sur la Fig.4.4.

En diminuant le paramètre R du circuit de Chua, nous pouvons atteindre les régimes chaotiques. A ce régime chaotique correspond un attracteur avec une forme caractéristique dans l’espace des phases. Nous présentons ici l’attracteur chaotique obtenu pour le circuit de Chua et par comparaison avec celui du système de Lorenz (présenté en chapitre 1) nous constatons qu’il appartient à la même classe que celui de Chua. En effet, il s’agit aussi d’un système à trois degrés de liberté, décrit par trois

équations différentielles ordinaires couplées de manière non-linéaire. La Fig.4.5(a) met en évidence la forme en double enroulement (double scroll) caractéristique de l’attracteur de Chua's, tendis que la Fig.4.5(b) montre la forme en ailes de papillons de l'attracteur de Lorenz.

En diminuant le paramètre R du circuit de Chua, nous pouvons atteindre les cycles limites 1 et cycle 2 de Ven der Pol comme montré sur les figures 4.6. (a) et 4.6. (b).

4.3 Résultats de simulation sur la synchronisation de deux systèmes chaotiques avec cryptage par addition de l'information

Dans cette section, des résultats de simulation seront présentés afin d'illustrer les performances des deux méthodes de reconstruction d’un message sinusoïdal crypté par addition à l'aide d'observateur. Dans ce cas, deux types d'observateurs ont été étudiés. Le premier est l'observateur de Parlitz et l'autre est l'observateur à mode glissant étape par étape. Tous les deux ont été utilisés pour récupérer tous les états du système. Dans toutes les simulations nous avons les même paramètres que ceux utilises pour les circuits de Chua's dans le mode chaotique dans la section précédant, avec les valeurs initiales choisies des l'état de l'émetteur chaotique (2.24) : x₁(0)=0.5, x₂(0)=0, x₃(0)=0 et celles des récepteurs chaotiques de observateur de Parlitz (2.25) est

^x₁(0)=−0.5,^x₂(0)=0.5,x^₃(0)=0.01 . La figure .4.7 illustre les résultats obtenus par à l'aide d'observateur classique ou observateur de Parlitz.

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 -3

-2 -1 0 1 2 3 4

(x1,x2) (x1obs,x2obs)

Fig.4.7 Attracteur de double roulement pour les systèmes (2.24) et (2.25).

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02

-10 -5 0 5 10

e1=x1-x1obs

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02

-4 -2 0 2 4

e2=x2-x2obs

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01

e3=x3-x3obs

Fig.4.8- Erreurs d'observation pour les systèmes (2.24) et (2.25).

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -3

-2 -1 0 1 2 3 4

(x1,x2) (x1obs,x2obs)

Fig.4.9- Attracteur de double roulement pour les systèmes (2.24) et (2.26).

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02

-0.2 0 0.2 0.4 0.6

e1=x1-x1obs

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02

-4 -2 0 2 4

e2=x2-x2obs

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01

e3=x3-x3obs

Fig.4.10- Erreurs d'observations pour les systèmes (2.24) et (2.26).

A partir de ce figures la récupération du message m(t) est obtenu à partir de l'instant t=0.0 0 2s qui correspond début au temps de synchronisation les deux systèmes chaotiques.

Les résultats obtenus par la deuxième approche de synchronisation à l'aide d'observateur à mode glissant étape par étape avec y=x₁ sont représentés par la figure 4.9 avec les conditions initiales pour le système (2.26) ^x₁(0)=−0.5,^x₂(0)=0.5et^x₃(0)=0.01 , et les gains λ₁=10³, λ₂=1et λ₃=10 . Dans ce cas la récupération du message est obtenue à partir de l'instant t=0.0 01s qui correspond début au temps de synchronisation les deux systèmes.

Les figures (4.8) et (4.10) respectivement montrent bien que les erreurs de synchronisation des états convergent rapidement vers le zéro.

Donc, à partir de ces on constate que l'observateur à mode glissant étape par étape représente l’avantage d’assurer la convergence des erreurs d’observation en temps fini c.-à-d. l'observation plein des états.

4.4. Résultats de simulations sur la synchronisation de deux systèmes chaotiques avec cryptage par la modulation paramétrique

Dans cette partie, nous testons l'efficacité de la méthode de transmission basée sur l’inclusion l'information dans un paramètre de circuit de Chua et reconstruction de l’information à l'aide d'observateur à mode glissant étape par étape.

4.4.1 Transmission d'un signal numérique

Nous présentons les résultats de simulation dans le cas d'une transmission d'un signal numérique L(t)=L+0.1 sin(100t) injecté dans l'état x₄ .

Pour commencer, on garde de la même notation que la section précédent avec l'émetteur (3.8) et les conditions initiales

x₁=0.5,x₂=0, x₃=0et x₄=1

L . Les états sont récupérés à partir de récepteur (3.10) dont les conditions initiales x^₁=−0.5,^x₂=0.5,x^₃=0.01 et x₄=1

L avec les gains λ₁=10³, λ₂=10⁴, λ₃=10⁵ et λ₄=10³ , dans un temps t=5s .

Les figures suivantes illustrent l'efficacité de l’approche de modulation paramétrique et le choix de ^Es pour une bonne restitution de ^x4 .

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

(x1,x2) (x1obs,x2obs)

Fig.4.11-Attracteur de double roulement pour les systèmes (3.8) et (3.10) avec E_s=0 sur un grand voisinage de x₂+R₀x₃ .

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x 10^-3 -0.5

0 0.5 1

e1=x1-x1obs

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10^-3 -0.5

0 0.5

e2=x2-x2obs

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10^-3 -10

-5 0 5x 10^-3

e3=x3-x3obs

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10^-3 -0.2

0 0.2

e4=x4-x4obs

Fig.4.12- Erreurs d'observations pour les systèmes (3.8) et (3.10) avec E_s=0 sur un grand voisinage de x₂+R₀x₃ .

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10^-3 -1

-0.5 0 0.5 1

Es Singularité

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10^-3 53.18

53.185 53.19 53.195 53.2

x4 x4obs

Fig.4.13- x₄ , ^x₄ , E_s et la singularité x₂+R₀x₃ avec E_s=0 sur un grand voisinage de ^x2+R₀x₃ .

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -0.8

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

(x1,x2) (x1obs,x2obs)

Fig.4.14-Attracteur de double roulement pour les systèmes (3.8) et (3.10) avec E_s=0 sur un petit voisinage de x₂+R₀x₃ .

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10^-3 -0.5

0 0.5 1

e1=x1-x1obs

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10^-3 -0.5

0 0.5

e2=x2-x2obs

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10^-3 -10

-5 0 5x 10^-3

e3=x3-x3obs

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10^-3 -0.5

0 0.5

e4=x4-x4obs

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x 10^-3 -1

-0.5 0 0.5 1

Es Singularité

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10^-3 53.18

53.185 53.19 53.195 53.2

x4 x4obs

Fig.4.16- ^x4 , ^{^x}4 , ^Es et la singularité ^x2+R₀x₃ avec ^Es=0 sur un petit voisinage de x₂+R₀x₃ .

Dans les figures 4.11, 4.12 et 4.13 on a posé E_s=0 sur un grand voisinage de la sous variété de bifurcation S . On constate une perte de l'information sur l'état ^{^x}4 pendant un temps suffisamment grand, ce qui signifie que la qualité de l'observation dépend bien du choix des conditions initiales. En effet, si l'on considère un voisinage petit de la sous variété de bifurcation S , on remarque selon les figures 4.14, 4.15 et 4.16 que l'erreur d'observation converge en un temps plus court que celui obtenu précédemment. Cet exemple prouve que dans la forme normale d'observabilité, les états sont liés aux termes résonnants. Ces termes qui rendent possible la reconstruction de l'état du système presque partout même si le système est inobservable et indétectable.

C'est ainsi que cette approche peut être employée pour sécuriser la transmission de données.

4.5 Conclusion

Dans ce chapitre nous avons présenté des simulations sous Matlab, pour tester la validité des approches étudiées dans ce manuscrit. D’après les résultats obtenus, on a conclu que le circuit de Chua est un système dynamique non-linéaire très utile pour étudier le comportement dynamique dans tous les états possibles : périodique, quasi-périodique et chaotique. Le mode chaotique est utilisé pour la transmission sécurisée de données. Les principales méthodes de transmission basées sur la synchronisation de deux systèmes chaotiques ont été étudiées. Nous avons constaté que le cryptage par addition ne peut pas être parfait car, au niveau du récepteur, le message apparait comme une perturbation.

Dans le cas du cryptage par inclusion, le message est inséré dans un paramètre du circuit Chua et serte cette méthode est très efficace et très adopté dans le domaine de la transmission sécurisée. Néanmoins, l'inconvénient majeur de cette méthode réside dans la question : comment garantir que le système ainsi modifié par le message à transporter conserve un comportement chaotique ?