4 Chapitre 4

(1)

4 Chapitre 4

4.1 Vecteurs dans le plan et l’espace Question 1

Représenter les vecteurs suivants.

a) ⃗v=2∠180^◦ b) ⃗v=7∠90^◦ c) ⃗v=4∠30^◦

Question 2

Représenter les vecteurs somme suivants.

a) 1∠0^◦+1∠90^◦ b) 2∠0^◦+3∠270^◦

c) 3∠180^◦+2∠90^◦ d) 2∠30^◦+5∠60^◦

Question 3

Écrire les vecteurs suivants sous forme cartésienne.

a) ⃗v=2∠180^◦ b) ⃗v=7∠90^◦

c) ⃗v=4∠30^◦ d) ⃗v=6∠120^◦

e) ⃗v=8∠300^◦ f) ⃗v=2∠135^◦

Question 4

Écrire les vecteurs suivants sous forme polaire.

a) ⃗v=(2,0) b) ⃗v=(0,−9)

c) ⃗v=(6,−6) d) ⃗v=(3,4)

e) ⃗v=(1,3) f) ⃗v=(9,−1)

Question 5 Soient les vecteurs

⃗

u=(−1,3), ⃗v=(2,3), ⃗w=(3,−5);

évaluer les expressions suivantes.

a) 3⃗u b) −⃗v

c) ⃗u+⃗v d) ⃗u−⃗v+w⃗

e) 3⃗u−2⃗v f) −w⃗+⃗u−5⃗v

Question 6

Calculer la longueur des vecteurs suivants.

a) ⃗v=(4,0) b) ⃗v=(2,3) c) ⃗v=(4,−5)

d) ⃗v=(6,−6,3) e) ⃗v=(−2,−5,3)

f) ⃗v=(4,3,1)

Question 7 Soient les vecteurs

⃗a=(2,3), ⃗b=(5,4), ⃗c=(6,−1), ⃗d=(−2,0);

évaluer les expressions suivantes.

a) 2⃗a+4⃗b b) 3⃗b−4d⃗ c) ⃗a−(⃗b+⃗c) d) ∥⃗b+⃗c∥

e) ∥⃗a+⃗c∥ − ∥⃗a∥ − ∥⃗c∥

f) ∥⃗c+d⃗∥²− ∥⃗c−d⃗∥² g) ∥⃗a + ⃗b∥² + ∥⃗a − ⃗b∥² −

2∥⃗a∥²−2∥b∥²

Question 8

Trouver un vecteur unitaire parallèle à chacun des vecteurs suivants.

a) ⃗v=(4,0) b) ⃗v=(2,3) c) ⃗v=(4,−5)

d) ⃗v=(6,−6,3) e) ⃗v=(−2,−5,3)

f) ⃗v=(4,3,1)

Question 9

Touver un vecteur ayant la même direction et le même sens que⃗v=(−3,5) mais de longueur 7.

Question 10

Calculer les produits scalaires suivants.

a) (1,2)·(3,−4) b) (3,3)·(−2,4) c) (5,1)·(−1,5)

d) (1,2,3)·(3,1,1) e) (2,−1,5)·(3,5,7)

f) (−2,0,−1)·(0,8,0)

(2)

Question 11

Trouver l’angle entre les vecteurs suivants en terme de la fonction arccos.

a) (1,2) et (3,−4) b) (3,3) et (−2,4) c) (5,1) et (−1,5)

d) (1,2,3) et (3,1,1) e) (2,−1,5) et (3,5,7)

f) (−2,0,−1) et (0,8,0)

Question 12

Trouver deux vecteurs perpendiculaires de même longueur que chacun des vecteurs suivants.

a) (3,5) b) (−2,4)

c) (−9,−1) d) (−2,11)

Question 13

Démontrer que les relations suivantes sont vraies pour tous vecteurs⃗u,⃗v, ⃗wet tout scalairek∈R:

1. (Commutativité)⃗u·⃗v=⃗v·⃗u

2. (Distributivité)⃗u·(⃗v+w)⃗ =⃗u·⃗v+⃗u·w⃗

3. (Compatibilité avec la multiplication scalaire) (k⃗u)·⃗v=k(⃗u·⃗v)

4. (Produit scalaire et norme)⃗u·⃗u=∥⃗u∥² 5. (Loi du parallélogramme)

2∥⃗u∥²+2∥⃗v∥²=∥⃗u+⃗v∥²+∥⃗u−⃗v∥²

4.2 Arithmétique dansC Question 14

Pour chacun des nombres suivants, donner la partie réelle, la partie imaginaire, le module et l’argument.

a) 1 b) i c) 1+3i d) 6−i

Question 15

Eﬀectuer les opérations suivantes.

a) (4+i)+(3−2i) b) (i−4)+(5+2i) c) (9+2i)−(−4+5i)

d) (2+i)(1−2i) e) 3i(2−5i)

f) (5+9i)(5−9i)

Question 16

Trouver le conjugué des nombres complexes suivants.

a) 3+2i b) 8 c) −7i d) 7−3i

Question 17

Eﬀectuer les divisions suivantes.

a) 3+2i i b) 4

1−i

c) 4−5i 2+2i d) 1−i

1+i Question 18

Écrire les nombres complexes suivants sous la forme polaire.

a) 4 b) −5

c) 3i d) −2i

e) 1+i f) √

3−i

Question 19

Écrire les nombres complexes suivants sous la forme carté- sienne.

a) 3(cosπ+isinπ)

b) 5 (

cosπ

2+isinπ 2 )

c) 2 (

cosπ

6+isinπ 6 )

d) 9 (

cos−3π

4 +isin−3π 4

)

Question 20

Eﬀectuer les opérations suivantes à l’aide de la formule de de Moivre.

(3)

a) i⁷ b) (1+i)¹⁰

c) (−4+4i)³ d) (1−√

3i)⁶

Question 21

Écrire la somme de fonctions sinusoïdales de même fré- quence suivantes comme une seule fonction sinusoïdale en exprimant celles-ci comme parties imaginaires de nombres complexes.

a) f(x)=sin (

x+π 6

)+sin (

x−π 2 ) b) f(x)=sin(3x)+2 sin

( 3x+π

3 ) c) f(x)=3 sin(2x)+4 sin

( 2x+π

4 )

d) f(x)=5 sin (x

2 )−sin

(x 2+5π

6 )

(4)

Réponses aux exercices

Question 1 a)

b)

c)

Question 2 a)

b)

c)

d)

Question 3 a) (−2,0) b) (0,7) c) (

2√ 3,2)

d) (

−3,3√ 3) e) (

4,−4√ 3) f) (

−√ 2,√

2)

Question 4 a) 2∠0^◦ b) 9∠270^◦ c) √

72∠315^◦

d) 5∠53,13^◦ e) √

10∠71,57^◦ f) √

82∠353,66^◦

(5)

Question 5 a) (−3,9) b) (−2,−3)

c) (1,6) d) (0,−5)

e) (−7,3) f) (−14,−7)

Question 6 a) 4 b) √

13

c) √ 41 d) 9

e) √ 38 f) √

26

Question 7 a) (24,22) b) (23,12) c) (−9,0) d) √

130

e) 2√ 17 f) −48 g) 0

Question 8

a) (1,0) b)

( 2

√13, 3

√13 )

c)

( 4

√41,− 5

√41 )

d) (2

3,−2 3,1

3 )

e) (

− 2

√38,− 5

√38, 3

√38 )

f)

( 4

√26, 3

√26, 1

√26 )

Question 9 (

− 21

√34, 35

√34 )

Question 10 a) −5 b) 6

c) 0 d) 8

e) 36 f) 0

Question 11 a) arccos

(

− 5

√5√ 25

)

=arccos (

− 1

√5 )

≈117^◦

b) arccos

( 6

√18√ 20

)

=arccos

( 1

√10 )

≈72^◦ c) 90^◦

d) arccos

( 8

√14√ 11

)

≈50^◦

e) arccos

( 36

√30√ 83

)

≈44^◦ f) 90^◦

Question 12

a) (−5,3),(5,−3) b) (4,2),(−4,−2)

c) (1,−9),(−1,9) d) (11,2),(−11,−2)

Question 13 Écrire les vecteurs en coordonnées et com- parer chaque côté des égalités.

Question 14

a) Re(1)=1,Im(1)=0,|1|=1, arg(1)=0.

b) Re(i)=0,Im(i)=1,|i|=1, arg(i)=π/2.

c) Re(1+3i)=1,Im(1+3i)=3,|1+3i|= √

10, arg(1+3i)= arctan(3)≈71.57^◦.

d) Re(6−i)=6,Im(6−i)=−1,|6−i|= √

37 , arg(6−i)= arctan(−1/6)≈ −9.46^◦.

Question 15

a) 7−i b) 1+3i c) 13−3i

d) 4−3i e) 15+6i

f) 106

Question 16

a) 3−2i b) 8 c) 7i d) 7+3i

Question 17

a) 2−3i b) 2+2i

c) −1 4−9

4i d) −i

(6)

Question 18 a) 4=4e⁰ⁱ b) −5=5eⁱ^π c) 3i=3eⁱ^π²

d) −2i=2eⁱ³²^π e) 1+i= √

2eⁱ^π⁴ f) √

3−i=2eⁱ¹¹⁶^π

Question 19

a) −3 b) 5i

c) √ 3+i d) −9√

2 2 −9√

2 2 i Question 20

a) −i b) 32i

c) 128+128i d) −64i

Question 21 a) sin(x−π/6) b) √

7 sin

3x+arctan

√ 3 2





c) ( √

25+4√ 2

) sin

2x+arctan

 2√ 2 3+2√

2





d) ( √

26+5√ 3

) sin

(x

2−arctan

( 1

10+ √ 3

))