Chapitre 4 - L

Chapitre 4 - L’EVAPOTRANSPIRATION 4.1 Les bases physiques de l’évapotranspiration

4.1.1 L’équation du bilan d’énergie d’une surface 4.1.2 Les transports verticaux de masse et d’énergie 4.2 L’évapotranspiration potentielle

4.2.1 Les aspects théoriques

4.2.2 L’équation de Penman (1948)

4.2.3 D’autre modèles à bases physiques d’évaporation potentielle 4.2.3.1 L’équation de Bouchet ou de Piche corrigée

4.2.3.2 L’équation de Brochet et Gerbier (1972) 4.2.3.3 L’équation de Linacre (1977)

4.2.4 Quelques méthodes empiriques d’estimation de l’ETP 4.2.4.1 Formule de Thorthwaite (1944)

4.2.4.2 Formule de Blaney et Criddle (1950) 4.2.4.3 La formule de Turc (1961)

4.2.5 Problèmes posés par l’extrapolation régionale de l’ETP 4.3 L’évapotranspiration réelle

4.3.1 Les modèles classiques de réduction de l’ETP en ETR 4.3.2 Les transferts d’eau dans le système sol-plante-atmosphère

4.3.2.1 Le transfert de l’eau du sol vers les racines

4.3.2.2 Le transfert de l’eau de la plante vers l’atmosphère

4.3.3 Un schéma global de transfert de l’eau dans le système sol-plante-atmosphère 4.4 L’évapotranspiration réelle à l’échelle du bassin versant

4.4.1 Estimation de l’ETR à l’échelle mensuelle ou annuelle

4.4.2 La modélisation et la simulation de l’ETR à l’échelle du bassin versant 4.4.3 L’apport de la télédétection par satellite à l’estimation de l’ETR régionale 4.4.4 Bilan en chlorures et bilan isotopique

4.4.4.1 Bilan en chlorures 4.4.4.2 Bilan isotopique des lacs

Bibliographie

La notion d’évapotranspiration englobe tous les phénomènes de transfert de vapeur d’eau à la surface du sol et à travers les stomates des feuilles des végétaux vers l’atmosphère.

L’évapotranspiration est donc la somme de la transpiration du couvert végétal et de l’évaporation du sol nu. Dans le cas d’une nappe d’eau libre nous parleronségalement d’évaporation. La valeur de ce f lux, à un instant donné, sera appeléeévapotranspiration réelle.

Lorsque la disponibilité en eau du sol n’est pas limitante et si l’on suppose qu’aucune résistance ne s’oppose aux transferts d’eau, ce flux tend vers une valeur dite potentielle. Ce concept, essentiellement théorique caractérise la demande en eau exercée par le climat.

Les phénomènesévaporatoires sont très importants dans le bilan hydrologique En effet, la quantité d’eau nonévapotranspirée transitera dans le sous-sol vers les nappes d’eau souterraine et le réseau hydrographique. L’hydrologie de surface, l’hydrogéologie, ne sont concernées que par la partie des précipitations qui n’est pas détournée du cycle hydrologique parévapotranspiration ainsi dans la région nord montpelliéraine, 2/3 des 900 mm du module annuel de précipitations sontévapotranspirés (Rambal, 1981b). Dans ce cas, l’alimentation des aquifères karstiques ne représente plus que le 1/3 des précipitations.

Ce terme majeur du bilan hydrologique aété quelque peu délaissé dans le passé. Il est à présent le sujet de nombreuses recherches. Il suffit pour s’en convaincre d’observer le nombre de publications scientifiques qui traitent de ce sujet. Dans ce chapitre, nous allons essayer de faire un tour rapide et complet du problème de l’évapotranspiration des couverts végétaux.

Nous laisserons de côté l’évaporation des nappes d’eau libre car ce phénomène est régi par les mêmes lois physiques.

4.1 Les bases physiques de l’évapotranspiration 4.1.1 L’équation du bilan d’énergie d’une surface

Une surface naturelle – un couvert végétal par exemple –échange de l’énergie avec son environnement. Elle reçoit du rayonnement de courte longueur d’onde (0,3 μ < λ < 3 μ), appelé rayonnement global Rg et du rayonnement de grande longueur d’onde (3 μ < λ < 50 μ) appelé rayonnement atmosphérique Ra. Une partie de ce rayonnement est réfléchi par la surface. Dans les courtes longueurs d’onde, le coefficient de réflexion est appelé albedo a.

Dans les grandes longueurs d’onde, il vaut 1 – ε, ε est l’émissivité de la surface qui est généralement priseégale à 0,95 pour un couvert végétal. En plus de ces flux de radiation, il existe unéchange de chaleur par radiation à ondes longues. La surface qui se trouve à la température TSémet une radiation décrite par la loi de Stéphan. D’après le principe de conservation de l’énergie, la variation d’énergie interne, pendant un intervalle de temps donné, estégale à la somme algébrique desénergies entrant et sortant du système. Nousécrivons donc :

𝑅_𝑛 = (1 − 𝑎)𝑅_𝑔+ 𝜀𝑅_𝑎− 𝜀𝜎𝑇_𝑠⁴ (4.1)

Rg rayonnement global, en W.m^-2 ; Ra rayonnement atmosphérique, en W.m^-2 ; a albedo ; TS température de la surface, en °K ; ε émissivité et σ constante de Stéphan- Boltzmann avec σ = 5,67.10^-8 W.m^-2.°K^-4. La différence entre les composantes du rayonnement s’appelle le rayonnement net Rn en W.m^-2. Une partie de ce rayonnement reçue par la surface est transformée en chaleur dans le sol S et dans l’atmosphère H, en W.m^-2. Une autre partie, la plus importante en général, est absorbée sous forme de chaleur latente dans les processus de l’évapotranspiration. Nous négligerons dans ce développement l’énergie utilisée par les plantes dans leurs processus métaboliques.

𝑅_𝑛+ 𝐿. 𝐸𝑇 + 𝐻 + 𝑆 = 0 (4.2)

L.ET, en W.m^-2, est le régime d’utilisation de l’énergie parévapotranspiration, ou chaleur latente, c’est le produit de l’évapotranspiration ET par la chaleur latente de vaporisation de l’eau L. H est le fluxénergétique nécessaire au réchauffement de l’air que l’on appelle aussi chaleur sensible. S est le régime d’emmagasinement de la chaleur dans le sol.

Les flux sont affectés du signe + lorsqu’ils représentent un gain pour la surface et du signe -

lorsqu’ils représentent une perte.

4.1.2 Les transports verticaux de masse et d’énergie

La masse d’air qui aborde la surface évaporante, prise ici comme une surface homogène et horizontale, voit ses caractéristiques modifiées par leséchanges de vapeur d’eau et d’énergie qui ont lieu avec le couvert. A l’intérieur de la couche perturbée par la présence du couvert ou couche limite, s’établit, au voisinage de la végétation, unéquilibre entre la masse d’air et le couvert, équilibre qui, à une hauteur donnée et à un instant donné, conduit à une constance des grandeurs climatiques dans la direction du vent. Cette couche d’air est une zone dans laquelle les transferts sont conservatifs. Ces transferts sont tout à fait analogues au phénomène de diffusion moléculaire dû à l’agitation permanente des molécules. On parle de diffusion turbulente dont les lois sont identiques à celles de la diffusion moléculaire, c’est-à- dire que le flux vertical d’une grandeur donnée est proportionnel au gradient de concentration de cette même grandeur. Ainsi à la chaleur sensible définie comme la quantité de chaleur contenue dans l’unité de volume d’air, à la température T correspond un flux:

𝐻 = −𝜌𝐶_𝑝. 𝐾_𝑛(𝑧).𝑑𝑇

𝑑𝑧 (4.3)

Cp est la chaleur spécifique de l’air à pression constante Cp = 1010 J.kg^-1.°C^-1 ; ρ est la masse volumique de l’air, ρ = 1,2 kg.m^-3 à 20°C ; Kh est le coefficient de transfert turbulent de chaleur, en s^-1. Le signe négatif rend compte d’un transfert se faisant des températures les plusélevées vers les températures les plus basses. En ce qui concerne le flux de vapeur d’eau, il s’exprime en fonction du gradient de concentration volumique cV de vapeur d’eau dans l’air :

𝐸𝑇 = −𝐾_𝑒(𝑧)𝑑𝑐_𝑣 𝑑𝑧

Considérons le volume V d’air humide, à la température T et sous la pression atmosphérique Pa. Ce volume est constitué par le mélange d’une masse me de vapeur d’eau et d’une masse ma d’air sec. D’après l’équation des gaz parfaits, diteéquation d’état, nous pouvonsécrire :

𝑚_𝑒 = 𝑀_𝑒𝑒𝑉

𝑅𝑇 𝑚_𝑎 = 𝑀_𝑎(𝑝_𝑎− 𝑒 𝑅𝑇 ) 𝑉

Me et Ma sont les masses molaires de l’eau et de l’air, respectivement 18 et 29. R est la constante des gaz parfaits et e la pression partielle de la vapeur d’eau.

𝑚_𝑒 𝑚_𝑎 = 𝑀_𝑒

𝑀_𝑎 𝑒

(𝑝_𝑎− 𝑒) 𝑒𝑡 𝑐_𝑣 = 𝜌𝑀_𝑒 𝑀_𝑎

𝑒

(𝑝_𝑎− 𝑒)= 𝜌𝑀_𝑒 𝑀_𝑎

𝑒 𝑝_𝑎 d’où :

𝐸𝑇 = − 𝑀_𝑒 𝑀_𝑎𝑝_𝑎

𝑑𝑒 𝑑𝑧

Si nous faisons apparaître la constante psychrométrique γ :

𝛾 = 𝐶_𝑝𝑝_𝑎 𝑀_𝑒 𝑀_𝑎𝐿

= 0,66 𝑚𝑏. °𝐶⁻¹ à 𝑝_𝑎 = 1013 𝑚𝑏𝑎𝑟𝑠

L est la chaleur latente de vaporisation de l’eau (2451 J.g-1 à 20°C). Le flux de chaleur latente a finalement pour expression :

𝐿. 𝐸𝑇 = −𝜌𝐶_𝑝

𝛾 𝐾_𝑒(𝑧)𝑑𝑒

𝑑𝑧 (4.4)

Si l’on suppose que les coefficients de transfert de chaleur et de vapeur d’eau sontégaux –hypothèse connue sous le nom de principe de similarité qui est bien vérifiée au voisinage de la neutralité thermique (dT/dz -> 0) le rapport entre le flux de chaleur latente et le flux de chaleur sensible devient :

𝜷 = 𝑯

𝑳. 𝑬𝑻= 𝜸𝒅𝑻

𝒅𝒆 (𝟒. 𝟓)

où dT/de est le rapport entre les gradients de température et de pression de vapeur au-dessus du couvert végétal; γ est la constante psychrométrique ; β est appelé le rapport de Bowen. De (4.2) et (4.5) on tire :

𝐿. 𝐸𝑇 = −𝑅_𝑛+ 𝑆

1 + 𝛽 𝐻 = −𝛽(𝑅_𝑛+ 𝑆)

1 + 𝛽 (4.6) 4.2 L’évapotranspiration potentielle

4.2.1 Les aspects théoriques

Si la surface d’échange est à la saturation, les transferts d’eau se font librement à un taux dit potentiel ETP. La seule résistance qui s’oppose au flux de vapeur d’eau se situe au niveau du transfert turbulent. Si nous intégrons l’équation (4.3) entre la surface d’échange qui se trouve à la température Ts et un niveau z qui peut être le niveau de mesure de la température de l’air Ta, nous obtenons alors la deuxième forme, dite intégrale, de la loi de diffusion :

𝐻 = 𝜌 𝐶_𝑝𝑇_𝑠− 𝑇_𝑎

𝑇_𝑎ℎ 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑟_𝑎ℎ = ∫ 𝑑𝑧

𝐾_ℎ(𝑧) (4.7)

𝑍 0

Par analogie avec la loi d’Ohm en électricité rah est appelé résistance aérodynamique au transfert de chaleur. Pour le transfert de vapeur d’eau nous aurons de même :

𝐿. 𝐸𝑇𝑃 =𝜌𝐶_𝑝 𝛾

𝑒_𝑠− 𝑒_𝑎

𝑟_𝑎𝑒 (4.8)

es et eaétant les tensions partielles de vapeur respectivement au niveau de la surfaceévaporante et au niveau z. En ce qui concerne les transferts de chaleur dans le sol, la conduction est liée aussi à un gradient de température et le flux entre la surface et la

profondeur Δz s’écrit :

𝑆 = 𝜆_𝑠𝑇_𝑠− 𝑇_𝑠𝑜𝑙

Δ𝑧 (4.9)

λs est la conductivité thermique du sol, en W.m-1.°C ; Tsol est la température du sol à la profondeur Δz. Ainsi, l’équation finale s’écrira:

(1 − 𝑎)𝑅_𝑔+ 𝐸𝑅_𝑎𝜀𝜎𝑇_𝑠⁴ =𝜌𝐶_𝑝

𝑟_𝑎ℎ (𝑇_𝑠− 𝑇_𝑎) +𝜌𝐶_𝑝

𝛾𝑟_𝑎𝑒(𝑒_𝑠− 𝑒_𝑎) + 𝜆_𝑠𝑇_𝑠− 𝑇_𝑠𝑜𝑙

Δ𝑧 (4.10) Cetteéquation est le point de départ de tous les modèles à base physique de l’évapotranspiration potentielle et réelle.

Au voisinage de la neutralité thermique (Ts ≈ Ta), nous pouvons admettre que les résistances aérodynamiques ont la même expression analytique. La théorie de Prandtl, basée sur l’analyse théorique des liens entre le flux de quantité de mouvement et le gradient de vitesse du vent, aboutit à :

𝑟_𝑎 = 𝑟_𝑎ℎ = 𝑟_𝑎𝑒 = 1

𝑘²𝑢(𝑙𝑜𝑔𝑧 − 𝑑 𝑧₀ )

2

(4.11)

u est la vitesse du vent, en m.s^-1, mesurée à la hauteur z, en m. z0 est la rugosité, en m, d est la hauteur de déplacement du plan de références et k la constante de Von Karman. En pratique, on prend d = 0,67 h et z0 = 0,13 h, hétant la hauteur de la végétation, en m (figure 4.1). Le tableau 4.1 ci dessous donne les valeurs de la résistance aérodynamique de quelques formations végétales, pour une vitesse du vent u = 2 m.s^-1.

Tableau 4.1: Résistances aérodynamiques pour une vitesse du vent de 2 m s^-1 au-dessus d'un sol nu, d'une prairie, d'une culture et d'une forêt.

h (m) D (m) z0 (m) z-d (m) ra

Sol nu 0,01 0,0067 0,0013 2 168

Prairie 0,1 0,067 0,013 2 79

Culture 1 0,67 0,13 3 31

Forêt 10 6,7 1,3 5 6

Lorsque la stabilité des basses couches de l’atmosphère est modifiée, le profil de vitesse du vent n’est plus logarithmique (figure 4.2). Dans de telles conditions les expressions des résistances aérodynamiques rae et rah, fondées sur l’application de la théorie de Monin- Obukhov, sont très complexes.

Au contact de la surfaceévaporante, l’air est saturé et se trouve à la température du point de rosée Tpr, le flux de vapeur ouévapotranspiration potentielle, décrit par (4.8), peut aussi s’écrire :

𝐿. 𝐸𝑇𝑃 =𝜌𝐶_𝑝 𝛾

𝑒_𝑠(𝑇 𝑝𝑟) − 𝑒_𝑎

𝑟_𝑎 (4.12)

Si l’on pose :

𝑒_𝑠 = (𝑇 𝑝𝑟) − 𝑒_𝑎 = 𝑒_𝑠(𝑇 𝑝𝑟) − 𝑒_𝑠(𝑇_𝑎) + 𝑒_𝑠(𝑇_𝑎) − 𝑒_𝑎

En désignant par Δ la pente de la courbe de pression de vapeur saturante de l’air en fonction de la température :

Δ =𝑑 𝑒_𝑠(𝑇)

𝑑𝑇 ] à 𝑇 =𝑇_𝑝𝑟+ 𝑇_𝑎 2

et par DPVS = es(Ta) – ea le déficit de pression de vapeur saturante de l’air, nous obtenons :

𝐿. 𝐸𝑇𝑃 =𝜌𝐶_𝑝

𝑟 (Δ . (𝑇_𝑠− 𝑇_𝑎) + 𝐷𝑃𝑉𝑆)

Par ailleurs :

𝜌𝐶_𝑝

𝑟_𝑎 (𝑇_𝑠− 𝑇_𝑎) = 𝐻 = 𝑅_𝑛− 𝑆 − 𝐿. 𝐸𝑇𝑃 d’où :

𝐿. 𝐸𝑇𝑃 =Δ(𝑅_𝑛− 𝑆) + 𝜌 𝐶_𝑝𝐷𝑃𝑉𝑆/𝑟_𝑎

Δ + 𝛾 (4.13)

Cette équation que l’on appelle généralement de Penman-Monteith rend compte de l’évapotranspiration potentielle d’une couverture végétale réduite au fonctionnement d’une surface d’échange unique se trouvant au niveau du plan de référence. Cette formule doit être employée sur une base horaire. Il faut connaître le rayonnement net Rn et le flux de chaleur dans le sol, la pression partielle de vapeur d’eau de l’air (ou l’humidité relative), la température de l’air et la vitesse du vent. Cette formule peut se décomposer en deux termes :

𝐿. 𝐸𝑇𝑃 = Δ

Δ + 𝛾(𝑅_𝑛− 𝑆) + 𝜌𝐶_𝑝

𝑟_𝑎(Δ + 𝛾)𝐷𝑃𝑉𝑆

Le premier terme est appelé terme rayonnement, le second terme advectif.

4.2.2 L’équation de Penman (1948)

L’expression (4.13) peut s’écrire : 𝐿. 𝐸𝑇𝑃 =Δ(𝑅_𝑛− 𝑆) + 𝐾 𝑢 𝐷𝑃𝑉𝑆

Δ + 𝛾 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐾 = 𝜌𝐶_𝑝𝑘² 𝐿𝑜𝑔²(𝑧 − 𝑑)

𝑧₀

(4.14)

Si l’on utilise (4.14) sur un pas de temps journalier, la moyenne de u DPVS, Ku, DPVS, peut être approximée par le produit de u par DPVS plus un terme dépendant de l’amplitude des fluctuations de u et de DPVS autour de leurs moyennes. Ainsi, nous

retrouvons l’expression, déduite de la deuxième loi de Dalton, du terme advectif de l’équation proposée par Penman (1948) :

(𝑎 + 𝑏𝑢̅) 𝐷𝑃𝑉𝑆̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝛾𝐸_𝑎

Dans sa forme originale, ce termeétablit pour une nappe d’eau libre, vaut :

𝐸_𝑎 = 0,26(1 + 0,54 𝑢̅) 𝐷𝑃𝑉𝑆̅̅̅̅̅̅̅̅ , 𝑢̅ est la moyenne journalière de la vitesse du vent, en m s^-1, 𝐷𝑃𝑉𝑆̅̅̅̅̅̅̅̅ est le déficit de saturation moyen journalier, en mbars.

L’évaporation journalière E0, en mm, d’une nappe d’eau libre s’écrit donc :

𝐿. 𝐸₀ = Δ𝑅_𝑛+ 𝛾𝐸_𝑎 Δ + 𝛾

Le flux de chaleur S est négligé car, pour des pas de temps allant de 1 à quelques jours, l’accumulation (ou la perte) de chaleur dans le sol est faible.

Pour un couvert vétégal, Penman propose d’estimer son évapotranspiration potentielle à partir de E0 et d’un facteur empirique f tel que ETP = f E0 avec f = 0,6 en hiver, 0,7 au printemps et 0,8 en été. Rijtema (1965) démontre que la variation saisonnière de f peut être implicitement introduite dans la formule de Penman en tenant compte des différences d’albédo entre le plan d’eau et la couverture végétale. Cette modification transforme l’équation de Penman en une méthode d’estimation de l’ETP. Un certain nombre de problèmes subsistent qui concernent le calcul des termes de rayonnement et d’advection à l’échelle journalière.

Le rayonnement net, hormis les rares applications où ce dernier est mesuré directement, estestimé par des formules à validité locale le reliant linéairement à l’irradiation g1oba1e journalière (Monteith et Szeicz, 1961; Stanhi11, 1966). I1 est généra1ement calculé en additionnant un terme correspondant aux courtes longueurs d’ondes et un terme correspondant aux grandes longueurs d’ondes (4.1). Pour les courtes longueurs d’onde, l’irradiation globale journalière est déduite de la formule de Glover et McCulloch :

𝑅_𝑔 = 𝑅₀(0,29 𝑐𝑜𝑠𝛷 + 0,52 𝑛/𝑁)

R0 est l’irradiation théorique maximum, en W.m^-2, n/N la fraction d’insolation et Φ la latitude, en °. En zones tempérées humides, Penman évalue le rayonnement net infrarouge à partir de la formule de Brunt :

𝜀 (𝜎𝑇_𝑠⁴− 𝑅_𝑎) = 𝜎 𝑇_𝑎⁴ (0,56 − 0,08√𝑒_𝑎)(0,1 + 0,9 𝑛/𝑁)

En climat semi-aride, Fitzpatrick et Stern (1965) montrent que l’expression précédente surestime le rayonnement net infrarouge, ils proposent :

𝜀 (𝜎𝑇_𝑠⁴ − 𝑅_𝑎) = 𝜎 𝑇_𝑎⁴ (0,35 − 0,041√𝑒_𝑎)(0,3 + 0,7 𝑛/𝑁)

Le calcul du terme rayonnement fait intervenir deux approximations supplémentaires.

La première, négligeable en pratique, concerne l’estimation (𝑇_𝑝𝑟− 𝑇_𝑎)/2 (paragraphe 4.2.1)

par la pente de cette même courbe à la température de l’air. La seconde concerne l’hypothèse de linéarité de la fonction (Δ Δ + 𝛾⁄ )𝑅_𝑛, c’est-à-dire est-ce que la moyenne des valeurs horaires de (Δ Δ + 𝛾⁄ )𝑅_𝑛 estégale à la valeur de (Δ Δ + 𝛾⁄ )𝑅_𝑛 calculée à partir de la température moyenne et du rayonnement net journalier ? Si la quasi-linéarité de Δ Δ + 𝛾⁄ n’est pas discutable, l’observation montre que les fortes valeurs horaires du rayonnement net sont concommitantes des fortes valeurs de la température et donc, des fortes valeurs de Δ Δ + 𝛾⁄ . Cette approximation minimise le poids des fortes valeurs et entraîne une sousestimation du terme rayonnement.

Au niveau du terme advectif, l’approximation la plus contestable s’applique à la fonction de la vitesse du vent choisie par Penman. Cette fonction correspond à une rugosité 𝑧̅₀

= 1,37 mm pour une vitesse du vent de 1 m s^-1 à 2 m de hauteur (Thom et Oliver, 1977). Cette valeur est irréaliste pour la majorité des applications régionales pour lesquelles un z0 de quelques cm est plus approprié. Seguin (1975a) montre que lesécarts sont importants, en particulier, pour les vitesses de ventélevées, et peuvent atteindre 2 mm j^-1, cependant, Thom et Oliver (1977) remarquent que le succès de l’équation de Penman provient du fait qu’elle néglige totalement l’existence d’une résistance physiologique, rendant compte du frein au transfert d’eau exercée par la végétation, la résistance stomatique qui ne s’annulle pas totalement même lorsque la végétation est parfaitement alimentée en eau.

Avant d’aborder d’autres formules d’estimation de l’évapotranspiration, il convient de présenter une formule directement déduite de celle de Penman. Priestley et Taylor (1972) ont développé une équation dans laquelle le terme advectif est proportionnel au terme rayonnement:

𝐿. 𝐸𝑇𝑃 = 𝛼 Δ

Δ + 𝛾𝑅_𝑛 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛼 = 1,26

Jury et Tanne (1975) expliquent le succès de l’équation précédente par l’existence effective d’une corlélation entre ces deux termes et par le poids important du terme rayonnement dans les applications choisies.

4.2.3 D’autres modèles à bases physiques d’évapotranspiration potentielle 4.2.3.1 L’équation de Bouchet ou de Piche corrigée

Pour simplifier le calcul de l’ETP, Bouchet (1963) estime l’ETP à partir de mesures simples effectuées sous abri météorologique. Mettant l’équation de Penman sous la forme suivante :

𝐿. 𝐸𝑇𝑃 = ^Δ𝑅𝑛

(Δ+𝛾)𝐸𝑎+ ^𝛾

Δ+𝛾 𝐸_𝑎 − − − − − − −

𝛼₁

il considère le terme α1 constant et estime Ea à l’aide de l’évaporation d’un évaporomètre Piche. Si l’on applique l’équation de Penman à cette surface évaporante sous abri, le terme rayonnement est nul, donc :

𝐸𝑇𝑃_{𝑎𝑏𝑟𝑖} = 𝛾

𝐿(Δ^′+ 𝛾)𝐸_𝑎 = 𝛼₂𝐸_𝑝

Le terme ETPabri correspond à l’ETP d’une surface saturée placée sous abri ayant une température comprise entre la température de l’air et celle du point de rosée et qui peut êtreévalué par l’évaporation Ep d’un évaporomètre. α2 est un coefficient instrumental dépendant de l’abri météorologique utilisé et de la position de l’évaporomètre dans l’abri. La combinaison des deux équations précédentes donne:

𝐸𝑇𝑃 = 𝛼₁𝛼₂Δ^′+ 𝛾

𝛾 𝐸_𝑝 𝑚𝑚 𝑗⁻¹

Pour appliquer cette équation, nous avons besoin, d’une part, de l’évaporation journalière sous abri et d’autre part, des températures moyennes journalières de l’air et du point de rosée. En pratique, le point de rosée reste au voisinage de la température minimum.

Dans ces conditions, Bouchet suggère de prendre comme température moyenne pour le calcul de Δ’ :

(𝑇_𝑚𝑎𝑥 + 𝑇_𝑚𝑖𝑛

2 + 𝑇_𝑚𝑖𝑛)

2 = 3𝑇_𝑚𝑖𝑛+ 𝑇_𝑚𝑎𝑥 2

Les difficultés d’utilisation de cette équation sont de nature instrumentale : utilisation d’abri météolologique normalisé, position de l’évaporomètre dans l’abri et de nature opérationnelle. En effet, on observe une importante valiabilité spatiale et temporelle du paramètre α1 α2. Ce paramète α1 α2 se situe en France entre 0,20 et 0,55. L’utilisation locale de cetteéquation nécessite la détermination préalable de α1 α2 par comparaison avec une ETP de réfélence, l’ETP Penman, par exemple.

4.2.3.2 L’équation de Brochet et Gerbier (1972)

Brochet et Gerbier estiment séparément l’advection et le rayonnement. Ce dernier est pris proportionnel à l’irradiation globale journalière :

𝛥

𝐿(𝛥 + 𝛾)𝑅_𝑛 = 𝑚𝑅_𝑔 𝑚𝑚 𝑗⁻¹

Le coefficient de proportionnalité m varie avec la saison et la latitude. m a été tabulé pour la France par ajustement statistique. Il varie par exemple dans le sud de la France à Montpellier, de 0,0087 en avril à 0,0132 en juillet, si Rg est exprimé en W m^-2.

Brochet et Gerbier utilisent l’évaporation sous abri comme estimation de l’advection.

A ce propos Stanhill (1962) observe l’existence d’une liaison linéaire forte entre Ea exprimé en mm j^-1, et l’évaporation sous abri Ep. Il obtient pour deux sites à climat contrasté d’Israël,

𝐸_𝑎 = 0,1469 𝐸_𝑝+ 0,1118 𝑚𝑚 𝑗⁻¹

Cette liaison est également utilisée par Bouchet (paragraphe 4.2.3.1) puisque:

𝐸_𝑎 = 𝛼₂𝐿 (1 +Δ^′ 𝛾) 𝐸_𝑝

Le paramètre n liant le terme advectif à l’évaporation sous abri sera :

𝛾

𝐿(Δ + 𝛾)𝐸_𝑎 = 𝑛𝐸_𝑝 soit :

𝑛 = 𝛼₂Δ^′+ 𝛾 Δ + 𝛾

La tabulation de n montre une incidence sensible de la latitude tandis que la variabilité saisonière se révèle assez restreinte. A Montpellier, n varie de 0,34 en avril à 0,25 en juillet et de 0,49 à 0, 39 à Lille. Finalement, nous aurons :

𝐸𝑇𝑃 = 𝑚𝑅_𝑔+ 𝑛𝐸_𝑝 𝑚𝑚 𝑗⁻¹

De nombreux essais ont établi la validité de cette formule et en particulier, la proximité de ces résultats avec ceux de l’équation de Penman (Brochet et Gerbier, 1972;

Seguin, 1975; Najjar, 1982).

4.2.3.3 L’équation de Linacre (1977)

Linacre (1977) propose une méthode de calcul simplifiée de l’ETP. A partir de l’équation (4.13) mise sous la forme :

𝐿. 𝐸𝑇𝑃 =

(𝑅_𝑛+𝜌𝐶_𝑝 Δ𝑟_𝛼) 1 +𝛾

Δ il suppose que:

- Pour des vitesses du vent comprises entre 1 et 9 m s^-1, la résistance aérodynamique est égale à une valeur moyenne de 120 s m^-1;

- Pour des températures de l’air comprises entre 8 et 36°C, le dénominateur de l’équation précédente peut être linéarisé;

1 +𝛾

Δ= 2 (1 + 0,0125 𝑇_𝑎)

- La pente de la tangente 𝛼̅ la courbe de pression de vapeur saturante de l’air Δ peut être approchée par la pente de la corde reliant les points correspondant à la température de l’air et à la température du point de rosée Tpr (paragraphe 4.2.1) ;

Δ = 𝐷𝑃𝑉𝑆

𝑇_𝑎− 𝑇_𝑝𝑟 𝑑^′𝑜ù 𝐷𝑃𝑉𝑆

Δ = 𝑇_𝑎− 𝑇_𝑝𝑟

- Le rayonnement net est relié linéairement à l’irradiation globale journalière par :

𝑅_𝑛 = (0,75 − 𝛼)𝑅_𝑔

à partir de la température de l’air, de la latitude et de l’altitude du lieu considéré.

Pour un couvert végétal, d’albedo a = 0,25, Linacre obtient une évapotranspiration potentielle de :

𝐸𝑇𝑃 =

500 𝑇_𝑚

(100 − 𝜙)+ 15(𝑇_𝑎− 𝑇_𝑝𝑟)

(80 − 𝑇_𝑎) 𝑚𝑚 𝑗⁻¹

Pour une nappe d’eau libre, d’albedo a = 0,05, l’expression devient :

𝐸₀ =

700 𝑇_𝑚

(100 − 𝜙)+ 15(𝑇_𝑎− 𝑇_𝑝𝑟)

(80 − 𝑇_𝑎) 𝑚𝑚 𝑗⁻¹

Φ est la latitude, en °. La température de l’air au niveau de la mer, Tm, est calculée à partir de la température de l’air à l’altitude h, en m : 𝑇_𝑚= 𝑇_𝑎+ 0,006 ℎ

Linacre estime la différence de température entre l’air et le point de rosée, par une expression empirique, établie à partir de 222 séries d’observations :

𝑇_𝑎− 𝑇_𝑝𝑟 = 0,37 𝑇_𝑎+ 0,53(𝑇_𝑚𝑎𝑥− 𝑇_𝑚𝑖𝑛) + 0,35 𝑅 + 0,0023 ℎ − 10,9

Tmax-Tmin représente l’étendue de la variation journalière de température, Ta la température moyenne jounalière de 1’air, R, l’étendue moyenne annuelle des températures moyennes mensuelles (Mois le plus chaud moins mois le plusfroid). En France, Brochet et Gerbier (1971) préconisent d’estimer le point de rosée par Tmin + 1 en climat océanique et par Tmin - 1 en climat méditerrannéen.

L’équation de Linacre présente le grand avantage de ne pas faire intervenir directement d’estimations de l’irradiation globale et du déficit de saturation. Elle n’utilise que des informations concernant la température : maximum, minimum. L’erreur moyenne de l’estimation de l’ETP journalière est de 1,7 mm j^-1 et celle de l’ETP mensuelle de 0,5 mm j^-1. 4.2.4 Quelques méthodes empiriques d’estimation de l’ETP

Nous terminons cetteénumération de méthodes par quelques méthodes empiriques qui donnent des estimations décadaires ou mensuelles de l’ETP, c’est-à-dire des pas de temps assez peu compatibles avec des objectifs de modélisation fine du cycle hydrologique.

4.2.4.1 Formule de Thorthwaite (1944)

Thorthwaite relie l’ETP à des paramètres facilement accessibles : la température de l’air et la durée théorique d’insolation.

𝐸𝑇𝑃 = 16 (10 𝑇_𝛼

𝐼 ) 𝐹(𝛷) 𝑚𝑚 𝑚𝑜𝑖𝑠⁻¹

Tα est la température moyenne du mois (ou de la décade), α est une fonction complexe de l’indice thermique annuel I, avec :

𝛼 = 6,75 10⁻⁷𝐼³ − 7,71 10⁻⁵𝐼²+ 1,7910⁻²𝐼 + 0,49

L’indice thermique annuel est la somme de 12 indices thermiques mensuels i. Pour un mois donné, i est une fonction puissance de la température moyenne mensuelle :

𝑖 =𝑇_𝑎^1,514 5

A l’origine, la formule de Thorthwaiteétait destinée à l’estimation des variations saisonnières de l’ETP pour une année moyenne. En pratique, elle est actuellement utilisée pour calculer l’ETP mensuelle. Cependant, le calcul de I, et donc de l’ETP d’un mois donné, ne peut être fait qu’à la fin de l’année, c’est–à-dire lorsque tous les indices annuels sont disponibles. Le facteur F(Φ) qui est une fonction de la durée théorique d’insolation est donné, pour chaque mois par des tables en fonction de la latitude Φ.

Cette formule sousestime assez fortement l’ETP en climats arides, semi-arides et méditerranéens.

4.2.4.2 Formule de Blaney et Criddle (1950)

𝐸𝑇𝑃 = 𝑘 𝑝 (0,46𝑇_𝑎+ 8,13) 𝑚𝑚 𝑗⁻¹

Ta est la température moyenne de la décade ou du mois, en °C. ρ est le pourcentage moyen journalier d’heure diurne de la décade ou du mois par rapport au total des heures diurnes de l’année. k est un coefficient cultural qui est, par exemple, de 0,75 pour un gazon.

Cette formule est surtout utilisée pour estimer les besoins en eau des cultures. Elle surestime l’ETP en hiver et le sousestime enété. Doorenbos et Pruitt (1975) proposent une adaptation de cette formule ainsi qu’une importante liste de coefficients culturaux.

4.2.4.3 La formule de Turc (1961)

A la suite de ses travaux sur le bilan hydrique des bassins versants, Turc propose :

𝐸𝑇𝑃 = 0,019 𝑇_𝑎

𝑇_𝑎+ 15(0,484 𝑅_𝑔 + 24,2) 𝑚𝑚 𝑗⁻¹

Cette équation n’est valable que si l’humidité relative moyenne de la décade est supérieure à 50 %. Lorsque cette humidité H est inférieure à 50 %, il pondère l’expression précédente par le terme correctif (1 +^50−𝐻

70 ). L’irradiation globale journalière est ici exprimée en W m-2. Elle peut être évaluée à partir de la durée d’insolation.

Cette méthode de calcul rend mieux compte des variations saisonnières de l’ETP que les deux précédentes formules. Elle ne doit pas être utilisée sur un pas de temps inférieur à la semaine.

4.2.5 Problèmes posés par extrapolation régionale de l’ETP

Les formules précédentes permettent d’approcher l’ETP, avec une préférence qualitative pour les formules à base physique (Seguin, 1975). Cette référence ETP est valable soit au niveau local, c’est-à-dire au niveau de la parcelle, soit à l’échelle de la région synoptique (100 x 100 km). Comment estimer l’ETP à une échelle intermédiaire, celle du bassin versant ou celle d’une petite région, au niveau de laquelle interviennent des facteurs locaux : topograhie, alternance de bois et de culture ? Compte tenu des variables climatiques à mettre en œuvre les formules à bases physiques semblent être le plus indiquées pour rendre compte de 1a variabilité spatia1e de 1’ETP. Cependant, avec un pas de temps journalier, l’allure des fonctions d’autocorrélation spatiale du champ des variables climatiques est caractéristique : une décroissance rapide, suivi d’une stagnation correspondant à la prédominance des effets de redondance sur l’apport informationnel. Dans ce cas, l’informativité d’un réseau de mesure de petites dimensions est suffisante, pour des pas de temps de l’ordre de la demi-heure, correspondant à celui de l’équation de Penman-Monteith, les fonctions d’autocorrélation atteignent beaucoup plus lentement le stade de la saturation.

La taille du réseau de mesure à mettre en place augmente considérablement.

Si en conséquence nous portons notre choix sur une formule donnant des estimations journalières de l’ETP, la formule de Brochet et Gerbier s’adapte particulièrement bien à nos préoccupations hydrologiques. En effet, son utilisation ne nécessite que des estimations indépendantes de l’irradiation globale journalière et de l’évaporation sous abri.

L’estimation de l’irradiation globale journalière en tout point du bassin se fera, à partir de la mesure de cette irradiation pour une surface horizontale en 1 ou 2 points de la zone considérée, en tenant compte des effets de pente, d’exposition et de masque topographique en ce qui concerne 1’advection, l’installation d’un réseau de mesure de l’évaporation sous abri est indispensable, ce réseau, dense au départ, sera simplifié à l’usage après l’analyse de la répartition spatiale des résultats.

4.3 L’évapotranspiration réelle

Lorsque la surface n’est plus à la saturation, l’évapotranspiration n’est plus à sa valeur potentielle mais à un taux inférieur appelé évapotranspiration réelle. Cet abaissement du taux d’évapotranspiration qui a été à l’origine surtout interprété comme la conséquence unique de la diminution de la disponibilité en eau du sol est provoquée par un contrôle de l’ouverture des stomates des feuilles qui permet à la plante de limiter sa perte en eau. Сomment le régime réel d’évapotranspiration est-il déterminé par les interactions entre la plante, le sol et les paramètres climatiques ?

4.3.1 Les modèles classiques de réduction de l’ETP en ETR

Tous les modèles classiques de réduction de l’ETP en ETR utilisent le concept de disponibilité en eau du sol. Le concept de disponibilité en eau du sol est basé sur l’existence, pour un sol donné, d’une limite supérieure de teneur en eau : la capacité au champ, et d’une limite inférieure : le point de flétrissement. Lorsque le sol est à la capacité au champ, sa disponibilité en eau est totale, D = 1,0. Lorsque le sol est au point de flétrissement permanent, il n’y a plus d’eau disponible, D = 0,0.

Elaborés à partir de nombreuses observations expérimentales effectuées soi tau champ, soit sur des végétaux cultivés en pots, les modèles reliant le rapport ETR/ETP à la disponibilité en eau sont tellement nombreux qu’il serait vain de vouloir tous les citer.

Veihmeyer et Hendrickson (1955) prétendent que l’eau du sol est indifféremment disponible entre la capacité au champ et le point de flétrissement permanent, ils font donc l’hypothèse qu’il n’y a pas de régulation stomatique lorsque le sol se dessèche entre les deux limites précédentes. D’autres chercheurs mettent en évidence le fait que la disponibilité en eau du sol pour les plantes diminue avec la teneur en eau bien avant d’atteindre le point de flétrissement.

C’est ainsi que Thornthwaite et Mather (1955) proposent un modèle linéaire dans lequel le rapport ETR/ETP estégal au pourcentage de disponibilité en eau :

ETR / ETP = D

Des chercheurs proposent un compromis entre ces points de vues opposés. Ils divisent le domaine de disponibilité en un domaine "facilement disponible" et un domaine "disponible de façon décroissante". Dans le domaine "facilement disponible", entre la capacité au champ et un point critique D* à déterminer, le rapport ETP/ETR est égal à l’unité. Au delà du point critique, il y a décroissance plus ou moins rapide du rapport ETP/ETR, le schéma de décroissance peut être linéaire (cité dans Baier, 1967 ; Johns et Smith, 1975) ou exponentiel (cité dans Baier, 1967). Nous pouvons replacer dans ce schéma, les travaux de Penman (1949).

Le dernier suppose l’existence d’une "constante racinaire", C, dépendant du type de végétation et de sol, et qui est équiva1ente au domaine "faci1ement ·disponib1e" précédent.

Lorsque le déficit en eau du sol est inférieur à la "constante racinaire" C, le rapport ETP/ETR vaut 1. Entre C et 3C, le rapport ETR/ETP est réduit linéairement pour atteindre 0,1 lorsque le déficit atteint 3C.

Stanhill (1957) dans une synthèse bibliographique conclut que l’ETP doit être prise en compte lorsque l’on analyse les relations entre le rapport ETR/ETP et le régime hydrique du sol. Les résultats de Denmead et Shaw (1962) sont à ce propos très démonstratifs (figure 4.3).

Ils mesurent, par exemple, pour une eau disponible de D = 0,5, un rapport ETR/ETP qui varie de 0,98 lorsque l’ETP est de 2 mm j^-1 à 0,20 pour une ETP de 0,4 mm j^-1.

Pour essayer de rendre compte de leurs résultats, une deuxième génération de modèle empirique est proposée. Linacre (1963) décrit un modèle à un seul parametre E* (figure 4.4a).

Si le produit de E* par D est inférieur à l’ETP, l’ETR sera prise égale à ce produit. Si le produit est supérieur à l’ETP, l’ETR sera égale à l’ETP.

𝐸𝑇𝑅 = 𝐸^∗. 𝐷 𝐸𝑇𝑅 < 𝐸𝑇𝑃 → 𝐸𝑇𝑅 = 𝐸𝑇𝑅 𝐸𝑇𝑅 > 𝐸𝑇𝑃 → 𝐸𝑇𝑅 − 𝐸𝑇𝑃

Dans ce modèle linéaire, le point critique D* qui sépare les domaines "facilement disponible" et "disponible de façon décroissante" est fonction du taux d’évapotranspiration potentielle. Le point critique est iciégal à D* = ETP/E*. Dans le même ordre d’idée, Hamon (1961) propose un modèle à décroissance exponentielle et à variation saisonnière, c’est-à-dire que les courbes de réduction de l’ETP en ETR en fonction de l’eau disponible varient en fonction des mois. Cette variation rend compte en fait de l’évolution saisonnière de l’ETP.

Eagleman (1971) par une régression polynomiale effectuée sur les données de Denmead et Shaw (1962) aboutit au modèle suivant (figure 4.4b).

ETR = 0,732 – 0,050 ETP + (4,97 ETP – 0,661 ETP²) D - (8,57 ETP – 1,56 ETP²) D² + (4,35 ETP - 0,880 ETP²) D³

Linacre (1973) propose une simplification de ce modèle "complexe" par un modèle quadratique à un seul paramètre E*, identique dans son principe à celui qu’il a proposé en 1963.

𝐸𝑇𝑅 = 𝐸^∗𝐷²𝐸𝑇𝑅 < 𝐸𝑇𝑃 → 𝐸𝑇𝑅 = 𝐸𝑇𝑅 𝐸𝑇𝑅 > 𝐸𝑇𝑃 → 𝐸𝑇𝑅 = 𝐸𝑇𝑃

Le point critique de ce modèle est également une fonction de l’ETP. Dans ce cas, D* =ETP/E*. Linacre (1973) suggère d’utiliser E* = 16 mm j-1 (figure 4.4c) ce qui donne des résultats très voisins de ceux d’Eagleman (1971). Citons également le modèle de Johns (1974) ; ETP – ETR = a D^b ETP^c avec a = 0,00195, b = 1,129 et D = 0,98 dans le cas d’un sol très argileux.

En dépit des améliorations qu’apportent l’utilisation des notions d’état énergétique de l’eau du sol dans la définition des grandeurs que sont la capacité au champ et le point de flétrissement permanent (potentiel hydrique entre -100 et -300 cm H2O pour la capacité au champ et -15000 cm H2O pour le point de flétrissement permanent) aucun des modèles ne propose un schéma théorique global permettant d’intégrer l’ensemble des facteurs susceptibles d’influencer l’ETR. Cependant, au plan pratique, ces modèles donnent des résultats satisfaisants dans la simulation de l’état hydrique du sol et à l’usage les plus simples sont souvent les meilleurs. Dans un test de 5 schémas de réduction de l’ETR en fonction de la disponibilité en eau, Baier (1967) observe que le modèle de Thornthwaite et Mather permet la meilleure reconstitution de l’état hydrique du sol. Johns et Smith (1975) comparant plusieurs modèles, dont les modèles empiriques de la 2^ième génération de Linacre (1963 et 1973) et celui d’Eagleman (1971), montrent que la décroissance linéaire de ETR/ETP lorsque la disponiblité en eau atteint le domaine "disponible de façon décroissante’’ donne les meilleurs résultats après ajustement du seuil critique D*. Rambal (1981a) montre que le modèle de Thornthwaite et Mather permet de prévoir les périodes de sécheresse d’une garrigue dense de chêne kermès.

4.3.2 Les transferts d’eau dans le système sol-plante-atmosphère

Il faut rechercher dans les travaux de Van der Honert (1948), Gardner (1960), Cowan (1965) et Philip (1966), le modèle global permettant de décrire les transferts d’eau dans le système sol-plante-atmosphère.

On considère que la circulation de l’eau en tout point du système sol-plante- atmosphère s’établit d’un niveau d’énergie élevé vers un autre moins élevé et ceci en faisant l’hypothèse que le concept de potentiel hydrique reste valable aussi bien au niveau de l’eau du sol qu’au niveau de l’eau dans la plante et dans l’atmosphère. Ainsi, si l’on suppose que le flux est conservatif, c’est-à-dire que la plante ne joue pas le rôle de réservoir-tampon, et sur des pas de temps qui permettent de considérer le régime de transport de l’eau comme permanent, on pourra écrire :

𝐸𝑇𝑅 = −∆𝐻₁

𝑅₁ = −∆𝐻₂

𝑅₂ = −∆𝐻₃ 𝑅₃

ΔH1 est la chute de potentiel à l’interface sol-racine, ΔH2 est la chute de potentiel à l’intérieur de la plante, ΔH3 la chute de potentiel entre les feuilles et l’atmosphère. R1 est

appelé la résistance à l’interface sol-racine ou résistance rhizosphérique et R2 résistance de la plante. La résistance R3 est une résistance variable qui rend compte de l’ouverture et de la fermeture des stomates ainsi que des phénomènes de couche limite lors du passage de la vapeur d’eau du voisinage immédiat de la feuille vers la couche turbulente de son environnement.

4.3.2.1 Le transfert de l’eau du sol vers les racines

Gardner (1960) suppose qu’une racine peut être décrite par un cylindre de section constante qui fonctionne comme un drain immergé dans un milieu poreux de potentiel hydrique uniforme. L’écoulement peut être modélisé par la loi de Darcy généralisée écrite en géométrie cylindrique. La résolution de cetteéquation, faite en imposant un flux q constant à la surface de la racine, permet de calculer la chute du potentiel hydrique entre le sol et l’interface sol-racine :

∆𝐻₁ = − 𝑞

4𝜋𝐾𝑙𝑜𝑔(𝜋𝐿𝑟²) c’est-à-dire

𝑅₁ = 𝑙𝑜𝑔(𝜋𝐿𝑟²) 4𝜋𝐾

K est la conductivité hydraulique du milieu poreux, ici le sol. L est la longueur de racine par unité de volume de sol ou densité racinaire et r le rayon de la racine. La résistance rhizosphérique est donc inversement proportionnelle à la conductivité hydraulique. Les paramètres structuraux du système racinaire : densité racinaire et rayon de la racine n’interviennent que logarithmiquement.

L’utilisation de ce modèle a permis à Gardner de faire une mise au point sur les notions de disponibilité en eau, en général, et sur le concept de point de flétrissement permanent en particulier. Il a calculé le potentiel hydrique à l’interface sol-racine, en fonction de la teneur en eau du sol et du régime d’extraction racinaire, pour un sol sablo-limoneux et pour un sol argileux. Dans le sol sablo-limoneux, lorsque l’extraction racinaire passe de 0,05 à 0,5 cm³ H2O cm^-1 racine j^-1, le potentiel hydrique foliaire à l’interface sol-racine est peu modifié quelle que soit la teneur en eau du sol. Par contre dans le sol argileux, la multiplication du débit par 10 (0,05 à 0,5), à une teneur en eau donnée, augmente considérablement le potentiel hydrique racinaire. Si par exemple, nous faisons l’hypothèse que le point de flétrissement permanent se situe à un potentiel hydrique racinaire de -15 10³ cm H2O. La figure 4.5 montre que la teneur en eau au point de flétrissement est quasiment indépendante du régime d’extraction racinaire dans le sol sablo-limoneux, dans le sol argileux (figure 4.5b), la teneur en eau au point de flétrissement passe de 0,20 à 0, 24 cm^-3. C’est-à- dire que même en utilisant le concept de potentiel hydrique pour définir la disponibilité en eau, cette dernière dépend de l’état hydrique du sol mais aussi du régime d’extraction racinaire.

L’intégrale du débit q sur la profondeur du sytème racinaire zr est égale à l’évapotranspiration réelle (si l’on néglige l’évaporation du sol) :

𝐸𝑇𝑅 = 𝑞 𝐿 𝑧_𝑟 et

𝐸𝑇𝑅 =𝐻_𝑠− 𝐻_𝑟

𝑅_𝑠 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑅_𝑠 = 𝐿𝑜𝑔 𝜋 𝐿 𝑟² 4 𝜋 𝐾 𝐿 𝑧_𝑟

résistance rhizosphérique Rs que Feddes et Rijtema (1972) approchent par :

𝑅_𝑠 = 𝑏

𝐾 𝑧_𝑟 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑏 = 0,0013 𝑚 Cette résistance s’exprime en jours.

4.3.2.2 Le transfert de l’eau de la plante vers l’atmosphère

Pour rendre compte de la résistance au transfert d’eau qu’oppose la surface évapotranspirante lorsque s’amorce la fermeture des stomates, Monteith (1965) introduit dans l’équation (4.13) une résistance de surface rs en série avec la résistance aérodynamique (figure 4.6). Le modèle d’évapotranspiration réelle ainsi obtenu s’écrit :

𝐿. 𝐸𝑇𝑅 =

𝐿(𝑅_𝑛− 𝑆) +𝜌𝐶_𝑝

𝑟_𝑎 𝐷𝑃𝑉𝑆 Δ + 𝛾 (1 +𝑟_𝑠

𝑟_𝑎) (4.15)

Si l’on note 𝛾^∗= 𝛾 (1 +^𝑟𝑠

𝑟𝑎), le rapport ETR/ETP est égal à :

𝐸𝑇𝑅

𝐸𝑇𝑃 = Δ + 𝛾 Δ + 𝛾^∗

L’équation (4.15) montre que la part du rayonnement et de l’advection dans l’ETR ne dépend pas du rapport rs / ra mais surtout du rapport du rayonnement net Rn et du déficit de pression de vapeur saturante DPVS. Cette équation est la plus utilisée pour décrire l’évapotranspiration réelle. Son défaut majeur est de réduire l’ensemble des surfaces du couvert végétal à un plan unique source à la fois de chaleur latente et de chaleur sensible. Les modèles multicouches (Shuttleworth, 1966; Thom, 1972) sont inutilisables en pratique.

La résistance de surface peut être évaluée en divisant la résistance stomatique par l’indice foliaire du couvert végétal IF, en m² de feuille par m² de sol :

𝑟_𝑠 = 𝑟_𝑠𝑡 𝐼𝐹

La résitance stomatique rend compte, à un instant donné, de la plus ou moins grande ouverture de stomates du végétal. Elle est en général mesurée avec un poromètre à diffusion.

C’est une fonction biunivoque du potentiel hydrique foliaire. La relation entre la résistance stomatique et le potentiel hydrique foliaire est une caractéristique de l’espèce considérée.

Cette relation présente, en général, une partie dans laquelle la résistance est faible et constante pour des valeurs de potentiel hydrique faiblement négatives. Ensuite, au-delà d’une valeur seuil, d’un potentiel critique, la résistance augmente exponentiellement alors que décroît le potentiel. Le calcul de l’ETR dépendra soit de la mesure de la résistance stomatique soit de la connaissance du potentiel hydrique foliaire et de la relation liant la résistance stomatique à ce potentiel.

Nous allons voir sur des exemples quelques applications de la formule précédente.

Considérons le cas de la prairie et de la forêt dont nous avons calculé la résistance aérodynamique pour une vitesse du vent de 2 m s^-1 (paragraphe 4.2.1) et supposons que ces deux paramètres sont soumis aux conditions microclimatiques suivantes :

𝑅_𝑛 = 400 𝑊𝑚⁻² ; 𝑇_𝑎 = 20 °𝐶 𝑒𝑡 𝐷𝑃𝑉𝑆 = 14 𝑚𝑏𝑎𝑟𝑠

Dans le cas où la résistance de surface est de 75 s m^-1, le tableau ci-après décompose le calcul de l’ETR (on suppose le flux de chaleur dans le sol négligeable).

Tableau 4.2 : Comparaison de termes du bilan d'énergie d'une prairie et d'une forêt

Dans le cas de la prairie, le terme rayonnement représente 73 % de l’ETR. Cette proportion importante a conduit de nombreux auteurs à proposer une procédure simplifiée de calcul de l’ETR basée sur la mesure du rayonnement net. Katerji (1982) observe que d’après les données de la littérature et ses observations personnelles :

𝐿 . 𝐸𝑇𝑅 = 𝐶 . 𝑅_𝑛 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐶 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 0,7 à 0,9

Dans le cas de la forêt, le terme rayonnement ne représente plus ici que 12 % de l’ETR.

Le rapport rs/ra étant grand nous pouvons utiliser une forme simplifiée de l’équation (4.15) :

𝐿 . 𝐸𝑇𝑅 =𝜌 𝐶_𝑝 𝐷𝑃𝑉𝑆 𝛾 𝑟_𝑠

C’est la seule application dans laquelle on peut estimer l’ETR avec une réelle chance de succès sans utiliser explicitement le rayonnement net.

ra

(s m^-1) rs (s m^-1)

Terme rayonnement

(W m^-2)

Flux de chaleur latente ETR

(W m^-2)

Prairie 79 75 211,9 290,4

Forêt 6 75 37,1 310,1

Si l’on double la résistance de surface (rs = 150 s m^-1) on obtient de nouvelles valeurs du flux de chaleur latente (tableau 4.3).

Tableau 4.3 : Effets d'un changement de résistance de surface sur le bilan d'énergie et sur l'évapotranspiration réelle d'une prairie et d'une forêt.

ra (s m^-1)

rs (s m^-1)

Terme rayonnement

(W m^-2)

Terme advectif (W m^-2)

Flux de chaleur latente L.ETR

(W m^-2)

Prairie 79 150 172,5 63,9 236,4

Forêt 6 150 31,2 152,0 183,2

L’ETR de la prairie n’a baissé que de 19 %, celle de la forêt de 41 %.

L’évapotranspiration réelle d’une formation végétale haute ayant donc une faible résistance aérodynamique est beaucoup plus sensible aux modifications de l’ouverture des stomates que l’ETR d’une formation basse. Cette faible sensibilité des formations basses s’explique par un double mécanisme. D’une part, le flux de chaleur sensible, induit par la diminution du flux de chaleur latente, est provoqué, compte tenu de la forte résistance aérodynamique, par un gradient élevé de température et donc une température de surface forte. Cette augmentation de la température de surface provoque corrélativement une augmentation de la pression de vapeur saturante à la surface et donc du gradient maintenant ainsi le flux de chaleur latente.

Pour les formations végétales hautes, la réduction de l’ETR n’induit qu’une petite modification de Ts et du gradient de pression de vapeur. L’arbre peut réduire sa transpiration sans subir d’augmentation importante de sa température de surface.

4.3.3 Un schéma global pour décrire les transferts d’eau dans le système sol-plante- atmosphère

Ce schéma est obtenu par le couplage du modèle d’extraction racinaire et du modèle rendant compte de l’évapotranspiration réelle du couvert végétal.

On aura, d’une part, en mettant les résistances Rs et Rp en série :

𝐸𝑇𝑅 =𝐻_𝑠 − 𝐻_𝑟

𝑅_𝑠 =𝐻_𝑟− 𝐻_𝑓

𝑅_𝑝 =𝐻_𝑠− 𝐻_𝑓 𝑅_𝑠 + 𝑅_𝑝

et d’autre part, l’équation (4.15) qui donne l’ETR en fonction de la résistance de surface, résistance de surface, elle même fonction de potentiel hydrique foliaire :

𝐸𝑇𝑅 = 𝑓(𝐻_𝑓)

Le couvert végétal ajuste, à chaque pas de temps, son potentiel foliaire de manière à égaler son évapotranspiration et son extraction racinaire.

Nous avons représenté (figure 4.7) le cas d’un couvert végétal poussant sur un sol argilo-limoneux dont les caractéristiques hydrodynamiques sont empruntées à Campbell (1974). La résistance de la plante Rp et le paramètre b/zr de la résistance rhizosphérique sont pris respectivement égaux à 10000 jours et 3 mm en accord avec les données de la littérature.

La relation donnant l’évapotranspiration réelle en fonction du potentiel foliaire est, dans cet exemple, simplifiée. L’évapotranspiration réelle est maximale (ETR = ETP) pour un potentiel

n’atteignant pas -10.10³ cm H2O. Au-delà de -10.10³ cm H2O, l’évapotranspiration est réduite linéairement pour s’annuler à -20.10³ cm H2O

Pour un potentiel hydrique de sol de -10.10³ cm H2O, la résistance totale (sol+plante) reste voisine de 10000 jours. L’intersection de la droite d’extraction racinaire de pente ¹

𝑅_𝑠+𝑅_𝑝-, avec la courbe qui donne l’évapotranspiration réelle en fonction du potentiel hydrique foliaire, matérialise le point de fonctionnement du système. Pour des ETP de respectivement 5 et 10 mm j^-1, les potentiels foliaires sont voisins de -6 et -10,2 10³ cm H2O et les ETR correspondantes de 5 et 9,75 mm j^-1. Lorsque le sol se dessèche jusqu’à un potentiel de -5.10³ cm H2O, la résistance totale est de 10810 jours les potentiels foliaires de fonctionnement sont de -10,25 et -12,75 cm H2O et les ETR de 1,85 et 7,20 mm j^-1. Pour un sol très sec (Hs= - 15.10³ cm H2O), la résistance rhizosphérique atteint une valeur voisine de celle de la plante, respectivement 10597 et 10000 jours, les potentiels de fonctionnement sont de -17,5 et -18,5 cm H2O. Si nous reportons ces quelques points sous la forme d’un diagramme donnant le rapport ETR/ETP en fonction de la teneur volumique en eau du sol, nous obtenons une représentation conforme aux observations de la littérature. Le rapport ETR/ETP ne dépend pas d’une manière biunivoque de la teneur en eau du sol (ou de la disponibilité en eau), ce rapport dépend aussi fortement de la demande climatique caractérisée ici par l’évapotranspiration potentielle.

4.4 L’évapotranspiration réelle à l’échelle du bassin versant

Nous venons de voir que l’ETR dépend de paramètres microclimatiques, de paramètres caractérisant l’hydrodynamique du sol et d’autres caractérisant la couverture végétale. La spatialisation d’un modèle ponctuel, tel que celui du paragraphe précédent, va se heurter à trois sources de variabilité spatiale et rendre très malaisée la tâche de l’hydrologue qui souhaite intégrer ces sources de variabilité dans un modèle hydrologique. Avant d’aborder ce problème, il existe un cas pour lequel la solution est assez simple. Ce cas correspond à l’estimation de l’ETR à l’échelle du mois ou de l’année.

4.4.1 Estimation de l’ETR à l’échelle mensuelle ou annuelle

Si nous utilisons l’équation du bilan d’énergie (équation 4.1) sur un pas de temps qui permet de négliger les phénomènes d’accumulation et de restitution de chaleur dans le sol, on aura (équation 4.2)

𝑅_𝑛 = 𝐸𝑇𝑅 + 𝐻

L’évapotranspiration réelle ETR du couvert végétal exprime la quantité d’eau effectivement évaporée et transpirée. Par contre, l’évapotranspiration potentielle ETP, nous l’avons vu, est un concept de nature essentiellement théorique, elle correspond à la demande en eau exercée par le climat. Ces remarques impliquent une relation de dépendance d’ETR vis-à-vis d’ETP, la première se rapproche plus ou moins de la limite fixée par la seconde suivant la disponibilité en eau. L’originalité des travaux de Bouchet (1963) est de considérer qu’une contre-réaction existe et que les variations d’ETR, consécutives aux variations de disponibilité en eau, sont susceptibles d’influencer l’ETP. Désignons par ETP0 la valeur de l’évapotranspiration potentielle lorsque ETR égale ETP.

𝐸𝑇𝑅 = 𝐸𝑇𝑃 = 𝐸𝑇𝑃₀

Si, indépendamment des phénomènes énergétiques, ETR diminue lors d’une période de sécheresse, cette diminution libère une énergie Q1 telle que :

𝐸𝑇𝑃₀ = 𝐸𝑇𝑅 = 𝑄₁

Les seules modifications importantes de l’équilibre à l’intérieur du système porteront sur la température et sur la turbulence; elles entraîneront une modification d’ETP. Dans le cas où cette transformation ne modifie pas les échanges avec l’extérieur, l’énergie Q1, rendue disponible, devra correspondre à un accroissement d’ETP.

𝐸𝑇𝑃 = 𝐸𝑇𝑃₀+ 𝑄₁ 𝐸𝑇𝑅 + 𝐸𝑇𝑃 = 2 𝐸𝑇𝑃₀

En fait, il n’y a pas symétrie entre ETR et ETP par rapport à ETP0. La transformation n’a lieu sans modification des échanges avec l’extérieur et l’égalité se transforme en inégalité.

𝐸𝑇𝑅 + 𝐸𝑇𝑃 < 𝐸𝑇𝑃₀

Cependant, cette inéquation se rapproche d’une égalité stricte lorsque les échelles de temps et d’espace sont suffisamment grandes. Après évaluation des composantes du bilan d’énergie, Bouchet arrive, en première approximation, à l’expression suivante :

2 𝐸𝑇𝑃₀ = 𝐸𝑇𝑅 + 𝐸𝑇𝑃 = (1 − 𝑎)𝑅_𝑔

Fortin et Séguin (1975) ainsi que Morton (1969 ; 1971) montrent la validité de cette relation pour des pas de temps supérieurs ou égaux au mois. A la suite de ces travaux, Seguin (1975) puis Brunet (1981) proposent une méthode d’estimation de l’ETR, valable à l’échelle du jour ou de la décade, basée sur une estimation locale de l’ETP et sur une estimation de l’évapotranspiration potentielle limite régionale ETP0. Najjar (1982) utilise cette méthode pour calculer l’ETR en tout point d’un bassin versant de moyenne montagne. Avant de clore ce paragraphe, il convient de ne pas omettre les relations empiriques dans lesquelles interviennent des termes du bilan hydrologique d’un bassin versant. Shachori et Michaeli (1965), à partir de la compilation de 157 études localisées en zone tempérée, recherchent une liaison statistique entre l’écoulement annuel Q et le module annuel de précipitation P. Lorsque ce dernier est compris entre 400 et 1400 mm, ils obtiennent les deux relations linéaires suivantes :

Q = 0,805 (P - 398) Q = 0,920 (P – 291)

La première équation concerne les forêts et les formations végétales arbustives, la seconde les formations herbacées et les sols nus, pour sa part, Rambal (1981b) obtient de l’étude du bilan hydrique d’une formation arbustive méditerrannéenne,

Q = 0,907 (P - 578)

Dans le cas où le ruissellement de surface est négligeable (P = ETR + Q), ces relations donnent une estimation de l’ETR annuelle.