Chapitre III : Section plane de surface

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Chapitre III : Section plane de surface

I- Cylindres et cônes

L'espace C est muni d'un repèreO ;i ,j ,k dans lequel un point M est repéré par son abscisse x, son ordonnée y et sa côte z.

1. Cylindres :

Définition 1 : Soit C le cercle du plan d'équation z=0 , de centre 0 et de rayon R. La surface constituée des droites parallèles à l'axe O ;k et passant par un point de C est appelé cylindre illimité d'axe (O z) et de rayon R. Chacune des droites parallèles à l'axe O ;k est appelée une directrice du cylindre.

Théorème 1 : Le cylindre illimité d'axe (O z)  et de rayon R est l'ensemble des points M(x, y, z) tel que : x²y²=R² (équation cartésienne de )

Démonstration :

Intersection avec les plans parallèles au plans du repère : Soit  le cylindre illimité d'axe (O z) et de rayon R

Théorème 2 : Soit P un plan parallèle au plan O ;i ,k (équation y=b) ou au plan O ;j ,k (équation x=a), alors l'intersection de P et de  est soit l'ensemble vide, soit une droite parallèle à l'axe (O z), soit la réunion de deux droites parallèles à l'axe (O z).

Démonstration :

Théorème 3 : Soit P un plan parallèle au plan O ;i ,j (équation z=c), alors l'intersection de P et de  est le cercle de centre 0, 0,cet de rayon R.

Démonstration :

2. Cônes :

Définition 2 : Soit I un point de l'axe (O z) et C le cercle de centre I et de rayon R. La surface constituée des droites passant par O et un point de C est appelé cône illimité d'axe (O z), de sommet O et de cercle directeur C. Chacune des droites est appelée une directrice du cône.

Théorème 4 : Le cône illimité  d'axe (O z) de sommet O de cercle directeur C de centre I0,0, h et de rayon R est l'ensemble des points M(x, y, z) tel que : x²y²=m²z² où m=R

h (équation cartésienne de )

Démonstration :

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Intersection avec les plans parallèles au plans du repère : Soit  un cône illimité d'axe (O z) de sommet O

Théorème 5 : Soit P un plan parallèle au plan O ;i ,k (équation y=b) ou au plan O ;j ,k (équation x=a), alors l'intersection de P et de  est soit la réunion de deux droites sia=0 ou

b=0, soit une hyperbole si a≠0 ou b≠0. Démonstration :

Théorème 6 : Soit P un plan parallèle au plan O ;i ,j (équation z=c), alors l'intersection de P et de  est soit un cercle de centre 0, 0,c si c≠0, soit le point O si c=0 .

Démonstration : II- Paraboloïde :

1. Paraboloïde elliptique :

Définition 3 : Soit  un réel non nul, l'ensemble des points M(x, y, z) de l'espace tel que :

x²y²=z est une surface appelée paraboloïde elliptique de sommet O, de paramètre  et d'axe (O z).

Théorème 7 :

a. Le paraboloïde elliptique est symétrique par rapport à son axe.

b. Les surfaces obtenues pour des valeurs de  opposées sont symétriques par rapport à O.

Remarque : Si =0 alors x²y²=z⇔x=y=0 . On obtient alors l'axe (O z).

Intersection avec les plans parallèles au plans du repère :

Soit

Ρ

un paraboloïde elliptique de sommet O, de paramètre  et d'axe (O z).

Théorème 8 : Soit P un plan parallèle au plan O ;i ,j (équation z=c) a. Si c0 , alors l'intersection de P et de

Ρ

est vide.

b. Si c=0 , alors l'intersection de P et de

Ρ

est le point O et dans ce cas le plan P est tangent au paraboloïde elliptique

c. Si c0 , alors l'intersection de P et de

Ρ

est un cercle de centre 0,0, c et de rayon



^^c^.

Démonstration :

Théorème 9 : Soit P un plan parallèle au plan O ;i ,k (équation y=b) ou au plan O ;j ,k (équation x=a), alors l'intersection de P et de

Ρ

est une parabole d'axe k .

Démonstration :

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2. Paraboloïde hyperbolique :

Définition 4 : Soit  un réel non nul, l'ensemble des points M(x, y, z) de l'espace tel que : xy=z est une surface appelée paraboloïde hyperbolique.

Remarque : Si =0 alors xy=z⇔x=0 ou y=0 . On obtient alors la réunion des plans

O ;j ,k et O ;i ,k.

Théorème 10 : Le paraboloïde hyperbolique est symétrique par rapport aux axes du repère.

Intersection avec les plans parallèles au plans du repère : Soit

Ρ

un paraboloïde hyperbolique.

Théorème 11 : Soit P un plan parallèle au plan O ;i ,j (équation z=c)

a. Si c=0, alors l'intersection de P et de

Ρ

est la réunion des deux axes O ;i et O ;j. b. Si c≠0, alors l'intersection de P et de

Ρ

est une hyperbole équilatère (c'est à dire dont les axes sont perpendiculaires).

Démonstration :

Théorème 12 : Soit P un plan parallèle au plan O ;i ,k (équation y=b) ou au plan O ;j ,k (équation x=a), alors l'intersection de P et de

Ρ

est une droite.

Démonstration :