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Polyn ˆo mesirr ´e ductibles `a uneindetermin ´e e.Corpsderupture.Exemplesetapplications

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Academic year: 2022

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(1)

Polynˆ omes irr´eductibles ` a une indetermin´ee.

Corps de rupture. Exemples et applications

1 Irr´ eductibilit´ e

– D´efinition dans un anneau factoriel, division euclidienne, irr´eductibilit´e des polynˆomes cyclotomiques [4]

– Liens entre irr´educltible surA[X] et sur Frac(A)[X], lemme de Gauss [4]

[3, 4]

2 Adjonction de racines

– Corps de rupture, corps de d´ecomposition, corps alg`ebriquement clos, clo- ture alg`ebrique. [3]

– Irr´eductibilit´e dans les extension, lien avec les racines du polynˆomes d´eri- v´ee [4, 3]

– Anneau des entiers alg`ebriques, corps quadratiques [5]

3 Cas des corps finis

– D´efinitino, comptage, clˆoture alg`ebrique [3], [2]

– Algorithme de Berlekamp [1]

R´ ef´ erences

[1] M. Demazure. Cours d’alg`ebre : Primalit´e. Divsibilit´ee. Codes. Cassini, 1997.

[2] Nicolas Francinou, Gianella. Oraux X-ENS : alg`ebre I. Cassini, 2001.

[3] I. Gozard. Th´eorie de Galois. Ellipses, 1997.

[4] D. Perrin. Cours d’alg`ebre. Ellipses, 1996.

[5] P. Samuel. Th´eorie alg`ebrique des nombres. Hermann, 1997.

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