A lg`ebre C ommutative

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A _lg`ebre C _ommutative

R. Taillefer 7 novembre 2012

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Table des mati`eres

I Ensembles ordonn´es et lemme de Zorn 1

A Lemme de Zorn . . . 1

B Applications . . . 1

II Rappels et compl´ements sur les anneaux 3 A Id´eaux premiers et maximaux. . . 3

B Nilradical, radical de Jacobson. . . 4

C Arithm´etique. . . 5

C.1 Divisibilit´e. . . 5

C.2 Anneaux factoriels . . . 6

III Modules 11 A Modules . . . 11

B Sous-modules . . . 12

B.1 Somme directe desous-modules . . . 12

C Modules quotient . . . 13

D Morphismes . . . 14

D.1 Généralités . . . 14

D.2 Th´eor`emes d’isomorphisme . . . 15

D.3 Produit direct, somme directe demodules . . . 16

D.4 Suites exactes . . . 18

E Modules libres . . . 21

E.1 Modules libres et bases . . . 21

F Annulateurs et torsion . . . 24

G Restriction des scalaires . . . 25

H Alg`ebres . . . 26

IV Anneaux de polyn ˆomes 29 A Anneaux de polyn ˆomes . . . 29

B Fonctions polynomiales. . . 32

C Arithm´etique dans les anneaux de polyn ˆomes . . . 33

C.1 Th´eor`emes de transfert. . . 33

C.2 Tests d’irr´eductibilit´e. . . 36

V Anneaux et modules nœth´eriens 37 A Modules nœth´eriens . . . 37

B Anneaux nœth´eriens . . . 38

VI Modules sur les anneaux principaux 41 A Matrices ´equivalentes . . . 41

B Modules de type fini sur un anneau principal . . . 43

B.1 Sous-modules d’un module libre de type fini . . . 43

B.2 Structure des modules de type fini . . . 44

C Application `a la r´eduction d’un endomorphisme d’un espace vectoriel . . . 47

C.1 Facteurs invariants . . . 47

C.2 Calcul des facteurs invariants . . . 49

C.3 Forme de Jordan . . . 50

VII Localisation 53 A Anneaux de fractions . . . 53

B Modules de fractions . . . 54

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I Ensembles ordonn´es et lemme de Zorn

Nous aurons besoin de ce lemme pour faire certaines démonstrations o ù une récurrence est impossible (si l’ensemble d’indices n’est pas dénombrable). Il est équivalent à l’axiome du choix (indépendant des autres axiomes, Cohen 1963).

Axiome du choix.Un produit d’une famille non vide d’ensembles non vides est non vide.

Autrement dit, si(A_i)_i_∈_I est une famille non vide d’ensembles non vides, on peut choisirx_i ∈ A_i pour touti∈ I.

Nous nous contenterons d’énoncer le lemme de Zorn, et admettrons qu’il est équivalent à l’axiome du choix.

A Lemme de Zorn

Définition A.1. Soit E un ensemble. Unordre surE est une relation binaire4, réflexive, antisymétrique et transitive, c’est-à-dire telle que :

F ∀x∈ E, x4^{x ;}

F ∀x,y∈E, si x4^{y et y}4^{x, alors x}= y ; F ∀x,y,z∈ E, si x4^{y et y}4^{z alors x}4^z.

On dit alors que l’ensemble(E,4)est unensemble ordonn´e.

Remarque A.2. Il est clair que, siFest un sous-ensemble de l’ensembleEet si4est un ordre surE, alors4induit un ordre surF.

Définition A.3. Si(E,4)est un ensemble ordonné et si, pour tous x,y∈E, on a x4^{y ou y}4x, on dit que 4^{est un}ordre totalou que(E,4)est unensemble totalement ordonné.

D´efinition A.4. Soit(E,4)un ensemble ordonn´e.

F Unélément maximalde(E,4)est un élément x∈ E tel que, pour tout y∈ E, si x4^{y, alors x}=y.

F Soit F un sous ensemble de E. Unmajorant de F dansE est un ´el´ement m de E tel que pour tout x ∈F, x 4^m.

F On dit que(E,4)est unensemble inductifsi tout sous-ensemble non-vide F de E tel que(F,4)soit totalement ordonn´e admet un majorant dans E.

Lemme A.5(Lemme de Zorn). Soit(E,4)un ensemble ordonné, inductif et non vide. Alors il existe un élément maximal dansE.

D´emonstration. (admis) A.5

B Applications

Th´eor`eme B.1. SoitKun corps. Tout espace vectoriel non nul surKa une base.

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D´emonstration. Soit Eun espace vectoriel sur K. SoitS l’ensemble des parties libres de Emuni de l’ordre fourni par l’inclusion. CommeE6={0}, on aS 6=∅^.

S muni de cet ordre est inductif : soit (S_i)_i_∈_I une partie totalement ordonnée de S. Alors∪_i_∈_IS_i est libre. En effet, soit∑j∈Jλ_jx_j = 0 une relation de dépendance avec J une partie finie de I,x_j ∈ S_j etλ_j ∈ _{K. Puisque}J est fini et(S_i)_i_∈_I est totalement ordonné, on peut choisiri₀ ∈ Jtel que S_j ⊂ S_i₀ pour toutj∈ J. Alorsx_j ∈S_i₀ pour toutj∈ J. OrS_i₀ est libre, doncλ_j =0 pour toutj∈ J.

D’après le lemme de Zorn, il existe une partie libre maximale dansS, notons-laB. Il reste à montrer queBest un système générateur : sinon, il existey ∈ Etel que{y} ∪Best libre, ce qui contredit

la maximalit´e deB. B.1

Théorème B.2(Théorème de Krull). SoitAun anneau commutatif unitaire. Alors tout idéal de A distinct deAest contenu dans un idéal maximal.

D´emonstration. Nous la donnerons dans le chapitre suivant. B.2

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II Rappels et compl´ements sur les anneaux

Dans toute la suite du cours, anneau signifie anneau commutatif unitaire, sauf mention expresse du contraire.

A Id´eaux premiers et maximaux.

D´efinition A.1. Soient A un anneau et I un id´eal de A.

(1) L’id´eal I est dit premiers’il est distinct de A et v´erifie la condition suivante : pour tous a,b ∈ A, ab ∈ I =⇒a∈ I ou b∈ I.

(2) L’idéal I est ditmaximals’il est distinct de A et vérifie la condition suivante : pour tout idéal J de A, I ⊂ J ⊂ A=⇒ J = I ou J= A.

Remarque A.2. Soient Aun anneau etE l’ensemble de tous les idéaux deAdistincts deA. L’inclusion définit une relation d’ordre surE et on note(E,⊂)l’ensemble ordonné ainsi obtenu. Alors,I est un idéal maximal deAsi et seulement siIest un élément maximal de(E,⊂).

On peut caractériser la primalité ou la maximalité de l’idéal Id’un anneauA à l’aide de l’anneau quotientA/I.

Proposition A.3. SoientAun anneau etIun id´eal deA.

(1) L’id´ealI est premier si et seulement si l’anneauA/Iest int`egre.

(2) L’id´ealI est maximal si et seulement si l’anneauA/Iest un corps.

D´emonstration. Exercice. A.3

Remarque A.4. F Il est clair d’apr`es la propositionA.3que tout id´eal maximal est premier.

F Par contre, il est facile de montrer que{0}est un id´eal premier et non maximal de l’anneau Z. (En effet,Z/{0} ∼=_Zest int`egre mais n’est pas un corps).

Remarque A.5. SoientAun anneau,I un idéal deAetπ : A −→ A/I la projection canonique. On noteI_A/I l’ensemble de tous les idéaux deA/I etIA,I l’ensemble de tous les idéaux deAcontenant I.

(1) On sait alors que les applications

I_A,I −→^α I_A/I et I_A/I −→^β I_A,I K 7→ π(K) K 7→ π⁻¹(K)

sont des bijections réciproques l’une de l’autre et qu’elles établissent donc une correspondance bijective entre idéaux deA/Iet idéaux deAcontenantI.

(2) De plus, le troisième théorème d’isomorphisme précise que pour tout idéalKde Acontenant I, on a un isomorphisme d’anneaux

A/K ∼= (A/I)/π(K).

Ainsi, d’après la propositionA.3, pour tout idéalKde Acontenant I,Kest premier (resp. maximal) dans A si et seulement si π(K) est premier (resp. maximal) dans A/I. On en déduit que

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la correspondance bijective entre idéaux de A/I et idéaux de A contenant I induit une correspondance bijective entre idéaux premiers (resp. maximaux) de A/I et idéaux premiers (resp.

maximaux) de AcontenantI.

Il est clair par définition que l’anneau nul ne contient pas d’idéaux premiers (et donc pas d’idéaux maximaux). La première question légitime est alors la suivante : étant donné un anneau non nul A, existe-t-il toujours des idéaux premiers, des idéaux maximaux, dans A? La réponse est donnée par lethéorème de Krull.

Théorème A.6(Théorème de Krull). SoitAun anneau unitaire. Alors tout idéal de Adistinct deA est contenu dans un idéal maximal.

Démonstration. SoitIun idéal de Adistinct deA. SoitS l’ensemble des idéaux deAqui contiennent I et qui sont distincts de A, ordonné par l’inclusion. Puisque I ∈ S, cet ensemble est non vide. De plus, S muni de cet ordre est inductif : soit (I_j)_j_∈_J une famille totalement ordonnée d’idéaux qui contiennent Iet qui sont distincts deA. Alors∪_j_∈_JI_j est encore un idéal distinct deAet contenantI. En effet, 1 6∈ ∪_j_∈_JI_j donc∪_j_∈_JI_j 6= A. Il est clair que I ⊂ ∪_j_∈_JI_j. De plus, si xet ysont dans∪_j_∈_JI_j, il existe j₀ tel que x et y soient dans I_j₀ (puisque la famille des I_j est totalement ordonnée). Alors x+y∈ I_j₀ ⊂ ∪_j_∈_JI_jetax∈ I_j₀ ⊂ ∪_j_∈_JI_j pour touta∈ A, donc c’est bien un idéal.

D’après le lemme de Zorn, S contient un élément maximal. C’est un idéal maximal de Aconte-

nantI. A.6

B Nilradical, radical de Jacobson.

Définition B.1. Soit A un anneau. Un élément x ∈ A est ditnilpotents’il existe n ∈ _N^∗ tel que xⁿ = 0.

L’ensemble de tous les éléments nilpotents, notéN(A), est appelé le nilradical de A.

Proposition B.2. SoitAun anneau ; le nilradical deAest un id´eal.

Démonstration. Il est clair queN(A)contient 0, qu’il est stable par passage à l’opposé (ie.six ∈ N(A), alors−x∈ N(A)) et qu’il est stable par multiplication par les éléments deA(ie.sia∈ Aetx ∈ N(A)_, alors ax ∈ N(A)). Par ailleurs, soient x,y ∈ N(A); il existe m,n ∈ _N^∗ tels que xⁿ = 0 = y^m. La formule du bin ôme donne alors

(x+y)^m⁺ⁿ⁻¹=

m+n−1

∑

i=0

m+n−1 i

xⁱy^m⁺ⁿ⁻¹⁻ⁱ.

Mais, pour 0 6 ⁱ 6 ^m+n−1, on a soit i > ⁿ ^{et donc} ^xⁱ = 0, soit m+n−1−i > ^m ^{et donc} y^m⁺ⁿ⁻¹⁻ⁱ =0. Donc(x+y)^m⁺ⁿ⁻¹ =0. Ainsi,N(A)est stable par somme. B.2

Le th´eor`eme suivant explique l’importance du nilradical d’un anneau.

Théorème B.3. Soit Aun anneau non nul. Le nilradical de Aest l’intersection de tous les idéaux premiers deA.

Démonstration. On note I l’intersection de tous les idéaux premiers de A. Soit x ∈ N(A). Il existe n ∈ _N^∗ tel que xⁿ = 0. Par suite, pour tout idéal premier P de A, xⁿ ∈ P et donc x ∈ P. Ainsi, N(A) ⊂ I. L’inclusion réciproque est plus délicate ; elle utilise le lemme de Zorn. Soitxun élément non nilpotent deA. On noteE l’ensemble des idéauxJdeAtels que,∀n∈_N^∗,xⁿ∈/ J. L’ensembleE est non vide puisque,xn’étant pas nilpotent,{0} ∈ E. On montre facilement que l’ensembleEmuni de l’ordre donné par l’inclusion est inductif. Par le lemme de Zorn,(E,⊂)possède donc un élément maximal ; on le noteP. En fait, l’idéalPest premier. En effet, P 6= Apuisquex ∈/ P. De plus, soient y,z ∈ A\P. Les idéaux P+ (y)et P+ (z)ne sont pas dans E puisque P est maximal pour(E,⊂). Ainsi, il existen,m ∈ _N^∗ tels quexⁿ ∈ P+ (y)et x^m ∈ P+ (z). Il s’ensuit facilement que xⁿ⁺^m ∈

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(P+ (y))(P+ (z)) = P+ (yz). Donc,P+ (yz)∈ E/ , et par suiteyz∈/P. Ceci montre que l’idéalPest premier. Ainsi, il existe un idéal premier qui ne contient pasx. On a montré que le complémentaire dansAdeN(A)est inclus dans le complémentaire deI, c’est-à-dire queI ⊂ N(A). B.3

On d´efinit maintenant le radical de Jacobson d’un anneau.

Définition B.4. Soit A un anneau. Leradical de Jacobsonde A, notéJ(A), est l’intersection des idéaux maximaux de A.

Le radical de Jacobson peut être caractérisé de la façon suivante.

Proposition B.5. Soient Aun anneau etx ∈ A. Alors,xest dans le radical de Jacobson de Asi et seulement si, pour toutydeA, 1−xyest un ´el´ement inversible de A.

Démonstration. (⇐=) Supposons qu’il existe un idéal maximal m de A tel que x ∈/ m et soit π : A−→A/mla projection canonique. Alorsπ(x)est un élément non nul du corpsA/met par suite il est inversible : il existey∈ Atel queπ(₁_A) =π(x)π(y), c’est-à-dire tel que 1−xy∈ m. On a montré qu’il existey∈ Atel que 1−xyne soit pas inversible dans A.

(=⇒)Supposons qu’il existey ∈ Atel que 1−xyne soit pas un élément inversible deA. Alors, d’après le théorème de KrullA.6, il existe un idéal maximalmdeAqui contient 1−xy. Comme 1 ne

peut ˆetre dansm, il s’ensuit quexn’est pas dansm. B.5

Remarque B.6. SoitAun anneau ; il est clair queN(A)⊂ J(A)_.

C Arithm´etique.

Dans cette partie, on étudie les propriétés arithmétiques des anneaux, c’est-à-dire les propriétés des anneaux liées à la divisibilité.

Dans tout cette partie, sauf mention expresse du contraire, A désigne un anneau (commutatif, unitaire) intègre (et donc non nul). On note alors A^×le groupe des éléments inversibles de A.

C.1 Divisibilit´e.

D´efinition C.1. Soient a,b∈ A.

(1) On dit que adiviseb, et on note a|b, s’il existe un ´el´ement c de A tel que b= ac.

(2) On dit que a et b sontassoci´essi a|b et b|a.

Remarque C.2. Soienta,b∈ A. Les points suivants sont clairs : (1) adivisebsi et seulement si(b)⊂(a);

(2) aetbsont associ´es si et seulement si(a) = (b);

(3) aetbsont associ´es si et seulement s’il existeu∈ A^×tel quea=ub.

D´efinition C.3. Soit p dans A. On dit que p estirr´eductibles’il satisfait aux conditions suivantes : (i) p∈/A^×;

(ii) p= ab avec a,b∈ A entraˆıne que a ou b est un ´el´ement inversible.

Remarque C.4. (1) Le produit d’un irréductible par un élément inversible est un irréductible.

(2) L’élément 0 n’est pas irréductible car 0=0.0. Ainsi, un corps n’a pas d’éléments irréductibles.

(3) SoitpdansA;pest irr´eductible si et seulement si :

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(i) p ∈/ A^×;

(ii) p 6= 0 et les seuls diviseurs de p sont les élément inversibles de A et les éléments de A associés à p.

(4) Soitp∈ A; si(p)est premier, alorspest irr´eductible.

Définition C.5. Soient I un ensemble non vide et(a_i)_i_∈_Iune famille d’éléments de A non tous nuls.

(1) On dit que a ∈ A est undiviseur (resp.multiple) communde(_a_i)_i_∈_I si, pour tout i ∈ I, a|a_i (resp.

a_i|a).

(2) On dit que d ∈ A est unplus grand commun diviseur(en abr´eg´e p.g.c.d.) de(a_i)_i_∈_I si c’est un divieur commun de(a_i)_i_∈_Iet si tout diviseur commun de(a_i)_i_∈_Idivise d.

(3) On dit que m∈ A est unplus petit commun multiple(en abr´eg´e p.p.c.m.) de(a_i)_i_∈_Isi c’est un multiple commun de(a_i)_i_∈_Iqui divise tout multiple commun de(a_i)_i_∈_I.

(4) On dit que les a_i, i∈ I sontpremiers entre euxsi1est un p.g.c.d. de(a_i)_i_∈_I.

Remarque C.6. Soit I un ensemble non vide et A = (a_i)_i_∈_I une famille d’éléments de Anon tous nuls. On montre facilement que sia ∈ Aest un p.g.c.d. (resp. p.p.c.m.) de A, un élémentbest un p.g.c.d. (resp. p.p.c.m.) deAsi et seulement si c’est un associé dea.

Remarque C.7. Soita ∈ A\ {0}; aet 0 sont premiers entre eux si et seulement sia est un ´el´ement inversible deA.

Proposition C.8. Soitaun élément irréductible deAetbun élément deA. Alors,aetbsont premiers entre eux si et seulement siane divise pasb.

D´emonstration. Exercice. C.8

C.2 Anneaux factoriels

Anneaux factoriels.

Définition C.9. (1) On dit que A satisfait la condition (E) si tout élément non nul et non inversible a ∈ A admet une décomposition en produit d’irréductibles, c’est-à-dire qu’il existe r ∈ _N^∗ et des éléments irréductibles p₁, . . . ,p_rtels que a= p₁. . .p_r.

(2) On dit que A satisfait la condition (U) si pour tout élément non nul et non inversible de A, une décom- position en produit d’irréductibles (si elle existe) est essentiellement unique, c’est-à-dire que, si a = p₁. . .pr = q₁. . .qs o ù r,s ∈ _N^∗ et p₁, . . . ,pr,q₁, . . . ,qs sont des éléments irréductibles de A alors r =s et, il existeσ ∈S_rtel que, pour16ⁱ6^{r, p}i et q_σ₍_i₎soient associés.

(3) On dit que A estfactoriels’il satisfait les conditions (E) et (U) (et s’il est int`egre).

Exemple C.10. Tout corps est un anneau factoriel.

Proposition C.11 (Existence de p.g.c.d. et de p.p.c.m. dans les anneaux factoriels). Supposons A factoriel. Sia₁, . . . ,a_r(r ∈_N^∗) sont des ´el´ements non nuls deA, alors ils admettent un p.g.c.d. et un p.p.c.m.

Démonstration. Exercice (en utilisant les décompositions en facteurs irréductibles desa_i). C.11

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Théorème C.12. SoitAun anneau intègre satisfaisant la condition (E). Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

(a) Asatisfait la condition (U).

(b) Pour tout triplet(a,b,c)d’´el´ements deAtel queaoubest non nul, siaetbsont premiers entre eux et sia|bc, alorsa|c(condition de Gauss).

(c) Pour tout triplet(a,b,c)d’éléments deA, sia est irréductible et divisebc, alorsadiviseboua divisec(condition d’Euclide).

(d) Pour pdansA,(p)est premier si et seulement sipest irr´eductible (condition de primalit´e).

Démonstration. (a)⇒(b) Soienta etbpremiers entre eux divisant bc. Si un des éléments parmi a, b et cest nul, alors le résultat est clair (voir la remarque C.7). Si l’un d’eux est inversible, le résultat est clair. Sinon, puisque A est factoriel, on peut décomposer a, b et c de manière essentiellement unique. Notons a = u∏ⁿi=1p^α_iⁱ, b = v∏ⁿi=1p_i^βⁱ et c = w∏ⁿi=1p^γ_iⁱ avec les p_i irréductibles etu,v,winversibles (on choisit les mêmes p_i quitte à avoir des exposants nuls et

à multiplier par des éléments inversibles). Alors, puisque aet bsont premiers entre eux, on a α_iβ_i = 0 pour touti. Puisqueadivisebcon aα_i 6 ^βi+γ_i pour touti. On en déduit facilement queα_i 6^γipour toutiet donc queadivisec.

(b)⇒(c) Soitaun irréductible divisantbc. Siane divise pasb, alors d’après la propositionC.8a etbsont premiers entre eux, donc d’après la condition de Gaussadivisec.

(c)⇒_(d) C’est clair.

(d)⇒(a) Soit a ∈ A et supposons quea = p₁. . .pm = q₁. . .qn avec m 6 n. On raisonne par r´ecurrence surm.

F Sim=1, on aa = p₁ =q₁. . .qn. Doncq₁| p₁,p₁est irr´eductible etq₁ 6∈A^×, doncq₁=up₁ avecu∈ A^×. Doncuq₂. . .q_n∈ A^×et doncn=1.

F Supposons que le résultat soit vrai jusqu’au rangm−1 et montrons-le au rang m. On a p₁(p2, . . . ,pm) = q₁. . .qn. Puisque p₁ est irréductible, (p₁) est premier d’après (d), et il diviseq₁. . .q_n, donc il existeitel quep₁ | q_i : on a q_i = u₁p₁avecu₁ ∈ A. Puisqueq_i est irréductible,u₁ ∈ A^×.

On a donc p₁(p₂. . .pm) = u₁p₁(q₁. . .q_i−1q_i+1. . .qn), donc p₂. . .pm = u₁q₁. . .q_i−1q_i+1. . .q_n et par hypoth`ese de r´ecurrence on am−1 = n−1, doncm= n, et on au_j ∈ A^×pour toutj=2 . . .metτ∈S_m₋₁tels quep_j =u_jq_τ₍_j₎pour toutj=2, . . . ,m.

On conclut en d´efinissantσ∈ S_m parσ(₁) =ietσ(j) =τ(j)_pourj=_{2, . . . ,}m. C.12

Exemples d’anneaux factoriels.

Dans cette sous-section, on ´etudie les anneaux principaux et les anneaux euclidiens. Ce sont des exemples d’anneaux factoriels.

On commence par l’étude des anneaux principaux. On rappelle que dans un anneau A quelconque (ie.non nécessairement intègre), un idéalI est ditprincipals’il existea∈ Atel que I = (a).

Définition C.13. L’anneau A est ditprincipals’il est intègre et si tout idéal de A est principal.

Lemme C.14. Soit A un anneau principal et soit I₀ ⊂ I₁ ⊂ . . . ⊂ I_n ⊂ . . .A une suite croissante d’id´eaux de A. Alors cette suite stationne, c’est-`a-dire qu’il existe N ∈ _Ntel que pour toutn > ^N on aitIn = _I_N_.

Démonstration. Posons I =∪_n_∈_NI_n. AlorsI est un idéal deA(exercice), donc comme Aest principal il existe a ∈ A tel que I = (_a)_{. Alors} _a ∈ ∪_n_∈_NIn, donc il existe N ∈ _N tel que a ∈ IN. Alors (a) ⊂ I_N ⊂ I = (a), donc I = I_N. De plus, pour tout n > ^{N, on a} ÎN ⊂ In ⊂ I = I_N donc

I_n = I_N. C.14

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Lemme C.15. SoitAun anneau principal. Alors la condition de primalité est vérifiée.

Démonstration. Soitaun élément irréductible deA. Nous devons montrer que(a)est premier. Puisque an’est pas inversible, on a(a)6= A. D’après le théorème de Krull, il existe un idéal maximalItel que (a) ⊂ I. Puisque Aest principal, on a I = (b)pour un b ∈ A. On a donc a = bcpour unc ∈ A.

Puisquea est irr´eductible etbnon inversible ((b) = I 6= A),aetbsont associ´es donc(a) = (b) = I

est maximal donc premier. C.15

Th´eor`eme C.16. Si Aest principal, il est factoriel.

D´emonstration. Si Aest un corps, il est factoriel (voir l’exempleC.10). Supposons donc que An’est pas un corps.

D’après le lemme C.15, la condition de primalité est satisfaite par A. Il suffit donc d’après le théorèmeC.12de montrer que tout élément non nul et non inversible deAest un produit d’éléments irréductibles.

SoitS l’ensemble des idéaux(a)engendrés par les élémentsanon nuls, non inversibles et n’ad- mettant pas de factorisation en produit d’éléments irréductibles. Supposons par l’absurde queS 6=

∅^.

Démontrons queSadmet un élément maximal. Si ce n’est pas le cas, soit(a₁)∈ S. Alors(a₁)n’est pas maximal dans S donc il existe(a2) ∈ S tel que (a₁) $ (a2). De même,(a2)n’est pas maximal donc il existe(a₃) ∈ S tel que (a₂) $ (a₃). En procédant ainsi, on construit une suite strictement croissante d’idéaux dansA, contredisant ainsi le lemmeC.14.

DoncS admet un élément maximal, notons-le(a0). En particulier, comme(a0) ∈ S, l’élément a0

n’est pas irréductible, donc on peut écrirea₀ = bcavecbetcnon nuls et non inversibles. On a alors (a₀)$(b)et(a₀)$ (c)donc par maximalité de(a₀)dansS, on a(b)6∈ Set(c)6∈ S. Par définition de S il existe donc des éléments irréductiblesp₁, . . . ,p_retq₁, . . . ,q_stels queb= p₁· · ·p_retc=q₁· · ·q_s. Mais alorsa₀= p₁· · ·prq₁· · ·qsce qui contredit le fait que(a₀)∈ S.

Finalement,S =∅et donc la propriété (E) est bien vérifiée. C.16

Remarque C.17. On supposeAprincipal.

(1) Si Aest un corps, son unique id´eal premier est{0}.

(2) Si An’est pas un corps, ses idéaux premiers sont{0}et les idéaux(p)o ùpest irréductible. Ses idéaux maximaux sont les idéaux(p)o ùpest irréductible.[En effet, tout idéal maximal est premier et{0}n’est pas maximal puisqu’il existe a∈ A non nul et non inversible et alors{0}$(a)$ ^{A ; enfin,} si p est irréductible, alors(p)est maximal : si (p) $ Î ⊂ A,on pose I = (a)puisque A est principal, donc a divise p et n’est pas associé à p, donc puisque p est irréductible a est inversible et donc I= A.]

Le théorèmeC.16a pour conséquence que toute famille finie d’éléments non tous nuls deAadmet un p.g.c.d. et un p.p.c.m. (voir propositionC.11) ; on peut les caractériser au moyen d’idéaux.

Proposition C.18. Supposons Aprincipal et soienta₁, . . . ,a_r (r ∈ _N^∗) des éléments non tous nuls deA. Un élément deAest p.g.c.d. (resp. p.p.c.m.) de{a₁, . . . ,a_r}si et seulement s’il engendre l’idéal a₁A+· · ·+arA= (a₁, . . . ,ar)(resp.a₁A∩ · · · ∩arA= (a₁)∩ · · · ∩(ar)).

D´emonstration. Exercice. C.18

Corollaire C.19. Supposons Aprincipal et soienta₁, . . . ,a_r(r ∈_N^∗) des éléments non tous nuls de A. Alors, les élémentsa₁, . . . ,a_rsont premiers entre eux si et seulement s’il existex₁, . . . ,x_r∈ Atels quea₁x₁+· · ·+arxr=1.

Démonstration. C’est une conséquence immédiate de la propositionC.18. C.19

On passe maintenant au cas des anneaux euclidiens. Ce sont des exemples d’anneaux principaux.

(13)

D´efinition C.20. L’anneau A est diteuclidiens’il est int`egre et s’il existe une applicationϕ : A\ {0} −→

Ntelle que, pour tout couple(a,b)d’éléments de A tel que b 6= 0, il existe un couple(q,r)d’éléments de A tel que a= bq+r et ou bien r =0, ou bienϕ(r)< ϕ(b).

Th´eor`eme C.21. Si Aest euclidien, il est principal.

D´emonstration. cf.TD. C.21

Exemple C.22. F L’anneauZest euclidien (consid´ererZ\ {0} −→_N,n7→ |n|).

F SiKest un corps, l’anneauK[X]est euclidien (consid´ererK[X]\ {0} −→_N,P7→degP).

F L’anneauZ[i] ={a+ib;a∈_Z,b∈_Z}des entiers de Gauss est un anneau euclidien (consid´erer Z[i]\ {0} →_N,a+ib7→ a²+b²).

Corollaire C.23. SoitAun anneau commutatif unitaire quelconque (ie.non n´ecessairement int`egre).

L’anneau A[X]est principal si et seulement siAest un corps.

Démonstration. D’après le théorèmeC.21et l’exempleC.22, siAest un corps, alorsA[X]est principal.

Réciproquement, supposons que A[X]est principal. AlorsAest intègre car c’est un sous-anneau deA[X]qui est principal donc intègre.

Considérons l’idéal(X)deA[X]. PuisqueA[X]/(X)∼= Aest intègre,(X)est premier, donc maximal puisqueA[X]est principal, et doncA∼= A[X]/(X)est un corps. C.23

(14)

(15)

III Modules

A Modules

Définition A.1. Soit A un anneau (commutatif, unitaire). Unmodule sur A ou A-moduleest la donnée d’un groupe abélien M muni d’une loi externe A×M → M

(a,m) 7→ am

(on parle d’actionde A sur M) v´erifiant, pour tout(a,b)∈ A×A et tout(x,y)∈ M×M,

(i) (a+b)x= ax+bx (ii) a(x+y) =ax+ay (iii) a(bx) = (ab)x

(iv) 1x =x.

Un module ressemble donc à un espace vectoriel, mais le corps de base est remplacé par un anneau. Les modules ne vérifieront pas toutes les mêmes propriétés qu’un espace vectoriel, puisque les scalaires ne sont pas inversibles.

Remarque A.2. Il n’est pas indispensable d’avoir un anneaucommutatif pour définir un module sur cet anneau. LorsqueAn’est pas commutatif, la définition ci-dessus est celle d’unA-module à gauche, et on peut définir de manière similaire unA-module à droite. Nous aurons rapidement besoin dans ce cours de supposer que A est commutatif, donc pour simplifier nous ne considérerons que des anneaux commutatifs.

Exemple A.3. (1) L’anneau A est un module sur lui-mˆeme (l’action de A sur A est donn´ee par la multiplication dans A).

(2) LesZ-modules sont précisément les groupes abéliens.

(3) Un idéal d’un anneau Aest un module surA(l’action de Asur l’idéal est donnée par la multiplication dansA).

(4) Si S est un ensemble et si M est un module sur un anneau A, notons M^S l’ensemble des applications de S dans M. Alors M^S est un module sur A, dont la loi interne est donn´ee par

M^S×M^S → M^S

(f,g) 7→ f+g= [s7→ f(s) +g(s)]

et dont la loi externe est donn´ee par

A×M^S → M^S

(a,f) 7→ a f = [s 7→a f(s)]

pour f ∈ M^S,g∈ M^Seta ∈ A.

Remarque A.4. SoitMun module sur un anneau A.

F a0=0 pour touta∈ A.[En effet, a0=a(0+0) =a0+a0donc a0= a0+ (−a0) =0].

F 0x=0 pour toutx ∈ M.[En effet,0x = (0+0)x=0x+0x etc.].

F (−a)x = −(ax)_{pour tout} a ∈ Aet toutx ∈ M.[En effet,(−a)x+ax = (−a+a)x = 0x = ₀ donc(−a)x =−(ax)].

(16)

B Sous-modules

D´efinition B.1. Soit M un A-module. Unsous-modulede M est un sous-groupe N de M qui est stable par la loi externe.

Proposition B.2. Une partie non videNd’unA-moduleMest un sous-module deMsi et seulement si

F pour tousx∈ N,y∈ Non ax−y ∈ N, et F pour tousa∈ A,x∈ Non aax∈ N.

D´emonstration. En exercice. B.2

Proposition B.3. Soit M un A-module, et soient N et N⁰ deux sous-modules de M. Alors N∩N⁰ est un sous-module deM. (Plus g´en´eralement, une intersection quelconque de sous-modules est un sous-module).

Exemple B.4. Soit M un A-module et soient I un id´eal de A et N un sous-module de M. Alors I N:=_∑_i^p₌₁a_iy_i;p∈_N^∗,a_i ∈ I,y_i ∈ N est un sous-A-module deM. (Exercice).

Définition B.5. Soit M un A-module et soit S une partie non vide de M. Une combinaison linéaire d’éléments de S est un élément de M qui s’écrit x = _∑_s_∈_Sa_ss o ù les a_s sont des éléments de A qui sont tous nuls sauf un nombre fini d’entre eux (donc la somme est finie).

On notehSi(ou AS) l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de S.

Définition-Proposition B.6. SoitMunA-module et soitSune partie non vide de M. AlorshSiest un sous-module deM; c’est l’intersection de tous les sous-modules deMcontenantS. Il est appelé sous-module deMengendré parS.

Définition B.7. Soit M un A-module et soient M_i,i ∈ I,des sous-modules de M. On appellesommedes sous-modules M_i et on note∑i∈IM_i le sous-module de M engendré par∪_i_∈_IM_i.C’est donc l’ensemble des sommes finies d’éléments de∪_i_∈_IM_i.

Définition B.8. Soit M un A-module. Unepartie génératricede M est une partie non vide S de M telle que M= hSi.On dit alors que SengendreM.

S’il existe une partie finie S de M qui engendre M,on dit que M est detype fini.

S’il existe une partie S de M à un élément qui engendre M,on dit que M estcyclique, oumonogène.

Remarque B.9. Tout module a une partie g´en´eratrice : il est clair queM=hMi. B.1 Somme directe desous-modules

Définition B.10. Soit M un A-module, soit N un sous-module de M et soient N₁, . . . ,N_pdes sous-modules de M. On dit que N est lasomme directe (on précise parfoisinterne) des sous-modules N₁, . . . ,Np, notée N=

n

M

i=1

N_i,si les deux conditions suivantes sont v´erifi´ees :

(17)

(i) N=_∑_i^p₌₁N_i

(ii) Pour tout j, 16^j6 ^p,^{on a N}j∩







∑

16i6p i6=j

N_i





 ={0}.

Remarque B.11. Dans le cas o `u p=2 on retrouve la d´efinition que vous connaissez bien.

Remarque B.12. Cette d´efinition n’est valable que pour dessous-modulesd’un module donn´e.

Proposition B.13. SoitMunA-module, soitNun sous-module deMet soientN₁, . . . ,N_pdes sous- modules deN. AlorsN =

n

M

i=1

N_i si et seulement si tout élément x ∈ Ns’écrit de manière unique sous la formex=_∑_i^p₌₁x_iavecx_i ∈ N_ipour touti.

D´emonstration. F Supposons que N =

n

M

i=1

N_i, et soitx ∈ N. Il est clair d’après la propriété(i) que l’on peut écrire x = _∑_i^p₌₁x_i avec x_i ∈ N_i pour tout i. Supposons que l’on puisse aussi

´ecrire x = _∑_i^p₌₁y_i avecy_i ∈ N_i pour touti. Fixons javec 1 6 ^j 6 ^{p. Alors} ^xj−y_j ∈ N_j. Mais x_j −y_j = _∑₁₆_i₆_p

i6=j

(y_i −x_i) ∈ _∑₁₆_i₆_p

i6=j

N_i. Donc d’après l’hypothèse(ii)on a x_j−y_j = 0, d’o ù x_j = y_j. C’est valable pour toutj, donc l’écriture dexest unique.

F Supposons que tout élémentx∈ Ns’écrive de manière unique sous la formex= _∑^p_i₌₁x_iavec x_i ∈ N_ipour touti. Il est alors clair que(i)est vérifiée.

Soit maintenantx∈ N_j∩ _∑₁₆_i₆_p

i6=j

N_i

!

. On peut donc l’´ecrirex=0+· · ·+0+x+0+· · ·+0 avecx ∈ N_j et 0 ∈ N_i pour touti 6= j. On peut aussi l’´ecrirex = x₁+· · ·+x_j₋₁+₀+x_j+₁+

· · ·+xp avec x_i ∈ N_i pour i 6= j et 0 ∈ N_j. On a donc deux ´ecritures de x dans ∑^p_i=₁N_i. Puisque l’´ecriture est unique, cela impose en particulier quex =0. Donc N_j∩ _∑₁₆_i₆_p

i6=j

N_i

!

=

{0}. B.13

C Modules quotient

Soit M un A-module et soit Nun sous-module de M. On sait que M/Nest un groupe ab´elien.

Pour tout x ∈ M, on notexsa classe dans M/N. On rappelle que l’addition dansM/Nest donn´ee parx+y=x+ypour tout(x,y)∈ M/N×M/N.

Définition-Proposition C.1. M/N est un A-module pour la loi externe définie parax = ax pour touta∈ Aet toutx∈ M/N. CeA-module est appelémodule quotientdeMparN.

Démonstration. Montrons tout d’abord que l’application (a,x) 7→ ax ci-dessus est bien définie : si on choisit deux représentants x et x⁰ dans M d’un même élément de M/N (donc x = x⁰), il nous faut montrer queax = ax⁰. Orx−x⁰ est dansN, donca(x−x⁰)est dansN(sous-module), et donc ax−ax⁰ ∈ Netax =ax⁰.

Maintenant vérifions queM/Nest unA-module. Nous savons déjà que c’est un groupe abélien.

De plus,

(i) (a+b)x= (a+b)x =ax+bx= ax+bx= ax+bxpour tout(a,b)∈ A×Aet toutx∈ M/N.

(ii) a(x+y) = a x+y = a(x+y) = ax+ay = ax+ay = ax+ay pour tout a ∈ A et tout (x,y)∈ M/N×M/N.

(18)

(iii) a(bx) =a bx= a(bx) = (ab)x = (ab)xpour tout(a,b)∈ A×Aet toutx∈ M/N.

(iv) 1x=1x= xpour toutx ∈ M/N. C.1

Exercice C.2. Soit Aun anneau et soit M un A-module. Soit I un id´eal de A. Alors M/I M est un module sur l’anneauA/I.

[Il est clair que M/I M est un groupe abélien. Il reste à vérifier que a m := am définit bien une structure de A/I-module sur M/I M].

D Morphismes

D.1 Généralités

Définition D.1. Un(homo)morphisme deA-modules(ouapplicationA-linéaire) de M dans N est une application f : M→ N vérifiant :

F f(x+y) = f(x) + f(y)pour tout(x,y)∈ M×M, et F f(ax) =a f(x)pour tout a∈ A et tout x ∈ M.

Si M =N,un morphisme de A-modules de M dans M est aussi appel´e unendomorphismede M.

Exemple D.2. (1) id_M : M → M et l’application nulle 0 : M → N sont des morphismes de A- modules.

(2) Si N est un sous-module de M, alors l’inclusion naturelle N ,→ M est un morphisme de A- modules.

(3) Laprojection canoniqueM →M/Nqui `axassociexest un morphisme deA-modules.

(4) Les morphismes deZ-modules sont les morphismes de groupes ab´eliens.

(5) SoientMun A-module,Sun ensemble et fixonss₀dansS. Alors l’applicationϕ: M^S→ Mqui `a f ∈ M^Sassocieϕ(f):= f(s₀)est un morphisme deA-modules.

D´efinition D.3. Soit f : M→ N un morphisme de A-modules. On d´efinit le noyau et l’image de f par Kerf :={x ∈ M; f(x) =0} et Imf :={f(x);x∈ M}.

Proposition D.4. Soit f : M →Nun morphisme deA-modules. Alors

F Pour tout sous-moduleN⁰deN, f⁻¹(N⁰)est un sous-module deM. En particulier, Kerf = f⁻¹({0})est un sous-module deM.

F Pour tout sous-module M⁰ de M, f(M⁰)est un sous-module de N. En particulier, Im f = f(M)est un sous-module deN.

D´emonstration. En exercice. D.4

Remarque D.5. Soit f : M → Nun morphisme de A-modules. Alors f est injectif si et seulement si Kerf ={0}, et f est surjectif si et seulement si Imf =N.[Exercice].

Proposition D.6. La compos´ee de deux morphismes de A-modules est un morphisme de A- modules.

(19)

Proposition D.7. Si f : M→ Nest un morphisme deA-modules qui est bijectif, alorsf⁻¹ :N →M est un morphisme deA-modules.

D´efinition D.8. Unisomorphismede A-modules est un morphisme de A-modules qui est bijectif.

Proposition D.9. La projection canonique π : M → M/N induit une bijection entre les sous- modules deM/Net les sous-modules deMcontenantN.

D´emonstration. Notons S_M,N l’ensemble des sous-modules de M qui contiennent N, et S_M/N _l’ensemble des sous-modules deM/N. On d´efinit une application ϕ:S_M,N → S_M/N en posant ϕ(P) = π(P)et une application ψ: S_M/N → S_M,N en posantψ(P^¯) = π⁻¹(P^¯). Ces applications ont bien un sens : on sait que π(P)est un sous-module de M/N, et queπ⁻¹(P^¯)est un sous-module deM. De plus, puisque{0} ⊂P, on a^¯ N= Kerπ=π⁻¹({0})⊂π⁻¹(P^¯).

On a bienϕ◦ψ=idS_M/N carπest surjectif.

Pour ψ◦ϕ : on a toujoursπ⁻¹(π(P)) ⊃ P. Pour l’autre inclusion, soit x ∈ π⁻¹(π(P)). Alors π(x)∈π(P), donc il existey∈ Ptel queπ(x) =π(y). Mais alorsx−y=n∈_Kerπ= N⊂ P, donc

x=y+n∈P. On a donc bienψ◦ϕ=idS_M,N. D.9

D.2 Th´eor`emes d’isomorphisme

Théorème D.10 (Premier théorème d’isomorphisme). Soit f : M → N un morphisme de A- modules. Alors il existe un isomorphisme ¯f : M/ Kerf →Imf.

Démonstration. Notonsxla classe dans M/ Kerf d’un élément deM. Posons ¯f(x) = f(x)pour tout x ∈ M/ Kerf, et montrons que cela définit bien une application ¯f : M/ Kerf → Imf. Si on choisit un autre représentanty∈ Mdex, alorsx−yest dans Kerf, donc f(x−y) =0 et donc f(x) = f(y). Donc ¯f est une application bien définie. Il faut démontrer que c’est un morphisme (exercice).

Montrons que ¯f est injectif. Si ¯f(x) = 0 alors f(x) = 0, doncx ∈ Kerf et doncx = 0. Donc Ker ¯f =0 .

Siy∈Imf, il existex∈ Mtel quey= f(x)et doncy= f^¯(x)∈Im ¯f. Donc ¯f est surjectif. D.10

Plus g´en´eralement :

Th´eor`eme D.11(Passage au quotient). SoientMetM⁰deuxA-modules, soitNun sous-module de Met soit N⁰ un sous-module de M⁰. On note π : M → M/Netπ⁰ : M⁰ → M⁰/N⁰les projections.

Soit f : M→ M⁰un morphisme deA-modules tel que f(N)⊂N⁰.

Alors il existe un unique morphisme de A-modules ¯f : M/N→ M⁰/N⁰tel que ¯f ◦π=π⁰◦f. D´emonstration. La condition ¯f◦π=π⁰◦f nous impose de d´efinir ¯f(x) = f(x)pour toutx∈ M/N.

Donc si ¯f existe, il est unique.

Montrons que la formule ci-dessus d´efinit bien une application : si on choisit un autre repr´esentant y∈ Mdex, on a doncx−y∈ N, donc f(x−y)∈ f(N)⊂N⁰, et donc f(x−y) =_{0 dans}M⁰/N⁰. On a donc f(x) = f(y).

Il reste `a d´emontrer que ¯f est un morphisme deA-modules.(Exercice). D.11

Corollaire D.12 (Deuxième théorème d’isomorphisme). Soit M un A-module, et soient N et N⁰ deux sous-modules deM. AlorsN/(N∩N⁰)∼= (N+N⁰)/N⁰ (isomorphisme deA-modules).

(20)

Démonstration. N⁰ est un sous-module de N+N⁰. La composée de l’inclusionN → N+N⁰ suivie de la projectionN+N⁰ →(N+N⁰)/N⁰ nous donne donc un morphismeN→(N+N⁰)/N⁰qui est surjectif(exercice)et dont le noyau estN∩N⁰(exercice), donc il induit un isomorphismeN/(N∩N⁰)∼= (N+N⁰)/N⁰d’après le premier théorème d’isomorphisme. D.12

Corollaire D.13(Troisième théorème d’isomorphisme). SoitMun A-module, M⁰ un sous-module deMetM⁰⁰un sous-module de M⁰ (M⁰⁰ ⊂ M⁰ ⊂ M). Alors(M/M⁰⁰)/(M⁰/M⁰⁰)∼= M/M⁰(isomorphisme de A-modules).

Démonstration. Le théorème de passage au quotient appliqué à id_M nous permet de définir un morphisme de A-modules M/M⁰⁰ → M/M⁰. Cet morphisme est clairement surjectif, et son noyau est M⁰/M⁰⁰. Donc d’après le premier théorème d’isomorphisme il induit un isomorphisme deA-modules

(M/M⁰⁰)/(M⁰/M⁰⁰)∼= M/M⁰. D.13

D´efinition-Proposition D.14. SoientM etNdeux A-modules. L’ensemble Hom_A(M,N)des morphismes deA-modules de MdansNest unA-module pour les op´erations suivantes :

F Si f et g sont dans Hom_A(M,N), alors f +g ∈ Hom_A(M,N)est d´efini par (f +g)(x) = f(x) +g(x)pour toutx∈ M.

F Si f est dans HomA(M,N)_{et si} a ∈ A, alors a f ∈ _Hom_A(M,N)est d´efini par (a f)(x) = a f(x)pour toutx∈ M.

D´emonstration. En exercice. Attention, on se sert ici du fait que Aest commutatif. D.14

D.3 Produit direct, somme directe demodules

D´efinition-Proposition D.15. Soit(M_i)_i_∈_Iune famille non-vide deA-modules.

F LeproduitdesM_i, not´e∏i∈IM_i, est l’ensemble des familles(x_i)_i_∈_I avecx_i ∈ M_i pour tout i∈ I. C’est unA-module, pour les op´erations suivantes :

G (x_i)_i_∈_I+ (y_i)_i_∈_I = (x_i+y_i)_i_∈_I G a(x_i)_i_∈_I = (ax_i)_i_∈_I_.

Pour chaquej∈ I, on d´efinit la projectionπ_j :∏i∈IM_i → M_jqui `a(x_i)_i_∈_Iassociex_j. C’est un morphisme deA-modules.

F Lasomme directe(on pr´ecise parfoisexterne) desM_i, not´e^L_i_∈_IM_i, est le sous-A-module de

∏i∈IM_i form´e des familles(x_i)_i_∈_I dont tous lesx_i sont nuls sauf un nombre fini d’entre eux.

Pour chaquej ∈ I, on d´efinit l’injectionσ_j : M_j → ^L_i_∈_IM_i qui `ax_j associe la famille(m_i)_i_∈_I avecm_j = x_jetm_i =0 pour touti6= j. C’est un morphisme de A-modules.

Remarque D.16. Si I est fini, c’est-`a-dire qu’il n’y a qu’un nombre fini de M_i, alors ∏i∈IM_i =

L

i∈IM_i.

Notation D.17. ∏²i=₁M_iest aussi noté M₁×M₂. Lorsque tous lesM_i sont égaux à un même module M, on note MÎ = _∏_i_∈_IM_i et M⁽Î⁾ := ^L_i_∈_IM_i. De plus, si I est fini de cardinal n, on note Mⁿ = M⁽Î⁾ = MÎ.

Remarque D.18. Puisqu’il y a un nombre fini deM_i, on aM ∼=_∏ⁿ_i₌₁M_i =^Lⁿ_i₌₁M_i.

(21)

Proposition D.19. Soient Mun A-module, n ∈ _N^∗, et ϕ_i : M → Mun morphisme de A-modules pour chaquei, 16ⁱ6ⁿ^v´erifiant

F ϕ_i◦ϕ_j =0 sii6= j F ∑ⁿi=1ϕ_i =_id_M_. Alors

(i) pour touti=_{1, . . . ,}non aϕ²_i = ϕ_i

(ii) si on poseM_i = Imϕ_i, l’application ϕ: M → _∏ⁿ_i₌₁M_i

x 7→ (ϕ₁(x), . . . ,ϕ_n(x)) est un isomorphisme de A-modules.

D´emonstration. F ϕ_j = ϕ_j◦id_M = ϕ_j◦_∑ⁿ_i₌₁ϕ_i =_∑ⁿ_i₌₁ϕ_j◦ϕ_i = ϕ_j◦ϕ_j = ϕ²_j.

F Montrons que ϕ est injectif : si x ∈ Kerϕ, alors ϕ_i(x) = 0 pour tout i = 1, . . . ,n, donc 0=_∑ⁿ_i₌₁ϕ_i(x) =id_M(x) =x. Donc Kerϕ={0}.

F Montrons queϕest surjectif : soity= (y_i)_i₌_1,...,n∈_∏ⁿ_i₌₁M_i. PuisqueM_i =Imϕ_i, pour chaque i = 1, . . . ,nil existe x_i ∈ Mtel quey_i = ϕ_i(x_i). On a alorsy_i = ϕ_i(x_i) = ϕ²_i(x_i) = ϕ_i(y_i): on peut donc choisirx_i = y_i.

Posons x = _∑ⁿ_i₌₁y_i. Fixons j ∈ {1, . . . ,n}. Alors ϕ_j(x) = _∑ⁿ_i₌₁ϕ_j(y_i) = _∑ⁿ_i₌₁ϕ_j(ϕ_i(y_i)) = ϕ_j(ϕ_j(y_j)) =ϕ_j(y_j) =y_j. Doncy= (y_i)_i₌_1,...,n = (ϕ_i(x))_i₌_1,...,n = ϕ(x). D.19

Corollaire D.20. Soit M un A-module, et soient N₁, . . . ,Np des sous-modules de M. On suppose queMest égal à la somme directe (interne) dessous-modules N_i. AlorsMest isomorphe à la somme directe (externe) desmodules N_i.

Démonstration. On suppose que M est la somme directe interne de ses sous-modules N_i. On peut donc écrire tout élément de M de manière unique comme somme d’éléments des N_i. Définissons donc ϕ_i : M → M pour 1 6 ⁱ 6 ^p de la façon suivante : si x = _∑ⁿ_i₌₁x_i ∈ M avec x_i ∈ N_i, on pose ϕ(x) = x_i. Il est facile de voir que ϕ_i est bien défini (puisque l’écriture de x est unique), que c’est un morphisme, que son image estN_i, queϕ_i◦ϕ_j = 0 sii6= jet que∑_i^p=1ϕ_i = id_M. D’après la proposition précédente, on a donc des isomorphismesM∼= _∏_i^p₌₁N_i =^L_i^p₌₁N_io ù la dernière somme

directe est externe. D.20

Remarque D.21. Ce corollaire explique l’abus de notation que nous faisons en notant les sommes directes de sous-modules (interne) et de modules (externe) de la mˆeme mani`ere.

Proposition D.22 (Propri´et´e universelle du produit). Soit M un A-module, soient M_i, i ∈ I, des A-modules et, pour tout i ∈ I, soit f_i ∈ Hom_A(M,M_i). Alors il existe un unique F ∈ Hom_A(M,∏i∈IM_i)tel que pour touti∈ I le diagramme suivant soit commutatif :

M_i

∏

i∈I

M_i

πi

oo

M

fi

aaCCCC

CCCCCC ^F

OO

D´emonstration. Exercice. D.22