Probabilités
I- Variable aléatoire
1) Exemple
Un jeu consiste à lancer un dé équilibré, si le résultat est pair on gagne la somme indiquée enAC, si le résultat est impair on perd 3AC.
On note X le gain en euro à l’issue de ce jeu. On obtient les résultats suivants :
issue 1 2 3 4 5 6
gain X enAC -3 2 -3 4 -3 6
• L’univers de cet expérience aléatoire estΩ={1; 2; 3; 4; 5; 6}
• A chaque issue on associe un nombre réel (le gain) On dit que l’on définit une variable aléatoire, notée X.
L’événement gagner 2AC est noté (X = 2), sa probabilité est 16. On note P(X = 2) = 16. De même P(X =−3) =36.
• En déterminant la probabilités de toutes les valeurs prises par X, on dit que l’on définit sa loi de probabilité :
xi -3 2 4 6
P(X =xi) 12 16 16 16
• Déterminer P(X≥3).
2) Définition
SoitΩl’univers d’une expérience aléatoire.
Une variable aléatoire X est une fonction qui à chaque issue associe un nombre réel notéxi. On définit la loi de probabilité de X en associant à chaque valeurxisa probabilité P(X =xi).
xi x1 x2 x3 · · · xn
P(X =xi) p1 p2 p3 · · · pn Définition
II- Paramètres d’une variable aléatoire
1) Exemple
Si on joue 600 fois au jeu précédent , on a :
• 100 chances que le gain soit de 2AC.
• 100 chances que le gain soit de 4AC.
• 100 chances que le gain soit de 6AC.
• 300 chances que le gain soit de -3AC.
En jouant 600 fois, on peut espérer gagner à chaque fois en moyenne 100×2+100×4+100600 ×6+300×(−3) = 0,5 C’est l’éspérance de la variable aléatoire. On note E(X) = 0,5.
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2) Définitions
Soit X une variable aléatoire.
• L’éspérance mathématique de X est le nombre E(X) défini par : E(X) =p1×x1+p2×x2+· · ·pn×xn=
Xn
i=1
pixi
• La variance de X est le nombre réel V(X) défini par : V(X) =
Xn
i=1
pi(xi−E(X))2.
• L’écart-type de X est le nombre réelσ(X) défini par : σ(X) =p
V(X).
Définition
Remarque :
Lorsque X représente le gain d’un jeu d’argent , E(X) représente le gain moyen par partie.
• si E(X) = 0 alors on dit que le jeu est équitable.
• si E(X)>0 alors on dit que le jeu est favorable au joueur.
• si E(X)<0 alors on dit que le jeu est défavorable au joueur.
V(X) =p1x12+p2x22+· · ·+pnx2n−(E(X))2= Xn
i=1
pix2i −(E(X))2. Propriété
Démonstration
Preuve pour 3 valeurs :
V(X) =p1(x1−E(X))2+p2(x2−E(X))2+p3(x3−E(X))2 Exemple 1 :
Calculer la variance et l’écart-type du jeu précédent.
Remarque :
E(X) etσ(X) se calculent avec la calculatrice en utilisant le menuSTAT.
3) Propriétés Exemple 2 :
On décide de doubler les gains et les pertes du jeu précédent. La loi de probabilité du gainX0 est alors donnée par :
xi -6 4 8 12
P(X =xi) 12 16 16 16
AlorsE(X0) =12×(−6) +16×4 +16×8 +16×12 = 1,V(X) = 12×(−6)2+16×42+16×82+16×122−12 On remarque queE(X0) = 2E(X)etσ(X0) = 2σ(X0).
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Dans le cas général : Soientaetbdeux nombres réels, si la loi de probabilité de X est donnée par :
xi x1 x2 x3 · · · xn
P(X =xi) p1 p2 p3 · · · pn Celle de X0=aX +best donnée par :
x0i ax1+b ax2+b ax3+b · · · axn+b
P(X0=x0i) p1 p2 p3 · · · pn
Alors :
E(aX +b) =p1(ax1+b) +p2(ax2+b) +· · ·+pn(axn+b)
=a(p1x1+p2x2+· · ·+pnxn) +b(p1+p2+· · ·+pn)
=aE(X) +b et
V(aX +b) =p1(ax1+b)2+p2(ax2+b)2+· · ·+pn(axn+b)2−(E(aX +b))2
=a2(p1x12+· · ·+pnxn2) + 2ab(p1x1+· · ·+pnxn) +b2(p1+· · ·+pn)−a2(E(X))2−2abE(X)−b2
=a2[(p1x21+· · ·+pnx2n)−(E(X))2] + 2abE(X) +b2−2abE(X)−b2
=a2V(X)
Pour tout réelsaetb
E(aX +b) =aE(X) +b et V(aX +b) =a2V(X) Propriété
Exemple 3 :
Le nombre de repas servis par un restaurant scolaire un jour donné est une variable aléatoireXd’espérance 500 et d’écart-type 81.
Le coût moyen d’un repas est de 2AC et les coûts fices journaliers sont de 1000AC.
SoitYla variable aléatoire égale à la dépense totale journalière pour le restaurant, déterminerE(Y)etσ(Y) Y = 2X + 1000doncE(Y) = 2E(X) + 1000etσ(Y) = 2σ(X).
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